Archive for Juni 2012

Mathematische Kunstausstellung (Teil 5): Kubische Funktionen, mathematische Landschaften und digitale Bildbearbeitung

29. Juni 2012

Kurvenscharen zweiten und dritten Grades

Es ist wohlbekannt, dass man mathematische Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch als Kurven darstellen kann. So ergibt z.B. die Funktion y = x eine im Winkel von 45º ansteigende Gerade; die Funktion y = x2 ergibt eine nach oben geöffnete Parabel.

Nun kann man eine solche Funktion um einen veränderlichen Parameter erweitern, dann erhält man eine ganze „Familie“ von Funktionen oder Kurven. Statt y = x2 kann ich z.B. schreiben y = ax2, und der Parameter a kann z.B. die Werte von -1 bis 1 durchlaufen. Wenn wir die entstehenden Kurven alle zusammen in einem einzigen Koordinatensystem zeichnen, erhalten wir folgende Kurvenschar:

(Die Seitenlänge jedes weissen Quadrats entspricht einer Einheit. Logischerweise gehen alle diese Kurven durch den Nullpunkt, denn wenn x=0 ist, wird der Funktionswert immer Null, unabhängig vom Parameter.)

Hier noch eine weitere Kurvenschar. Sie stellt die Funktion y = x3 + x2 + bx dar, wobei der Parameter b die Werte von -3 (rote Kurve) bis 4,5 (violette Kurve) durchläuft.

Nun können wir natürlich weitere veränderliche Parameter einführen. Z.B. können wir den quadratischen Ausdruck x2 mit einem Parameter a multiplizieren und diesen im Lauf der Zeit ändern: y = x3 + ax2 + bx Damit erhalten wir ein bewegtes Bild. Im folgenden Bild durchläuft der Parameter b innerhalb jeder Kurvenschar die Werte von 0,9 (rot) bis 3,45 (violett). Im Lauf der Animation durchläuft zudem der Parameter a die Werte von 3,5 bis -3,5. Das sieht dann so aus:

Solche Kurven dritten Grades (bzw. kubische Funktionen) werden oft in Computergraphiken verwendet (z.B. die sogenannten Bezier-Kurven in Zeichnungsprogrammen). In solchen Graphiken ist es oft nötig, zwei gegebene Punkte mit einer möglichst „sanften“ Kurve zu verbinden. Wenn dann auch noch die Richtung bzw. Neigung vorgeschrieben ist, mit welcher die Kurve durch jeden der beiden Punkte verlaufen muss, dann ist eine Kurve dritten Grades die am einfachsten zu berechnende mathematische Kurve, welche diese Bedingungen erfüllt.
Computerprogramme zur Darstellung dreidimensionaler Landschaften z.B. können einige wenige gegebene Höhenpunkte in nahtlos ineinander übergehende Geländeformen verwandeln, indem sie die jeweiligen Höhen der dazwischenliegenden Flächen mittels einer kubischen Funktion interpolieren. So kommt die Mathematik der (digitalen) Kunst zu Hilfe.

Die folgende Animation zeigt diesen Vorgang vereinfacht, d.h. am Beispiel einer zweidimensionalen Kurve:


Wir interpolieren ein Gebirge

Bei einem dreidimensionalen Gelände sieht das so aus: Hier haben wir ein „Gebirge“, dessen Höhe durch 16 (4×4) Punkte definiert ist. Wenn wir keinerlei Interpolation anwenden, ergibt jeder Punkt einfach ein ebenes, quadratisches Plateau. Das sieht natürlich nicht wie ein richtiges Gebirge aus:

Das folgende Bild wurde aus denselben 16 Punkten konstruiert, aber diesmal werden die dazwischenliegenden Höhen linear interpoliert. (Genauer wird das bilineare Interpolation genannt, weil nach zwei Richtungen hin – Breite und Länge – interpoliert wird.) Das ergibt geradlinige Abhänge und pyramidenförmige Bergspitzen:

Im folgenden Bild nun wurden die Zwischenhöhen mit Hilfe einer kubischen Funktion errechnet (bikubische Interpolation); also wie im vorherigen zweidimensionalen Beispiel. Das ergibt gerundete Bergkuppen, die auf „natürlichere“ Weise ineinander übergehen. Um diese ganze Landschaft zu definieren, werden immer noch lediglich die ursprünglichen 16 Punkte gebraucht:


Anwendung in der digitalen Bildbearbeitung

Genau dieselben Algorithmen kommen auch z.B. bei der digitalen Vergrösserung von Fotografien zur Anwendung. Anstelle von Höhenstufen werden einfach die Farbwerte interpoliert. Der Computer „weiss“ ja gar nicht, ob die errechneten Zahlen nun Höhenangaben oder Farbabstufungen bedeuten; er rechnet einfach mit den „nackten“ Zahlen.

Dieses Bild von 28×28 Pixeln wird im folgenden 16-fach vergrössert.

So kommt es heraus, wenn man überhaupt keine Interpolation vornimmt: Das kleine Bild besteht tatsächlich aus genau denselben Farbquadraten wie das folgende grosse Bild. Es wird vom Auge nur nicht auf dieselbe Weise wahrgenommen, weil unser Auge im kleinen Bild die einzelnen Quadrate nicht mehr unterscheiden kann, im vergrösserten Bild aber sehr wohl. (Betrachten Sie das untenstehende Bild aus etwa fünf Metern Entfernung, und Sie werden sehen, wie Ihr Auge von selbst die Interpolation vornimmt.)

Im nächsten Bild wurde eine bilineare Interpolation vorgenommen. Das sieht schon viel besser aus, aber es erscheinen immer noch störende rechtwinklige Striche:

Und nun dieselbe Vergrösserung mit der bikubischen Interpolation. Die Farbübergänge sehen hier am besten aus:


Eine Fraktal-Landschaft

Zu guter Letzt verlassen wir die kubischen Funktionen und springen schnell zu einem anderen Thema. Wir wenden auf unsere künstliche Gebirgslandschaft eine ganz andere Art der Interpolation an, die noch viel eher den in der Natur vorkommenden Formen entspricht:

So sieht das Gebirge schon fast „echt“ aus. Es handelt sich hier um eine fraktale oder selbstähnliche Interpolation. Diese baut auf der bilinearen Interpolation auf, fügt aber in zunehmend kleineren Schritten jeweils einen Korrekturwert hinzu, welcher einer verkleinerten Version des gesamten Gebirges entspricht. Das geht so: Die ursprünglich gegebenen 16 Punkte teilen den Grundriss der gesamten Landschaft in 16 Quadrate auf. In jedem dieser Quadrate werden zunächst je 16 „Unterpunkte“ durch bilineare Interpolation bestimmt. Zusätzlich wird aber zur Höhe jedes dieser Punkte ein Wert addiert, der der Höhe des entsprechenden „Haupt-Punktes“ im Gesamtgrundriss entspricht – nur geteilt durch 4, weil ja die Unterquadrate eine viermal kleinere Seitenlänge haben. Also wird z.B. zu allen „Unterpunkten“, die in ihrem Unterquadrat die Position Nr.12 einnehmen, ein Viertel der Höhe von „Hauptpunkt Nr.12“ im grossen Quadrat dazugezählt. – Diese Unterquadrate werden dann auf dieselbe Weise wiederum in Unterquadrate aufgeteilt, wobei der Korrekturwert dieses Mal durch 16 geteilt wird, weil wir jetzt Quadrate mit einer 16mal kleineren Seitenlänge haben. Und so weiter, so oft man will.
Das Ergebnis ist eine „selbstähnliche“ Landschaft, in welcher die Gesamtstruktur des Gebirges in jedem seiner Teile verkleinert wieder erscheint. Diese Erscheinung kann tatsächlich in echten Gebirgszügen beobachtet werden, sowie in anderen Gebilden der Schöpfung Gottes wie z.B. Wolken oder Bäumen. Auch solche anscheinend ganz unregelmässigen Formen können also mit geordneten mathematischen Strukturen beschrieben werden. Wir werden solchen Strukturen in der nächsten Folge wieder begegnen.
Das Erstaunliche daran ist, dass auch dieses „unregelmässige“ Gebirge durch die ursprünglichen 16 Punkte (und den Interpolations-Algorithmus) eindeutig bestimmt ist. 16 Zahlen und eine mathematische Formel beschreiben die Form dieses Gebildes vollständig.

Noch ein weiteres Beispiel dieser Art. Der Standort des Betrachters wurde hier im Inneren der Landschaft gewählt, und die Höhe des Wasserspiegels (sowie auch die Farbgebung) wurde willkürlich festgelegt. Im übrigen wurde aber auch diese Landschaft durch selbstähnliche Interpolation aus nur 16 Punkten errechnet. (Die Originalgrösse dieses Bildes ist 1024×768 Pixel, sodass es als Desktop-Hintergrundbild verwendet werden kann.)

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Mathematische Kunstausstellung (Teil 4) – Teilerdiagramme und Hyperwürfel

22. Juni 2012

Zur vorherigen Folge

Wir fangen wieder mit etwas ganz Einfachem an. Hier haben wir ein Zahlengitter in der Form eines Rechtecks. Die Zahlen folgen bestimmten Gesetzen: Wenn man sich von irgendeinem Kreis der Linie entlang nach rechts oben bewegt, multipliziert sich die Zahl mit 2. Folgt man einer Linie nach links oben, so multipliziert sich die Zahl mit 5:

Hier kann man bereits anfangen zu forschen: Was geschieht, wenn man von einer Zahl aus senkrecht nach oben geht, also zum diagonal gegenüberliegenden Kreis? Offenbar multipliziert sich dann die Zahl mit 10. Warum? Ist das bei jeder Zahl im Gitter so? Bei den eingezeichneten roten Pfeilen scheint es jedenfalls zu stimmen.
Eine etwas anspruchsvollere Aufgabe wäre herauszufinden, ob in diesem Gitter irgendeine Zahl doppelt vorkommen kann, wenn man es unendlich weit verlängert. Oder kann man beweisen, dass jede Zahl nur einmal vorkommen kann?

Man kann ausserdem feststellen, dass unser Rechteck sämtliche Teiler der Zahl 200 enthält. Wir können also auf diese Weise die Teiler einer Zahl systematisch anordnen. Nicht nur das: auch jedes „Unterdiagramm“, also jedes Teil-Rechteck, das bei 1 beginnt, ist seinerseits ein Teilerdiagramm. So enthält z.B. das im unteren Bild rot umrandete Rechteck alle Teiler von 20:

Offenbar bilden nicht alle Teilerdiagramme ein Rechteck. Links haben wir z.B. das Teilerdiagramm von 81. Hier können wir uns nur in einer geraden Linie fortbewegen. Das liegt daran, dass 81 keine anderen Primfaktoren hat ausser der 3. Alle Potenzen von Primzahlen bilden also ein „einliniges“ Teilerdiagramm. Die Zahl 200 dagegen hat zwei verschiedene Primfaktoren (2 und 5). Deshalb bildet sie ein Teilerdiagramm mit zwei „Richtungen“, die zusammen ein rechteckiges Gitter bilden.Was geschieht dann, wenn eine Zahl drei verschiedene Primfaktoren hat? – Um ein solches Teilerdiagramm zeichnen zu können, müssen wir eine dritte „Richtung“ einführen. Unten sehen wir das am Beispiel der Zahl 140: Nach rechts oben bedeutet mit 2 multiplizieren, nach links oben mit 5, und senkrecht nach oben mit 7:

Das gibt schon eine etwas kompliziertere Struktur. Wir können diese Zeichnung aber als perspektivische Darstellung eines Quaders auffassen, wobei das von den Operationen „x2“ und „x5“ gebildete Rechteck die Grundfläche bildet und die Richtung „x7“ die Höhe.

Wir können also aus solchen Diagrammen dreidimensionale Darstellungen machen. So haben wir hier z.B. das Teilerdiagramm von 900:

Auch hier trifft zu, dass jedes „Unterdiagramm“ in sich ein vollständiges Teilerdiagramm ist. So enthält z.B. der Würfel aus den Zahlen 30, 15, 6, 3 (obere Seite) und 10, 5, 2, 1 (untere Seite) alle Teiler der Zahl 30.

Und wenn wir jetzt noch weitergehen und eine Zahl mit vier verschiedenen Primfaktoren nehmen? Wir müssten dann eine vierte „Richtung“ einführen, was schon nicht mehr so einfach zu zeichnen ist. Und das entstehende Diagramm könnte dann als Darstellung eines vierdimensionalen „Hyperwürfels“ aufgefasst werden. Das ist ein geometrischer Körper mit vier Dimensionen, dessen „Seitenflächen“ (besser gesagt „Seitenkörper“) aus den uns bekannten dreidimensionalen Würfeln bestehen, acht im ganzen. Mit unseren Kindern haben wir einmal aus Trinkhalmen einen solchen Hyperwürfel gebastelt – d.h. natürlich dessen Projektion in unseren dreidimensionalen Raum hinein, denn wir können ja nicht wirklich vierdimensionale Kunstwerke schaffen:

Damit man in diesem Modell die „Seitenwürfel“ besser erkennen kann, haben wir sie farblich gekennzeichnet: Die roten Trinkhalme bilden zusammen zwei einander gegenüberliegende Würfel, ebenso die blauen, die gelben und die grünen. Da an jeder Kante drei „Seitenwürfel“ zusammenstossen, besteht jede Kante aus drei verschiedenfarbigen Halmen.

Wagen wir uns auch an ein fünfdimensionales Modell? Das wäre schon eine rechte Herausforderung an unsere zeichnerischen oder bastlerischen Fähigkeiten. Aber für den Computer ist es ein Kinderspiel, ein solches Modell zu generieren. Das Teilerdiagramm von 2310 (2x3x5x7x11) entspricht einem „Hyperwürfel“ mit fünf Dimensionen, der insgesamt 32 Teiler enthält (inbegriffen die 1 und 2310 selber).

Damit stellt sich die Frage, ob es einen Weg gibt, schnell und einfach zu errechnen, wieviele Teiler eine gegebene Zahl hat. Kennt man deren Zerlegung in Primfaktoren, dann gibt uns das Teilerdiagramm auf anschauliche Weise die Antwort: Falls das Diagramm ein Rechteck bildet, multipliziert man einfach dessen Breite und dessen Länge, und schon hat man die Anzahl der Zahlen, die es enthält. Im Falle eines dreidimensionalen Quaders multipliziert man Länge, Breite und Höhe. Und bei mehr Dimensionen multipliziert man einfach auch die höheren Dimensionen.

Sehen wir uns ein dreidimensionales Beispiel an:

In 55’125 ( = 32 x 53 x 72) kommt die Zahl 3 zweimal als Primfaktor vor. In der Kante in Richtung „x3“ haben wir also drei Zahlen: die 1, sowie 1×3=3 und 1x3x3=9. Die Zahl 5 kommt dreimal vor als Primfaktor, deshalb haben wir in dieser Richtung vier Zahlen. 7 kommt wieder zweimal vor, also haben wir in dieser Richtung drei Zahlen. Somit ist die gesamte Anzahl der Teiler: 3x4x3 = 36.

Als mathematische Formel kann das so geschrieben werden: Nehmen wir an, die Primfaktorenzerlegung einer Zahl sei n = az · by · cx · … , dann ist die Anzahl ihrer Teiler (inbegriffen 1 und die Zahl selber) (z+1) · (y+1) · (x+1) · … .

Eine verwandte Aufgabe besteht darin, die Summe aller Teiler einer Zahl zu errechnen. Auch hier kann die Lösung anschaulich aus dem Teilerdiagramm abgeleitet werden. Nehmen wir als Beispiel nochmals die Zahl 900:

Der Würfel besteht aus drei Ebenen, von denen hier die unterste in einen roten Block eingepackt ist. Da ein Schritt senkrecht nach oben „x3“ bedeutet, ist die Summe aller Zahlen der mittleren Ebene offenbar das Dreifache der Summe der unteren Ebene. Und die Summe der obersten Ebene ist das Neunfache derselben Summe. Als Zwischenresultat können wir also schreiben: (Summe aller Teiler) = (Summe der untersten Ebene) · (1 + 3 + 9).
Um die Summe der untersten Ebene zu erhalten, können wir jetzt wieder dasselbe Verfahren anwenden, indem wir z.B. die linke Kante „abschneiden“. Ein Schritt nach rechts bedeutet „x2“, also ist die Summe der mittleren Linie (2-10-50) das Doppelte der linken Kante; und die Summe der rechten Kante ist das Vierfache davon. Also haben wir: (Summe der untersten Ebene) = (Summe der linken Kante) · (1 + 2 + 4). Die Summe der linken Kante ist aber 1 + 5 + 25. Also können wir zusammenfassen:
Die Summe aller Teiler von 900 (einschliesslich die Zahl selber) beträgt (1 + 5 + 25) · (1 + 2 + 4) · (1 + 3 + 9) = 31 · 7 · 13 = 2821.
Oder als Potenzen geschrieben: (50 + 51 + 52) · (20 + 21 + 22) · (30 + 31 + 32) = 2821.

Schreiben wir dies als allgemeine Formel:
Ist die Primfaktorenzerlegung einer Zahl n = az · by · cx · … ,
so beträgt die Summe aller Teiler von n (einschliesslich n selber):
(1 + a + a2 + … + az) · (1 + b + b2 + … + by) · (1 + c + c2 + … + cx) · … .

(Es gibt dann noch eine vereinfachte Formel für die Summen der Potenzen, aber das würde uns über das Thema der Teilerdiagramme hinausführen.)

Wir haben also gesehen, wie die graphische Darstellung mathematischer Gesetzmässigkeiten einen ästhetischen Wert haben kann; und wie aus einer solchen künstlerischen Darstellung wiederum auf anschauliche Weise weitere Gesetzmässigkeiten abgeleitet werden können. Das scheint mir ein besserer und interessanterer Weg zum Verständnis und zur Wertschätzung mathematischer Ordnungen zu sein, als stur abstrakte Formeln abzuschreiben und anzuwenden, ohne deren Bezug zu konkreten und tatsächlich existierenden Strukturen zu sehen.
(Peruanische Schüler z.B. bekommen die oben hergeleiteten Formeln einfach von ihren Lehrern fertig vorgesetzt und müssen sie auswendiglernen, ohne dass ihnen je einmal jemand erklärt, wie man darauf kommen kann.)

Der Bischof war schockiert

12. Juni 2012

Von „Martin“ aus England

(Gefunden im Forum auf http://johnthebaptisttv.com)

Unsere Gemeinschaft ist selbstzufrieden und bequem, nicht wahr?

Reformation? Wozu? Wohin? Dasselbe wie zuvor? Nein, das haben wir bereits hinter uns. Jetzt haben wir den Blick auf das Originalmodell verloren, und haben unsere Türen weitgehend verschlossen vor dem Heiligen Geist. Beweise dafür? – Sieh Dich um. Siehst Du etwa eine verachtete, verfolgte Gemeinschaft, brennend in Gottes Geist, die Jesus liebt und einander Liebe erweist, grosszügig gibt, und in der Anbetung Gottes lebt? Siehst Du ein herausgerufenes Volk, das willig und bereit ist, für Jesus zu sterben?

Vor zwanzig Jahren arbeitete ich als Postbote im Norden Englands. Ich ging an einer unserer ältesten und grossartigsten Kathedralen vorbei – sie wurde „Münster“ genannt. Die Sonne war gerade aufgegangen, und es war herrlich, draussen zu sein. Ein eleganter, grossgewachsener Läufer in kurzen Hosen und T-Shirt stand neben mir still, lächelte liebenswürdig und fragte: „Junger Mann (ich war nicht mehr jung, aber ich freute mich über das Kompliment), was würden Sie sagen, wie wir die Kirche verbessern sollten?“

Ich antwortete: „Reisst sie ab, verkauft das Land, um Unterkünfte für die Armen zu schaffen, versammelt euch auf dem Marktplatz in Regen oder Sonnenschein, lasst euch sehen und hören, und betet inbrünstig, dass der Herr Jesus euer Tun ehren möge.“

Einige Tage später sagte ein enger Freund, ein Geistlicher jener Kathedrale, zu mir: „Kürzlich hat jemand den Bischof echt verärgert. Er soll ihm geraten haben, die Kathedrale abzureissen, das Land zu verkaufen und sich auf dem Marktplatz zu versammeln. Das bist nicht etwa zufällig du gewesen, oder?“


Mein eigener Kommentar:
Auch heute wären die meisten kirchlichen Leiter über einen solchen Vorschlag ebenso verärgert und schockiert. Bedenken wir aber, dass so gut wie alles, was Martin dem Bischof sagte, wörtlich so im Neuen Testament steht! Was sagt das aus über den Zustand einer Kirche, die sich über solche Vorschläge ärgert?

Skurrile Nachrichten aus Perú

6. Juni 2012

Im folgenden eine kleine Sammlung von Merkwürdigkeiten, die im Lauf der letzten Jahre über Radio, Zeitungen oder Internet berichtet wurden:

Was alles gestohlen wird…

In einem Bezirk der Hauptstadt Lima wurden in einer Nacht 34 Schachtdeckel aus den Strassen gestohlen.

Aus einer medizinischen Ausstellung in Lima wurde ein wichtiges Ausstellungsstück, eine Lunge, gestohlen. Der Diebstahl machte im ganzen Land Schlagzeilen. Schliesslich kam aus, dass eine Mitarbeiterin der Ausstellung die Schuldige war: Sie wollte, wie sie sagte, für Aufsehen in den Medien sorgen, um mehr Besucher für die Ausstellung zu gewinnen.

In einer grösseren Stadt war eines Morgens die gesamte Trinkwasserversorgung zusammengebrochen. Der Grund: Diebe hatten in der Nacht zuvor mehrere hundert Meter Stromkabel einer Überlandleitung entwendet. Die Leitung gehörte zur Stromversorgung einer Pumpe, die Wasser aus einem See pumpte zur Versorgung der Stadt. Einer der Diebe bezahlte die Tat mit seinem Leben: er wurde von einem Stromschlag getötet.

Was der Alkohol bewirkt

Ein Schuldirektor versuchte einem von der Schulbehörde angeordneten Alkoholtest zu entgehen, indem er die Schulhofmauer zu überklettern versuchte. Dies misslang ihm aber, und er fiel ins Innere des Hofes zurück. Die Eltern der Schüler hatten seit drei Monaten den Rücktritt des Direktors verlangt, da er regelmässig betrunken zur Arbeit kam.

Radiomeldung:
„Ein betrunkener Mann, in Begleitung einer weiblichen Person, versuchte mitten in der Nacht samt seinem Auto in ein schlichtes Privathaus einzudringen, angeblich um Schnaps zu kaufen. Er verursachte dadurch beinahe den Einsturz des Hauses. Als er von der Polizei festgenommen wurde, sagte er nur: ‚Caramba, verkauft mir Schnaps, ich will weitertrinken mit meiner Geliebten!'“

Ungebildete Lehrer

Ein Fernsehprogramm beauftragte Schüler, ihren Lehrern im Unterricht bestimmte Fragen über den gerade behandelten Stoff zu stellen, oder über Themen des Allgemeinwissens, und die Antworten mittels einer versteckten Kamera zu filmen. Die einhellige Antwort der Lehrer war fast jedesmal: ‚Such es im Internet!‘
Fragen wie: ‚Wer hat Machu Picchu entdeckt?‘ [hier in Perú allgemein bekannt], oder ‚Wie heisst der gegenwärtige Bildungsminister?‘, konnten von der grossen Mehrheit der Lehrer nicht beantwortet werden.

Freudscher Versprecher

Ein neugewählter Bürgermeister schwor seinen Amtseid „bei Gott und dem Geld“.
(Auf Spanisch hat das Wort für „Geld“ – „plata“ – einen gewissen Anklang an „Vaterland“ – „patria“ -, bei dem er hätte schwören sollen.)

Nachträglich korrigierte Nachricht

Radiomeldung:
„Der Jugendfürsorge wurden drei Jungen übergeben, die sich den ganzen Tag auf dem Hauptplatz der Stadt herumgetrieben hatten und angeblich Arbeit suchten. Sie sagten, sie würden von ihren Eltern vernachlässigt und bekämen nicht einmal zu essen. Die Eltern werden dringend ersucht, sich zu melden.“

Am nächsten Tag:
„Die Eltern der drei Jungen, über die wir gestern berichteten, konnten ausfindig gemacht werden, und die wahre Geschichte ist ans Licht gekommen: Die Jungen, die auf dem Land lebten, hatten mit Streichhölzern gespielt und dabei einen kleineren Brand verursacht. Aus Angst vor der elterlichen Strafe waren sie in die Stadt geflüchtet und kamen auf die Idee, sich als von ihren Eltern verlassene Kinder auszugeben.“