Ziffern-Kryptogramme (2. Folge)

In einem früheren Artikel habe ich bereits die Ziffern-Kryptogramme als Denktraining beschrieben. Hier folgen nun einige weitere dieser Denksportaufgaben, wiederum von ganz leicht bis ganz schwierig.

Zuerst als Erinnerung nochmals die „Spielregeln“:

1. Innerhalb eines Kryptogrammes – auch wenn es mehrere Rechnungen enthält – bedeuten immer gleiche Buchstaben (bzw. Symbole) gleiche Ziffern; unterschiedliche Buchstaben (bzw. Symbole) bedeuten unterschiedliche Ziffern. Die Aufgabe besteht darin, herauszufinden, welcher Buchstabe (bzw. Symbol) welche Ziffer bedeutet, so dass alle Rechnungen stimmen.

2. Keine (ganze) Zahl beginnt mit einer Null.

3. Von Kryptogramm zu Kryptogramm kann die Bedeutung der Buchstaben (bzw. Symbole) ändern. Wenn also z.B. das Kryptogramm Nr.2 den Buchstaben A enthält und das Kryptogramm Nr.4 enthält auch den Buchstaben A, dann bedeutet dieser Buchstabe nicht unbedingt in beiden Kryptogrammen dasselbe. (In anderen Worten: Jedes Kryptogramm ist eine eigene, von den anderen unabhängige Aufgabe. Wenn aber ein einziges Kryptogramm mehrere Rechnungen enthält, dann gehören diese zusammen.)

4. Kryptogramme sind keine Algebra! „AB“ bedeutet also nicht „A multipliziert mit B“, sondern eine zweistellige Zahl mit den Ziffern A und B.

5. Für echte Tüftler ist es Ehrensache, die Rechnungen von Hand auszurechnen. Also keine Taschenrechner, Computer usw.!


Einfache Kryptogramme (Primarschulstufe)


Mittelschwere Kryptogramme

Diese sind für die etwas fortgeschritteneren und intelligenteren Schüler – und für alle, die Spass am Knobeln haben.

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn … Ja, ich weiss, ich wiederhole mich)

Lösungshinweis

Lösungshinweis


Schwierige Kryptogramme

… für Genies, Hobbymathematiker, Lehrer, und andere seltsame Geschöpfe …

Lösungshinweis (brauchen Genies etc. einen Lösungshinweis?)

Das kommt Dir spanisch vor? Ist es auch. (Schliesslich sprechen meine Schüler Spanisch.) „Sabes sumar“ bedeutet „Kannst du zusammenzählen?“, und „Numero“ bedeutet „Zahl“. Also: Wenn Du zusammenzählen kannst, kommst Du auf die richtige Zahl. – Es war mir zu aufwendig, eine passende deutsche Entsprechung zu suchen; vielleicht gibt es gar keine.
Dies ist übrigens eine etwas kniffligere Variante des wohl „klassischsten“ Ziffern-Kryptogramms, das in vielen Denksportbüchern zu finden ist:

  S E N D
+ M O R E
M O N E Y

Die Geschichte dazu besagt, dass ein junger Mann in eine andere Stadt zog, um dort zu studieren, während sein Vater für seinen Lebensunterhalt aufkam. Da der Student aber ein verschwenderisches Leben führte, ging im bald das Geld aus. Deshalb sandte er das obige Telegramm an seinen Vater („Send more money“ = „Sende mehr Geld“), um ihm gleichzeitig anzudeuten, welchen Geldbetrag er sich wünschte. Ob der Vater die mathematischen Fähigkeiten des Sohnes auch mit diesem Betrag honorierte, ist nicht überliefert.

Lösungshinweis

Da dies in dieser Serie das erste Kryptogramm mit einem Dezimalbruch ist, zwei klärende Bemerkungen dazu:
1. Der Dezimalbruch ist periodisch, d.h. PERIOD wiederholt sich unendlich.
2. Gemäss Spielregel 2 beginnt keine GANZE Zahl mit Null. Das gilt aber nicht für Dezimalbrüche. D.h. im vorliegenden Beispiel könnte D auch Null sein.

Lösungshinweis

Fortsetzung folgt…


 


Lösungshinweise:

Diese Hinweise sind gedacht als Hilfe für jene, die nicht von selber auf die Idee kommen. Beim Lesen wirst Du sicher denken: Hätte ich eigentlich auch selber merken können! – Die fertigen Lösungen werde ich jedoch nicht verraten, um den Knobelspass nicht zu verderben.

Hinweis zum Kryptogramm B-5:
Braucht es hierfür wirklich einen Lösungshinweis? – Mache eine Tabelle mit den Kubikzahlen aller einstelligen Zahlen, dann kannst Du die Lösung sofort aus der Tabelle ablesen.

Hinweis zum Kryptogramm B-6:
Sieh die Summe der hintersten Ziffern an (Einerstelle):  = . Welche Ziffer muss dann  sein?
– Jetzt sieh die Summe der Hunderterstelle an:  = . Wie ist das möglich? Doch nur, wenn sich von der vorherigen Stelle (Zehner) her ein Übertrag ergibt. Damit weisst Du aber auch, welche Ziffer  ist. Damit ist schon fast alles gelöst!

Hinweis zum Kryptogramm B-7:
Hier kannst Du ähnliche Überlegungen anwenden wie bei der vorherigen Aufgabe. Beachte, dass Du je zweimal dieselbe Summe hast. Dabei ergibt  +  beide Male , während  einmal  und einmal  ergibt. Das bedeutet doch, dass die Summe von  keinen Übertrag ergibt (also kleiner als 10 ist), während die Summe von  grösser oder gleich 10 ist. Damit solltest Du die Bedeutung der Zeichen  und  herausfinden können. Der Rest ist dann kein Problem mehr.

Hinweis zum Kryptogramm B-8:
Auch dieses ist ganz ähnlich wie die beiden vorherigen. Hier haben wir die Summen L+L, E+E, R+R. Welche dieser Summen sind offensichtlich grösser oder gleich 10, und welche sind kleiner? Welche Buchstaben müssen geraden Ziffern entsprechen, welche ungeraden? Wenn Du diese Überlegungen folgerichtig anwendest, kommst Du zum Ziel.

Hinweis zum Kryptogramm C-4:
Beobachten wir einmal genau: Wenn wir ABC + ABC zusammenzählen, erhalten wir natürlich das Doppelte von ABC. Genau diese Zahl wird aber in der zweiten Zeile nochmals zu ABC dazugezählt. Somit ist GHI das … jawohl, das Dreifache von ABC. Ausserdem haben wir hier neun verschiedene Ziffern. D.h. die einzige zusätzliche Bedingung ist, dass ABC, das Doppelte von ABC, und das Dreifache von ABC aus lauter verschiedenen Ziffern bestehen.
Jetzt kannst Du auf zwei Arten weiterfahren: mit Ausdauer oder mit Überlegung.
Mit Ausdauer: Alle Möglichkeiten für ABC durchspielen (also von 100 bis 999) und jeweils das Doppelte und das Dreifache ausrechnen. So kommst Du mit Sicherheit auf die Lösung(en), wenn Du nicht über der Aufgabe einschläfst.
Mit Überlegung: Sehr viele dieser 900 Möglichkeiten kannst Du zum vornherein ausschliessen. Z.B. wird von einem bestimmten Betrag an (welchem?) das Dreifache von ABC vierstellig, dann kannst Du aufhören. Zahlen wie 112, 141 oder 166 musst Du gar nicht erst ausprobieren, da wiederholen sich ja schon Ziffern in der Zahl selbst. Das Doppelte der Zahlen von 100 bis 149 fängt mit 2 an, also kannst Du in diesem Bereich alle Zahlen ausschliessen, die eine Zwei enthalten. Ebenso von 150 bis 199 alle, die eine Drei enthalten, usw. Ähnliche Überlegungen kannst Du für die Endziffern anstellen. Du siehst also, bis zuletzt gibt es gar nicht mehr so viele Möglichkeiten.
Ausserdem hat diese Aufgabe ja nicht weniger als fünf Lösungen, also mindestens eine davon wirst Du sicher finden. (Echte Tüftler finden natürlich alle fünf!)

Hinweis zum Kryptogramm C-5:
Hier ist es ein wenig schwierig, sinnvolle Hinweise zu geben. Bei dieser Aufgabe muss man nämlich weitgehend nach der Ausdauer-Methode vorgehen, d.h. alle möglichen Kombinationen analysieren. Mit etwas Überlegung kann man aber trotzdem die Anzahl der Möglichkeiten beträchtlich reduzieren.

– Die Bedeutung von N herauszufinden, ist natürlich ein Kinderspiel. Auch wissen wir, dass S+S grösser oder gleich 10 ist. Somit gibt es für S nicht allzu viele Möglichkeiten. Da S gleich dreimal vorkommt, würde ich beim Durchspielen der Möglichkeiten mit S anfangen. Für jedes S gibt es höchstens zwei Möglichkeiten für U – je nachdem, ob die Tausenderstelle einen Übertrag ergibt oder nicht. Sobald wir unsere Entscheidung für U getroffen haben, steht letzteres fest, und das wiederum schränkt die Möglichkeiten für A ein. Die Summe von A+U ergibt dann M (wiederum plus einen möglichen Übertrag). Und natürlich müssen N, S, A, U und M lauter verschiedene Ziffern sein. Somit haben wir eine einigermassen beschränkte Auswahl an Möglichkeiten für die Summe der vorderen zwei Stellen. Diese müssen jetzt mit den möglichen hinteren Stellen durchgerechnet werden, bis Du eine findest, die aufgeht. Ich fürchte, viel einfacher kannst Du es nicht mehr haben. (Du siehst, das klassische „Send more money“ ist etwas einfacher!)

Hinweis zum Kryptogramm C-6:
Kannst Du nichts anfangen mit einem unendlichen Dezimalbruch? Hier der heisse Gewusst-Wie-Tip: Verwandle ihn doch in einen gewöhnlichen Bruch! (Ich hoffe, Du weisst, wie das geht.) Dann kannst Du die Gleichung noch so umformen, dass Du statt der Brüche Multiplikationen hast. Wenn Du jetzt auch noch die Primfaktoren von 999999 kennst, dann ist die Aufgabe (mit einigem Probieren) so gut wie gelöst.

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