Mathematische Kunstausstellung (Teil 2): Modulare Arithmetik

In der ersten Folge dieser Serie haben wir uns vorwiegend mit der Multiplikationstabelle beschäftigt – ein Thema, das schon Kindern in den ersten Schuljahren zugänglich ist und ihnen zeigt, dass man mit Mathematik „Kunstwerke“ produzieren kann. Ich habe auch kurz meine Beweggründe dafür ausgeführt, eine solche „mathematische Kunstausstellung“ zu veranstalten.

Modulare Arithmetik im Einmaleins

In der ersten Folge haben wir die Zahlen der Multiplikationstabelle auf verschiedene Arten eingefärbt: nach ihren Endziffern, und nach ihrer Grösse (Zahlwert). Wir können sie auch nach anderen Kriterien einfärben, z.B. gerade/ungerade. Dann erhalten wir folgendes Muster:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Auf den ersten Blick sehen wir, dass es in dieser Tabelle viel mehr gerade als ungerade Zahlen gibt. Das liegt natürlich daran, dass eine gerade Zahl, multipliziert mit irgendeiner Zahl, immer eine gerade Zahl ergibt. (Hier liegt auch die Antwort auf die Frage in der ersten Folge, warum es so wenige Einmaleinszahlen gibt, die auf 1, 3, 7 oder 9 enden.)

Abgesehen vom Spiel mit den Farben, können solche Tabellen auch helfen, Fehler zu vermeiden. Wenn der Schüler die Tabelle selber schreibt und das Farbmuster irgendwo „gestört“ ist, dann ist die Zahl dort wahrscheinlich falsch. Wenn das Gesetz von Gerade und Ungerade einmal erkannt ist, dann wird der Schüler auch nicht mehr behaupten, 7 x 8 sei 65. Er erkennt dann nämlich sofort, dass das Ergebnis nicht ungerade sein kann, wenn die Multiplikation eine gerade Zahl (8) enthält.

– Das Kriterium „gerade/ungerade“ kann auch so umschrieben werden: Welcher Rest ergibt sich, wenn wir die Zahl durch 2 teilen? – Dann können wir natürlich statt 2 irgendeine andere Zahl wählen. In der untenstehenden Tabelle erhält jede Zahl ihre Farbe je nachdem, ob sie beim Teilen durch 3 den Rest 0, 1 oder 2 ergibt:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Und hier teilen wir jetzt durch 4:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Offensichtlich wiederholt sich hier immer dasselbe Muster von 4 x 4 Feldern. Ausserdem hat dieses Muster jeweils in der Mitte ein Feld mit derselben Farbe wie der „Rand“, nämlich Rest 0 (warum wohl?).

In der nächsten Tabelle malen wir die Zahlen gemäss ihrem Fünferrest an. Ist es eine Überraschung, dass sich hier ein Muster von 5 x 5 Feldern wiederholt?

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Noch ein (fast) letztes Beispiel dieser Art: der Rest beim Teilen durch 6. Man kann hier auch darüber nachdenken, in welcher Weise sich die Muster unterscheiden, wenn die Teilungszahl einerseits eine Primzahl, bzw. andererseits eine zusammengesetzte Zahl ist.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Würden wir statt des Sechserrests den Zehnerrest wählen, dann erhielten wir eine Kombination aller „Endziffern-Bilder“ aus der ersten Folge.

Hier bewegen wir uns im Gebiet der modularen Arithmetik, ein interessanter Bereich der Zahlentheorie. Kurz gesagt geht es darum, dass man statt mit den kompletten Zahlen zu rechnen, lediglich mit dem Rest (=Modulo) rechnet, den die Zahlen beim Teilen durch eine bestimmte konstante Zahl ergeben. Dieser Rest macht nämlich die Rechenoperationen genau gleich mit wie die kompletten Zahlen. Eine bekannte Anwendung davon ist die „Neunerprobe“: Man kann eine Rechnung auf ihre Richtigkeit überprüfen, indem vergleicht, ob die Operation auch stimmt, wenn man die Neunerreste der einzelnen Glieder und des Ergebnisses nimmt.

Diese Modulo-Funktion bringt aber auch interessante Kunstwerke hervor. Hier z.B. die Multiplikationstabelle modulo 256, mit dem Nullpunkt in der Bildmitte. Es erscheinen bemerkenswerte sich überlagernde Muster:

Etwas mehr modulare Arithmetik

Das folgende Bild stellt die einfache Funktion z = x mod y dar, wobei z der Farbton ist. (D.h. die Farbe stellt den Rest dar, den x geteilt durch y ergibt.) Die „Regenbogenskala“ wird jeweils gleichmässig über den ganzen Bereich der möglichen Reste verteilt:

Was passiert, wenn wir statt einfach den Rest der Zahl x zu nehmen, die Zahl zuerst quadrieren? – Hier die Funktion z = x2 mod y:

Wir treiben das Spiel noch ein wenig weiter und stellen z = x3 mod y graphisch dar:

Man könnte annehmen, dass bei höheren Potenzen weitere interessante Muster erscheinen. Das aber nicht unbedingt so. Hier ein aufs Geratewohl ausgewähltes Beispiel, das auf den ersten Blick sehr ungeordnet aussieht, obwohl es zweifellos seine Gesetzmässigkeiten hat: z = x105 mod y:

In einer kommenden Folge werden wir dieses Thema noch ein wenig ausweiten.

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