Mathematikunterricht: eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien? (Teil 2)

Siehe Teil 1

Vorbemerkung: Dies ist die nur unwesentlich geänderte Wiedergabe eines ursprünglich auf Spanisch veröffentlichten Artikels, vor dem Hintergrund des peruanischen Schulsystems. Einige Abschnitte sind deshalb auf europäische Verhältnisse nur begrenzt anwendbar. Soweit ich die weltweite Entwicklung beobachten kann, sehe ich es jedoch nicht als wahrscheinlich an, dass sich Perú den europäischen Verhältnissen angleichen wird; viel wahrscheinlicher ist, dass sich auch die europäischen Schulsysteme zunehmend in die Richtung der hier beschriebenen bürokratischen Erziehung bewegen werden.


Der bürokratische Unterricht unterwirft sich den Forderungen des Staates, aber nicht den Prinzipien einer guten Pädagogik.

Die heutigen Lehrer sind gar keine Pädagogen mehr. Sie sind Regierungsfunktionäre, welche im Schulzimmer die Politik der Regierung verwirklichen müssen. Und sogar wenn sie selber verstanden haben, was gute Pädagogik ist, so können sie sie doch nicht anwenden, weil die Forderungen des staatlichen Lehrplans zuerst erfüllt werden müssen.

Zumindest hier in Perú berücksichtigt dieser Lehrplan weder die Erkenntnisse über die Entwicklung des Kindes, noch die grundlegendsten didaktischen Prinzipien – insbesondere in der Mathematik. Ich möchte die folgenden Punkte hervorheben:

– Entsprechend der Entwicklung des Gehirns ist für ein durchschnittliches Kind der formelle Schulunterricht vor dem Alter von 8 bis 10 Jahren überhaupt nicht vorteilhaft. Diese Kinder treten erst gerade in die Etappe der konkreten Operationen ein, und deshalb erscheinen ihnen die mathematischen Operationen noch nicht logisch, und sie können sich davon in ihrem Denken keine Vorstellung machen. (Mehr Details darüber in „Besser spät als früh“. Vor diesem Alter sollte sich deshalb der Mathematikunterricht auf die grundlegenden Prinzipien beschränken, und auf die Grundoperationen mit kleinen Zahlen, die vom Schüler anhand konkreter Gegenstände ausgeführt werden können. Was darüber hinausgeht, schädigt die meisten Kinder dieses Alters mehr als dass es ihnen nützt.

Jedes Kind hat seinen eigenen Entwicklungsrhythmus und sollte entsprechend seinem eigenen Entwicklungsstand unterrichtet werden, nicht nach seinem chronologischen Alter. Wenn wir versuchen, ein drei Monate altes Baby zum Gehen zu zwingen, dann schädigen wir es. Ebenso schädigen wir ein Kind, wenn wir es dazu zwingen, Aufgaben zu lösen, die es von seinem Entwicklungsstand her noch gar nicht verstehen kann.
Man wird immer hier oder da ein frühreifes Kind finden, das schon in einem frühen Alter abstrakte Operationen versteht. Aber das sind Ausnahmen, die nicht als Norm für ein allgemeines Schulsystem genommen werden dürfen. Solchen frühreifen Kindern sollte erlaubt werden, Schuljahre zu überspringen oder ihren Interessen entsprechende Spezialkurse zu besuchen; aber ohne dass die anderen Kinder dazu gezwungen werden, demselben Rhythmus zu folgen. Noch besser wäre es, die Kinder überhaupt nicht nach Schuljahren einzuteilen, sondern jedes Kind seinem individuellen Entwicklungsstand gemäss zu fördern. (Siehe dazu auch über die Pädagogik der „aktiven Schule“.)

Jedes neue Wissen sollte auf bereits bekanntem Wissen aufbauen. Das ist in der Mathematik besonders wichtig, weil jedes fortgeschrittene Prinzip auf einer Vielzahl einfacherer Prinzipien beruht. Deshalb ist es notwendig, dass ein Kind zuerst die einfacheren Prinzipien versteht, bevor man ihm kompliziertere Prinzipien beibringt. (Z.B. kann man einem Kind nicht die Potenzierung beibringen, solange es nicht zuerst die Addition und dann die Multiplikation verstanden hat.)

Quantität ist nicht Qualität. Je mehr Stoff ein Kind in einer bestimmten Zeit aufnehmen muss, desto mehr frühere Kenntnisse vergisst es. Mehr Schulstunden und ein schnelleres Fortschreiten trägt deshalb nicht dazu bei, dass die Kinder mehr lernen. Im Gegenteil, sobald eine gewisse Grenze überschritten wird, vergessen die Kinder mehr, als sie dazulernen. Eine gute Pädagogik lässt dem Kind Zeit, neue Kenntnisse zu assimilieren, und vertieft diese Kenntnisse, bis das Kind darin sicher ist. Und eine gute Pädagogik achtet auf ein gesundes Gleichgewicht zwischen intellektuellem Lernen, körperlicher Aktivität, Handarbeit, Spiel und Ausruhen.

In völligem Gegensatz gegen alle diese Prinzipien heisst es im offiziellen Nationalen Bildungsprojekt (Proyecto Educativo Nacional) von Perú:

„Die Schulflucht und das Wiederholen von Schuljahren in der Primarschule sind zu vermeiden.
Das Wiederholen eines Schuljahres verschlimmert das „Überalter“ (Anm: das ist im Original eine neue Wortschöpfung, die ich hier einfach so wörtlich wie möglich wiederzugeben versuche) – das Überschreiten des normierten Alters für das Schuljahr -, entmutigt die Kinder und verstärkt das Risiko des Scheiterns oder Aufgebens. Aber das Versetzen in die nächste Klasse bei niedriger Leistung häuft ein Defizit an und gewöhnt sie an die Mittelmässigkeit. Die Schulen haben keine Mechanismen, die diesen Situationen vorbeugen oder sie schnell korrigieren könnten, sodass jedes Kind seinem Schicksal überlassen ist. Die vorliegende Politik möchte die Zahl der Schüler verringern und eliminieren, die das Schuljahr wiederholen oder aufgeben, (…) mittels Systemen der schulischen Unterstützung und Begleitung.

WICHTIGSTE MASSNAHMEN
a) Systeme zur rechtzeitigen Entdeckung von Kindern, die Gefahr laufen, das Schuljahr zu wiederholen oder aufzugeben, unter der Verantwortung der Lehrer jeder Klasse.
b) Institutionalisierung von pädagogischen Strategien des Aufholunterrichts, der schulischen Behandlung und Nachhilfe für Schüler, die Gefahr laufen, das Schuljahr zu wiederholen oder aufzugeben, was zusätzliche Schulstunden einschliesst.
(…)“

(Proyecto Educativo Nacional al 2021, Peruanisches Erziehungsministerium, 2007)

Das bedeutet im Klartext: Alle Kinder werden dazu gezwungen, mit sechs (nein, inzwischen ist es mit fünf) Jahren in die Primarschule einzutreten und sie mit elf Jahren abzuschliessen, ohne auf ihre individuelle Entwicklung Rücksicht zu nehmen. (Anm: Die peruanische Volksschule besteht aus drei Jahren Vorschule, sechs Jahren Primarschule und fünf Jahren Sekundarschule.) Ein Kind, das die Lehrziele nicht erreicht, wird gezwungen, zusätzliche Schulstunden zu besuchen bis zum Umfallen, weil es obligatorischerweise im von der Bürokratie vorgeschriebenen Alter in die nächste Klasse versetzt werden muss. (Bereits haben dank dieser Politik viele Kinder keine freien Wochenenden und keine Ferien mehr.) Das Erziehungsministerium kümmert es nicht, dass einige Kinder sich später entwickeln als andere, und auch nicht, dass das Übermass an Schulstunden ihnen ernsthaft schadet. Statt die Kinder Kinder sein zu lassen, werden sie gezwungen, zu „funktionierenden Taschenrechnern“ zu werden. Und das in einem Alter, in dem sie zuallererst in einer Familie zuhause sein und unbekümmert spielen können sollten. Die meisten Kinder können diese bürokratischen Forderungen gar nicht erfüllen, die da ohne jeden pädagogischen Rückhalt erhoben werden. Das ist wirklich eine tragische Situation: Diese selben Kinder könnten sehr gute Leistungen erbringen, und das mit viel weniger Schulstunden und viel weniger Leiden, wenn es ihnen nur erlaubt würde, zwei oder drei Jahre länger Kind zu sein. Es gibt Hunderte von Beweisen dafür, aus weltweit angestellten Untersuchungen. Dr.Raymond Moore hat viele davon zusammengestellt in seinem Buch „Besser spät als früh“. Aber die Schulplaner interessieren sich nicht dafür, was für die Kinder das Beste ist.

Selbst die besten Lehrer müssen mit einer solchen Politik scheitern, weil ihnen nicht erlaubt wird, die Kinder gemäss ihrem eigenen Entwicklungsstand zu unterrichten. Fünf-, Sechs- und Siebenjährige werden unter einer solchen Flut von Schulstoff und Aufgaben ertränkt, dass sie nie alles aufnehmen können. Es bleibt ihnen gar kein anderer Ausweg, als einen „Anschein zu erwecken“ und die Antworten zu „erraten“. In der vierten und fünften Klasse haben die meisten überhaupt keinen Bezug mehr zu den mathematischen Kenntnissen, die von ihnen verlangt werden. Ihre „Mathematik“ hängt völlig in der Luft. Sie sollten Brüche, Potenzen und Wurzeln verstehen, obwohl sie noch nicht einmal die grundlegenden Prinzipien der Addition, Subtraktion und Multiplikation assimiliert haben. Z.B. können nur sehr, sehr wenige Primarschüler eine Aufgabe wie die folgende richtig lösen:

„Ein Krokodil misst 3.50 m. Sein Körper ist einen Meter länger als sein Schwanz. Wie lang ist der Schwanz des Krokodils?“

Diese Aufgabe erfordert lediglich die Grundoperationen und ein wenig logisches Denken. Aber dieselben Kinder, die diese Aufgabe noch nicht verstehen können, müssen lernen, mit Dezimalbrüchen zu rechnen und Quadratwurzeln zu ziehen. Da sie keine Grundlage haben, macht das alles keinen Sinn für sie, und sobald sie es gelernt haben, vergessen sie es wieder. Sie kommen in die Sekundarschule, ohne überhaupt Zeit gehabt zu haben, das Einmaleins richtig zu lernen; und dann müssen sie alles nochmals lernen, was man ihnen in der Primarschule beigebracht hat. (Das ist kein Witz. Eines Tages hatte ich morgens eine Nachhilfeschülerin, die die dritte Primarklasse besuchte, und nachmittags eine andere aus der dritten Sekundarklasse. Ihre Hausaufgaben waren beinahe identisch.)

Ich möchte nur zwei mathematische Themen erwähnen, die die Schüler lernen müssen, lange bevor sie sie wirklich verstehen können:

– Dreistellige Zahlen schriftlich zu- und wegzählen. Das wird jetzt in der ersten Klasse gelehrt, zu einem Zeitpunkt, wo die meisten noch nicht einmal Zahlen bis 10 richtig zusammenzählen können. Als mechanischen Vorgang kann ein Kind dieses Alters natürlich schon schriftlich zusammenzählen; aber es versteht nicht, was es tut. Um es verstehen zu können, müsste es zuerst verstehen, wie das Dezimalsystem funktioniert – und das wiederum setzt ein Verständnis der Multiplikation voraus. Ausserdem müsste es in der Lage sein, mit einer dreistelligen Zahl eine konkrete Vorstellung zu verbinden; aber die Vorstellungskraft der meisten Erstklässler sieht noch keinen Unterschied zwischen „fünfzig“ und „fünfhundert“.

– Bruchrechnen. Sich etwas vorzustellen, was kleiner ist als eine Einheit, ist sehr schwierig für ein achtjähriges Kind. (In diesem Alter wird jetzt das Bruchrechnen eingeführt.) Man kann ihm natürlich einen Kreis zeigen, der in Teile aufgeteilt ist, und das Kind kann die Teile zählen. Aber wenn es viele Teile sind, wie können dann alle diese Teile zusammen „1“ sein? Das ist ein unlösbares Paradox für die meisten Kinder dieses Alters. – Natürlich kann man auch Brüche nicht wirklich verstehen, wenn man nicht zuerst die Multiplikation und Division verstanden hat. Nicht nur das: Das Kürzen, Zusammenzählen und Wegzählen von Brüchen beruht auf den Konzepten des grössten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV). Dies wiederum erfordert die Kenntnis von Vielfachen, Teilern, zusammengesetzten Zahlen und Primzahlen, und Primfaktoren. Alles dies müsste zuerst eingeführt werden – und man müsste sich versichern, dass die Kinder es verstanden haben. Und diese Konzepte müssten auf der Ebene der Prinzipien miteinander verbunden werden. Aber der bürokratische Unterricht verlangt, dass die Kinder mit Brüchen rechnen, ohne diese Grundlage zu haben. Kein Wunder, dass die Schüler nichts verstehen.

Der bürokratische Unterricht versagt vor den Herausforderungen des wirklichen Lebens und des gesunden Menschenverstandes.

Bleiben wir noch etwas länger beim Bruchrechnen. Die Schüler lernen ein Vorgehen, das sie „CC“ oder „Doppel-C“ nennen, um Doppelbrüche aufzulösen:

Dieses Vorgehen liefert zwar das richtige Ergebnis, aber es lehrt nichts über die Prinzipien des Bruchrechnens. Die Schüler können es mechanisch anwenden, aber sie stehen ratlos vor Ausdrücken wie die folgenden:

Im Fall a) kommt es noch einigen in den Sinn, dass 3 gleich drei Ganzen ist; somit schreiben sie den Ausdruck um wie unten gezeigt, und wenden ihr gewohntes „CC“ an. (Obwohl ihnen das unnötige Mehrarbeit verursacht.)

Aber der Fall b) lässt das nicht mehr zu. Der bürokratische Unterricht kann den Schüler nicht auf eine solche Situation vorbereiten, denn da müsste man für jeden möglichen Spezialfall ein neues spezielles Vorgehen vorschreiben.

Aber ein Schüler, der die Prinzipien der Mathematik gelernt hat, wird hier nicht allzu grosse Schwierigkeiten haben. Er kann dieselben Prinzipien, die einem Doppelbruch zugrunde liegen, auch auf einen dreifachen, vierfachen oder noch komplizierteren Bruch anwenden. Es ist ihm z.B. sonnenklar, dass ein Bruch nur eine andere Form ist, eine Division zu schreiben. Der Ausdruck b) entspricht somit 4 : 3 : (5 : ((7 : 8 ) : 11)). Und er versteht auch, was das Divisionszeichen : vor einer Klammer bewirkt. (Er versteht sogar, dass diese Prinzipien den Vorzeichenregeln beim Zu- und Wegzählen analog sind.) In Anwendung dieser Prinzipien, und ein wenig gesunden Menschenverstandes, wird er das Problem ebenso lösen, wie er einen Doppelbruch löst – und weiss, was er tut.

Aber „gesunder Menschenverstand“ ist unvereinbar mit „Bürokratie“. Das obenerwähnte einfache Problem mit dem Krokodil kann mit ein wenig gesundem Menschenverstand und mit sehr wenig Mathematik gelöst werden (sogar ohne eine Gleichung aufzustellen). Die Mehrheit der heutigen Schüler können es nicht lösen, weil die Bürokratie den gesunden Menschenverstand nicht fördert. Jene Probleme, die gesunden Menschenverstand erfordern, sind die grösste Herausforderung an die Bürokratie: Es gibt kein reglementiertes Vorgehen, wie sie zu lösen sind.

Hier ein anderes Beispiel aus dem täglichen Leben:

„Mama kaufte Kartoffeln für € 1.80, einen Käse für sechs Euro, und einen Blumenkohl. Sie bezahlte mit einer Zehn-Euro-Note und erhielt 60 Cents zurück. Wieviel kostete der Blumenkohl?“

Angesichts einer solchen Aufgabe wissen die meisten Kinder (selbst in der sechsten Klasse) nicht, ob sie zusammenzählen, wegzählen, multiplizieren oder teilen sollen. Das bedeutet, dass sie noch nicht einmal die Prinzipien der Addition und Subtraktion verstanden haben! – Sie können zwar mechanisch Zahlen mit sieben und mehr Ziffern zu- und wegzählen. Aber das bedeutet noch nicht, dass sie das Zu- und Wegzählen verstanden hätten. Verstanden haben sie es erst, wenn sie diese Konzepte mit Alltagsereignissen in Verbindung bringen können. Aber das kann ihnen die Schule nicht beibringen, denn die Schule ist bürokratisch, und deshalb ist sie vom Alltagsleben und vom gesunden Menschenverstand abgeschnitten.

Eine Schülerin, die sehr gut war in Mathematik, verbrachte viele Stunden damit, im Ladengeschäft ihrer Eltern auszuhelfen. Das war das beste Mathematiktraining, das sie haben konnte. Sie gewöhnte sich daran, die Preise auszurechnen und richtig Rückgeld zu geben, und Rechnungen der Lieferanten richtig zu bezahlen. Das ist Anwendung der Prinzipien im täglichen Leben, und das half ihr mehr als jeder Schulunterricht.

Der bürokratische Unterricht muss vor solchen Problemen kapitulieren. Einige Lehrer machen sich noch die Mühe, solche Aufgaben zu systematisieren und zu mechanisieren, und ihren Schülern irgendeine „Eselsleiter“ zu geben: „Wenn es mehrere Käufe zusammen sind, muss man zusammenzählen. Wenn es Rückgeld geben ist, muss man wegzählen. Wenn es drei gleiche Dinge sind, muss man mit drei multiplizieren …“ – Das sind vergebliche Bemühungen. Das wirkliche Leben kann nicht auf diese Weise mechanisiert werden; es wird immer einen Spezialfall geben, der in keine der vom Lehrer vorformulierten Kategorien passt. Aber das wirkliche Leben kann aufgrund von Prinzipien verstanden werden. Wer die Prinzipien verstanden hat, braucht keine Eselsleiter mehr.

Rebeca Wild erklärt vor dem Hintergrund der Forschungen von Jean Piaget, wie das echte Verständnis zerstört wird durch dieses Auswendiglernen von „Regeln“. Sie sagt über die „Etappe der konkreten Operationen“ (die bei den meisten Kindern ca. vom 7.-8. bis zum 13.-15.Altersjahr dauert):

„Das Verständnis ist nur dann gesichert, wenn das Kind die Gegenstände in der Hand hat, oder sie von früheren Erfahrungen her gut kennt. … Wenn in dieser Etappe … versucht wird, Symbole zu verwenden, wie sehr sie auch vereinfacht sein mögen, dann sieht sich das Kind gezwungen, auf eine Art Verteidigungsmassnahme zurückzugreifen: es muss sein Gedächtnis einsetzen, um auf Verlangen das gewünschte Wissen wiederholen zu können. (…) Claparède stellte folgendes Gesetz auf: Alles, was seinerzeit auswendig gelernt wurde, ist später viel schwieriger zu verstehen. Es überrascht nicht, dass wir so oft beobachten, wie sehr diese Praxis des Auswendiglernens von Regeln eine intelligente Anwendung erschwert.“
(Rebeca Wild, „Educar para ser“, Barcelona 1999)

(Für die Wissbegierigen: Die richtige Anwendung der Addition und Subtraktion ist prägnant zusammengefasst in dem von Euklid so formulierten Axiom: „Das Ganze ist grösser als sein Teil.“ Wer dies verstanden hat (ich sage nicht „auswendiggelernt“!), wird das Problem nicht mehr haben, ob er zu- oder wegzählen muss. Aber ich fand, dass es erstaunlich schwierig ist für bürokratisch erzogene Schüler, ein so einfaches Axiom wie dieses zu verstehen.)

Unter den „schulischeren“ Problemen sind die Ziffern-Kryptogramme ebenfalls eine Herausforderung an den bürokratischen Unterricht. Es ist unmöglich, ein mechanisches Vorgehen zur Lösung solcher Kryptogramme vorzuschreiben. Jedes Kryptogramm basiert wieder auf einer anderen Eigenschaft der Zahlen, die herausgefunden werden muss – aufgrund von Prinzipien. Deshalb gehören die Ziffern-Kryptogramme zu den hervorragendsten Übungen, um die Denkfähigkeit zu trainieren. Aber ich fand, dass gerade diese Art Übungen in den (fälschlich) „Mathematisches Denken“ genannten Schulbüchern so gut wie gar nicht vorkommen. Diese Bücher beschränken sich normalerweise auf Aufgaben, die leichter mechanisiert werden können, wie z.B. das Zählen von geometrischen Figuren oder das Weiterführen von Zahlenreihen.

(Anm: Ein Computer kann natürlich aufgrund seiner immensen Rechengeschwindigkeit solche Kryptogramme mechanisch lösen, indem er einfach alle möglichen Zuordnungen von Symbolen zu Ziffern ausprobiert. Ein menschliches Gehirn jedoch ist gezwungen, einen intelligenteren und von Fall zu Fall wieder anderen Lösungsweg zu finden – was ein Computer nicht kann. Das ist es genau, was das menschliche Denken vom Computer unterscheidet.)

Einige Vorgehensweisen des bürokratischen Unterrichts widersprechen sogar direkt den mathematischen Prinzipien.

Die Bürokratie ist nicht daran interessiert, die Prinzipien zu respektieren. Ihre Vorgehensweisen müssen exakt erfüllt werden, sogar wo sie den Schüler auf einen falschen Weg führen. Ich möchte hier zwei Prozesse erwähnen, denen ich fast täglich begegne, und die effektiv bewirken, dass die Schüler falsche Prinzipien lernen. Der Prozess an sich liefert zwar das richtige Ergebnis – aber auf einem Weg, der falsche Prinzipien suggeriert:

1. Das Vorzeichen auf die falsche Seite setzen.
In den meisten Rechnungsbüchern für die Primarschule finde ich so geschriebene Subtraktionen:

Das erweckt den Eindruck, als ob das Minuszeichen zur Zahl 345 gehörte. Aber die Zahl, die weggezählt wird, ist 238 und nicht 345. In vektoriellem Sinn gesprochen ist 345 die Zahl, welche positive Richtung hat, und 238 hat negative Richtung. Deshalb sollte das Minuszeichen vor 238 stehen und nicht hinter 345.

Man könnte meinen, das sei ein unbedeutendes Detail, aber das ist es nicht. Dieser „unbedeutende“ Fehler verursacht im Denken der Schüler ein Problem, das einige von ihnen bis zum Ende ihrer schulischen Laufbahn verfolgen wird. Später werden sie nämlich algebraische Ausdrücke wie diesen vereinfachen müssen:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Viele Schüler, die sich während Jahren (fälschlicherweise) angewöhnt haben, das Minuszeichen rechts von der Zahl zu schreiben, werden instinktiv in ihrem Denken die Ausdrücke so sehen:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Somit werden sie den Ausdruck auf eine der folgenden Weisen gruppieren, die beide falsch sind:

3a + 6a +? (-?) 5b – 4b – 7
oder: 3a + 6a – 5b – 4b + 7

Im Unterschied zu den vorher angeführten Beispielen ist es hier nicht eine sinnlose bürokratische Forderung, das Vorzeichen auf die richtige Seite zu setzen. Es ist eine Frage der Prinzipien und beeinflusst den mathematischen Lernprozess. Aber die Bürokratie ist nicht daran interessiert, ob richtige oder falsche oder überhaupt keine Prinzipien erlernt werden. Deshalb scheint dieser Fehler niemanden zu beunruhigen.

Ob das Vorzeichen rechts oder links von der Zahl gesetzt wird, ist an sich noch kein Prinzip. Es ist eine Konvention; d.h. eine gegenseitige Vereinbarung der Mathematiker. Wir könnten die Konvention ändern und vereinbaren, dass wir von jetzt an das Vorzeichen rechts von der Zahl schreiben. Aber dann müssten wir die obige Subtraktion wie folgt schreiben:

Kein mathematisches Prinzip erlaubt uns in diesem Beispiel, das negative Vorzeichen mit der Zahl 345 zu verbinden – weder rechts noch links. Das ist schlicht und einfach ein Fehler; und ein folgenschwerer dazu, wie wir oben sahen. Nicht aus bürokratischen Gründen, sondern aus prinzipiellen.

2. In einer Gleichung „etwas auf die andere Seite verschieben“.
Hier haben wir eine einfache Gleichung. Manchmal bitte ich einen Schüler, mir zu erklären, wie er sie löst:

x + 5 = 18

Meistens erhalte ich folgende Antwort: „Ich verschiebe die 5 auf die andere Seite und ändere das Vorzeichen.“ – Diese Erklärung ist zwar technisch richtig, widerspricht aber völlig den mathematischen Prinzipien.

Das allgemeine Prinzip, das allen Gleichungen zugrunde liegt, ist die Gleichheit. Die beste Illustration dafür ist eine Balkenwaage im Gleichgewicht:

Um eine Gleichung richtig zu lösen, muss dieses Gleichgewicht während des ganzen Vorgangs bewahrt bleiben. Nur so kann ich sicherstellen, dass am Ende, wenn die Unbekannte „x“ auf einer Seite allein übrigbleibt, das Gleichheitszeichen immer noch zutrifft.
Wenn ich aber etwas „auf die andere Seite verschiebe“, dann ist die Waage offensichtlich nicht mehr im Gleichgewicht:

Somit kann dies nicht der richtige Weg sein, eine Gleichung zu lösen. – Auch wenn ich bei einem der Ausdrücke „das Vorzeichen ändere“, verliert die Waage ihr Gleichgewicht, weil -5 nicht gleich 5 ist. Wer also „etwas auf die andere Seite verschiebt und das Vorzeichen ändert“, begeht gleich zwei schwere Fehler (deren Folgen sich glücklicherweise in diesem Fall aufheben).

Das richtige Prinzip zum Umformen und Lösen einer Gleichung ist dieses:
Jede Operation, die mit der linken Seite der Gleichung ausgeführt wird, muss in gleicher Weise auch mit der rechten Seite ausgeführt werden.

Wenn ich links 5 dazuzähle, muss ich auch rechts 5 dazuzählen. Wenn ich die linke Seite durch 3 teile, muss ich auch die rechte Seite durch 3 teilen. – Das ist das richtige Prinzip, welches zu richtigen Ergebnissen führt, ohne Verwirrung zu stiften.

(Dieses Prinzip sollte dann noch mit dem anderen Prinzip ergänzt werden, dass jede mathematische Operation durch ihre Umkehroperation aufgehoben wird: eine Addition wird durch eine Subtraktion aufgehoben und umgekehrt; eine Multiplikation durch eine Division, und eine Potenz durch eine Wurzel.)

In unserem anfänglichen Beispiel wäre also die richtige Anwendung dieses Prinzips: Wir ziehen auf beiden Seiten der Gleichung 5 ab.

Das Endergebnis ist natürlich dasselbe wie beim „schulischen Vorgehen“. Was ist dann so schlimm daran, „etwas auf die andere Seite zu verschieben“?

Der Schaden geschieht einmal mehr auf der Ebene der Prinzipien. Das „schulische Vorgehen“ ist ein sinnloser mechanischer Prozess, der „so gemacht wird, weil es so gemacht wird“, und Punkt. Wenn jemand fragt warum, wird er keine Erklärung erhalten, denn es gibt keine stimmige mathematische Erklärung für dieses Vorgehen. Wie wir gesehen haben, widerspricht dieses Vorgehen den mathematischen Prinzipien. Einmal mehr lernt der Schüler nur eine Technik, aber er lernt keine Mathematik. Noch schlimmer: er lernt falsche Prinzipien: dass man in einer Gleichung eine Zahl „auf die andere Seite verschieben“ könne, und dass man „das Vorzeichen ändern“ könne, ohne dass dies die Richtigkeit der Gleichung beeinträchtige.

Ausserdem stiftet das „schulische Vorgehen“ Verwirrung. Schon wenn wir zu Gleichungen mit Multiplikationen und Divisionen kommen wie die folgenden:

a) 5x = 45

b) x / 5 = 13

Der Schüler wird auch in diesem Fall sagen, man müsse „die 5 auf die andere Seite verschieben“, aber muss man jetzt auch das Vorzeichen ändern oder nicht? Nicht? Warum nicht? – Wiederum kann dies nicht auf logische Weise erklärt werden, weil das Vorgehen an sich unlogisch ist. Mit einem solchen Unterricht muss der Schüler für jede neue Operation einen neuen separaten Prozess lernen. Wenn er zu Potenzen und Wurzeln kommt, muss er wieder ein neues Vorgehen lernen (während er in einem Winkel seines Gehirns immer noch darüber nachsinnt, warum man bei einer Summe „das Vorzeichen ändern“ muss und bei einer Multiplikation nicht.)

Eine zusätzliche Verwirrung ergibt sich bei einem Fall wie diesem:

x / 5 = 13 + a

Der Schüler „weiss“ (d.h. nimmt irrtümlich an), dass er „die 5 auf die andere Seite verschieben“ muss, aber wie genau? Muss man die 13 mit 5 multiplizieren, oder das a, oder beide? – Der Lehrer kann ihm natürlich sagen, dass man beide multiplizieren muss, aber warum? Auch hier gibt es keine logische Erklärung, wenn von einem falschen Vorgehen ausgegangen wird.

Hätte unser Schüler von Anfang an das richtige Prinzip gelernt, dann bliebe ihm diese Verwirrung erspart. (Das Wort „Prinzip“ hat übrigens etymologisch mit „Anfang“ zu tun: Die Prinzipien sind das, was am Anfang vorausgesetzt werden sollte – nicht was man dem Unterricht zum Schluss als Verzierung aufsetzen soll.) Das Prinzip der Waage sagt dem Schüler klar, dass er eine Multiplikation mit einer Division aufheben kann; und es ist offensichtlich, dass man bei einer Division nicht einfach so das Vorzeichen des Divisors ändert. Im Licht dieses Prinzips ist es auch offensichtlich, dass man beim Multiplizieren der Gleichung (beider Seiten der Gleichung) den vollständigen Inhalt der Waagschalen multiplizieren muss und nicht nur einen Teil. – Ausserdem gilt das Prinzip generell, d.h. es lässt sich auf jede mathematische Operation in gleicher Weise anwenden. (Spitzfindige „Klippen“ wie z.B. das Teilen durch die Unbekannte können dann immer noch separat besprochen werden; aber dieses Problem habe ich in den hiesigen Schulbüchern noch nicht einmal behandelt gesehen.) Der Schüler muss nicht für jede mathematische Operation ein neues Vorgehen lernen. So kann viel Verwirrung vermieden werden, wenn Mathematik auf der Grundlage von Prinzipien gelehrt wird, statt auf bürokratische Weise.

(Fortsetzung folgt)

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