Mathematische Kunstausstellung, Teil 10: Beschwingt, gewellt und auf hoher See

Schwingungen

Eine Schwingung ist zunächst einfach eine Hin- und Her- (oder Auf- und Ab-) Bewegung. So wie dieser rote Punkt links, der ohne müde zu werden auf und ab pendelt.
Mathematik- bzw. Physik-Bewanderte wissen, dass eine „gewöhnliche“ Schwingung (fachmännischer gesagt, eine harmonische Schwingung) als Sinuskurve dargestellt wird. Das scheint die normale Art zu sein, wie Violin- oder Gitarrensaiten, Pendel, und andere Gegenstände zu schwingen pflegen. Stellen wir also die zeitliche Auf- und Ab-Bewegung unseres Punktes graphisch dar, indem wir sie mit einer gleichmässigen waagerechten Fortbewegung auf der „Zeitachse“ kombinieren. So erhalten wir eine Sinuskurve:

Wir können diese Schwingung aber auch anders darstellen. Statt sie mit einer linearen Fortbewegung zu kombinieren, können wir die senkrechte Schwingung mit einer ebensolchen waagerechten Schwingung kombinieren. Bei einer Phasenverschiebung von 1/4 der Periode ergibt das folgendes Bild:

Ein Kreis! – Tatsächlich kann die Sinusfunktion auch so definiert werden, dass sie die Höhe einer Kreislinie über der Waagerechten bedeutet, im Verhältnis zum Winkel am Kreismittelpunkt. Wasserwellen haben auch ein ungefähr „sinusförmiges“ Aussehen, aber die Wasserteilchen bewegen sich in Wirklichkeit ungefähr kreisförmig auf und ab.

Wir könnten jetzt aber auch Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen miteinander kombinieren. Hier z.B. schwingen die beiden roten Punkte mit Frequenzen im Verhältnis 2:3 :

Solche Figuren, die durch die Kombination verschiedener Schwingungen entstehen, werden Lissajous-Figuren genannt. Hier einige Beispiele, wie diese dekorativen Figuren aussehen können:


Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 7:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in gleicher Richtung, im Verhältnis 1:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in Gegenrichtung, im Verhältnis 7:10.

Kombination von vier geradlinigen Schwingungen (zwei waagrechte und zwei senkrechte) im Verhältnis 18:5:6:12.

Kombination von drei kreisförmigen Schwingungen im Verhältnis 32:36:45.


Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 10:13:26.)

Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 5:7:18.)

Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 3:7. Der Animationseffekt kommt hier (wie auch im unteren Bild) dadurch zustande, dass im Laufe der Zeit die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen geändert wird.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 7:20. Im Verlauf der Animation ändert sich die Amplitude der einen Schwingung (ebenso im unteren Bild).

Kombination einer kreisförmigen mit einer vertikalen Schwingung; Änderung der Phasenverschiebung.


Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 5:18; Änderung der Amplitude.

Die Figuren werden eher „harmonisch“, wenn sich die Verhältnisse zwischen den Frequenzen durch kleine ganze Zahlen ausdrücken lassen (bzw. Zahlen mit einem kleinen gemeinsamen Vielfachen). Bei grösseren oder „ungeraden“ Zahlenverhältnissen machen die entstehenden Figuren einen etwas unregelmässigeren oder „chaotischeren“ Eindruck.
Dasselbe kann man in der Musik beobachten. Töne bestehen ja auch aus Schwingungen. Dabei empfinden wir in der Regel jene Akkorde als wohlklingend, bei welchen die Frequenzen der einzelnen Töne solche ganzen Zahlenverhältnisse bilden. Z.B. besteht ein Dur-Akkord aus Tönen mit dem Frequenzverhältnis 3:4:5, 4:5:6 oder 5:6:8. Bei einem Moll-Akkord ist das Verhältnis 10:12:15, 12:15:20 oder 15:20:24.

Wir machen Wellen

Eine Welle ist sozusagen eine Schwingung, die sich in Raum und Zeit fortbewegt. Der momentane Zustand der Welle ist also sowohl von dem Ort abhängig, an dem man sie beobachtet, wie auch vom Zeitpunkt. Überlagerungen mehrerer Wellen unterliegen ähnlichen Gesetzmässigkeiten wie die oben betrachteten Lissajous-Figuren.
Meistens geht eine Welle von einem bestimmten Punkt aus und breitet sich von da her kreisförmig (bzw. im Raum kugelförmig) nach allen Seiten gleichmässig aus – z.B. wenn man einen Stein ins Wasser wirft. Im folgenden Bild wurde eine Überlagerung dreier solcher Wellen mathematisch nachkonstruiert. (Der Ursprung einer der drei Wellen liegt so weit ausserhalb des Bildes, dass sie als fast geradlinige senkrechte Streifen erscheint.)

Hier noch eine andere Überlagerung dreier Wellen, in grösserem Massstab:

Zum Schluss sehen wir uns das Ganze noch „echt“, also als dreidimensionale Animation an. Auch die untenstehenden Computergraphiken bestehen aus Überlagerungen von lediglich drei Wellen. Auf diese Weise kann man mathematisch Wasserwellen „nachmodellieren“. (Profis werden die Farben und Texturen sicher noch „echter“ herausarbeiten können als ich.) Auch die echten Wellen sind also mathematisch geordnete Gebilde.

Nur nicht seekrank werden …

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