Archive for September 2009

Mathematik im Alltag

19. September 2009

Die Mathematik wird manchmal als unpraktisch und lebensfremd empfunden. Falls man nicht gerade Programmierer, Ingenieur, Architekt, Buchhalter, Mathematiklehrer oder etwas ähnliches ist…

Ich gebe zu, auch die Mathematikstunden mit unseren Kindern bestehen oft aus „Trockenübungen“: Schriftliches Multiplizieren oder Dividieren üben, bis es ohne Fehler geht. Die Gesetzmässigkeiten des Bruchrechnens lernen, bis man sie verstanden hat. Usw.

Da unsere „Schule“ eng mit unserem Alltag verbunden ist, gibt es dennoch immer wieder Gelegenheiten, mathematische Prinzipien anzuwenden. Und da wir keinen starren Lehrplan haben, müssen wir diesen Alltag nicht zwangshaft dem Lehrplan anpassen, sondern können den Lehrplan den Problemen anpassen, die der Alltag uns stellt. Manchmal erfordern diese Probleme die Kenntnis mathematischer Prinzipien, die unseren Kindern neu sind. Dann führen wir diese eben schnell ein – solange sie nicht allzu „hochstehend“ sind.

Hier ein paar Beispiele:

Die täglichen Einkäufe bieten immer wieder Gelegenheit, mit Geld zu rechnen. Schon in frühem Alter lernten unsere Kinder, im Alltag und nicht aus dem Mathematikbuch, Preise zusammenzuzählen und das Wechselgeld auszurechnen. Dass zehn Münzen zu zehn Centavos gleich viel wert sind wie eine Münze von einem Sol (die peruanische Währung), erkannten sie bereits, als sie eigentlich noch gar nicht wissen konnten, wieviel „hundert“ ist.

Jetzt, wo sie grösser sind, können wir ihnen auch schwierigere Aufgaben stellen. Zum Beispiel:
In diesem Laden gibt es drei Eier für einen Sol. Im anderen Laden gibt es ein Kilo (16 Eier) für fünf Soles. Wo sind die Eier günstiger?

(Wenn ich das so schreibe, sieht es natürlich wieder aus wie eine Schulbuchaufgabe. Aber es ist eben eine ganz andere Lernerfahrung, das auf einem tatsächlichen Einkaufsgang zu sehen und auszurechnen und die Eier dann selber zu kaufen und nach Hause zu tragen! Während die Kinder aufpassen, dass die Eier nicht zerbrechen, erinnern sie sich auf dem Weg an die Rechnung…)

Auch unsere Hausarbeiten bieten Gelegenheit zu ähnlichen Rechnungen. Z.B. backen wir manchmal selber Brot, und da war die Frage naheliegend, ob dieses Brot jetzt auch günstiger ist als das vom Laden, und ob wir vielleicht sogar damit ein Geschäft machen könnten. Also zählten wir die Preise aller Zutaten zusammen, dazu das Gas, das wir zum Backen brauchen, und rechneten es auf das Gewicht der gekauften Brote um. Ergebnis: es wäre kein lohnendes Geschäft – aber die selbstgemachten Brote sind schmackhafter!

Dann dasselbe mit Biskuits: hier könnten wir tatsächlich einen guten Gewinn machen, wenn wir es fertigbrächten, dass sie beim Backen nicht anbrennen…

Wenn wir neue Kochrezepte ausprobieren, müssen wir sie manchmal proportional umrechnen: Dieses Rezept ist für 6 Personen, aber wir sind nur 4 – wie viel müssen wir also nehmen von den Zutaten?

Ein anderes Thema: Strom- und Wasserrechnung. Manchmal schicken wir die Kinder zur Bank, um diese Rechnungen zu bezahlen. So haben sie also schon eine Ahnung, wieviel Geld da ungefähr weggeht. Einmal haben wir einige dieser Rechnungen analysiert und unseren Verbrauch zuhause untersucht:

Wieviel kostet ein Kubikmeter Wasser? Wieviele Badewannen voll wäre das?
Wieviel Wasser pro Tag verbraucht die Klospülung? Was kostet uns das?
Wieviel sparen wir, wenn wir Regenwasser sammeln, um den Garten zu bewässern, statt dazu das Wasser aus dem Hahn zu brauchen?

Wieviel kostet eine Kilowattstunde?
Wie lange kann man den Kühlschrank, das Licht, den Computer, das Bügeleisen (usw.) eingeschaltet lassen, bis eine Kilowattstunde verbraucht ist?
Wieviel kostet es, sich 10 Minuten lang zu duschen, wenn das Wasser elektrisch erhitzt wird? (Leistung 5400 Watt, das ist ganz schön viel!)
Wieviel sparen wir mit unserem einfachen, hausgemachten Sonnenkollektor (ein 100 Meter langer schwarzer Schlauch auf dem Wellblechdach), der uns das heisse Wasser zum Duschen gratis liefert?
(Eine nächste Aufgabe wäre auszurechnen, wieviel Wasser dieser Schlauch fasst. Werden wir demnächst tun.)

Einmal betrachteten unsere Kinder interessiert einen Plan eines Hauses, und wir beschlossen, einen Plan unseres eigenen Hauses zu zeichnen. Wir massen alle Zimmer aus, rechneten die Masse im Massstab 1:50 um und zeichneten den Plan. Josias, der schon etwas besser rechnen konnte, rechnete ausserdem die Fläche jedes Zimmers aus. Mit Längen- und Flächenmassen haben unsere Kinder seither kaum noch Probleme.

Später konnten die Kinder diese Fertigkeiten für ein etwas anspruchsvolleres Projekt wieder gebrauchen: sie konstruierten einen Modellbogen, um ein Modell eines Hauses zu basteln. Zuerst ein einfaches rechteckiges, und dann eines, das um die Ecke gebaut war. Ausser den erforderlichen Rechnungen und geometrischen Konstruktionen mussten sie hierzu auch noch räumliches Vorstellungsvermögen entwickeln.

Später entwarfen die Kinder selbständig ihre eigenen Modelle (Autos, Flugzeuge, usw.)

Einige von unseren Kindern selbst entworfene Modelle. - Angewandte Geometrie!

Einige von unseren Kindern selbst entworfene Modelle. - Angewandte Geometrie!

Manchmal stellen unsere Kinder von sich aus Fragen, die zur Beantwortung eine Rechnung erfordern. Dann lassen wir sie selber ausrechnen, was sie schon können, und helfen ihnen beim übrigen. Zum Beispiel: „Wieviel Papier ist eine Tonne?“ – Auf der Papierpackung stand „75 g/m2„. Da musste ich zuerst die DIN-Papierformate erklären (die auch hier in Perú üblich sind): DIN A4 bedeutet, dass ein Quadratmeter Papier viermal halbiert wird, d.h wir haben dann 1/24 = 1/16 m2. Jetzt wissen wir, dass 16 Blatt A4 75 Gramm wiegen. Das rechnen wir auf eine Tonne um…
(Randbemerkung: Eine Möglichkeit, die Potenzen einzuführen. Meine Taschenagenda ist DIN-A7, was für ein Bruchteil von einem Quadratmeter ist das?)

Gerade kürzlich stellte Josías eine interessante Frage: „Wenn die heutigen Computer noch mit Lochstreifen funktionierten, wie lang wäre dann ein Lochstreifen, auf dem das Betriebssystem ‚Windows‘ gespeichert wäre?“ – Der Leser möge es selber ausrechnen. Wir fanden jedenfalls, dass CDs weitaus praktischer sind: würde man den Lochstreifen zu einer einzigen Rolle aufwickeln, dann würde er unseren ganzen Garten ausfüllen.

Beispiele wie die genannten mögen unwichtig erscheinen – zu alltäglich? oder zu weit hergeholt? Aber wenn ich unsere Kinder mit gleichaltrigen Nachbarskindern vergleiche, die manchmal zu uns zur Aufgabenhilfe kommen, dann sehe ich einige bemerkenswerte Unterschiede, die wahrscheinlich gerade damit zu tun haben, dass unsere Mathematik so „alltäglich“ ist:

Andere Kinder können ebensogut wie unsere (oder sogar besser) mit Metern und Zentimetern rechnen. Sie haben aber grösste Schwierigkeiten, mit den Händen zu zeigen, wie lang ungefähr ein Meter ist, oder die Grösse eines Gegenstandes zu schätzen. – D.h. sie können zwar mit den Massen rechnen, verbinden aber keine konkrete Vorstellung damit.

Andere Kinder können ebensogut wie unsere (oder sogar besser) schriftlich zusammenzählen, wegzählen, multiplizieren und teilen. Sie haben aber grösste Schwierigkeiten, bei einer Aufgabe wie der folgenden sagen zu können, welche dieser Rechenoperationen anzuwenden ist:
„In einem Korb sind 32 Früchte, Äpfel und Orangen. Im Korb sind 18 Äpfel; wie viele Orangen sind im Korb?“
– D.h. sie können „technisch richtig“ rechnen; aber sie verstehen nur wenig davon, was die Rechenoperationen in einer konkreten Situation bedeuten.

Diese Beobachtung bestätigt, was einmal jemand gesagt hat: Zuhause unterrichtete Kinder haben die Möglichkeit, wirkliche Erfahrungen mit der wirklichen Welt zu machen. Die Schule hingegen kann ihnen nur ein „zwedimensionales Abbild“ der dreidimensionalen Welt bieten.

 

PS: Nicht zuletzt hilft die Mathematik unseren Kindern auch, einige „wissenschaftliche Witze“ zu verstehen, die sie einmal im Internet fanden. Zum Beispiel:

1’000’000’000’000 Mikrophone = 1 Megaphon

5 Gramm = 1 Pentagramm

Wie fängt man geometrisch einen Löwen?
– Zuerst stellt man einen Käfig in die Steppe, wo der Löwe lebt. Dann fasst man die Steppe als Ebene auf und projiziert sie auf eine Gerade. Dann projiziert man diese Gerade auf einen Punkt im Innern des Käfigs, dann ist der Löwe mit Sicherheit im Käfig.

Warum verwechseln die Programmierer Halloween mit Weihnachten?
– Weil 31 Okt. = 25 Dez. (31 Oktal = 25 Dezimal)

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Wer oder was ist ein Christ? (Teil 3)

6. September 2009

Aller guten Dinge sind drei … Ich habe bereits zwei Artikel zu diesem Thema geschrieben, aber zur Abrundung lasse ich hier noch einen dritten Teil folgen. Im ersten Teil habe ich einige landläufige Definitionen des Begriffs „Christ“ betrachtet. Im zweiten Teil habe ich vom Neuen Testament her untersucht, was ein Christ im biblischen Sinn ist. Hier nochmals kurz zusammengefasst die wichtigsten Punkte:

– Ein Christ ist ein Jünger (Nachfolger) von Jesus Christus.
– Diese Nachfolge, unter den von Jesus selber aufgestellten Bedingungen, ist „menschenunmöglich“. Christ werden kann man deshalb nur durch ein übernatürliches Werk Gottes, die Wiedergeburt.
– Die Wiedergeburt ist keine menschliche, äussere „Bekehrungszeremonie“. Von der menschlichen Seite her ist sie normalerweise begleitet von einer tiefen Überführung von Sünde, und von Umkehr und Glauben; das alles ist bei einer echten Wiedergeburt von Gottes Geist gewirkt und nicht menschlich „gemacht“.
– Ein Christ ist ein „neuer Mensch“, der jetzt Jesus nachfolgen kann, weil er vom Heiligen Geist erneuert wurde.

Es bleibt jetzt noch zu tun, was Paulus uns sagt:

„Prüft euch selbst, ob ihr im Glauben seid; stellt euch selbst auf die Probe. Oder erkennt ihr euch selber nicht, dass Jesus Christus in euch ist? – es sei denn, ihr seid verworfen.“
(2. Korinther 13,5)

Wir sollen also unser Christsein nicht als „gegeben“ ansehen, sondern uns immer wieder überprüfen. (Im griechischen Original steht hier das kontinuierliche Präsens, das wörtlich bedeutet: „Prüft euch ständig, immer wieder„.)

Das Neue Testament gibt uns verschiedene Kriterien, nach denen wir überprüfen können, ob tatsächlich „Jesus Christus in uns“ ist. Man beachte dabei, dass Paulus sagt: „Prüft euch selbst“, aber nicht „Prüft einander“. Ich kann niemandem ins Herz sehen. Ich kann von keinem Mitmenschen mit Bestimmtheit sagen, ob er ein Christ ist (im biblischen Sinn) oder nicht. Ich kann vielleicht seine Lehranschauungen oder seine Lebensführung „prüfen“; aber wie wir im 1.Teil gesehen haben, sind das keine schlüssigen Beweise für sein Christsein (im biblischen Sinn). Ich möchte also die folgenden Kriterien nicht in dem Sinn verstanden wissen, dass wir sie anderen Menschen überstülpen, sondern dass wir sie zur Selbstprüfung anwenden können.

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Von den Gletschern zum Urwald – Bilder aus unserer Umgebung (2)

1. September 2009

Perú ist eines der vielfältigsten Länder der Erde. Man findet hier fast alle existierenden Klimazonen: von tropischer Hitze bis zum ewigen Schnee, von trockener Wüste an der Küste bis zum feuchtheissen Nebel- und Regenwald. Die folgenden Bilder sollen einen kleinen Eindruck von dieser Vielfalt geben… (more…)