Lernprojekt: Modellbogen-Geometrie

Ich bin nach Einzelheiten darüber gefragt worden, wie unsere Kinder und Nachhilfeschüler beim Konstruieren von Modellbogen Geometrie lernten. Deshalb möchte ich einen Artikel diesem Thema widmen.

Vorbemerkungen:

Es ist uns wichtig, dass unsere Homeschooling-Lernprojekte mit den eigenen Interessen unserer Kinder zu tun haben. Es ist also nicht so, dass wir eines Tages fanden: „Modellbogen wären doch eine originelle Art, Geometrie zu lernen“, und dann versuchten, dieses Programm den Kindern schmackhaft zu machen. Vielmehr beobachteten wir, dass unsere Kinder mit Eifer Modellbogen zusammenbauten und immer wieder neue haben wollten. Ab und zu versuchten sie von sich aus, eigene Modelle zu konstruieren. Das „Modellbogenfieber“ griff auch auf einige ihrer Freunde über. Da war es naheliegend, ihnen zu helfen, ihre Fertigkeiten darin zu verbessern.

Andere Kinder werden andere Vorlieben und Interessen haben, die Anlass zum Erlernen der Mathematik und Geometrie geben. Bei einem ist es vielleicht das Kochen nach Rezept; bei einem anderen das Orientierungslaufen und Landkartenlesen; bei wieder einem anderen sind es vielleicht Strickmuster. (Im Ernst! Nach Howard Gardner, dem Entdecker der „mehrfachen Intelligenzen“, ist es vorwiegend die mathematische Intelligenz, die beim Stricken aktiviert wird.)

Voraussetzungen:

Die Kinder sollten zumindest mit den einfachsten Grundbegriffen der Geometrie vertraut sein: mit den Namen der geometrischen Figuren, mit dem Begriff des Winkels, und w.m mit der Parallelität. Auch sollten sie schon etwas Übung darin haben, mit dem Massstab Strecken abzumessen.

Einführung für die Kinder:

Das einfachste Projekt für Anfänger ist wahrscheinlich eine rechteckige Schachtel. Als Einführung kann man einige Schachteln z.B. von Zahnpasta, Teebeuteln oder Medikamenten mitbringen, sie öffnen und untersuchen, wie sie zusammengesetzt sind. (Schachteln nicht aufschneiden, sondern vorsichtig an den Klebestellen aufreissen.) So können die Kinder sehen, wie aus einem entsprechend geformten flachen Stück Karton durch Falten und Kleben eine Schachtel entsteht. Dann können sie eine eigene Schachtel mit selbst gewählten Massen konstruieren. Wahrscheinlich werden sie dabei selber merken, dass es verschiedene Arten gibt, eine Schachtel „aufzuklappen“, je nachdem, ob man die Seitenwände alle an den Boden anfügt oder aneinander.

Dieses Modell erfordert als einzige geometrische Konstruktion das Rechteck. Etwas räumliches Vorstellungsvermögen ist nötig, um zu verstehen, wo die Klebefalten anzubringen sind. (Faustregel: Besser zuviele Klebefalten als zuwenig! Wenn man beim Zusammenkleben feststellt, dass eine Klebefalte unnötig ist, kann man sie immer noch abschneiden; aber eine fehlende anzufügen, ist etwas umständlicher.)

Rechteckskonstruktion:

Man muss die Kinder zuerst daran gewöhnen, sowohl Strecken wie Winkel nach Mass zu zeichnen. Manche Kinder werden z.B. die erste Seite des Rechtecks mit dem Massstab abmessen, aber die rechten Winkel der anliegenden Seiten nach Augenmass zeichnen. Wenn sie dann diese Seiten abmessen und deren Endpunkte verbinden, werden sie feststellen (oder man muss sie darauf hinweisen), dass die entstandene vierte Seite nicht genau die richtige Länge hat. (Evtl. kann man mit diesem Hinweis auch warten, bis die Kinder beim Zusammenkleben der Schachtel die Erfahrung machen, dass sie schief wird.)

Somit muss das Zeichnen eines rechten Winkels (mit Zeichendreieck oder evtl. Transporteur) geübt werden.

Anfängerprojekte

Hier einige weitere mögliche Konstruktionen für Anfänger:

Haus mit Giebel.

Die Seitenwand (mit dem Giebel) kann als Rechteck mit aufgesetztem Dreieck aufgefasst werden. Man könnte die Kinder auffordern, die eine Seitenwand frei zu zeichnen, und dann die gegenüberliegende Wand dazu kongruent zu konstruieren; aber die meisten sind damit überfordert. Besser ist es, sie zum Zeichnen des Giebeldreiecks auf eine der folgenden Arten anzuleiten:

a) aus Grundlinie (= obere Rechtecksseite) und den anliegenden Winkeln (mit Transporteur).

b) aus Grundlinie und Höhe, basiert in der Mitte der Grundlinie.

Etwas fortgeschritteneren Schülern könnte man hier auch die Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Seiten (mit Zirkel) beibringen. Zudem könnte man hier auf die Kongruenzsätze beim Dreieck eingehen.

Die Länge der zwei Dachteile (von der unteren Kante bis zum First) muss am bereits gezeichneten Giebeldreieck abgemessen werden. Vielleicht kommen die Kinder selber darauf; sonst muss man sie darauf hinweisen.

Andere Häuser.

Das Thema „Haus“ kann beliebig abgewandelt werden. Z.B:

– Ein Haus mit Giebel, das den Giebel nicht in der Mitte hat. Hier ist wichtig, dass die gegenüberliegende Hauswand spiegelverkehrt gezeichnet wird.

– Ein Haus, das um die Ecke gebaut ist. Zuerst mit Flachdach, das ist einfacher. Ein um die Ecke gebautes Haus mit Giebeldach (zwei Dachfirste rechtwinklig zueinander) ist schon eine erhebliche Knacknuss, die von den wenigsten Kindern ohne Hilfe gelöst werden kann. Die einfachste Lösung besteht darin, als Hilfskonstruktion den Grundriss des Hauses zu zeichnen; aus dieser Zeichnung kann die Länge der Dachfirste bis zum Schnittpunkt abgelesen werden. Die übrigen Masse der Dachteile ergeben sich aus den Massen der Seitenwände.
Man kann hier auch zeigen, dass wenn sich der Giebel in der Mitte befindet, die Länge des Dachfirsts genau der Durchschnitt der Längen der beiden unterschiedlichen Seitenwände ist. Sätze über Ähnlichkeit und Proportionen, Strahlensatz usw. kommen hier ins Spiel.

– Turm mit pyramidenförmiger Spitze. Am einfachsten ist das mit einem quadratischen Grundriss, dann besteht das Dach aus vier gleichen Dreiecken.

Ein einfaches Auto.

Dieses einfache Automodell besteht nur aus zwei gleichen Seiten und dem Dach dazwischen; unten ist es offen. Mit dem Konstruieren muss bei einer der Seiten angefangen werden, die (mit Ausnahme der Räder) aus lauter geraden Linien bestehen sollte. (Auf runde Formen sollte bei Anfängern verzichtet werden. Von unseren Nachhilfeschülern haben nur die Fortgeschritteneren, und erst in der zwölften Lektion, als erste runde Form einen Zylinder konstruiert.) – Kinder, die noch nicht mit dem Zirkel umgehen können, benützen für die Räder einen runden Gegenstand als Schablone (Münze, Klebeband-Rolle, o.ä.).
Dann wird über dieser Seite für das Dach ein Streifen in der gewünschten Breite des Autos konstruiert (Parallelität beachten!) und in Rechtecke unterteilt, deren jeweilige Länge an den Seitenlinien der bereits gezeichneten Seitenwand abgemessen wird.
Schliesslich wird auf der gegenüberliegenden Seite dieses Streifens die andere Seitenwand kongruent (d.h. spiegelverkehrt) zur ersten konstruiert. – Auch hier werden viele Kinder nur die Seitenlängen abmessen, während sie die Winkel nach Augenmass zeichnen. Es gibt verschiedene Arten, mit den Kindern die Kongruenz nachzuprüfen: Winkel und/oder Diagonalen nachmessen; warten, bis man beim Zusammenkleben sieht, ob das Auto schief wird; wenn auf normalem Papier gezeichnet wird, kann man es auch so falten, dass die Seitenwände übereinanderliegen, und gegen das Licht halten. Mit der Zeit werden die Kinder erkennen, dass Vielecke (mit mehr als drei Ecken) nur dann kongruent sind, wenn sie nicht nur in den Seitenlängen, sondern auch in den Winkeln übereinstimmen.

Eigene Projekte

Nachdem die Kinder diese ersten Konstruktionen gemeistert haben, können sie eigene Modelle mit geradlinigen Formen erfinden und konstruieren, z.B. weitere Hausformen; Möbel wie Tische, Stühle usw; geometrische Körper; einen Eisenbahnzug; usw. Oft haben die Kinder selber ganz originelle Ideen. (Eine Schülerin hat z.B. einen Bleistift aus Papier gebastelt.) Natürlich muss man beim Konstruieren manchmal helfen. Dabei lernen die Kinder fast von selber neue geometrische Konstruktionen.

Runde Formen

Die einfachste runde Form für die Modellbogenkonstruktion ist der Zylinder. Als Einführung kann man einen Kartonzylinder zeigen (z.B. leere WC-Papierrolle) und die Kinder fragen, was sich beim Aufschneiden und Auseinanderziehen für eine Form ergibt. (Die wenigsten kommen auf Anhieb darauf!) Dann führt man die Demonstration aus.
Jetzt ist es unumgänglich, die Zahl Pi einzuführen, damit aus dem Kreisradius der Umfang berechnet werden kann. Als Näherungswert für Modellbogenkonstruktionen ist 3,14 ausreichend (oder 22/7, wenn man lieber das Bruchrechnen üben will). Beim Zusammenkleben zeigt sich dann, ob die Rechnung richtig war.
Zudem ist hier die Gelegenheit, die Handhabung des Zirkels zu üben, wenn das nicht schon vorher getan wurde.

Bei runden Formen muss darauf geachtet werden, dass die Klebefalten in kleine Teile unterteilt werden – je kleiner, desto genauer das Ergebnis, aber desto schwieriger das Zusammenbauen.

Der Zylinder eignet sich als Grundform für verschiedene Modelle, z.B: Pfanne, runder Turm, Räder (für detailgetreuere Automodelle), usw.

Kegel und Kegelstumpf:

Dass ein Kreissektor beim Zusammenkleben der beiden Seiten (Radien) einen Kegel ergibt, kann leicht vorgeführt werden. Wenn die genauen Masse des Kegels unwesentlich sind, dann kann man ihn einfach aus einem Halbkreis basteln. Wie findet man aber die richtigen Masse des Kreissektors, um einen Kegel mit gewünschtem Radius (r) und gewünschter Höhe (h) zu erhalten?
Dazu zeichnen wir als Hilfskonstruktion den Aufriss des Kegels, d.h. ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundlinie 2r und Höhe h. Die Länge der Schenkel dieses Dreiecks ist die Mantellinie des Kegels. Diese entspricht dem Radius (R) des Kreissektors, den wir zeichnen müssen. (Als Alternative kann man R auch mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen.)

Der Umfang des Grundkreises unseres Kegels (=2rPi) entspricht dem Bogen unseres Kreissektors. Mit ein wenig Algebra kommt man darauf, dass somit der Öffnungswinkel des Sektors 360º · r / R betragen muss.

Diese Überlegungen sind in der Regel für Primarschüler noch zu anspruchsvoll. Ich habe meinen Kindern gezeigt, wie man es macht, aber sie können es noch nicht selbständig. Wenn sie einen Kegel konstruieren wollen, bringen sie mir die gewünschten Masse, und ich berechne ihnen daraus die erforderlichen Masse des Kreissektors. Diesen können sie dann mit Massstab, Zirkel und Transporteur selber konstruieren. – Für Sekundarschüler hingegen ist es eine gute Übung, einige Kegelkonstruktionen selber zu berechnen.

Für einen Kegelstumpf geht man analog vor, indem man diesen als die Differenz zwischen einem grossen und einem kleinen Kegel auffasst.

Die Kombination von Zylinder und Kegel kann man u.a. verwenden für: Runde Türme mit spitzem Dach; Flugzeugrümpfe; Raketen. Oft ist es hier erforderlich, Tangenten an einen Kreis zu konstruieren, oder einander berührende Kreise. Das sind Gelegenheiten, neue Konstruktionen zu lernen.
(Unten: Runder Turm mit kegelförmigem Dach.)

Andere runde Formen:

In diesem Stadium könnten jetzt die Kinder andere runde Formen ausprobieren, z.B. ein Automodell mit gerundeten Seitenlinien. Die Länge des Dachstreifens kann in diesem Fall gemessen werden, indem man einen Faden der Seitenlinie entlang legt, diesen dann geradezieht und mit dem Massstab seine Länge misst.

Sehr schwierig hingegen sind kugelige Formen, Zwiebeldächer, Parabolspiegel, usw. Diese müssen aus Sektoren oder Kegelstümpfen annäherungsweise zusammengesetzt werden. Das gehört aber schon zur „Hohen Schule“ der Modellbaukunst und erfordert sehr genaues Konstruieren und/oder höhere Mathematik.

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