Mathematische Kunstausstellung, Teil 7 – Noch mehr Funktionen und Abbildungen

Komplexe Funktionen

In der 5.Folge haben wir uns bereits ein wenig mit Funktionsgraphiken befasst. Ich möchte nochmals auf dieses Thema zurückkommen.

Interessantere Funktionsgraphiken entstehen, wenn wir die Funktionen von komplexen Zahlen bildlich darstellen. Nur ist es hier nicht so selbstverständlich, wie eine solche Graphik aussehen soll. Der „wirkliche“ Graph einer komplexen Funktion ist nämlich vierdimensional!
(Man kann das schnell verstehen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die reellen Zahlen auf einer Geraden dargestellt werden können. Der Graph einer reellen Funktion ist deshalb zweidimensional, wobei normalerweise die Anfangszahl auf der waagerechten x-Achse und der Funktionswert auf der senkrechten y-Achse dargestellt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl benötigt jedoch zwei Dimensionen. Somit bräuchten wir für die Darstellung sowohl der Anfangszahl wie auch des Funktionswertes je zwei Achsen, insgesamt also vier.)

Nun können wir leider keine vierdimensionalen Graphiken zeichnen. Es gibt aber andere Arten, wie komplexe Funktionen dargestellt werden können. Eine gebräuchliche Art besteht darin, die jeweiligen Funktionswerte auf der komplexen Zahlenebene durch Farben darzustellen: Die Helligkeit der Farbe entspricht dem Absolutwert der Zahl (Null = weiss, unendlich = schwarz), und der Farbton entspricht dem „Winkel“ relativ zum Nullpunkt (d.h. dem Argument in Polarkoordinaten). Die unveränderte komplexe Zahlenebene (also die triviale Funktion y = x) würde nach diesem Vorgehen wie folgt eingefärbt:

Ein Vorteil dieser Methode (für den Mathematiker) besteht darin, dass die Nullstellen einer Funktion in einer solchen Graphik sofort als weisse Punkte erkennbar sind.
Sehen wir uns also einige solche Graphiken an.

Hier die quadratische Funktion y = 3x2 + 2x + 2i, mit zwei Nullstellen:

Eine Funktion dritten Grades hat drei Nullstellen, wie z.B. die folgende (y = 2x3 + 2x2 + x + 1):

Und eine Funktion vierten Grades hat vier Nullstellen, wie in den folgenden drei Beispielen:

y = x4 + 2x3 + 3x2 – 1 – i :

y = 3x4 + 5x3 + 3x2 + 4x + 1 + 3i :

y = x4 + 2x3 + 1 :

Sehen wir uns nun einige Potenzfunktionen an. Im folgenden die gewöhnliche quadratische Funktion y = x2 :

Fügen wir zum Exponenten noch einen kleinen Imaginärteil hinzu, dann ergibt sich eine kleine „Störung“ im Bild:

y = x2 + 0.1i:

Auch diese „Störung“ hat aber System und Schönheit. Das folgende Bild zeigt, dass die Graphik in diesem Fall die Form einer logarithmischen Spirale annimmt (wie sie in der Natur z.B. in Schneckenhäuschen vorkommt):

y = x3.3 + i:

Noch zwei weitere Potenzfunktionen:

y = x -1.5 – 0.3i:

y = x -0.3i:

Auch die Exponentialfunktion ergibt interessante Graphiken:

y = (1 + i) x:

y = (3 – 3i) x:

Zu guter Letzt noch die Sinusfunktion für komplexe Zahlen (y = sin(x)):

Offenbar sind alle diese „Kunstwerke“ durch die mathematischen Gesetze bereits vorgegeben; man muss nur eine Art und Weise finden, sie sichtbar zu machen. Man könnte sich hier fragen, ob es in der Mathematik auch Raum gibt für Originalität. Wenn alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen funktioniert, wo bleibt da die Kreativität? – Diese Frage möchte ich mir aber für die nächste Folge aufsparen.

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