Mathematische Kunstausstellung (Teil 6): Iterative Funktionen, chaotische Funktionen und Fraktale

Es macht nichts, wenn Sie mit diesem Titel nichts anfangen können. Sie können sich trotzdem an den Bildern freuen. Es sind dieses Mal einige recht interessante darunter! – Einige der Bilder in diesem Artikel sind mehrere Megabytes gross; es kann deshalb einige Zeit dauern, bis sie erscheinen. In der Zwischenzeit können Sie die nachstehende Einleitung durchlesen. Sie dient zum besseren Verständnis der Dinge, die weiter unten auf den Leser warten.

Einführung

Was ist denn das für eine seltsame Fieberkurve?

Es handelt sich um die Darstellung der iterativen Funktion yn+1 = yn2 -1.6. „Iterativ“ bedeutet, dass die Funktionswerte nicht direkt errechnet werden, sondern dass jeder Funktionswert aus dem jeweils vorangehenden abgeleitet werden muss. Der Anfangswert der Funktion ist vorgegeben; im obigen Beispiel beträgt er 1.3. Somit beträgt der nächste Wert (1.3)2 – 1.6 = 0.09. Um nun zum nächsten Wert zu gelangen, muss ich 0.09 als neue Ausgangszahl nehmen: (0.09)2 – 1.6 = -1.5919. Darauf folgt (-1.5919)2 – 1.6 = 0.93414561. (Wir erinnern uns, dass eine negative Zahl im Quadrat wieder eine positive Zahl ergibt.) So geht es weiter, und wir sehen, dass die Funktionswerte ständig in einem Bereich zwischen ca. -1.6 und 1 hin- und herschwanken, aber ohne erkennbare Regelmässigkeit. Diese Funktion verhält sich „chaotisch“, d.h. ihr Verhalten an einem bestimmten Punkt ist nicht voraussagbar, obwohl sie nach einer klaren und einfachen Regel konstruiert ist.

Das ist ziemlich überraschend. Andere ähnliche Funktionen dieser Art verlaufen keineswegs chaotisch. Würden wir z.B. zum Quadrat jeweils 1.6 dazuzählen statt wegzählen, dann würde die Kurve einfach immer steiler nach oben verlaufen. Das ist ziemlich langweilig, und ich habe deshalb davon auch kein Bild gemacht.

Noch überraschender ist, dass selbst geringfügige Änderungen in der Anfangszahl oder im Funktionsparameter (der konstanten Zahl, die zu- bzw. weggezählt wird) den weiteren Kurvenverlauf völlig verändern. Hier sehen wir z.B. dieselbe Funktion, aber mit der Anfangszahl 1.299998 (also nur zwei Millionstel weniger als im obigen Beispiel):

Man stellt fest, dass ca. die ersten 30 Schritte sich ähneln, aber danach wird das Bild völlig anders.

Wie schon erwähnt, ergeben nicht alle Parameter einen chaotischen Funktionsverlauf. Im untenstehenden Bild z.B. beginnen wir wieder mit 1.3, nehmen aber als Parameter -0.7, d.h. die Funktion heisst hier yn+1 = yn2 – 0.7. Wir sehen, dass sich diese Funktion nach anfänglichem Schwanken auf einen bestimmten Grenzwert einpendelt:

Noch ein anderes Beispiel: yn+1 = yn2 – 2.1, auch wieder ausgehend von der Zahl 1.3. Hier werden die Schwankungen allmählich immer grösser, bis sie schliesslich den Bereich des Pendelns verlassen und die Kurve nach oben verschwindet:

Es gibt hier eine ganz exakte Grenze zwischen Ausgangswerten, die eine „pendelnde“ oder konvergierende Funktion erzeugen, und Ausgangswerten, die zu einer ständig steigenden Funktion führen. (Wer etwas von Mathematik versteht, kann ausrechnen, wo diese Grenze genau liegt.)

Wir nehmen als Beispiel wieder unsere anfängliche Funktion mit dem Parameter -1.6, und zwei verschiedene, aber nahe beieinanderliegende Ausgangszahlen. Hier ist die Ausgangszahl -1.86014705 …:

… und hier -1.86014706, also gerade ein Hundertmillionstel weniger:

Mit ein wenig Geduld (oder einem Computer) könnte man jetzt ausrechnen, in welchem Bereich jene Ausgangszahlen und Parameter liegen, deren Funktionen nie nach oben „ausreissen“. Man hätte dann eine Menge (im mathematischen Sinn) von Funktionen, die in diesem Bereich liegen, und man könnte diese Menge graphisch darstellen.

Das ist genau der Gedanke, welcher den „Julia-Mengen“ zugrundeliegt, einem der bekanntesten Fraktale. (Benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia.) Man führt die obige iterative Funktion für verschiedene Anfangswerte und Parameter durch, und kann dann in einem Koordinatensystem den Bereich einfärben, der den „pendelnden“ Funktionen entspricht. Nur dass man diese Operation mit komplexen Zahlen durchführt, dann wird das Ganze noch etwas interessanter. (Komplexe Zahlen müssen mit zwei Komponenten ausgedrückt werden, wie z.B. (3.7 – 4i). Ihre graphische Darstellung erfordert daher eine Zahlenebene, nicht nur eine Zahlengerade.)

Julia-Mengen

Sehen wir uns also einige Kunstwerke an, die von dieser Operation hervorgebracht werden. – Wie wir in den obigen Beispielen sahen, pendelt diese iterative „Quadrier- und Zuzählfunktion“ in ziemlich kleinen Zahlbereichen. Alle untenstehenden Bilder stellen deshalb einen Bereich ungefähr zwischen -1 und 1 dar. Für Kenner gebe ich in Klammern jeweils den Funktionsparameter an, der dem jeweiligen Bild entspricht.

Es gibt kompakte Julia-Mengen wie diese (0.3 + 0.18i) … :

… und langgezogene ausgefranste wie diese (0.43 – 0.2i) … :

… und ganz zerstückelte wie diese (0.44 – 0.18i):

In den letzten beiden Bildern kann man bereits eine interessante Eigenschaft dieser Strukturen erkennen: Sie sind „selbstähnlich“; d.h. die Form der ganzen Menge kehrt jeweils in verkleinerter Form in ihren Einzelteilen wieder. Nehmen wir das noch etwas genauer unter die Lupe. In der folgenden animierten Computergraphik erscheint eine besonders zerstückelte Julia-Menge (0.424 + 0.198i). Wir zoomen auf den Punkt (-0.3205 – 0.114i), bis die Vergrösserung das 4000fache des anfänglichen Bildes beträgt. Selbst bei dieser Vergrösserung erscheinen noch kleinere Details, alle dem grösseren Gesamtbild ähnlich; und würden wir weiter vergrössern, so ginge es bis in die Unendlichkeit so weiter:

Fraktale sind für die Forscher interessant, nicht nur wegen ihrer abenteuerlichen Formen. Sie erlauben es, mathematische Beschreibungen zu finden für Strukturen, die in der Natur vorkommen und zuvor für gänzlich „unmathematisch“ oder eben „chaotisch“ gehalten wurden, wie z.B. Wolken, Berge, Bäume und andere Pflanzen, oder Blumenkohl. Selbst solche Formen sind also nicht einfach „zufällig“, sondern weisen durch ihre mathematische Struktur auf die ordnende Hand des Schöpfers hin.

Selbstähnlichkeit bei der Quinua-Pflanze: Jeder Seitentrieb ist ein verkleinertes Abbild der ganzen Pflanze. Die Seitentriebe produzieren ihrerseits kleinere Seitentriebe, die wiederum die Struktur der ganzen Pflanze aufweisen. Bei grossen Pflanzen bringen diese kleineren Seitentriebe wiederum Unterstrukturen hervor (unten).

In der vorherigen Folge haben wir bereits ein solches Fraktal kennengelernt, nämlich das durch selbstähnliche Interpolation generierte „Gebirge“. Die meisten fraktalen Figuren, die Bekanntheit erlangt haben (z.B. der Kochsche Schneestern, das Sierpinsky-Dreieck, oder der Menger-Schwamm), beruhen auf einer solchen fortgesetzten Interpolation. Interessant ist nun an den Julia-Mengen, dass diese nicht durch ein solches Interpolationsverfahren errechnet werden, aber dennoch eine selbstähnliche Struktur aufweisen. Es ist mir nicht bekannt, ob eine schlüssige mathematische Erklärung dafür gefunden wurde, warum das so ist. (Wahrscheinlich gibt es eine solche Erklärung, aber ich bin ihr noch nicht begegnet.)

– Interessant ist es auch zu beobachten, wie sich die Julia-Menge verhält, wenn man den Parameter ganz allmählich verändert. Das folgende Bild zeigt das gleich auf zwei Arten: Die unterste (rote) Ebene dieser „Wabbeltorte“ ist eine Julia-Menge, deren Parameter sich in einem Abstand von 0.2 zum Nullpunkt befindet. Steigen wir durch die Ebenen auf, so entfernt sich der Parameter immer mehr vom Nullpunkt, bis er sich in der obersten (violett-roten) Ebene in einem Abstand von 0.6 zum Nullpunkt befindet. Diese ganze „Parameter-Menge“ rotieren wir jetzt in einem Kreis um den Nullpunkt; das ist es, was im Lauf der Animation geschieht:

Die folgende Animation zeigt nochmals ein ähnliches Gebilde. Nur verändern sich hier die Parameter im Lauf der Animation nicht; sie stellen immer – von der untersten zur obersten Ebene vorwärtsschreitend – das Intervall von (0.354 + 0.354i) bis (0.534 + 0.534i) dar. Die resultierende Form ähnelt einem (etwas schiefen) Gebirge, und wir fliegen jetzt mitten durch dieses „Julia-Gebirge“:

Hier nochmals ein ähnliches Bild, zwar nicht bewegt, aber dafür grossformatiger (1024×768) als „Wallpaper“ für den Computer. (Es erscheint hier verkleinert, aber mit Rechts-Klick darauf und „Ziel speichern“ kann es in seiner vollen Grösse heruntergeladen werden.)

Zum Schluss wandeln wir die Idee der Julia-Menge noch ein wenig ab: Warum muss die zugrundeliegende Funktion immer quadratisch sein? Wir könnten doch unseren Funktionswert stattdessen jeweils z.B. in die 7. Potenz erheben. Nicht ganz überraschend für Kenner der komplexen Zahlen, entsteht dabei ein siebenstrahliger Stern. In der untenstehenden Animation wird eine dreidimensionale Darstellung, ähnlich wie die obigen, Schicht um Schicht aufgebaut. Sie entspricht einer „Wanderung“ vom Parameter (0.75 + 0.13i) zum Parameter (0.84 + 0.13i). Interessant ist dabei, wie sich die Menge entlang dieses Weges mehrmals in kleine Teile aufteilt und sich dann wieder zusammenfügt:

 

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