Mathematikunterricht: eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien?

Vorbemerkung: Dies ist die nur unwesentlich geänderte Wiedergabe eines ursprünglich auf Spanisch veröffentlichten Artikels, vor dem Hintergrund des peruanischen Schulsystems. Einige Abschnitte sind deshalb auf europäische Verhältnisse nur begrenzt anwendbar. Soweit ich die weltweite Entwicklung beobachten kann, sehe ich es jedoch nicht als wahrscheinlich an, dass sich Perú den europäischen Verhältnissen angleichen wird; viel wahrscheinlicher ist, dass sich auch die europäischen Schulsysteme zunehmend in die Richtung der hier beschriebenen bürokratischen Erziehung bewegen werden.


Es scheint, dass die Mathematik einen schlechten Ruf hat: „Mathematik ist schwierig.“ – „Ich kann die Mathematik nicht verstehen.“ – Wenn ein Schüler mit seinen Hausaufgaben nicht klarkommt und Hilfe sucht, geht es meistens um Mathematik. Persönlich sehe ich diese Schwierigkeit nicht, und beim Unterrichten meiner eigenen Kinder auch nicht. Mathematik ist im Grunde nicht schwierig. Zumindest nicht auf Volksschulniveau. Aber nachdem ich eine grössere Anzahl dem Schulsystem unterworfener Kinder beobachten konnte, auf den verschiedensten Stufen, kam ich zu den folgenden herausfordernden Schlussfolgerungen:

– Mathematik zu unterrichten und zu lernen ist eine Frage der Prinzipien und des Glaubens.

– Mathematik ist im Grunde nicht schwierig; aber die bürokratische Funktionsweise des Schulsystems hat sie schwerverständlich gemacht.

Wie kam ich zu diesen Schlussfolgerungen?

Mathematik hat mit Prinzipien zu tun

Wenn ich diesen Punkt erklären möchte, habe ich bereits ein Problem. Manche Menschen wissen nicht, was „Prinzipien“ sind. Ich nehme an, das kommt daher, dass sie keine haben. Ein „Prinzip“ ist eine so tiefe Überzeugung, dass sie sich nicht von den Umständen ändern lässt. Ein Mensch, der Prinzipien hat, lässt sich nicht von jeder Strömung mitreissen. Er lässt sich nicht auf faule Kompromisse ein und lässt sich nicht bestechen. Ein „Prinzip“ ist ein Fundament, das das ganze Leben stützt, so wie ein Gebäude von seinem Fundament getragen wird.

Ein Beispiel: Eine „ehrliche“ Person, „gewöhnlich ehrlich“ sozusagen, ist jemand, der normalerweise die Wahrheit sagt, normalerweise bei seinen Geschäften nicht betrügt, usw. – aber es kann Ausnahmen geben. Vielleicht wird diese Person lügen oder betrügen, wenn sie sich unter starkem Druck befindet. Oder wenn sie denkt, es diene einer „guten und gerechten Sache“. – Es gibt viele solche „gewöhnlich ehrliche“ Menschen. Aber es gibt sehr wenige Menschen, die prinzipiell ehrlich sind. Wer nach dem Prinzip der Ehrlichkeit lebt, wird immer ehrlich sein. Diese Person wird grundsätzlich nicht lügen oder betrügen. Nicht einmal unter Druck. Nicht einmal zugunsten einer „guten und gerechten Sache“. Das Prinzip der Ehrlichkeit ist ein Fundament ihrer Persönlichkeit. Würde diese Person lügen oder betrügen, dann verlöre sie einen Teil ihrer Persönlichkeit.

Die Mathematik ist auf Prinzipien begründet. Die Mathematik ändert sich nicht je nach den Umständen, und auch nicht je nach der politischen Partei, die gerade an der Macht ist. Die Mathematik lässt sich nicht bestechen. Die Mathematik kennt nicht einmal kulturelle Unterschiede: ein asiatischer und ein südamerikanischer Mathematiker, die beide dasselbe Problem behandeln, werden – wenn auch vielleicht auf unterschiedlichen Wegen – notwendigerweise beide zum selben Ergebnis kommen (ausser einer von ihnen macht einen Fehler). Die Prinzipien der Mathematik sind universal und ewig.

Deshalb wird es für einen prinzipienlosen Menschen schwierig sein, die Mathematik zu verstehen. Eine „gewöhnlich ehrliche“ Person kann nicht verstehen, warum sie nicht für einmal ihre Ehrlichkeit beiseite lassen sollte, wenn es darum geht, die Sache ihres besten Freundes zu verteidigen. Und ebensowenig wird diese Person verstehen, warum sie nicht für einmal die Potenzgesetze ausser acht lassen sollte, nur für ein einziges Mal.

Aber die Prinzipien sind das Fundament der Mathematik. Sie sind nicht einfach „Verzierungen“ oder „Wissensfragmente“. Sie sind die Grundlage, welche das Gebäude der Mathematik aufrechterhält. Würde ein einziges mathematisches Prinzip gebrochen, dann wäre die Mathematik keine Mathematik mehr. Deshalb ist es notwendig, Prinzipien zu haben, um die Mathematik verstehen zu können.

Mathematik ist eine Frage des Glaubens

Ich gehe noch einen Schritt weiter. Ich sagte, die Prinzipien der Mathematik seien universal und ewig. D.h. sie gelten für jeden Menschen, an jedem Ort des Universums, und für alle Zeiten. Im Unterschied zu den anderen Wissenschaften kann es in der Mathematik keine einander widersprechenden „Strömungen“ geben. In der Physik kann man darüber diskutieren, ob das Licht aus Wellen, aus Teilchen oder aus beidem besteht. In der Psychologie kann diskutiert werden, ob der Mensch stärker von seiner Veranlagung oder von seiner Umwelt bestimmt wird. Jede Wissenschaft kennt solche Auseinandersetzungen zwischen unterschiedlichen Richtungen, und oft ist es nicht möglich zu beweisen, wer recht hat. Aber in der Mathematik kann mit Sicherheit bewiesen werden, was richtig und was falsch ist. Und wenn eine mathematische Wahrheit einmal bewiesen ist, dann wird sie von allen Mathematikern der Welt akzeptiert, und die Diskussion ist beendet.

(Anm: Im Zuge der „modernen Mathematik“, Gödels Theorem, usw, hat es zwar im Laufe des 20.Jh. prinzipielle Auseinandersetzungen über den „richtigen“ Zugang zur Mathematik gegeben. Ich würde aber auch da nicht von gegensätzlichen Strömungen innerhalb der Mathematik sprechen, sondern von gegensätzlichen Strömungen innerhalb der Philosophie der Mathematik.)

Hier berühren wir eine philosophische Frage, die ich nicht in ihrer ganzen Tiefe behandeln kann: Ist die Mathematik eine Erfindung des menschlichen Geistes, oder existiert sie unabhängig von uns Menschen? Einerseits ist es offensichtlich das eigene Denken des individuellen Mathematikers, welches die Mathematik weiterentwickelt und „erfindet“. Wäre aber die Mathematik eine reine Erfindung unseres Geistes, dann könnten wir sie nach Belieben manipulieren und abändern. Jeder könnte seine eigene Mathematik erfinden; oder eine Regierung könnte ihren Untertanen eine „offizielle“ und „politisch korrekte“ Mathematik verordnen. Aber wenn es so wäre, wie erklärt sich dann die Tatsache, dass alle Mathematiker der Welt dieselben mathematischen Wahrheiten akzeptieren und dieselben Fehler als falsch bezeichnen? Und wie erklärt sich dann die Tatsache, dass die Mathematik genau dem uns umgebenden Universum entspricht, sodass z.B. die Umlaufbahnen der Planeten mathematisch berechnet werden können? (Mit mathematischen Gesetzen, die schon bekannt waren, lange bevor jemand diese Umlaufbahnen zu berechnen versuchte.) – Nein, die Mathematik muss etwas sein, was über uns Menschen hinausgeht. Die Mathematik deutet uns an, dass es ewige und absolute Wahrheiten gibt, die sich weder mit der Zeit noch mit den Umständen ändern. Die Mathematik deutet uns an, dass es einen grossen Verstand jenseits von uns Menschen gibt, der vernünftig denkt und der das Universum ordnet, und der dieses Universum auf ewige Prinzipien gründete.

Als Christ glaube ich, dass dieser grosse Verstand dem Gott gehört, von dem die Bibel spricht. So steht es im Buch der Psalmen (in einer mehr dichterischen als mathematischen Sprache):

„Die Himmel erzählen die Ehre Gottes, und das Firmament verkündigt das Werk seiner Hände.
Ein Tag sagt es dem andern, und eine Nacht tut der andern Weisheit kund.“
(Psalm 19,2-3)

„Durch deine Ordnungen besteht alles bis heute, denn alles muss dir dienen.“
(Psalm 119,91)

Deshalb ist Mathematik eine Glaubensfrage. Um Mathematik treiben zu können, ist es nötig zu glauben, dass es eine Wirklichkeit jenseits von uns selber gibt, und dass es in dieser Wirklichkeit absolute und ewige Prinzipien gibt.

Auch ein Mathematiker, der nicht an Gott glaubt, muss immer noch gewisse Wahrheiten „im Glauben annehmen“, um Mathematik treiben zu können. Diese Wahrheiten werden Axiome genannt. Wenn wir die Mathematik auf ein logisches Fundament stellen wollen und alle ihre Gesetze exakt beweisen wollen, dann stossen wir letztlich auf einige grundlegende Prinzipien, die wir nicht beweisen können. Z.B. dass die Zahlen existieren und geordnet werden können. Oder dass, wenn zwei Dinge einem dritten gleich sind, diese beiden auch unter sich gleich sein müssen. (D.h. wenn A=C und B=C, dann ist auch A=B.) Solche Axiome können nicht bewiesen werden; aber sie sind notwendig, um ein logisch schlüssiges Gebäude der Mathematik aufbauen zu können. Mit anderen Worten: Sie müssen im Glauben angenommen werden.

Deshalb sage ich, Mathematik sei eine Frage des Glaubens. Unter „Glauben“ verstehe ich in diesem Zusammenhang: eine feste Überzeugung, die sich auf Wahrheiten jenseits unseres eigenen Geistes und unserer sichtbaren Welt abstützt.

Ich sage damit nicht etwa, nur ein Jude oder Christ könne Mathematik treiben. Es gab grosse Mathematiker, die nicht an den Gott der Bibel glaubten. Aber zumindest ein „mathematischer Glaube“ im soeben beschriebenen Sinne ist sicherlich nötig. Ein Mathematiklehrer muss in seinen Schülern zumindest diesen Glauben wecken können: dass die Welt von festen Prinzipien regiert wird, die grösser sind als wir selber; und dass er, der Schüler, selber diese Prinzipien anwenden kann und sogar einige von ihnen selber entdecken kann. Und zugleich braucht ein Mathematiklehrer die Demut anzuerkennen, dass er selber sich diesen Prinzipien unterwerfen muss; dass er weder „Eigentümer“ noch „Herr“ des Stoffes ist, den er unterrichtet.

Bürokratischer Mathematikunterricht

Es ist nicht einfach zu erklären, was ich unter einer „auf Prinzipien aufgebauten Mathematik“ verstehe. Vielleicht wird es besser verständlich, wenn wir sie mit ihrem Gegenteil vergleichen, der „bürokratischen Mathematik“. Ich beobachte, dass die meisten Kinder und Jugendlichen heutzutage einem bürokratischen Mathematikunterricht unterworfen werden. Ich werde einige Anzeichen davon beschreiben, und einige der Probleme, die dadurch verursacht werden.

Der bürokratische Unterricht betont „das richtige Vorgehen“, ohne sich um das Verständnis zu kümmern.

„Diese Zahl gehört in dieses Häuschen, diese wird mit jener zusammengezählt, und das Ergebnis wird rot unterstrichen.“ Und wenn der Schüler die Rechnung mit Hilfe eines anderen Vorgehens löst, oder das Ergebnis blau statt rot unterstreicht, dann wird seine Arbeit zurückgewiesen, selbst wenn sie mathematisch korrekt ist. Genau wie im Papierkram der staatlichen Bürokratie, wo der Bürger täglich mit sinnlosen Forderungen schikaniert wird: „Nein, Sie können Ihre Unterlagen nicht in einer solchen Mappe einreichen, sie müssen eine in unserem Büro kaufen.“ Usw. usw. Und niemand darf fragen warum.

Was kommt bei einem solchen Unterricht heraus?

– Der Schüler wird abgelenkt und verwirrt von einer Menge Einzelheiten, die überhaupt nichts mit Mathematik zu tun haben. Wenn er zufällig nur einen schwarzen Kugelschreiber hat statt eines roten, dann kann er seine Rechnung nicht mehr lösen. In seinem Geist gewinnt er den Eindruck, die Form des Unterstreichens (oder irgendein anderes unwichtiges Detail) sei wichtiger als die Rechnung an sich.
– Der Schüler lernt, mechanisch einen Prozess zu wiederholen, ohne dessen Sinn zu verstehen. Er lernt das „Wie“, aber nicht das „Warum“. Und so lernt er in Wirklichkeit überhaupt keine Mathematik. Mechanisch Rechnungen ausführen, das kann auch ein Taschenrechner; das ist noch keine Mathematik. Der bürokratische Unterricht reduziert die Schüler zu Taschenrechnern. Mathematik zu lernen würde bedeuten, die Prinzipien zu lernen, auf denen sie beruht. Aber hierfür ist kein Platz in einem bürokratischen Unterricht.
– Ohne ein Verständnis der Prinzipien haben die Vorgehensweisen keinen Sinn. Aber ein sinnloses Vorgehen ist schwieriger zu erlernen als eines, dessen Sinn man versteht. Deshalb gewinnt der Schüler den Eindruck, Mathematik sei schwierig und unverständlich. So wird er entmutigt.

Hier einige authentische Beispiele:

– Eine Schülerin löst eine Multiplikation mit mehreren Ziffern. Während sie eine Ziffer schreibt, frage ich sie: „Warum schreibst du diese Ziffer hier?“ – Die Schülerin sieht mich gross an, offensichtlich verwirrt. Anscheinend hat ihr niemand je eine solche Frage gestellt. Sie weiss nicht, was sie antworten soll, sieht ihr Heft an, und beginnt schliesslich die soeben geschriebene Ziffer auszuradieren. – „Du musst sie nicht ausradieren, ich habe nicht gesagt, es sei falsch. Ich möchte nur, dass du mir erklärst, warum du es auf diese Weise machst.“ – Aber die Schülerin kann nicht antworten. Sie hat nur gelernt, mechanisch den Befehlen zu gehorchen; aber sie hat nicht gelernt zu denken. Sie kennt nur das „Wie“, aber nicht das „Warum“.

– Einem anderen, etwas jüngeren Schüler schrieb ich eine Addition in sein Heft und bat ihn, sie zu lösen. Seine Antwort: „Ich kann nur senkrecht zusammenzählen, aber nicht waagrecht.“ – Für ihn war das „richtige Vorgehen“ alles. Er verstand nicht, dass das Prinzip einer Addition genau dasselbe ist, unabhängig davon, wie man sie aufschreibt. Hätte er Prinzipien gelernt, dann hätte er dieses Problem nicht.

– Ein Schüler sollte den Bruch 300/500 kürzen: „Zuerst nehme ich die Hälfte, das gibt 150/250. Ich kann nochmals mit zwei kürzen, dann habe ich … (hier brauchte er etwas länger) … 75/125. Und jetzt mit drei…“ – und nachdem er es einige Zeit lang probiert hatte, gab er auf. Ich zeigte auf den ursprünglichen Bruch und sagte: „Beachte, dass beide Zahlen mit zwei Nullen enden. Sagt dir das nicht, dass du es einfacher machen kannst?“ – Nachdem ich ihn an einige zusätzliche Überlegungen herangeführt hatte, war er schliesslich imstande zu erkennen, dass beide Zahlen Vielfache von 100 waren. Aber das löste sein Problem noch nicht. Die grosse Frage, die ihn beunruhigte, war: „Darf man denn direkt mit 100 kürzen? Mein Lehrer hat mir beigebracht, dass man immer zuerst mit zwei kürzen muss, dann mit drei …“ – Kein Kommentar dazu.

Wenn Mathematik ohne Prinzipien unterrichtet wird, dann lernen die Schüler lauter unzusammenhängende Wissensfragmente. Ein Schüler hatte Mühe, das Distributivgesetz zu verstehen. Andererseits konnte er sehr gut Zahlen mit mehreren Ziffern multiplizieren. Aber er machte es rein mechanisch, ohne das Warum zu verstehen (wie die meisten Schüler). Es kam ihm nie in den Sinn, es könnte irgendein Zusammenhang bestehen zwischen den beiden Dingen. Wir machten einige Übungen, um ihm beim Verständnis zu helfen, wie sich die Multiplikation einer Zahl mit mehreren Ziffern zusammensetzt:

3 x 3713 =

3 x (3000
+ 700
+ 10
+ 3)

= 3 x 3000
+ 3 x 700
+ 3 x 10
+ 3 x 3

= 9000
+2100
+30
+9

     

= 11139

So kam schliesslich der Moment, wo dieser Schüler eine grosse Erleuchtung hatte: Er verstand, dass er die ganze Zeit schon unwissentlich das Distributivgesetz angewandt hatte, jedesmal, wenn er eine Zahl mit mehreren Ziffern multiplizierte!
Aber die meisten Schüler verstehen diesen Zusammenhang nie. Irgendwann lernen sie die Multiplikation als mechanisches Vorgehen („diese Ziffer in dieses Häuschen und jene Ziffer in jenes Häuschen…“), und niemand sagt ihnen, warum man es so macht. Und in irgendeiner anderen Schulstunde, zu einer ganz anderen Zeit des Schuljahres, lernen sie das Distributivgesetz, mit einigen dummen Übungsaufgaben ohne jeden praktischen Sinn. Nur weil im Lehrplan steht, jetzt sei das Distributivgesetz dran. Und bald vergessen sie es wieder, denn sie sehen keinen Sinn darin, es zu lernen. Schliesslich wurde dieses Gesetz ja nur dazu erfunden, die Schüler zu langweilen, und niemand braucht es je, nicht wahr?

Der bürokratische Unterricht betont die blinde Unterwerfung unter die Autorität, und die äusserliche Anpassung.

Ich erwähnte eine Schülerin, die nicht erklären konnte, warum sie eine Multiplikation so ausführte, wie sie es tat. Eine ehrliche Antwort wäre wahrscheinlich gewesen: „Ich mache es so, weil der Lehrer mir eine schlechte Note gibt oder mich bestraft, wenn ich es anders mache.“

In einem bürokratischen System ist Anpassung alles. Niemand wagt es, anders zu sein; niemand wagt es zuzugeben, wenn er etwas nicht versteht; niemand wagt es, originell oder kreativ zu sein. Einer meiner Söhne löste eine Zeitlang seine Kopfrechnungen auf ziemlich „kreative“ Art. So konnte er z.B. 6×14 auf folgende Weise multiplizieren: „6×10 gibt 60, die Hälfte von 60 ist 30, 60+30=90, ich ziehe 6 ab und es gibt 84.“ Das Interessante daran war, dass seine „kreativen Lösungen“ immer richtig waren. Aber ein bürokratischer Unterricht würgt solche Kreativität ab. Jene Schüler, die sich nicht dem grossen Haufen anpassen, werden mit schlechten Noten oder mit dem Spott ihrer Mitschüler bestraft.

Dieser Zwang zur Anpassung bringt ausserdem verschiedene Arten von krankhaftem und abwegigem Verhalten hervor. Ich erwähne hier nur ein Beispiel: das „Erraten der richtigen Antwort“. Die Schüler finden bald heraus, dass nur der äussere Anschein zählt. Sie entdecken, dass sie mit einer guten Antwort Punkte sammeln können – unabhängig davon, ob sie selber die Antwort verstehen oder nicht. Und sie entdecken, dass sie die richtige Antwort oft erraten können. Der Lehrer fragt bei einer Textaufgabe: „Wie wird diese Aufgabe gelöst?“ – Normalerweise gibt es nur vier mögliche Antworten: „Man muss zusammenzählen“, „Man muss wegzählen“, „Man muss multiplizieren“, „Man muss teilen.“ (In den höheren Klassen reduzieren sich die Möglichkeiten auf eine einzige: „Man muss eine Gleichung machen.“) Wenn ich also aufs Geratewohl eine dieser Antworten sage, dann gibt es eine ziemlich grosse Wahrscheinlichkeit, dass sie richtig ist. Und falls sie nicht richtig ist, so falle ich wenigstens durch rege Beteiligung auf.
Einmal traf ich einen Erstklässler an, der in seiner Hand ein Leseblatt hielt mit einer Zeichnung von einem Finger mit seinem Fingernagel. Darunter stand in grossen Buchstaben das Wort „Fingernagel“. (Auf Spanisch heisst dieses Wort kurz „uña“ und dient zur Einführung des seltenen Buchstabens „ñ“.) Ich fragte ihn: „Kannst du schon lesen?“ – „Ja, natürlich.“ – „Was steht denn hier?“ – Sofort antwortete der Kleine: „Dedo“ („Finger“). – Aber er sagte es nicht einfach so; er bot eine perfekte Show: Er fuhr mit seinem Finger den Buchstaben entlang und sagte mit Abständen, als ob er buchstabieren würde: „De- do.“ In seinem jungen Alter hatte er bereits die wichtigste Lektion eines Schülers der Bürokratie gelernt: wie man seinen Lehrer mit dem äusseren Anschein beeindruckt.

Leider hilft eine solche Haltung überhaupt nicht zum Erlernen der Mathematik. Im Gegenteil, sie kann das Lernen lebenslang behindern. Vor allem, weil die Schüler damit eine völlig falsche Vorstellung davon bekommen, worum es bei der Mathematik geht. Sie verstehen das Grundlegendste nicht: dass Mathematik bedeutet, Prinzipien anzuwenden. Stattdessen denken sie, Mathematik sei so etwas wie ein Glücksspiel, und das „Erraten“ sei die richtige Methode. So wie einige Schüler hier sich angewöhnt haben, bei ihren Rechnungsprüfungen zu beten: „Heilige Maria, gib mir Glück“ … um dann aufs Geratewohl irgendwelche Antworten anzukreuzen.

Und diese „Ratekünstler“ erzielen bei den Prüfungen erstaunlich gute Ergebnisse. Nicht nur, weil einige von ihnen vom Nachbarn abschreiben; sondern auch, weil heutzutage fast alle Übungen und Prüfungen aus Mehrfachantworten zum Ankreuzen bestehen. Natürlich erleichtert das die Korrekturarbeit für den Lehrer (er kann diese Arbeit sogar einem Computer überlassen); aber es lädt zum „Ratespielen“ geradezu ein. Wie wäre es mit dieser Aufgabe?

356 x 22 = ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 7832

Ich weiss, ich bin ein wenig sarkastisch. Aber im Ernst, man kann den Verdummungseffekt dieser Mehrfachantworten gar nicht überschätzen. Die Schüler haben sich bereits daran gewöhnt, einfach die „richtige Alternative“ zu suchen, statt logisch zu überlegen. Das ist eine sehr schlechte Vorbereitung für das Leben, denn die Probleme des wirklichen Lebens bestehen nicht aus Mehrfachantworten. Insbesondere in der Mathematik: die Menge der möglichen Lösungen eines mathematischen Problems ist normalerweise unendlich! Sogar für ein so einfaches Problem wie dieses: „Peter wohnt über Paul, Friedrich wohnt über Peter, wer wohnt im Keller?“ – Antwort: die Mäuse. – (Ich versuche nur, dieses gewichtige Thema ein wenig aufzuheitern.)

Tatsache ist: Die möglichen Antworten auf vier oder fünf Alternativen zu begrenzen, bedeutet das Denken des Schülers einzuschränken. Die grossen Wissenschafter der Vergangenheit zeichneten sich gerade dadurch aus, dass sie die Grenzen der Möglichkeiten überschritten, die ihnen von ihren Zeitgenossen angeboten wurden. Hier ein historisches Beispiel:

Als die Astronomen von Kopernikus an das heliozentrische System zu übernehmen begannen, versuchten sie die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne zu berechnen. Zuerst nahmen sie allgemein an, diese Bahnen müssten Kreise sein. (Diese Idee kam noch von den alten Griechen her, die sich den Himmel aus mehreren vollkommenen „Sphären“ oder Kugeln zusammengesetzt dachten.) Aber die immer genaueren Beobachtungsdaten der Planeten stimmten nie genau mit den kreisförmigen Umlaufbahnen überein, die von den Astronomen errechnet wurden. Also dachten sie, die Planeten beschrieben vielleicht zusätzlich kleinere Kreise, die sich dem grossen Kreis der Umlaufbahn überlagerten. Während vielen Jahren versuchten sie, eine Kombination von Kreisen zu finden, die den Beobachtungen entsprach; aber es blieb immer ein Fehler. Ihr Problem bestand darin, dass sie die möglichen Antworten auf wenige Möglichkeiten eingeschränkt hatten:

Die Umlaufbahn des Planeten ist:
A) ein Kreis
B) ein Kreis, dem sich ein kleinerer Kreis überlagert
C) ein Kreis, dem sich zwei kleinere Kreise überlagern
D) eine andere Kombination von Kreisen.

Erst viele Jahrzehnte später fand Johannes Kepler die Lösung, die ihn berühmt machte: Die Umlaufbahnen der Planeten sind überhaupt keine Kombinationen von Kreisen, sondern Ellipsen. Um diese Lösung zu finden, musste Kepler die Begrenzungen niederreissen, denen frühere Astronomen die möglichen Antworten unterworfen hatten.

– Alle diese Probleme mit dem „Erraten der richtigen Antwort“ und der äusserlichen Anpassung sind eigentlich charakterliche, ethische und moralische Probleme. Wer bewusst den Anschein erweckt, er verstünde etwas, was er in Wirklichkeit nicht versteht, ist nicht ehrlich. Und das trägt überhaupt nicht dazu bei, Mathematik zu lernen.

In einem bürokratischen System gibt es immer irgendeine Möglichkeit, das System zu überlisten und zu erreichen, was man möchte. Man kann den Polizisten oder Funktionär bestechen; man kann das Gesetz übertreten, wenn es niemand sieht; man kann sogar selber zu einer Autoritätsperson werden und dann die Gesetze nach Belieben ändern. Aber in der Mathematik funktioniert nichts von alledem. Die Mathematik lässt sich nicht bestechen; die mathematischen Gesetze erfüllen sich auch dann exakt, wenn niemand zuschaut; und niemand hat Autorität, die Gesetze der Mathematik zu ändern. Die Techniken, die die Menschen entwickeln, um in einer Bürokratie zu überleben, taugen nichts in der Mathematik. Das ist ein Grund mehr, warum die wenigsten in einem bürokratischen System ausgebildeten Schüler etwas von Mathematik verstehen. Sie können den „Geist der Mathematik“ gar nicht verstehen in einem solchen System.

Jemand könnte nun sagen: „Die Bürokratie ist nun einmal die Wirklichkeit dieser Welt, also müssen wir damit leben.“ Aber das Universum ist nicht bürokratisch. Die Planeten bewegen sich nach mathematischen, nicht nach bürokratischen Gesetzmässigkeiten. Und deshalb ist es die Mathematik, nicht die Bürokratie, welche der „wirklichen Wirklichkeit“ des Universums entspricht.

(Fortsetzung folgt)

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