Mathematische Kunstausstellung (Teil 1)

Kann Mathematik schön sein?

– Der englische Mathematiker G.H.Hardy behauptete in seinem Buch „A Mathematician’s Apology“ (Apologie eines Mathematikers, 1940) sogar, Mathematik an sich sei Kunst. Wie es Steve Whittle in einem Internetartikel zusammenfasst: „Hardy fand, dass das allgemeine Publikum, und sogar einige Gelehrte, die Mathematik nur als ein Werkzeug zum Fortschritt anderer Wissenschaften ansahen, ohne eigenen Wert in sich selbst. Aber echte mathematische Gelehrte finden in ihr einen ästhetischen Wert, und Hardy sagt, das sei der wirkliche Beweggrund dazu, reine Mathematik zu studieren. Um das Studium der reinen Mathematik zu rechtfertigen, behauptete Hardy dann, Mathematik sei Kunst. Um diese Behauptung zu erläutern, führte er Beweise für zwei Sätze aus Euklids „Elementen“ an und hob deren ästhetische Qualitäten hervor.“

Hardy erntete heftige Kritik von anderen Gelehrten, besonders für seine Behauptung, echte Mathematik zeichne sich gerade dadurch aus, dass sie keinen praktischen Nutzen habe – bzw. die angewandte Mathematik (z.B. in den Ingenieurwissenschaften) sei keine „echte“ Mathematik mehr. Für ihn existierte die Mathematik „in einer anderen Wirklichkeit, abgesondert von der physischen Welt und sogar abgesondert vom menschlichen Geist.“ Es ist interessant, dass Hardy – ohne Christ zu sein – anerkannte, dass die Mathematik etwas Transzendentes ist, also die menschliche Wahrnehmung und den menschlichen Verstand übersteigt.

Mit den untenstehen Graphiken möchte ich veranschaulichen, dass Mathematik tatsächlich einen ästhetischen und künstlerischen Wert haben kann. Dies wiederum kann künstlerisch veranlagte Schüler zum Erlernen der Mathematik motivieren, wenn sie entdecken, dass mathematische Gesetzmässigkeiten tatsächlich „schön“ sein können. Man muss dazu nicht einmal bis zu Euklid vorstossen; ich werde in diesem ersten Artikel mit ganz einfachen Beispielen anfangen.

Ich verwende in dieser Artikelserie den Begriff „Kunst“ nicht im Sinne der landläufigen Definition „Kunst kommt von Können“. (Eine Definition, die seinerzeit von Karl Valentin relativiert wurde durch den Zusatz: „…aber wenn man es kann, dann ist es ja keine Kunst mehr.“) Es gibt echte Künstler, die tatsächlich ihrer Kunst die Mathematik zugrundelegten; wohl der bekannteste unter ihnen ist M.C.Escher. Ich bin zwar der Auffassung begegnet, die Werke Eschers seien reine geometrische Konstruktionen und hätten deshalb keinen echten künstlerischen Wert. Damit bin ich nicht einverstanden. Man kann Escher natürlich nicht mit einem Rembrandt vergleichen, sein Stil ist völlig anders. Aber er beweist jedenfalls grosse Originalität, was ebenso ein Kennzeichen von Kunst ist.
– Im Gegensatz dazu wurden die hier vorgestellten „Kunstwerke“ nicht aufgrund eines besonderen menschlichen „Könnens“ oder einer originellen Idee geschaffen. Sie stellen lediglich Versuche dar, die bereits in der Mathematik enthaltene „Kunst“ oder Ästhetik auf eine mehr oder weniger interessante Weise sichtbar zu machen. In den meisten Beispielen werde ich mit einer einfachen (oder auch komplizierteren) mathematischen Gesetzmässigkeit beginnen und versuchen, diese mittels bestimmter Farbmuster, Formen, Computersimulationen etc. graphisch auszudrücken. Ein echter Künstler könnte das natürlich auf eine viel ansprechendere Weise tun, als es in den folgenden Beispielen geschieht. Ich möchte aber eben zeigen, dass die Mathematik das „Dazutun“ eines menschlichen Künstlers gar nicht nötig hat, sondern dass die Mathematik an sich schon „Kunst“ sein kann.

Andererseits bin ich nicht einig mit Hardy darin, dass Mathematik nur „unnütze“ Kunst sei. Als Christ glaube ich, dass die Mathematik die Ordnung widerspiegelt, die Gott in seine Schöpfung hineingelegt hat, und dass Mathematik deshalb sehr wohl etwas mit der physischen Welt zu tun hat und somit auch praktisch nützlich sein darf und soll. Aber gerade deshalb ist zu erwarten, dass Mathematik auch schön ist; denn Ordnung und Ästhetik sind miteinander verwandt. Ich kann das zwar nicht exakt biblisch belegen; aber es passt für mich zum Charakter Gottes, wie ich ihn bisher kennengelernt habe und in der Bibel beschrieben sehe.

Die „mathematische Kunst“, die ich im folgenden vorstelle, kann wiederum den praktischen Nutzen haben, Schüler (und Erwachsene!) neugierig zu machen und zum Erforschen der dahinterstehenden Gesetzmässigkeiten anzuregen.

Fangen wir mit etwas ganz einfachem an:

Das bunte Einmaleins

Intelligente Schüler finden bald heraus (wenn nicht schon der Lehrer sie darauf aufmerksam macht), dass die Zehnerreihe am einfachsten zu lernen ist, weil alle Ergebnisse mit einer Null enden. Die nächst-einfache Reihe wäre dann die Fünferreihe, wo sich Nullen und Fünfen abwechseln. Wir können diese Gesetzmässigkeit veranschaulichen, indem wir eine Multiplikationstabelle aufstellen und darin alle Zahlen, die mit einer Null bzw. einer Fünf enden, farbig anmalen:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

(Um der Ästhetik willen habe ich die Tabelle mit 0 x 0 begonnen.)

Ähnliche Bilder kann man auch mit anderen Endziffern „malen“. Wählen wir z.B. eine Farbe für die Endziffer 2 und eine andere Farbe für die Endziffer 8, so erhalten wir folgendes Muster:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Natürlich habe ich die 2 und die 8 nicht ganz zufällig ausgewählt. Das Muster wird symmetrisch, weil sich 2 und 8 auf 10 ergänzen. – Sehen wir uns weitere solche Ziffernpaare an:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Wir können uns hier fragen, warum es bei den beiden letzten Ziffernpaaren (1 und 9 bzw. 3 und 7) so wenige farbige Felder gibt im Vergleich zu den anderen. Lassen wir diese Frage aber noch ein wenig warten.

Kurven zweiten Grades im Einmaleins

Malen wir jetzt die Einmaleins-Tabelle auf eine andere Art an: Alle Zahlen, die kleiner als 10 sind, erhalten eine bestimmte Farbe. Alle Zahlen von 10 bis 19 eine andere Farbe, alle Zahlen von 20 bis 29 wieder eine andere Farbe, usw. Wenn wir Regenbogenfarben wählen, ergibt sich folgendes Bild:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Machen wir die Tabelle etwas grösser, sagen wir bis 20 x 20, um das Muster besser sehen zu können. Hier wechseln wir die Farbe in 20er-Schritten:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
0 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
0 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
0 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Um jetzt ein wirkliches „Kunstwerk“ daraus zu machen, schreiben wir keine Zahlen mehr, sondern ersetzen jedes Feld der Tabelle durch einen farbigen Punkt in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Ausserdem nehmen wir noch die negativen Zahlen dazu, sodass sich der Nullpunkt in der Mitte des Bildes befindet. Jedem Ergebnis wird eine Farbe auf einer „Regenbogenskala“ zugeordnet. Das ergibt folgendes Muster:

Oder, wenn wir die Farben nur in diskreten Schritten ändern:

Kenner wissen natürlich, dass die hier erscheinenden Kurven Hyperbeln sind. Das ist aber kein elementares Thema mehr. Ausgehend vom einfachen Einmaleins stossen wir hier plötzlich in Regionen höherer Mathematik vor…

In der Multiplikationstabelle verbergen sich noch weitere Kurven zweiten Grades: Wenn man die Zahlenwerte, die sich in irgendeiner Diagonale befinden, als Funktion graphisch aufzeichnet, erhält man eine Parabel. (Mathematik-Bewanderte mögen selber herausfinden, warum das so ist.)
Eine Art, das graphisch darzustellen, ist die folgende: Wir nehmen eine geometrische Transformation vor, d.h. wir „verziehen“ die Multiplikationstabelle so, dass jede Zahl genau auf die Höhe zu liegen kommt, die ihrem Zahlwert entspricht. Also: Die Zahl 1 liegt genau eine Masseinheit unter der (waagrechten) Grundlinie, die Zahl 2 zwei Masseinheiten, die Zahl 10 zehn Masseinheiten, usw. Zeichnen wir in dieser Tabelle die Querdiagonalen ein (die roten Linien), erscheinen sie tatsächlich als Parabeln:

Unten noch eine andere Art der graphischen Darstellung: Wir stellen uns die Multiplikationstabelle als eine Spielzeugstadt aus Klötzchen vor. Auf jedes Feld stellen wir ein Klötzchen, dessen Höhe dem Zahlwert des Feldes entspricht. Wenn wir dann diese Klötzchenstadt den Diagonalen entlang einfärben, wird wieder die Parabelform sichtbar:

Genug für heute! Ein anderes Mal mehr.

– Ach, und das Bild ganz am Anfang, unter dem Titel? Das ist auch eine Multiplikationstabelle, aber was für eine, werde ich in der nächsten Folge erklären. Also noch ein wenig Geduld bitte …

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