Archive for August 2012

Mathematische Kunstausstellung, Teil 9 – Funktionen als Abbildungen

24. August 2012

In der Mathematik werden Funktionen auch „Abbildungen“ genannt: Jeder Ausgangswert entspricht einem Punkt, der auf einen anderen Punkt (den Funktionswert) abgebildet wird. Alle Ausgangswerte zusammen bilden das Urbild, alle Funktionswerte zusammen das Abbild.
Was liegt also näher, als die Funktionen komplexer Zahlen als ebensolche „Abbildungen“ eines wirklichen Bildes darzustellen?

Nehmen wir als „Versuchskaninchen“ dieses Meerschweinchen, und passen wir es in ein Koordinatensystem ein, damit wir nicht nur die „Abbildung“ dieses Bildes, sondern der ganzen Zahlenebene mitverfolgen können:

Die einfachsten Abbildungen sind die Translation (Verschiebung), die Drehung, und die Streckung (Vergrösserung). Eine Verschiebung kommt mathematisch so zustande, dass zu jedem Punkt des Urbildes derselbe Wert addiert wird. Dann verschiebt sich das ganze Bild um diese Distanz. Eine Streckung entspricht einer Multiplikation: Werden z.B. die Koordinaten jedes Punktes mit 3 multipliziert, dann wird das Bild dreifach vergrössert. Bei einer Drehung wird der Winkel jedes Punktes (bezüglich des Nullpunktes) verändert. Ich glaube, es ist nicht nötig, diese einfachen Abbildungen bildlich darzustellen.

Was geschieht aber, wenn wir jeden Punkt des Urbildes mit einer komplexen Zahl multiplizieren? Unten z.B. die Funktion y = x · (1 + 0.4i). Wir sehen, dass das Ergebnis eine „Drehstreckung“ ist: Das Bild wird gedreht und gleichzeitig leicht vergrössert.

Ein weiteres Beispiel dieser Art: y = x · (1 + 1.4i) :

Versuchen wir jetzt etwas anderes und erheben wir unser Meerschweinchen ins Quadrat (y = x2). Das gibt bereits eine nicht mehr so ganz einfache Abbildung:

Und wenn wir einen gebrochenen Exponenten gebrauchen, sagen wir y = x1.6 ? – Das gibt eine ähnliche Abbildung, nur scheint es hier, sie sei auf halbem Wege stehengeblieben:

Nehmen wir schliesslich noch den Kehrwert (y = 1/x). Das gibt eine ganz interessante Abbildung, bei welcher der Nullpunkt in unendliche Ferne rückt und der „unendlich ferne Punkt“ auf den Nullpunkt abgebildet wird. Die Koordinatenlinien werden dabei zu Kreisen, die alle durch den Nullpunkt gehen; und unser armes Meerschweinchen strebt mit seinem Hinterteil gegen die Unendlichkeit!

Geordnetes Punktemischen

Nun noch eine Abbildung, die nichts mit den komplexen Zahlen zu tun hat. (Oder vielleicht doch? In der Mathematik gibt es so viele überraschende Zusammenhänge, dass man sich nicht wundern sollte, wenn letztendlich fast alles mit allem irgendwie zusammenhängt …)

Nehmen wir wieder unser Meerschweinchen, das uns bereits so gute Dienste geleistet hat. Das digitalisierte Bild besteht aus lauter quadratischen Bildpunkten. Der Computer speichert diese nicht als zweidimensionales Bild, sondern als eine lange Kette von Daten hintereinander. Nach dem letzten Punkt der obersten Reihe kommt einfach der erste Punkt der nächsten Reihe, und so weiter. Der Computer braucht dann nur noch die zusätzliche Information, wie lang eine Reihe ist, um das Bild richtig darstellen zu können.

Lassen wir nun den Computer diese „Datenkette“ mischen, und zwar auf folgende Weise: Die Position jedes Punktes wird mit einer konstanten Zahl multipliziert, sagen wir 97. Wir verschieben also Punkt 1 auf Platz 97, Punkt 2 auf Platz 194, Punkt 3 auf Platz 291, und so weiter. Natürlich werden wir damit irgendwann einmal über das Ende des ursprünglichen Bildes hinausschiessen. Wenn das passieren sollte, dann springen wir einfach wieder zum Anfang des Bildes und zählen von da weiter. Mathematisch gesprochen, kommt jeder Punkt a auf den Platz „97a modulo die Gesamtzahl aller Bildpunkte“. (Offenbar hat diese Abbildung also mit der modularen Arithmetik zu tun, die wir in Teil 2 und Teil 3 behandelten.)
Mathematiker werden schnell herausfinden, dass die Sache einen kleinen Haken hat: Wenn mein konstanter Multiplikator zufällig einen gemeinsamen Teiler hat mit der Gesamtzahl der Bildpunkte, dann werden in der Abbildung einige Punkte doppelt belegt, während andere gar nicht vorkommen. Deshalb wählen wir als Multiplikator am besten eine Primzahl (und eine, die nicht gerade ein Faktor der Bildweite oder -höhe ist).

Auf das Ergebnis dieser Abbildung wenden wir nun wiederum dieselbe Abbildung an, und so weiter. Hier sehen wir die ersten sechs Schritte dieser Transformation:

Man könnte annehmen, dass das Bild bei fortgesetzter Transformation immer chaotischer wird. Dem ist aber nicht so (weshalb ich diese Transformation „geordnetes Mischen“ nenne). Im Gegenteil, an gewissen Stellen erscheinen immer wieder verkleinerte, etwas verzerrte Abbilder des ursprünglichen Bildes. Nach einer ganz bestimmten Anzahl von Schritten ginge sogar wieder unser ursprüngliches Meerschweinchen heil und unversehrt aus dieser Prozedur hervor! (Man kann mathematisch beweisen, dass genau dann, wenn Punkt 1 wieder auf Punkt 1 abgebildet wird, auch alle übrigen Punkte wieder an ihrem ursprünglichen Platz sind. Es sind dazu also maximal so viele Schritte nötig, wie das Bild Punkte enthält. Das sind bei unserem Bild genau 19398.)

Manchmal braucht man aber viel weniger Schritte, um wieder das ursprüngliche Bild zu erhalten. Hier z.B. eine solche „Mischung“, die bereits im siebten Schritt zur Ausgangsstellung zurückkehrt. (Der Multiplikator ist hier 6, und die Gesamtzahl der Bildpunkte ist 66-1):

Hier noch einige weitere Bilder, die beim „Mischen“ des Meerschweinchens entstanden sind:


(Schritt 8)

(Schritt 13)

(Schritt 30)

(Schritt 52)

(Schritt 65)

(Schritt 79)

(Schritt 91)

(Schritt 98)
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Mathematische Kunstausstellung, Teil 8 – Kreativität und komplexe Zahlen

9. August 2012

Kann Mathematik kreativ und originell sein?

In der letzten Folge sind wir bei einer etwas philosophischen Frage stehengeblieben. Wir haben inzwischen viele „mathematische Kunstwerke“ vorgestellt und bewundert. Aber in der Mathematik funktioniert alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen, während Kunst viel zu tun hat mit Kreativität und Originalität. Gibt es in der Mathematik keinen Raum für Originalität?

Nun haben aber die Mathematiker aller Zeiten immer wieder neue mathematische Objekte erfunden. Persönlich finde ich z.B. die imaginären und komplexen Zahlen eine sehr originelle Erfindung: Nach den „normalen“ Rechenregeln ist es einfach unmöglich, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Bis irgendwann im 16.Jahrhundert ein Mathematiker (wahrscheinlich Girolamo Cardano) auf die Idee kam, die Wurzel aus -1 einfach zu „erfinden“ (heute wird sie „i“ genannt), und dann durch logische Schlüsse die Rechenregeln herauszufinden, die auf diese „erfundene Zahl“ anzuwenden wären. Man kann sich jetzt darüber streiten, ob diese Zahlen wirklich existieren, oder ob sie nur „ausgedacht“ (eben „imaginär“) sind. Jedenfalls kann man auf gesetzmässige Weise mit ihnen rechnen, und in gewissen Bereichen der Mathematik und der Physik sind sie sogar unentbehrlich.

Damit ist ein tiefgründigeres Thema angeschnitten: Wie kommt es, dass die „originelle“ (und damals von manchen für abwegig gehaltene) Erfindung eines Mathematikers des 16.Jahrhunderts plötzlich in der Quantenmechanik des 20.Jahrhunderts eine praktische Anwendung und Bestätigung findet? Wenn die innere Struktur von Atomen nur mit Hilfe von „imaginären“ Zahlen mathematisch beschrieben werden kann, dann sind diese Zahlen doch nicht so „imaginär“, sondern existieren in der wirklichen Welt? Aber wie konnte dann Cardano sie „erfinden“, wo er doch von Atomen und Elementarteilchen keine Ahnung hatte? Warum stimmt seine rein gedankliche Erfindung exakt überein mit den Eigenschaften physikalischer Phänomene, die erst vierhundert Jahre später entdeckt wurden?

Eugene Wigner (Physik-Nobelpreisträger 1963 und Mitbegründer der Quantenmechanik) schreibt über dieses Phänomen in einem Artikel mit dem Titel: „Die unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“ (1960):

„Man kann sich kaum des Eindrucks erwehren, dass wir hier einem Wunder gegenüberstehen, von ebenso auffallender Natur wie das Wunder, dass der menschliche Geist tausend Argumente miteinander verknüpfen kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln; oder wie die beiden Wunder der Existenz von Naturgesetzen, und der Fähigkeit des menschlichen Geistes, sie herauszufinden. Was von den mir bekannten Zitaten einer Erklärung für das Auftauchen mathematischer Konzepte in der Physik am nächsten kommt, ist Einsteins Ausspruch, dass wir nur jene physikalischen Theorien zu akzeptieren bereit sind, die schön sind.“
– Und im Schlussabschnitt:
„Das Wunder, dass die Sprache der Mathematik zur Formulierung physikalischer Gesetze angemessen ist, ist eine wunderbare Gabe, die wir weder verstehen noch verdienen.“

Offenbar war Wigner mit den christlichen Erklärungen dieses Wunders nicht vertraut. So schreibt z.B. Francis Schaeffer (in „Wie können wir denn leben?“):

„Der Beginn der modernen Naturwissenschaft stand nicht in Konflikt mit der Lehre der Bibel; ganz im Gegenteil, an einem kritischen Punkt beruhte die wissenschaftliche Revolution auf der Lehre der Bibel. Sowohl Alfred North Whitehead (1861-1947) als auch J.Robert Oppenheimer (1904-1967) haben darauf hingewiesen, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild heraus entstanden ist. (…) Soweit ich weiss, waren beide keine Christen und hätten sich selbst nicht als Christen bezeichnet; jedoch erkannten beide ohne Einschränkung, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild geboren wurde.
(…) In den Harvard University Lowell Lectures mit dem Titel Science and the Modern World (1925) („Wissenschaft und die moderne Welt“) erklärte Whitehead, das Christentum sei die Mutter der Wissenschaft wegen „der mittelalterlichen Lehre von der Rationalität Gottes“. Whitehead sprach auch von Vertrauen auf die „verständliche Rationalität eines persönlichen Wesens“. Er erklärte in diesen Vorlesungen, dass die frühen Naturwissenschaftler wegen der Rationalität Gottes einen „unumstösslichen Glauben daran besassen, dass jedes einzelne Ereignis zu den vorausgegangenen Ereignissen in einer Weise in Beziehung gesetzt werden kann, in der allgemeine Prinzipien zum Ausdruck kommen. Ohne diesen Glauben wären die unglaublichen Anstrengungen der Wissenschaftler ohne Hoffnung gewesen.“ Mit anderen Worten: Weil die frühen Naturwissenschaftler glaubten, die Welt sei von einem vernünftigen Gott geschaffen worden, überraschte es sie nicht, dass es menschenmöglich war, auf der Grundlage der Vernunft wahre Dinge über die Natur und das Universum herauszufinden.“

Und James Nickel schreibt in „Fundamente der Mathematik“:

„Es ist zu erwarten, dass die humanistischen Mathematiker die Rolle der Mathematik in Gottes Plänen nicht verstehen werden. Da sie ihr Leben nicht unter die Herrschaft ihres Schöpfers stellen wollen, ist es ihre Schuld, dass sie blind sind für die Herrlichkeit Gottes, die sich in dem einzigartigen Spiegel der Mathematik widerspiegelt. (…) Damit ihre tägliche praktische Arbeit einen Nutzen hat, müssen die Wissenschafter und angewandten Mathematiker dennoch biblische Voraussetzungen über die physische Welt annehmen, die gegen ihre erklärten Denkvoraussetzungen gehen. (…) Die Wissenschafter müssen mit der objektiven Kohärenz eines Universums – nicht eines Multiversums – rechnen, wenn es so etwas wie echte Wissenschaft geben soll. (…) Der menschliche Geist mit seinen mathematischen Fähigkeiten und die physikalische Welt mit ihrer beobachtbaren mathematischen Ordnung stimmen zusammen, weil sie vom selben Schöpfer geschaffen wurden.“

Nun ist aber Gott die kreativste Person, die es überhaupt gibt. Wenn er uns also (unter anderem) mit der Fähigkeit geschaffen hat, Mathematik zu treiben, dann sollte es uns nicht verwundern, dass es in der Mathematik tatsächlich viel Raum zu Kreativität und Originalität gibt. Und wahrscheinlich wäre ein geringerer Verstand als der göttliche nicht dazu in der Lage gewesen, Exaktheit und strenge Regelmässigkeit auf diese Weise mit Kreativität und Originalität zu verbinden, wie es in der Mathematik geschieht.


Sehen wir uns nun eine andere Art an, komplexe Funktionen darzustellen. Wir „halten“ z.B. die reelle Komponente der Ausgangszahl „fest“ bei einem bestimmten Wert, sagen wir 3. Es gibt unendlich viele komplexe Zahlen mit einer reellen Komponente von 3: 3 + i, 3 + 2i, 3 + 3i, usw. Jede dieser Zahlen hat einen Funktionswert, und wenn wir alle diese Funktionswerte als Punkte zeichnen, erhalten wir eine Kurve in der komplexen Zahlenebene. Dasselbe können wir nun natürlich für andere Werte der reellen Komponente tun. So erhalten wir eine Kurvenschar. Diese können wir z.B. als dreidimensionales Gebilde darstellen, wobei die senkrechte Achse die jeweilige Realkomponente der Ausgangswerte darstellt. Also: Auf der „Höhe Null“ zeichnen wir die Kurve, die der Realkomponente 0 entspricht; auf „Höhe 1“ die zum Wert 1 gehörige Kurve, usw.

Im folgenden einige Beispiele solcher Graphiken. Die sichtbaren Netzlinien entsprechen dabei dem Koordinatensystem der ursprünglichen komplexen Zahlenebene (d.h. der Ausgangswerte).

Hier die Cosinusfunktion der komplexen Zahlen (y = cos(x)):

… und hier nochmals dieselbe Cosinusfunktion, aber diesmal entspricht die senkrechte Achse einem Fortschreiten entlang der Imaginärkomponenten der Ausgangswerte:

Hier die Funktion y = (2+i) x :

… und nochmals dieselbe Funktion, aber aus der „Perspektive der Imaginärkomponente“ gesehen:

Mathematische Kunstausstellung, Teil 7 – Noch mehr Funktionen und Abbildungen

4. August 2012

Komplexe Funktionen

In der 5.Folge haben wir uns bereits ein wenig mit Funktionsgraphiken befasst. Ich möchte nochmals auf dieses Thema zurückkommen.

Interessantere Funktionsgraphiken entstehen, wenn wir die Funktionen von komplexen Zahlen bildlich darstellen. Nur ist es hier nicht so selbstverständlich, wie eine solche Graphik aussehen soll. Der „wirkliche“ Graph einer komplexen Funktion ist nämlich vierdimensional!
(Man kann das schnell verstehen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die reellen Zahlen auf einer Geraden dargestellt werden können. Der Graph einer reellen Funktion ist deshalb zweidimensional, wobei normalerweise die Anfangszahl auf der waagerechten x-Achse und der Funktionswert auf der senkrechten y-Achse dargestellt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl benötigt jedoch zwei Dimensionen. Somit bräuchten wir für die Darstellung sowohl der Anfangszahl wie auch des Funktionswertes je zwei Achsen, insgesamt also vier.)

Nun können wir leider keine vierdimensionalen Graphiken zeichnen. Es gibt aber andere Arten, wie komplexe Funktionen dargestellt werden können. Eine gebräuchliche Art besteht darin, die jeweiligen Funktionswerte auf der komplexen Zahlenebene durch Farben darzustellen: Die Helligkeit der Farbe entspricht dem Absolutwert der Zahl (Null = weiss, unendlich = schwarz), und der Farbton entspricht dem „Winkel“ relativ zum Nullpunkt (d.h. dem Argument in Polarkoordinaten). Die unveränderte komplexe Zahlenebene (also die triviale Funktion y = x) würde nach diesem Vorgehen wie folgt eingefärbt:

Ein Vorteil dieser Methode (für den Mathematiker) besteht darin, dass die Nullstellen einer Funktion in einer solchen Graphik sofort als weisse Punkte erkennbar sind.
Sehen wir uns also einige solche Graphiken an.

Hier die quadratische Funktion y = 3x2 + 2x + 2i, mit zwei Nullstellen:

Eine Funktion dritten Grades hat drei Nullstellen, wie z.B. die folgende (y = 2x3 + 2x2 + x + 1):

Und eine Funktion vierten Grades hat vier Nullstellen, wie in den folgenden drei Beispielen:

y = x4 + 2x3 + 3x2 – 1 – i :

y = 3x4 + 5x3 + 3x2 + 4x + 1 + 3i :

y = x4 + 2x3 + 1 :

Sehen wir uns nun einige Potenzfunktionen an. Im folgenden die gewöhnliche quadratische Funktion y = x2 :

Fügen wir zum Exponenten noch einen kleinen Imaginärteil hinzu, dann ergibt sich eine kleine „Störung“ im Bild:

y = x2 + 0.1i:

Auch diese „Störung“ hat aber System und Schönheit. Das folgende Bild zeigt, dass die Graphik in diesem Fall die Form einer logarithmischen Spirale annimmt (wie sie in der Natur z.B. in Schneckenhäuschen vorkommt):

y = x3.3 + i:

Noch zwei weitere Potenzfunktionen:

y = x -1.5 – 0.3i:

y = x -0.3i:

Auch die Exponentialfunktion ergibt interessante Graphiken:

y = (1 + i) x:

y = (3 – 3i) x:

Zu guter Letzt noch die Sinusfunktion für komplexe Zahlen (y = sin(x)):

Offenbar sind alle diese „Kunstwerke“ durch die mathematischen Gesetze bereits vorgegeben; man muss nur eine Art und Weise finden, sie sichtbar zu machen. Man könnte sich hier fragen, ob es in der Mathematik auch Raum gibt für Originalität. Wenn alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen funktioniert, wo bleibt da die Kreativität? – Diese Frage möchte ich mir aber für die nächste Folge aufsparen.