Mathematische Kunstausstellung (Teil 4) – Teilerdiagramme und Hyperwürfel

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Wir fangen wieder mit etwas ganz Einfachem an. Hier haben wir ein Zahlengitter in der Form eines Rechtecks. Die Zahlen folgen bestimmten Gesetzen: Wenn man sich von irgendeinem Kreis der Linie entlang nach rechts oben bewegt, multipliziert sich die Zahl mit 2. Folgt man einer Linie nach links oben, so multipliziert sich die Zahl mit 5:

Hier kann man bereits anfangen zu forschen: Was geschieht, wenn man von einer Zahl aus senkrecht nach oben geht, also zum diagonal gegenüberliegenden Kreis? Offenbar multipliziert sich dann die Zahl mit 10. Warum? Ist das bei jeder Zahl im Gitter so? Bei den eingezeichneten roten Pfeilen scheint es jedenfalls zu stimmen.
Eine etwas anspruchsvollere Aufgabe wäre herauszufinden, ob in diesem Gitter irgendeine Zahl doppelt vorkommen kann, wenn man es unendlich weit verlängert. Oder kann man beweisen, dass jede Zahl nur einmal vorkommen kann?

Man kann ausserdem feststellen, dass unser Rechteck sämtliche Teiler der Zahl 200 enthält. Wir können also auf diese Weise die Teiler einer Zahl systematisch anordnen. Nicht nur das: auch jedes „Unterdiagramm“, also jedes Teil-Rechteck, das bei 1 beginnt, ist seinerseits ein Teilerdiagramm. So enthält z.B. das im unteren Bild rot umrandete Rechteck alle Teiler von 20:

Offenbar bilden nicht alle Teilerdiagramme ein Rechteck. Links haben wir z.B. das Teilerdiagramm von 81. Hier können wir uns nur in einer geraden Linie fortbewegen. Das liegt daran, dass 81 keine anderen Primfaktoren hat ausser der 3. Alle Potenzen von Primzahlen bilden also ein „einliniges“ Teilerdiagramm. Die Zahl 200 dagegen hat zwei verschiedene Primfaktoren (2 und 5). Deshalb bildet sie ein Teilerdiagramm mit zwei „Richtungen“, die zusammen ein rechteckiges Gitter bilden.Was geschieht dann, wenn eine Zahl drei verschiedene Primfaktoren hat? – Um ein solches Teilerdiagramm zeichnen zu können, müssen wir eine dritte „Richtung“ einführen. Unten sehen wir das am Beispiel der Zahl 140: Nach rechts oben bedeutet mit 2 multiplizieren, nach links oben mit 5, und senkrecht nach oben mit 7:

Das gibt schon eine etwas kompliziertere Struktur. Wir können diese Zeichnung aber als perspektivische Darstellung eines Quaders auffassen, wobei das von den Operationen „x2“ und „x5“ gebildete Rechteck die Grundfläche bildet und die Richtung „x7“ die Höhe.

Wir können also aus solchen Diagrammen dreidimensionale Darstellungen machen. So haben wir hier z.B. das Teilerdiagramm von 900:

Auch hier trifft zu, dass jedes „Unterdiagramm“ in sich ein vollständiges Teilerdiagramm ist. So enthält z.B. der Würfel aus den Zahlen 30, 15, 6, 3 (obere Seite) und 10, 5, 2, 1 (untere Seite) alle Teiler der Zahl 30.

Und wenn wir jetzt noch weitergehen und eine Zahl mit vier verschiedenen Primfaktoren nehmen? Wir müssten dann eine vierte „Richtung“ einführen, was schon nicht mehr so einfach zu zeichnen ist. Und das entstehende Diagramm könnte dann als Darstellung eines vierdimensionalen „Hyperwürfels“ aufgefasst werden. Das ist ein geometrischer Körper mit vier Dimensionen, dessen „Seitenflächen“ (besser gesagt „Seitenkörper“) aus den uns bekannten dreidimensionalen Würfeln bestehen, acht im ganzen. Mit unseren Kindern haben wir einmal aus Trinkhalmen einen solchen Hyperwürfel gebastelt – d.h. natürlich dessen Projektion in unseren dreidimensionalen Raum hinein, denn wir können ja nicht wirklich vierdimensionale Kunstwerke schaffen:

Damit man in diesem Modell die „Seitenwürfel“ besser erkennen kann, haben wir sie farblich gekennzeichnet: Die roten Trinkhalme bilden zusammen zwei einander gegenüberliegende Würfel, ebenso die blauen, die gelben und die grünen. Da an jeder Kante drei „Seitenwürfel“ zusammenstossen, besteht jede Kante aus drei verschiedenfarbigen Halmen.

Wagen wir uns auch an ein fünfdimensionales Modell? Das wäre schon eine rechte Herausforderung an unsere zeichnerischen oder bastlerischen Fähigkeiten. Aber für den Computer ist es ein Kinderspiel, ein solches Modell zu generieren. Das Teilerdiagramm von 2310 (2x3x5x7x11) entspricht einem „Hyperwürfel“ mit fünf Dimensionen, der insgesamt 32 Teiler enthält (inbegriffen die 1 und 2310 selber).

Damit stellt sich die Frage, ob es einen Weg gibt, schnell und einfach zu errechnen, wieviele Teiler eine gegebene Zahl hat. Kennt man deren Zerlegung in Primfaktoren, dann gibt uns das Teilerdiagramm auf anschauliche Weise die Antwort: Falls das Diagramm ein Rechteck bildet, multipliziert man einfach dessen Breite und dessen Länge, und schon hat man die Anzahl der Zahlen, die es enthält. Im Falle eines dreidimensionalen Quaders multipliziert man Länge, Breite und Höhe. Und bei mehr Dimensionen multipliziert man einfach auch die höheren Dimensionen.

Sehen wir uns ein dreidimensionales Beispiel an:

In 55’125 ( = 32 x 53 x 72) kommt die Zahl 3 zweimal als Primfaktor vor. In der Kante in Richtung „x3“ haben wir also drei Zahlen: die 1, sowie 1×3=3 und 1x3x3=9. Die Zahl 5 kommt dreimal vor als Primfaktor, deshalb haben wir in dieser Richtung vier Zahlen. 7 kommt wieder zweimal vor, also haben wir in dieser Richtung drei Zahlen. Somit ist die gesamte Anzahl der Teiler: 3x4x3 = 36.

Als mathematische Formel kann das so geschrieben werden: Nehmen wir an, die Primfaktorenzerlegung einer Zahl sei n = az · by · cx · … , dann ist die Anzahl ihrer Teiler (inbegriffen 1 und die Zahl selber) (z+1) · (y+1) · (x+1) · … .

Eine verwandte Aufgabe besteht darin, die Summe aller Teiler einer Zahl zu errechnen. Auch hier kann die Lösung anschaulich aus dem Teilerdiagramm abgeleitet werden. Nehmen wir als Beispiel nochmals die Zahl 900:

Der Würfel besteht aus drei Ebenen, von denen hier die unterste in einen roten Block eingepackt ist. Da ein Schritt senkrecht nach oben „x3“ bedeutet, ist die Summe aller Zahlen der mittleren Ebene offenbar das Dreifache der Summe der unteren Ebene. Und die Summe der obersten Ebene ist das Neunfache derselben Summe. Als Zwischenresultat können wir also schreiben: (Summe aller Teiler) = (Summe der untersten Ebene) · (1 + 3 + 9).
Um die Summe der untersten Ebene zu erhalten, können wir jetzt wieder dasselbe Verfahren anwenden, indem wir z.B. die linke Kante „abschneiden“. Ein Schritt nach rechts bedeutet „x2“, also ist die Summe der mittleren Linie (2-10-50) das Doppelte der linken Kante; und die Summe der rechten Kante ist das Vierfache davon. Also haben wir: (Summe der untersten Ebene) = (Summe der linken Kante) · (1 + 2 + 4). Die Summe der linken Kante ist aber 1 + 5 + 25. Also können wir zusammenfassen:
Die Summe aller Teiler von 900 (einschliesslich die Zahl selber) beträgt (1 + 5 + 25) · (1 + 2 + 4) · (1 + 3 + 9) = 31 · 7 · 13 = 2821.
Oder als Potenzen geschrieben: (50 + 51 + 52) · (20 + 21 + 22) · (30 + 31 + 32) = 2821.

Schreiben wir dies als allgemeine Formel:
Ist die Primfaktorenzerlegung einer Zahl n = az · by · cx · … ,
so beträgt die Summe aller Teiler von n (einschliesslich n selber):
(1 + a + a2 + … + az) · (1 + b + b2 + … + by) · (1 + c + c2 + … + cx) · … .

(Es gibt dann noch eine vereinfachte Formel für die Summen der Potenzen, aber das würde uns über das Thema der Teilerdiagramme hinausführen.)

Wir haben also gesehen, wie die graphische Darstellung mathematischer Gesetzmässigkeiten einen ästhetischen Wert haben kann; und wie aus einer solchen künstlerischen Darstellung wiederum auf anschauliche Weise weitere Gesetzmässigkeiten abgeleitet werden können. Das scheint mir ein besserer und interessanterer Weg zum Verständnis und zur Wertschätzung mathematischer Ordnungen zu sein, als stur abstrakte Formeln abzuschreiben und anzuwenden, ohne deren Bezug zu konkreten und tatsächlich existierenden Strukturen zu sehen.
(Peruanische Schüler z.B. bekommen die oben hergeleiteten Formeln einfach von ihren Lehrern fertig vorgesetzt und müssen sie auswendiglernen, ohne dass ihnen je einmal jemand erklärt, wie man darauf kommen kann.)

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