Kinder-Ferienprogramm: Livingstone reloaded

15. August 2019

Als unsere Kinder noch klein waren, wählten wir das Leben von David Livingstone als Kernthema eines ihrer ersten Lernprojekte. Jetzt sind unsere eigenen Kinder gross, und eine neue Generation nimmt an unseren Kinder-Ferienprogrammen teil. Für diese haben wir kürzlich das Thema „Livingstone“ wiederbelebt. Einige Aktivitäten (z.B. die „Expeditionen“) führten wir fast genauso durch, wie wir es damals mit unseren Kindern getan hatten. Andere Aktivitäten fielen entsprechend der Zusammensetzung und den Bedürfnissen der Gruppe anders aus.

Wie seinerzeit Livingstone, erforschten wir eine Flusslandschaft und schrieben Berichte darüber.

Unten: Ein gefrorener Wasserfall am Ursprung eines der Quellflüsse des Amazonas. Um ein solches Naturschauspiel zu sehen, muss man hier in Perú auf 4500 Meter Höhe aufsteigen.

Die Grundidee solcher Lernprojekte besteht darin, ausgehend von einem Thema, das die Kinder interessiert, ein breites Spektrum von Aktivitäten anzubieten oder vorzuschlagen, in deren Verlauf Kenntnisse aus Geschichte, Geographie, Naturwissenschaft, Sprache, Mathematik, u.a. vermittelt werden können. In einer grösseren Gruppe, wie es diesmal der Fall war, kann jedes Kind selber entscheiden, bei welchen Aktivitäten es mitmachen will.
Wir kennen mehrere alternative Schulen, die mit solchen Methoden funktionieren. Auch unsere eigenen Kinder haben wir weitgehend auf diese Weise ausgebildet. Im Vergleich mit ihren Altersgenossen hatten sie dadurch viel mehr Gelegenheiten zu praktischen Erfahrungen, zu körperlicher Betätigung und zum Spielen. Wissensmässig hatten sie dennoch keinen Nachteil: sie schafften den Eintritt in die Universität auf Anhieb.

Bild: Teilnehmer des Ferienprogramms im grossen Kreis. Nebst anderen Aktivitäten, erzählten wir im Kreis jeden Tag ein Stück der Lebensgeschichte Livingstones.

„Aber in den Ferien?“, werden jetzt einige Leser befremdet fragen. „Und sogar Mathematik??“ – Dazu muss man wissen, dass die meisten peruanischen Eltern in der Erziehung ihrer Kinder eine einzige Priorität kennen: den akademischen „Erfolg“. Deshalb florieren hierzulande sogenannte „academias“, d.h. „Ferienschulen“, die während den Schulferien genau dasselbe intelligenztötende Programm von Auswendiglernen und Abfragen anbieten wie die herkömmlichen Schulen. Wir mussten feststellen, dass neuerdings sogar die Schulen selber den Kindern ihre Ferien wegnehmen: Einige Kinder in unserem Programm nahmen an gewissen angebotenen Aktivitäten nicht teil, nicht etwa weil sie stattdessen spielen oder etwas anderes machen wollten, sondern weil sie ihre Schulaufgaben machen mussten. Z.B. fünfundzwanzig Seiten im Mathematikbuch selbständig durcharbeiten – innerhalb von zwei Wochen Ferien.

Wenn also Eltern etwas bemängeln an unserem Programm, dann nicht, dass wir sogar in den Ferien noch Sprach- und Mathematikstunden anbieten. Sondern im Gegenteil, dass wir so wenig „schulische“ Aktivitäten haben, und dass wir erst noch den Kindern die Freiheit lassen, zu diesen Angeboten nein zu sagen. Wir pflegen deshalb vor jedem Ferienprogramm einen Elternabend durchzuführen, wo wir den Eltern unsere Methoden und die Gründe dafür ausführlich erklären. Wir können das sogar mit Publikationen des staatlichen Bildungsministeriums begründen, die im wesentlichen dasselbe sagen wie wir: dass Kinder zu ihrer gesunden Entwicklung auch körperliche Betätigung und Spiel brauchen; dass sie nicht gezwungen werden sollen, Dinge zu lernen, die sie von ihrem Entwicklungsstand her noch nicht verstehen können; dass sie Gelegenheit erhalten sollen, ihre Gaben und Talente zu entfalten; usw. Doch die Schulen funktionieren weiterhin so, als ob diese Publikationen nicht existierten: Es wird weiterhin verlangt, dass die Kinder bereits im Kindergarten Lesen und Schreiben lernen (obwohl der offizielle Lehrplan ihnen dazu bis zum Ende der 2.Klasse Zeit lässt); Drittklässler müssen weiterhin Gleichungen lösen, bevor sie auch nur das Einmaleins beherrschen; und Primarschüler sitzen weiterhin bis spät in der Nacht an ihren Hausaufgaben.

In unserem Ferienprogramm gaben wir manchen Interessengruppen die Namen von Berufen. Einige davon hatten natürlich mit dem Leben Livingstones zu tun.

Oben: Die „Ärzte“ lernten u.a, einander das Herz und die Lungen abzuhören. (Livingstone war Arzt.)

Die „Bibelforscher“ erhielten anhand eines „Bibelpanoramas“ einen Überblick über die biblische Geschichte vom Anfang bis zum Ende. (Als Missionar musste Livingstone natürlich die Bibel studieren.)

Bild: Zwei Schüler stellen am Schlussabend ihr Bibelpanorama vor.

Die „Geographen“ zeichneten während unserer „Expeditionen“ interessante Tier- und Pflanzenarten, und andere Beobachtungen auf. Einige Fortgeschrittenere vermassen unseren Weg mit Hilfe eines Kompasses und dem Zählen von Schritten, und konstruierten später aufgrund dieser Angaben eine einfache Landkarte.

Die „Journalisten“ schrieben einen Bericht über die Expeditionen. (Livingstone war zwar kein Journalist, aber in seinem Tagebuch schrieb er ebenfalls ausführliche Berichte über seine Reisen. Und der Journalist Henry Morton Stanley war es, der 1871 den verschollenen Livingstone in Ujiji am Tanganyikasee auffand.)

Die „Übersetzer“ lernten eine Fremdsprache, so wie Livingstone die einheimischen afrikanischen Sprachen lernen musste. Wir hatten, wie in früheren Ferienprogrammen, Englisch vorgeschlagen; aber auf Wunsch mehrerer Teilnehmer ersetzten wir es durch Quechua. Das ist die ursprüngliche Sprache weiter Teile des peruanischen Hochlandes; aber in den Städten verstehen selbst von den Einheimischen manche kein Quechua mehr, und müssen es deshalb als Schulfach lernen. – Am nächsten Tag schrieben sich manche Kinder zusätzlich für „Englisch“ ein. Anscheinend hatten ihre Eltern sie gefragt, wozu sie Quechua lernen wollten; Englisch sei doch viel wichtiger. Aber wir hatten unsere Entscheidung bereits getroffen, sodass es dieses Mal keinen Englischkurs gab.

Bild: Die „Übersetzer“ lernen ein Lied auf Quechua.

Dann gab es einige weitere Gruppen, die keinen direkten Zusammenhang mit Livingstone hatten:

Die „Ingenieure“ bauten kunstvolle Kugelbahnen aus Kartonröhren.

Unten: Auch der Kleinste muss es ausprobieren…

Die „Köche“ bereiteten zweimal ein Mittagessen mit Nachtisch zu.

Oben: Gemeinsames Mittagessen.
Unten: Beim Zubereiten eines Kuchenteigs.

In der Schachgruppe hatten wir sowohl Anfänger, die erst die Bewegungen der Figuren lernen mussten, wie auch Fortgeschrittenere, die in einer separaten Gruppe mehr über Strategie und über weniger bekannte Regeln lernten.

In der Bastelgruppe fertigten die Teilnehmer verschiedene Handarbeiten an.

Oben: Die Kleineren basteln Blumen aus Papier und Karton.
Unten: Stoffmalen mit den Grösseren.

Und es gab sogar eine beträchtliche Zahl von Interessenten für jene Gruppe, die vor allem von den Eltern gewünscht wurde (für ihre Kinder natürlich, nicht für sie selber…): die „Mathematiker“. Wir versuchten diese Gruppe so praktisch und spielerisch wie möglich zu gestalten. Im Bild unten zwei Kinder beim Üben der Division mit Rest, anhand einer Montessori-Aktivität.

Noch nie zuvor hatten wir so viele Interessengruppen! Bei früheren Gelegenheiten gab es meistens nur für vier oder fünf Gruppen genügend Interessenten, sodass uns viel Zeit blieb für freie Aktivitäten, Spiele, und zum spontanen Eingehen auf zusätzliche Ideen, die im Lauf der Ferien aufkamen. Dieses Mal jedoch hatten sich für die meisten Gruppen mehr als die Hälfte der Teilnehmer eingetragen, sodass wir fast die gesamte Zeit für die Gruppen einsetzen mussten. Ob die Kinder „aktiver“ geworden sind? Oder ob sie einen stärkeren „Herdentrieb“ entwickelt haben (wenn einer sich für eine Gruppe einträgt, wollen die anderen dasselbe auch)?

Bei meiner eigenen Beschäftigung mit Livingstone fand ich übrigens, dass sein Leben auch einen Zusammenhang hat mit dem Thema dieses Blogs: „Christlicher Aussteiger“. Doch davon in einem späteren Artikel …

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Die neutestamentliche Gemeinde als „Familie Gottes“ – Teil 3

20. Juli 2019

Auswahl von Ältesten in der neutestamentlichen Gemeinde

In Apostelgeschichte 14:23 wird der Prozess der Einsetzung von Ältesten in neugegründeten Gemeinden mit dem griechischen Wort cheirotonéo beschrieben. Wörtlich bedeutet es „durch Handaufheben bestätigen“. („Einsetzen“ ist also keine genaue Übersetzung.) Die Idee dahinter ist, dass Paulus gewisse Männer als Älteste vorschlug, aber die gesamte Gemeinde musste ihre Einsetzung bestätigen. Es handelte sich also um eine Art Mischform zwischen einer Einsetzung durch eine übergeordnete Leiterschaft (der Apostel) und einer demokratischen Wahl.
Aber wenn wir uns nur bei diesen Einzelheiten der äusserlichen Form aufhalten, verpassen wir das Wichtigste: Dieser Prozess wird vor dem Hintergrund der familiären Struktur der jüdischen Gesellschaft beschrieben. Das Entscheidende ist, dass die Apostel und die Gemeinden ein Vorgehen wählten, durch das sie zu einem geistlichen Konsens kommen konnten. Die hier beschriebene „Einsetzung“ war nur die Endphase. Dieser muss ein längerer Prozess vorangegangen sein des Sich-Kennenlernens in den Familien, des Kennenlernens der Weisheit und des Erziehungsstils eines jeden der möglichen Ältesten, und alles weitere, was nötig war, um zu einer Gott wohlgefälligen Entscheidung zu kommen.

Ein biblischer Ältester ist also etwas ganz anderes als ein „Mitglied eines Leitungsgremiums“ in einem Verein oder in einer heutigen Kirche. In heutigen Kirchen werden Leiter auf eine viel unpersönlichere und vom Familienleben abgeschnittene Weise gewählt. Es gibt dabei demokratischere und diktatorischere Varianten; aber so oder so werden selten die Weisesten oder die Geistlichsten gewählt. Oft haben menschliche Fähigkeiten das grössere Gewicht: Redebegabung, Durchsetzungsvermögen, eine gute äussere Erscheinung, theologische Ausbildung, usw. Aber nichts von dem ist eine Garantie für Geistlichkeit oder Integrität.
Infolgedessen funktionieren viele dieser Leitungsgremien eher wie weltliche Regierungen, oder wie die Verwaltung eines Grossunternehmens, als wie eine Familie. Dann gibt es Heuchelei, Bürokratie, Korruption, Habsucht, Intrigen, Machtkämpfe, Unmoral (mit den darauffolgenden Vertuschungsmanövern), und was man sonst noch in der nichtchristlichen Welt beobachten kann. In einem solchen System können Leiter ihre wahre Persönlichkeit hinter der Kanzel verstecken, weil ihnen niemand genügend nahe steht, um sie so kennenzulernen, wie sie wirklich sind. Deshalb kann sie auch niemand warnen oder zurechtweisen, wenn sie in Gefahr stehen, abzuirren oder in Sünde zu fallen. Der Verlust der familiären Strukturen hat die Leiterschaft in vielen Kirchen derart verzerrt, dass es heute schwierig ist, sich überhaupt vorzustellen, was echte geistliche Leiterschaft ist.

In der neutestamentlichen Gemeinde geht Ältestenschaft auf natürliche Weise aus der Familie hervor, aus der Vaterschaft,
und aus den Versammlungen in den Häusern. Das wichtigste Kriterium für die Eignung als Ältester ist, ob jemand ein guter Ehemann und Vater ist. In der familiären Umgebung der neutestamentlichen Gemeinde, wo das tägliche Leben miteinander geteilt wurde, konnten die Mitglieder leicht das Familienleben anderer Mitglieder beobachten, und so deren wahren Charakter kennenlernen. So funktionierte die Anerkennung der weisesten und geistlichsten Väter als Älteste, und die gegenseitige Korrektur, wenn einer von ihnen in Gefahr kam, von den Wegen Gottes abzuweichen.

Die neutestamentliche Gemeinde als „Familie Gottes“ – Teil 2

14. Juli 2019

Ältestenschaft als familiäre Leiterschaft

Im Alten Testament wurde die jüdische Gesellschaft auf all ihren Ebenen von „Ältesten“ geleitet. Es gab Älteste der erweiterten Familien, der Sippen und der Stämme.

Ältestenschaft im Alten Testament

Das Wort „Ältester“ entstammt dem Familienleben. Die Leiterschaft der Ältesten war eine erweiterte Vaterschaft. Die Ältesten wurden als solche anerkannt, weil sie in ihren eigenen Familien die weisesten Väter waren. Ihre Autorität ging auf natürliche Weise aus den Familien hervor, und von da zu den erweiterten Familien, und so Schritt für Schritt bis zur Ebene des ganzen Volkes. Um die Qualität eines Ältesten zu bezeugen, sind dessen eigene Familienmitglieder die geeignetsten Personen. So war jeder Älteste umgeben von einem „Sicherheitsnetz“ aus ihm nahestehenden Personen, die ihn seit langer Zeit persönlich kannten. Aufgrund dieser persönlichen Nähe konnten sie die Autorität des Ältesten verbürgen und stützen; aber sie konnten ihn auch zurechtweisen, wenn er irrte.

Die Ältesten wurden also nicht demokratisch gewählt; aber sie wurden auch nicht von einer höheren Leiterschaft „eingesetzt“. Sie wurden anerkannt von ihrer erweiterten Familie und Sippe, von Personen, die sie persönlich kannten, und aufgrund ihrer persönlichen Tugenden und ihrer geistlichen Reife, die diese nahestehenden Personen in ihnen sehen konnten. Der ganze Prozess der Auswahl der Ältesten war ein beziehungsmässiger, nicht ein institutioneller Prozess.

Im biblischen Umfeld blieb die eigene Familie die wichtigste Priorität im Leben eines Ältesten, auch wenn er zu einer sehr hohen Ebene von Leiterschaft aufstieg. Wenn er diese Priorität vernachlässigte, konnte er seine Autorität verlieren, und sogar unter das Gericht Gottes fallen. So erging es dem Priester Eli, der eine sehr wichtige Stellung innehatte, aber es versäumte, seine Söhne zu korrigieren. (1.Samuel 2,12-36, 4,11-18).

Ältestenschaft im Neuen Testament

Dasselbe Konzept von Ältestenschaft wurde auch von der neutestamentlichen Gemeinde angewandt. Deshalb ist es eine der wichtigsten Voraussetzungen für einen Leiter in der neutestamentlichen Gemeinde, dass er „seinem eigenen Heim gut vorsteht, seine Kinder in Unterordnung hält, in aller Ehrbarkeit – denn wenn jemand seinem eigenen Heim nicht vorzustehen weiss, wie wird er auf die Gemeinde Gottes achten?“ (1.Timotheus 3,4-5). – Die eigenen Kinder gut zu erziehen, ist eine unverzichtbare Vorbereitung darauf, Ältester zu sein. In der neutestamentlichen Gemeinde konnte niemand als Ältester anerkannt werden, der nicht zuerst während vielen Jahren als guter Ehemann und Vater ein Beispiel gegeben hatte.
Diese Begründung der Ältestenschaft in der Familie ist eine der stärksten Sicherheiten gegen das Eindringen falscher Brüder oder ungeistlicher Menschen in der Leiterschaft. Das eigene Heim ist der Ort, wo es am schwierigsten ist, etwas vorzutäuschen, was man nicht ist. Wenn jemand ein Lügner ist, ein Heuchler, ein Habgieriger, ein Manipulator … dann werden seine Familienmitglieder das merken. Und wenn die ganze Gemeinde auf Familien gegründet ist und sich in den Häusern versammelt, dann werden es auch andere Gemeindeglieder merken. Wenn das Familienleben das wichtigste Kriterium ist, um einen weisen, integren und reifen Leiter zu erkennen, dann ist es wahrscheinlicher, dass wirklich die geistlichen, integren und transparenten Väter als Älteste anerkannt werden.

Natürlich wird auch im neutestamentlichen Gottesvolk ein Vater weiterhin seinem Heim gut vorstehen, auch nachdem er eine grössere Verantwortung als Ältester übernimmt. Die Verantwortung für die Gemeinde sollte nicht dazu führen, dass der Vater zu oft von zuhause fort ist; denn sonst würde er den Grund und die Legitimierung seiner Gemeindeverantwortung verlieren. Die Verantwortung ausserhalb des Heims sollte kein Ersatz für das Ausüben der Vaterschaft sein, sondern deren Erweiterung.

Die neutestamentliche Gemeinde als "Familie Gottes" – Teil 1

1. Juli 2019

In den vorhergehenden Betrachtungen haben wir die Beschreibung der Gemeinde als „Leib Christi“ untersucht, und wir haben die innere Funktionsweise dieses Leibes betrachtet. Nun gehen wir zu einem anderen, ebenso wichtigen Vergleich über: die Gemeinde ist die Familie Gottes.

Die Struktur der neutestamentlichen Gemeinde ist auf den Familien aufgebaut.

Die Gemeinde wird „Familie Gottes“ (Epheser 2,19) oder „Familie des Glaubens“ (Galater 6,10) genannt. Ein wenig weiter im Epheserbrief erklärt Paulus den Existenzgrund der Familie: „Deshalb beuge ich meine Kniee vor dem Vater unseres Herrn Jesus dem Christus, nach dem jede Familie (wörtl. Vaterschaft) im Himmel und auf der Erde benannt ist.“ (Epheser 3,14-15). Die irdische Familie – oder genauer, die Vaterschaft – ist also ein Bild und Abglanz der Vaterschaft, die Gott Vater ausübt. Die Familie ist nicht einfach eine Form des Zusammenlebens in der menschlichen Gesellschaft. Sie ist eine göttliche Institution mit dem ausdrücklichen Ziel, die Vaterschaft Gottes auf der Erde zu widerspiegeln.
Genau das ist auch einer der wichtigsten Zwecke der Gemeinde. Im Epheserbrief spricht Paulus auch über die Gemeinde mit Ausdrücken der Familie und der Ehe: „…denn der Mann ist Haupt der Frau, wie auch Christus Haupt der Gemeinde ist, und er ist der Erlöser des Leibes. … Deshalb verlässt der Mann seinen Vater und seine Mutter, und hängt seiner Frau an, und die beiden werden ein Fleisch. Dieses Geheimnis ist gross, aber ich sage es von Christus und der Gemeinde.“ (Epheser 5,23.31-32)

Deshalb ist die neutestamentliche Gemeindestruktur im wesentlichen die Struktur einer Familie, nicht einer Organisation oder Institution. In ihrem Kern befindet sich die natürliche Familie, die die Vaterschaft Gottes widerspiegelt. Und wenn die mitmenschlichen Beziehungen in der Gemeinde wie gesunde Familienbeziehungen funktionieren, dann widerspiegelt die ganze Gemeinde die Vaterschaft Gottes. Die Vaterschaft Gottes ist vollkommen, gerecht, treu, liebend, barmherzig, verständnisvoll, aufrichtig, transparent, und immer zum Besten seiner „Kinder“.

Schon das alte Israel, das Gottesvolk des Alten Bundes, war vollständig nach Familien, Sippen und Stämmen strukturiert und organisiert. Im Neuen Testament gibt es wenige Stellen, die ausdrücklich diese Familienstruktur erwähnen, und so wird diese Tatsache allzu leicht übersehen. Aber die Urgemeinde war noch völlig in die jüdische Kultur eingebunden. Deshalb müssen wir die jüdische Familienstruktur als einen Hintergrund betrachten, der in allen Berichten über die Urgemeinde gegenwärtig ist, auch wo er nicht ausdrücklich erwähnt wird.

Das beginnt schon mit der Metapher, die Jesus gebraucht, um den Anfang eines christlichen Lebens zu beschreiben: „… denen gab er Vollmacht, Kinder Gottes zu werden, die an seinen Namen glauben; die nicht aus Blut noch aus dem Willen des Fleisches gezeugt sind, noch aus dem Willen eines Mannes, sondern aus Gott.“ (Johannes 1,12-13) – „Wer nicht von neuem geboren wird, kann das Reich Gottes nicht sehen.“ (Johannes 3,3). Ein Leben als Jünger Jesu beginnt mit einer neuen Geburt. Wer wiedergeboren wird, wird zu einem „Kind Gottes“. So wie ein Baby in einer Familie geboren wird (nicht in einer Fabrik, und auch nicht in einer Schule), so wird auch ein neuer Christ in einer geistlichen Familie geboren, nicht in einer „Institution“.
Paulus gebraucht den Ausdruck „wiedergeboren werden“ nicht, aber stattdessen spricht er von einer „Adoption“ als Kinder Gottes (Römer 8,14-16, Galater 4,3-7).

Weiter finden wir Hinweise auf diese Familienstruktur in allen jenen Stellen, die bezeugen, dass sich die Urgemeinde in den Häusern versammelte. In den biblischen Sprachen, dem Hebräischen und dem Griechischen, ist „Haus“ gleichbedeutend mit „Familie“.
Damit stimmt überein, dass wir mehrmals von ganzen Familien lesen, die ihre Leben dem Herrn gaben:
Cornelius mit „seinen Verwandten und nächsten Freunden“ (Apg. 10,24.44),
Lydia „und ihre Familie“ (Apg.16,15),
der Gefängniswärter von Philippi „mit den Seinen“ (Apg.16,33),
„das Haus des Aristobulus“ und „die vom Haus des Narzissus“ (Römer 16,10-11),
„die Familie des Stephanas“ (1.Korinther 16,15).

Wir finden in den Apostelbriefen auch Abschnitte, die sich an Ehemänner und Ehefrauen richten, an Eltern und Kinder, Herren und Sklaven. (Epheser 5,21-6,9, Kolosser 3,18-4,1, 1.Johannes 2,12-14.) Von daher können wir schliessen, dass die Familien in den Versammlungen vereint waren. Kinder oder Jugendliche trafen sich nicht in gesonderten Gruppen, auch zwischen Frauen und Männern wurde nicht getrennt. Die Urgemeinde war wirklich eine „Familie von Familien“. Es war nicht eine Gruppe von Einzelpersonen, die willkürlich aus ihren Familien herausgenommen und als „Institution“ organisiert wurden. Die neutestamentliche Gemeinde erhält und stärkt die Einheit und den Zusammenhalt der Familien. Sie trennt Familienmitglieder nicht voneinander in ihren Versammlungen und Anlässen. Sie stellt keine Ansprüche, die erfordern, dass Eheleute ihre Ehepartner oder ihre Kinder allein lassen; sie erzieht Kinder nicht getrennt von ihren Eltern; sie greift nicht ungebeten in innerfamiliäre Angelegenheiten ein. Die gesamte Struktur der neutestamentlichen Gemeinde ist familiär, nicht institutionell.

Die neutestamentliche Gemeinde als "Leib Christi" – Teil 5

24. Juni 2019

Zur vorhergehenden Folge

Geistliche Gaben

Die Gaben des Heiligen Geistes sind Fähigkeiten, die der Heilige Geist den Gliedern des Leibes Christi gibt, um ihre besondere Funktion im Leib auszuüben. Deshalb definieren die geistlichen Gaben weitgehend die besondere Funktion jedes Christen. „Denn so wie wir in einem einzigen Leib viele Glieder haben, aber nicht alle Glieder haben dieselbe Funktion, … da sie unterschiedliche Gaben haben gemäss der Gnade, die uns gegeben wurde …“ (Römer 12,4-6)

Paulus spricht in drei Abschnitten seiner Briefe über geistliche Gaben: Römer 12,4-8, 1.Korinther 12 (ganzes Kapitel), und Epheser 4,7-16. Alle drei Stellen stehen im Zusammenhang mit der Lehre über den „Leib Christi“. Wir können die geistlichen Gaben nicht richtig verstehen, solange wir nicht die Funktionsweise des Leibes Christi verstehen, wie in den vorhergehenden Betrachtungen beschrieben. Die Gaben des Heiligen Geistes sind zur gegenseitigen Auferbauung des Leibes Christi gegeben. Das heisst, die geistlichen Gaben werden hauptsächlich im Rahmen von „Einander“-Beziehungen ausgeübt.
Insbesondere:
– sind sie nicht zur Selbst-Auferbauung gegeben,
– und sind sie nicht gegeben, um die Aufmerksamkeit auf die „Gabenträger“ zu lenken oder diesen eine besondere Stellung in der Gemeinde zu geben aufgrund ihrer Gaben.

Die geistlichen Gaben sind kein Selbstzweck. Sie dienen einem höheren Zweck: den Leib Christi in Liebe aufzuerbauen. Die drei Abschnitte, wo Paulus über den Leib Christi und die geistlichen Gaben spricht, enden alle mit der Erinnerung daran, dass die Liebe das Wichtigste ist (Römer 12,9, 1.Korinther 12,31-13,13, Epheser 4,16).

Ziehen wir zudem in Betracht, dass der Heilige Geist immer Christus verherrlicht (Johannes 16,14), dann sollen auch seine Gaben dazu dienen, den Herrn zu erhöhen und zu verherrlichen, und sollen nicht zu anderen Zwecken missbraucht werden. (Siehe auch 1.Korinther 12,3.)

Ein anderes wichtiges Prinzip finden wir in 1.Korinther 12,4.7.11: „Die Gaben werden auf unterschiedliche Weise ausgeteilt, aber sie kommen vom selben Geist … Und Gott gab jedem den Erweis des Geistes zum Nutzen. … Aber alles wirkt ein und derselbe Geist. Er teilt jedem für sich zu, wie er will.“
Daraus können wir schliessen:
– Es gibt eine grosse Vielfalt an geistlichen Gaben. Nicht alle Glieder des Leibes Christi haben dieselben Gaben.
– Jedes echte Glied des Leibes Christi erhielt mindestens eine geistliche Gabe. („Er teilt jedem zu…“)
– Kein Glied hat alle Gaben. Darum brauchen wir die gegenseitige Ergänzung. (1.Korinther 12,21-25.)
– Der Heilige Geist entscheidet selber, wem er welche Gaben zuteilt. Wir dürfen zwar um bestimmte Gaben bitten oder „eifern“ (1.Korinther 14,1); aber es gibt keine Verheissung und kein Recht darauf, dass wir genau das erhalten, worum wir bitten. Der Heilige Geist teilt zu, „wie er will.“

Infolgedessen respektiert die neutestamentliche Gemeinde die Vielfalt der Gaben in ihren Mitgliedern; gibt jedem Gelegenheit, seine besonderen Gaben auszuüben; und jedes Glied anerkennt sein Bedürfnis, durch die anderen Glieder ergänzt zu werden.
Das ist etwas ganz anderes als das „pfarrherrliche“ System vieler heutiger Kirchen: dort wird erwartet, dass der „Pastor“ alle Gaben ausübt. So wird dem „Pastor“ eine Last auferlegt, die kein Mensch tragen kann. Die „gewöhnlichen Mitglieder“ dagegen erhalten in einem solchen System kaum Gelegenheit, ihre geistlichen Gaben auszuüben, und sie werden auch nicht dazu ermutigt. – Die Vielfalt der Gaben ist einer der Gründe, warum alle Gemeinden im Neuen Testament von einer Mehrzahl von Leitern geleitet wurden: sie benötigten die gegenseitige Ergänzung durch die verschiedenen Gaben, die jeder von ihnen besass.
Es wäre jedoch ebenso falsch zu verlangen, dass z.B. „alle Glieder prophetisch reden“ oder „alle Glieder Kranke heilen“ sollten. Gott gab „dem einen, Wunder zu tun“ (aber nicht allen); „einem anderen, prophetisches Reden“ (aber nicht allen); usw. (1.Korinther 12,8-10). Nicht alle Glieder sind Augen; nicht alle Glieder sind Füsse. Der Leib Christi kann nur dann funktionieren, wenn jedes Glied die Freiheit hat, genau seine spezifische Funktion zu erfüllen.

Die Gaben sind „geistlich“, d.h. übernatürlich. Sie sind nicht zu verwechseln mit den natürlichen Fähigkeiten des Menschen. Das ist offensichtlich bei den „aussergewöhnlichen“ Gaben wie prophetisches Reden oder Wundertaten. Es gibt andere geistliche Gaben, die natürlichen Fähigkeiten ähnlich sehen; z.B. Lehren, Verwalten/Organisieren, Barmherzigkeit. Aber auch in diesen Fällen, wenn es sich um eine echte geistliche Gabe handelt, dann wird diese eine übernatürliche Komponente enthalten, die den Charakter Gottes hervorhebt, wenn sie ausgeübt wird. Wer z.B. die geistliche Gabe des Lehrens hat, der ist nicht einfach jemand, der gut erklären kann. Er wird ausserdem so lehren, dass seine Zuhörer sich mit der Wahrheit Gottes konfrontiert sehen und sich gezwungen sehen, darauf zu antworten, sei es indem sie die Wahrheit, die sie erkannt haben, annehmen oder aber ablehnen. Ebenso ist jemand mit der geistlichen Gabe der Barmherzigkeit nicht einfach jemand, der den Armen hilft. Wenn diese Person ein Werk der Barmherzigkeit tut, dann tut sie es so, dass die Empfänger sich der Barmherzigkeit Gottes gegenübersehen und herausgefordert sind, auf seine Barmherzigkeit zu antworten.

Die neutestamentliche Gemeinde ermutigt jedes Glied, die Gaben auszuüben, die Gott ihm gegeben hat, zur gegenseitigen Auferbauung des Leibes Christi in Liebe, und in gegenseitiger Ergänzung. Sie konzentriert sich nicht auf den Dienst einiger weniger „Leiter“ oder „Gottesmänner“, sondern schafft Raum für die „Aktivität jedes seiner Glieder“ (Epheser 4,16). Sie betrachtet die „aussergewöhnlichen“ Gaben nicht als wichtiger als die übrigen, lehnt sie aber auch nicht ab.
Andererseits ist sich die neutestamentliche Gemeinde bewusst, dass der Teufel alles Gute, was Gott gibt, nachzuahmen versucht. Deshalb übt sie Unterscheidungsvermögen aus, „behält das Gute“ (1.Thessalonicher 5,21) und scheidet die Fälschungen aus.

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 4)

17. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Diese letzte Folge ist ein Anhang zu einer kleinen „mathematischen Entdeckungsreise“, die mit dieser Forschungsaufgabe. anfing. Ich empfehle, mit dem Lesen (und Forschen) dort zu beginnen, um besser zu verstehen, wovon wir hier sprechen.


Probleme, die unterschiedliche Gebiete der Mathematik miteinander verbinden, haben einen besonderen Reiz. Das vorliegende ist von dieser Art. Wir haben mit einer Geometrieaufgabe angefangen, mussten zusätzlich die Trigonometrie beiziehen, und landeten dann bei einer besonderen Abbildung, der Inversion, die man auch analytisch untersuchen kann. In diesem Zusammenhang habe ich in der letzten Folge eine Zusatzfrage gestellt (Frage 4), die in der ursprünglichen Problemstellung nicht vorkam: Beweise (analytisch), dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist. Hier nun einige Hinweise dazu, für jene, die es versucht haben und irgendwo auf dem Weg steckengeblieben sind, oder schon den Einstieg nicht fanden.

Stelle die Situation in einem Koordinatensystem dar. Wähle die praktischsten Werte für O und R. Untersuche die Gleichung eines Kreises, und die Gleichung der Inversion dieses Kreises. Kannst du beweisen, dass die Gleichung der Inversion ebenfalls einen Kreis beschreibt?

Du kannst es sogleich auf deine eigene Art versuchen, oder auch dem folgenden „Rezept“ folgen:

Ich habe O(0;0) und R=1 gewählt. Der Kreis, der das „Urbild“ ist, soll das Zentrum (p;0) haben und einen Radius r. Sein Zentrum liegt also auf der x-Achse.
Wir dürfen diese Einschränkungen vornehmen, ohne dass der Beweis an Allgemeingültigkeit verliert, denn die geometrischen Eigenschaften der Inversion bleiben bei Streckung und Drehung erhalten. Somit können alle anderen Situationen auf die hier gewählte zurückgeführt werden.
Wir definieren ausserdem, dass p und r nicht gleich sind. Denn sonst ginge die Kreislinie durch O, und das ist der Fall, den wir bereits mit den Fragen 1 bis 3 untersucht haben. (Man kann natürlich auch diesen Fall analytisch untersuchen.)

Die Gleichung unseres Kreises lautet also:

(xp)2 + y2 = r2

Wenn wir nun einen Punkt A(x; y) haben, der diese Gleichung erfüllt (also auf unserem Kreis liegt), und wir wenden die Inversion an, was sind dann die Koordinaten A'(x‘; y‘) des Abbilds von A?
Erinnere dich, dass A‘ auf der Verbindungsgeraden AO liegt; und ausserdem gilt: AO·A’O = R2.

Du erhältst dann je einen Ausdruck für x‘ und für y‘; aber diese Ausdrücke enthalten noch die „alten“ Koordinaten x und y. Es geht jetzt also darum, aus diesen beiden Gleichungen x und y zu eliminieren, damit wir die Gleichung des ganzen „invertierten Kreises“ erhalten. Diese Gleichung sollte als Variabeln nur noch x‘ und y‘ enthalten (sowie die Parameter p und r).
D.h. zusammen mit der obigen Gleichung des Urbilds haben wir nun ein System von drei Gleichungen. Wir sollten also daraus zwei Variabeln (x und y) eliminieren können und dann eine einzige Gleichung haben.

Die algebraischen Umformungen während dieses Vorgangs können u.U. sehr kompliziert werden – oder je nachdem auch relativ einfach, wenn du es geschickt anpackst. Hier noch ein paar Tips dazu:

– Sei dir im Klaren darüber, worauf wir hinauswollen. Wir wollen beweisen, dass das Abbild ein Kreis ist. Das ist dann der Fall, wenn wir die Gleichung in die folgende Form bringen können:

(x‚ – a)2 + (y‚ – b)2 = s2

… wobei die Ausdrücke von a, b und s Konstanten sein müssen, d.h. sie dürfen nicht x‘ oder y‘ enthalten.
Wir können übrigens bereits voraussagen, dass b=0. Warum?

– Sowohl die Gleichung des Urbilds, als auch die voraussichtliche Gleichung des Abbilds, sind quadratisch. Daher die Empfehlung: Wenn möglich unterwegs kein unnötiges Wurzelziehen (und auch kein unnötiges Ausmultiplizieren)!

– Statt z.B. nach x und/oder nach y aufzulösen und diese Lösungen einzusetzen, wird die Sache evtl. einfacher, wenn wir direkt gewisse zusammengesetzte Ausdrücke ersetzen, z.B. x2 + y2, oder x/x‘. (Auf diese Weise bin ich auf einen Lösungsweg gekommen, in dem tatsächlich keine einzige Quadratwurzel vorkommt!)

Genug der Hinweise. Ich darf noch verraten, dass die Vermutung richtig ist: das Abbild ist tatsächlich ein Kreis. Aber nun bist du dran!

Du könntest dann zusätzlich untersuchen, was es für Kreise gibt, die auf sich selber abgebildet werden. (Abgesehen vom trivialen Fall des Inversionskreises selber, also des Kreises um O mit Radius R.) Was für Bedingungen müssen solche Kreise erfüllen?

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

11. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Fragen 1 und 2)

5. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 1: Wenn du eine genaue Konstruktion angefertigt hast, dann dürftest du erkannt haben, dass der gesuchte geometrische Ort ein Kreis ist. Bei genauerer Beobachtung liegt die Vermutung nahe, dass die Kreislinie durch O geht. Und aus Symmetriegründen muss das Zentrum dieses Kreises auf der Senkrechten von O auf g liegen.

Diese Senkrechte ist als Symmetrieachse der ganzen Situation eine „privilegierte“ Linie. Bezeichnen wir mit A den Schnittpunkt dieser Senkrechten mit g, und mit M den Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von A aus. Falls der gesuchte g.O. tatsächlich, wie vermutet, ein Kreis ist, dann muss MO sein Durchmesser sein.

Wenn diese Vermutung richtig ist, dann ist eine Konsequenz davon, dass alle anderen Sehnen unserer Konstruktion durch M gehen müssen. Denn bei allen anderen Mittelpunkten Mi bildet OMi mit der betreffenden Sehne einen rechten Winkel. Wenn also Mi zu unserem geometrischen Ort gehört, dann ist dieser rechte Winkel einem Thaleskreis über MO einbeschrieben. Diese Beobachtung weist den Weg zu einem von mehreren möglichen Beweisen:

Führen wir die ganze Konstruktion „rückwärts“ aus:
– Konstruiere eine Sehne, die durch M geht.
– Konstruiere Tangenten in den Endpunkten der neuen Sehne. Bezeichnen wir mit B den Schnittpunkt dieser Tangenten.
– Verbinden wir OB; damit erhalten wir den Mittelpunkt M1 der neuen Sehne.
– Bezeichnen wir mit α den halben Zentrumswinkel über der ersten Sehne, und mit β den halben Zentrumswinkel über der neuen Sehne.

Wenn wir nun beweisen können, dass das Dreieck AOB rechtwinklig ist bei A, dann ist der Beweis vollständig: Dann ist nämlich B ein Punkt von g; und wir haben ja den Punkt M1 so konstruiert, dass er auf einem Kreis mit MO als Durchmesser liegt. Also ist dann dieser Kreis effektiv der g.O. aller Punkte Mi.

Vorderhand der naheliegendste Weg zur Vervollständigung dieses Beweises besteht in der Trigonometrie: Versuche die Längen der verschiedenen vorkommenden Stücke auszudrücken mit Hilfe des Kreisradius R, und trigonometrischer Funktionen der Winkel α bzw. β. Benütze die Dreiecke in der Figur; vorzugsweise die rechtwinkligen. Z.B. können wir mit Hilfe des Dreiecks OTM sehen, dass MT = R·sin α und MO = R·cos α. Noch unbekannte Winkel wirst du, wo möglich, durch α und β ausdrücken müssen. Die Einzelheiten solltest du nun selber vervollständigen können; denn wenn du dich an Probleme dieser Schwierigkeitsstufe wagst, dann ist anzunehmen, dass du diese Themen beherrschst.

Oder wer weiss, vielleicht findest du einen völlig andersartigen Beweis?

Zu Frage 2: Bezeichnen wir mit S1, S2 die Schnittpunkte von g mit dem Kreis. Diese sind die Grenzfälle, wo die beiden Tangenten an den Kreis in einer einzigen zusammenfallen. Die entsprechende Sehne wird dann zu einem Punkt, und diese Punkte S1, S2 sind somit die „Mittelpunkte“ der Sehnen. Also gehören diese Punkte selber zum gesuchten g.O; und wir können vermuten, dass dieser in einem Kreis besteht, der durch O, S1 und S2 geht.

Für die Punkte von g ausserhalb des Kreises gilt dieselbe Beziehung wie bei Frage 1. Wir werden einen Beweis führen können mit ähnlichen Überlegungen wie dort, sobald wir die Bedeutung der Punkte von g innerhalb des Kreises verstanden haben.
Wenn wir einige Beispiele konstruieren, werden wir feststellen, dass hier die umgekehrte Beziehung gilt: Wählen wir einen Punkt B auf g innerhalb des Kreises. Verlängern wir OB bis zum Schnittpunkt M1 auf dem g.O. Nun ist B der Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von M1 aus an den Kreis. Und wenn wir die Senkrechte von O auf g wählen, dann sind diese Berührungspunkte S1 und S2.

Nun solltest du selber den Beweis für diesen Fall vervollständigen können.

Retraite ins Land der Mathematik

29. Mai 2019

Lange habe ich mich mit dem Thema „Autoritarismus in ‚christlichen‘ Kirchen“ beschäftigt. Länger als mir lieb war. Leider ist es, wie mir sogar ein freikirchlicher Pastor bestätigte, nötig, sich mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aber es hat meinem persönlichen Wohlbefinden ziemlich zugesetzt, von so vielen hässlichen Dingen Kenntnis nehmen zu müssen, die in „frommen“ Kreisen vor sich gehen.

Deshalb befinde ich mich gegenwärtig in einer Art persönlichen Retraite. Neben der persönlichen Gemeinschaft mit Gott, habe ich festgestellt, dass auch das „Land der Mathematik“ ein guter Rückzugsort ist. So verbringe ich einen Teil meiner Zeit damit, mathematische Probleme auszutüfteln, und an meinen Büchern zum aktiven Mathematiklernen weiterzuarbeiten.

Die Mathematik ist in gewisser Hinsicht ein Abbild oder Gleichnis von Gottes Reich. Die Zahlen folgen treu ihren Gesetzen. Sie haben nie gelernt zu lügen oder zu betrügen, oder übereinander herrschen zu wollen. In mathematischen Zusammenhängen zu forschen, ist fast wie ein Gebiet der Schöpfung zu betreten, das vom Sündenfall noch unberührt geblieben ist. (Allerdings ist dieses „Land“ von keinem Menschen bewohnt, sondern nur von abstrakten Geschöpfen.)

Die Mathematik ist verlässlich. Ihre Gesetze sind keinem zeitbedingten Wandel unterworfen. Sie brauchen sich nicht um „politische Korrektheit“ zu kümmern. Allen Relativisten zum Trotz, ist die Mathematik eine Wissenschaft von unveränderlichen, universellen Wahrheiten.

Was die Menschen betrifft, die die Mathematik erforschen oder anwenden, so mögen diese sündhaft sein und die Mathematik zu sündhaften Zwecken missbrauchen. Aber damit vermögen sie nicht die Mathematik an sich mit ihrer Sündhaftigkeit anzustecken.

In der Mathematik kann es keine Willkürherrschaft geben. Niemand, auch nicht die mächtigste Regierung, kann ein mathematisches Gesetz nach Belieben abändern, in Kraft setzen oder aufheben. Niemand kann einem anderen vorschreiben, wie er die Gesetze der Mathematik anzuwenden hat. (Auch wenn das in manchen Bildungseinrichtungen immer wieder versucht wird – aber das Ergebnis ist dann nicht echte Mathematik, sondern Bürokratie.)
Wenn auch manche mathematischen Gesetze unter dem Namen einer bestimmten Persönlichkeit bekannt sind, so kann doch diese Persönlichkeit keinen Eigentumsanspruch darauf erheben. Sie hat das Gesetz nur entdeckt, aber nicht geschaffen.

In der Mathematik gibt es deshalb keinen Raum für menschliche Herrschaft, weder in der Form von Demokratie noch in der Form von Monarchie und Diktatur. Mathematische Gesetze unterliegen weder Mehrheitsbeschlüssen, noch Volksabstimmungen, noch Regierungsdiktaten, noch den Doktrinen von Päpsten und anderen religiösen Machthabern.
In der Mathematik erfüllt sich daher in gewisser Weise der Ausspruch von Jesus: „Einer ist euer Meister; ihr aber seid alle Brüder.“ (Matth.23,8) Nur einer hat je mathematische Gesetze geschaffen und „in Kraft gesetzt“: Gott selber.
Es gibt zwar Personen, die wegen ihrer hervorragenden Kenntnisse der Mathematik als „Autoritäten“ auf diesem Gebiet gelten. Aber diese Art von Autorität ist nicht im Sinne von „herrschen“ oder „Macht ausüben“ zu verstehen, sondern im Sinn einer besonderen Befähigung, anderen ihr Verständnis der mathematischen Gesetze zu vermitteln. Und das sollte eher als eine „Dienstleistung“ angesehen werden.

So ist es auch in der Gemeinschaft der Nachfolger Jesu, wie sie ursprünglich von ihm selber vorgezeichnet wurde, nicht vorgesehen, dass einer über den andern „herrsche“. Es mag „Lehrer“ geben in dem Sinne, dass einige ein besseres Verständnis von Gottes Wesen und seinen Gesetzen haben, und dieses Verständnis andern vermitteln können. Aber auch diese hat Jesus nie beauftragt, anderen Vorschriften zu machen, ihnen ihre besondere Auslegung aufzuzwingen, oder gar eigene Gesetze aufzustellen. Im Gegenteil, sie sollen „Diener“ sein (Matth. 23,11; 20,25-27). Wie die Wahrheiten der Mathematik, so können auch die Wahrheiten Gottes niemandem aufgezwungen, sondern höchstens erklärt werden.

Es braucht auch niemand eine Genehmigung, ein Diplom, oder eine Mitgliedschaft in einer akademischen Vereinigung, um Mathematik treiben zu dürfen. Die Mathematik ist Allgemeingut, „public domain“. Nur eines ist notwendig: die Bereitschaft, die Gesetze der Mathematik selber als verbindlich anzuerkennen und zu befolgen.
In derselben Weise hat auch jeder Zutritt zu Gott durch Jesus Christus, der bereit ist, ihm zu folgen. Man braucht dazu weder einem irdischen Leiter seine Loyalität zu erklären, noch in der Tradition einer bestimmten kirchlichen Richtung geschult zu sein, noch Mitglied einer religiösen Vereinigung oder Kirche zu werden.

Noch hätte ich Stoff für viele Artikel zum Thema „Autoritarismus“. Aber diese müssen noch einige Zeit warten. Interessierten Lesern kann ich empfehlen, in der Zwischenzeit im Internet nach „geistlicher Missbrauch“ zu suchen. Auch interessant ist eine Suche nach „Robert Lifton“ und „Mind Control“. Liftons Kriterien beruhen zwar nicht auf der Bibel, sondern auf der Psychologie. Sie zeichnen aber ein deutliches Porträt jener Gruppen und Leiter, die die Menschen „hinter sich selbst her“ ziehen wollen; was nach Apg.20,30 ein klares Kennzeichen falscher Geschwister und falscher Leiter ist. Es mag hilfreich sein, Gruppen und Organisationen nach diesen Kriterien zu beurteilen – nicht nur jene Gruppen, die im Verdacht der Sektiererei stehen, sondern auch jene, die als „Mainstream-Evangelikale“ gelten, oder sogar als „liberal“. Ja, auch die universitäre Bibelkritik kommt im Licht von Liftons Kriterien nicht sonderlich gut weg.

Genug damit; ich kehre zurück in meine Retraite.

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Ein mysteriöser geometrischer Ort

19. Mai 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum O, und eine Gerade g ausserhalb des Kreises. Von einem Punkt auf g aus konstruiert man die Tangenten an den Kreis, und verbindet deren Berührungspunkte T1 und T2 mit einer Geraden. Wir bezeichnen mit M den Mittelpunkt zwischen T1 und T2.

Frage 1: Wenn diese Konstruktion von allen Punkten von g aus ausgeführt wird, was ist dann der geometrische Ort aller Punkte M? – Konstruiere einige Beispiele, beobachte, und stelle Vermutungen auf. Dann überprüfe die wahrscheinlichste(n) Vermutung(en), und versuche sie zu beweisen.

Frage 2: Wie ändern sich die Bedingungen, wenn g den Kreis schneidet? Und kannst du für diesen Fall eine entsprechende geometrische Interpretation finden für jene Punkte von g, die sich innerhalb des Kreises befinden?

Frage 3: Bei dieser Konstruktion entspricht jeder Punkt von g genau einem Punkt auf dem mysteriösen geometrischen Ort. Es handelt sich also offenbar um eine Abbildung von g. Kannst du diese Abbildung genauer definieren bzw. beschreiben? Was für Eigenschaften dieser Abbildung gehen direkt aus den Antworten auf die Fragen 1 und 2 hervor? Untersuche weitere Eigenschaften, beschreibe und begründe sie.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische und persönliche Anmerkungen:

Forschungsaufgaben sind eine von mehreren Methoden, das Mathematiklernen „aktiver“ zu gestalten. Andere solche Methoden beruhen z.B. auf dem Hantieren mit konkreten Materialien wie Cuisenaire-Stäbchen, logischen Blöcken, usw, welche es den Schülern ermöglichen, mathematische Gesetzmässigkeiten mit den eigenen Händen zu „be-greifen“. Auf den höheren Stufen nehmen die Einsatzmöglichkeiten für solche Materialien ab, da die Mathematik zunehmend abstrakter wird. Dafür nimmt die Fähigkeit der Schüler zu, neue Themen anhand von wenigen Leitfragen selbständig zu erarbeiten und zu erforschen.

Sachverhalte, die man selber erforscht und entdeckt hat, vergisst man nicht so schnell wieder! Das eigene Forschen erfordert zwar mehr Zeit und Anstrengung, als wenn ein Lehrer einfach ein paar Formeln an die Tafel schreibt. Dafür ist die Lernerfahrung unvergleichlich viel dauerhafter. Insbesondere dann, wenn die Schüler nicht einfach eine bestimmte Aufgabe als „Pflichtübung“ vorgesetzt bekommen, sondern aus mehreren Aufgaben und Themen eine auswählen dürfen, die ihrem Können und Interesse entspricht.

Eine wichtige Erfahrung dabei ist, dass mathematische Gesetze und Formeln nicht willkürliche „Inhalte“ sind, die womöglich nur von Lehrern erfunden wurden, um Schüler zu schikanieren. Nein, in der Mathematik hat alles seine Begründung. Jede Formel, jedes Gesetz kann logisch erklärt werden. Auf (fast) jedes „Warum?“ gibt es eine Antwort. Und die Antwort ist umso einsichtiger, je mehr man selber dazu beigetragen hat, sie zu finden. Mehrere meiner Nachhilfeschüler haben nach der Beschäftigung mit einer Forschungsaufgabe mathematische Gesetzmässigkeiten verstanden, die sie zuvor trotz aller Erklärungen ihrer Lehrer nicht verstehen konnten. Meine eigenen Kinder haben sich mit solchen und ähnlichen Methoden angewöhnt, sich die Dinge selber zu erklären, was ihnen auch jetzt im Universitätsstudium zugute kommt.

Es geht also darum, mathematische Themen mit einem gewissen „Mysterium“ zu umgeben und die Neugier der Schüler zu wecken, statt ihnen fertige Antworten vorzusetzen auf Fragen, die sie gar nicht gestellt haben.Wenn wir zudem darauf achten, dass die Schüler an Aufgaben arbeiten dürfen, deren Schwierigkeitsgrad sie nicht überfordert, dann wird gleichzeitig ihr Selbstvertrauen gestärkt: „Mathematik ist etwas, was ich selber entdecken kann. Ich bin der Mathematik nicht hilflos ausgeliefert. Ich kann eigene Fragen stellen und Probleme erfinden, und sie lösen.“
Natürlich werden ab und zu weitere Hilfestellungen auf dem Weg erforderlich sein. Auch für die vorliegende Aufgabe werde ich später solche geben.

Frage 3 ist bewusst offen formuliert. In der Mathematik soll es Raum geben für eigene Kreativität, und für eigene Erweiterungen eines Themas, über die Schulbuchaufgaben hinaus.

Bei der Erarbeitung der hier gestellten Aufgabe bin ich tatsächlich selber den Weg eines Schülers gegangen, der zuerst vor einem Mysterium steht und dann schrittweise anfängt, es zu verstehen. Ich war eigentlich daran, viel einfachere Aufgaben aufzustellen für Schüler, die eben erst anfangen, die Eigenschaften von Kreisen, Sehnen und Tangenten zu lernen. Dabei stellte ich mir selber aus Neugier die obige Frage 1. Statt in einem Buch oder im Internet nach der Antwort zu suchen, begann ich selber zu forschen, zu zeichnen, zu konstruieren, zu rechnen. Zuerst geriet ich in verschiedene Sackgassen und musste neue Alternativen ausprobieren. Nach zwei bis drei Stunden kam ich auf einen schlüssigen und nicht allzu komplizierten Beweis, und ging befriedigt schlafen.
Am nächsten Morgen machte ich mich daran, das Ergebnis übersichtlich zusammenzufassen, und über einige zusätzliche Fragestellungen nachzudenken. Dabei kam mir schlagartig die Erkenntnis, dass dieses Problem mit einem anderen, auf den ersten Blick völlig andersartigen Thema zusammenhängt; und damit ergab sich plötzlich eine ganz neue Perspektive (Frage 3). Das war so eine Art mehrfach potenziertes „Aha-Erlebnis“; so ähnlich wie sich Archimedes in der Badewanne gefühlt haben muss, als er plötzlich das Gesetz des Auftriebs verstand. Der Mathematiker Keith Devlin von der Universität Stanford schrieb einmal sinngemäss über dieses Hochgefühl einer mathematischen Entdeckung: „Das ist besser als jedes von Drogen erzeugte ‚High‘, es kostet nichts, und hat keine schädlichen Nebenwirkungen. Eine Motivation für mich, als Mathematiker zu arbeiten, ist der Wunsch, dieses Hochgefühl immer und immer wieder erleben zu dürfen.“

Hätte ich zuerst Literatur zum Thema studiert, so hätte ich wahrscheinlich die Antworten schneller gefunden. Aber mein Verständnis davon wäre oberflächlicher gewesen. Und ich hätte das aufregende Erlebnis verpasst, eine eigene Entdeckung zu machen.

Ich wünsche mir, dass schon Schüler diese Entdeckerfreude erleben dürfen und dadurch zum Mathematiklernen motiviert werden. Die hier vorgestellte Aufgabe erfordert ein hohes Mass an Vorkenntnissen; aber auch zu einfacheren Themen lassen sich interessante Forschungsthemen finden.