Mathematische Kunstausstellung, Teil 8 – Kreativität und komplexe Zahlen

Kann Mathematik kreativ und originell sein?

In der letzten Folge sind wir bei einer etwas philosophischen Frage stehengeblieben. Wir haben inzwischen viele „mathematische Kunstwerke“ vorgestellt und bewundert. Aber in der Mathematik funktioniert alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen, während Kunst viel zu tun hat mit Kreativität und Originalität. Gibt es in der Mathematik keinen Raum für Originalität?

Nun haben aber die Mathematiker aller Zeiten immer wieder neue mathematische Objekte erfunden. Persönlich finde ich z.B. die imaginären und komplexen Zahlen eine sehr originelle Erfindung: Nach den „normalen“ Rechenregeln ist es einfach unmöglich, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Bis irgendwann im 16.Jahrhundert ein Mathematiker (wahrscheinlich Girolamo Cardano) auf die Idee kam, die Wurzel aus -1 einfach zu „erfinden“ (heute wird sie „i“ genannt), und dann durch logische Schlüsse die Rechenregeln herauszufinden, die auf diese „erfundene Zahl“ anzuwenden wären. Man kann sich jetzt darüber streiten, ob diese Zahlen wirklich existieren, oder ob sie nur „ausgedacht“ (eben „imaginär“) sind. Jedenfalls kann man auf gesetzmässige Weise mit ihnen rechnen, und in gewissen Bereichen der Mathematik und der Physik sind sie sogar unentbehrlich.

Damit ist ein tiefgründigeres Thema angeschnitten: Wie kommt es, dass die „originelle“ (und damals von manchen für abwegig gehaltene) Erfindung eines Mathematikers des 16.Jahrhunderts plötzlich in der Quantenmechanik des 20.Jahrhunderts eine praktische Anwendung und Bestätigung findet? Wenn die innere Struktur von Atomen nur mit Hilfe von „imaginären“ Zahlen mathematisch beschrieben werden kann, dann sind diese Zahlen doch nicht so „imaginär“, sondern existieren in der wirklichen Welt? Aber wie konnte dann Cardano sie „erfinden“, wo er doch von Atomen und Elementarteilchen keine Ahnung hatte? Warum stimmt seine rein gedankliche Erfindung exakt überein mit den Eigenschaften physikalischer Phänomene, die erst vierhundert Jahre später entdeckt wurden?

Eugene Wigner (Physik-Nobelpreisträger 1963 und Mitbegründer der Quantenmechanik) schreibt über dieses Phänomen in einem Artikel mit dem Titel: „Die unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“ (1960):

„Man kann sich kaum des Eindrucks erwehren, dass wir hier einem Wunder gegenüberstehen, von ebenso auffallender Natur wie das Wunder, dass der menschliche Geist tausend Argumente miteinander verknüpfen kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln; oder wie die beiden Wunder der Existenz von Naturgesetzen, und der Fähigkeit des menschlichen Geistes, sie herauszufinden. Was von den mir bekannten Zitaten einer Erklärung für das Auftauchen mathematischer Konzepte in der Physik am nächsten kommt, ist Einsteins Ausspruch, dass wir nur jene physikalischen Theorien zu akzeptieren bereit sind, die schön sind.“
– Und im Schlussabschnitt:
„Das Wunder, dass die Sprache der Mathematik zur Formulierung physikalischer Gesetze angemessen ist, ist eine wunderbare Gabe, die wir weder verstehen noch verdienen.“

Offenbar war Wigner mit den christlichen Erklärungen dieses Wunders nicht vertraut. So schreibt z.B. Francis Schaeffer (in „Wie können wir denn leben?“):

„Der Beginn der modernen Naturwissenschaft stand nicht in Konflikt mit der Lehre der Bibel; ganz im Gegenteil, an einem kritischen Punkt beruhte die wissenschaftliche Revolution auf der Lehre der Bibel. Sowohl Alfred North Whitehead (1861-1947) als auch J.Robert Oppenheimer (1904-1967) haben darauf hingewiesen, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild heraus entstanden ist. (…) Soweit ich weiss, waren beide keine Christen und hätten sich selbst nicht als Christen bezeichnet; jedoch erkannten beide ohne Einschränkung, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild geboren wurde.
(…) In den Harvard University Lowell Lectures mit dem Titel Science and the Modern World (1925) („Wissenschaft und die moderne Welt“) erklärte Whitehead, das Christentum sei die Mutter der Wissenschaft wegen „der mittelalterlichen Lehre von der Rationalität Gottes“. Whitehead sprach auch von Vertrauen auf die „verständliche Rationalität eines persönlichen Wesens“. Er erklärte in diesen Vorlesungen, dass die frühen Naturwissenschaftler wegen der Rationalität Gottes einen „unumstösslichen Glauben daran besassen, dass jedes einzelne Ereignis zu den vorausgegangenen Ereignissen in einer Weise in Beziehung gesetzt werden kann, in der allgemeine Prinzipien zum Ausdruck kommen. Ohne diesen Glauben wären die unglaublichen Anstrengungen der Wissenschaftler ohne Hoffnung gewesen.“ Mit anderen Worten: Weil die frühen Naturwissenschaftler glaubten, die Welt sei von einem vernünftigen Gott geschaffen worden, überraschte es sie nicht, dass es menschenmöglich war, auf der Grundlage der Vernunft wahre Dinge über die Natur und das Universum herauszufinden.“

Und James Nickel schreibt in „Fundamente der Mathematik“:

„Es ist zu erwarten, dass die humanistischen Mathematiker die Rolle der Mathematik in Gottes Plänen nicht verstehen werden. Da sie ihr Leben nicht unter die Herrschaft ihres Schöpfers stellen wollen, ist es ihre Schuld, dass sie blind sind für die Herrlichkeit Gottes, die sich in dem einzigartigen Spiegel der Mathematik widerspiegelt. (…) Damit ihre tägliche praktische Arbeit einen Nutzen hat, müssen die Wissenschafter und angewandten Mathematiker dennoch biblische Voraussetzungen über die physische Welt annehmen, die gegen ihre erklärten Denkvoraussetzungen gehen. (…) Die Wissenschafter müssen mit der objektiven Kohärenz eines Universums – nicht eines Multiversums – rechnen, wenn es so etwas wie echte Wissenschaft geben soll. (…) Der menschliche Geist mit seinen mathematischen Fähigkeiten und die physikalische Welt mit ihrer beobachtbaren mathematischen Ordnung stimmen zusammen, weil sie vom selben Schöpfer geschaffen wurden.“

Nun ist aber Gott die kreativste Person, die es überhaupt gibt. Wenn er uns also (unter anderem) mit der Fähigkeit geschaffen hat, Mathematik zu treiben, dann sollte es uns nicht verwundern, dass es in der Mathematik tatsächlich viel Raum zu Kreativität und Originalität gibt. Und wahrscheinlich wäre ein geringerer Verstand als der göttliche nicht dazu in der Lage gewesen, Exaktheit und strenge Regelmässigkeit auf diese Weise mit Kreativität und Originalität zu verbinden, wie es in der Mathematik geschieht.


Sehen wir uns nun eine andere Art an, komplexe Funktionen darzustellen. Wir „halten“ z.B. die reelle Komponente der Ausgangszahl „fest“ bei einem bestimmten Wert, sagen wir 3. Es gibt unendlich viele komplexe Zahlen mit einer reellen Komponente von 3: 3 + i, 3 + 2i, 3 + 3i, usw. Jede dieser Zahlen hat einen Funktionswert, und wenn wir alle diese Funktionswerte als Punkte zeichnen, erhalten wir eine Kurve in der komplexen Zahlenebene. Dasselbe können wir nun natürlich für andere Werte der reellen Komponente tun. So erhalten wir eine Kurvenschar. Diese können wir z.B. als dreidimensionales Gebilde darstellen, wobei die senkrechte Achse die jeweilige Realkomponente der Ausgangswerte darstellt. Also: Auf der „Höhe Null“ zeichnen wir die Kurve, die der Realkomponente 0 entspricht; auf „Höhe 1“ die zum Wert 1 gehörige Kurve, usw.

Im folgenden einige Beispiele solcher Graphiken. Die sichtbaren Netzlinien entsprechen dabei dem Koordinatensystem der ursprünglichen komplexen Zahlenebene (d.h. der Ausgangswerte).

Hier die Cosinusfunktion der komplexen Zahlen (y = cos(x)):

… und hier nochmals dieselbe Cosinusfunktion, aber diesmal entspricht die senkrechte Achse einem Fortschreiten entlang der Imaginärkomponenten der Ausgangswerte:

Hier die Funktion y = (2+i) x :

… und nochmals dieselbe Funktion, aber aus der „Perspektive der Imaginärkomponente“ gesehen:

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