Herausforderung zum mathematischen Forschen: Ein mysteriöser geometrischer Ort

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum O, und eine Gerade g ausserhalb des Kreises. Von einem Punkt auf g aus konstruiert man die Tangenten an den Kreis, und verbindet deren Berührungspunkte T1 und T2 mit einer Geraden. Wir bezeichnen mit M den Mittelpunkt zwischen T1 und T2.

Frage 1: Wenn diese Konstruktion von allen Punkten von g aus ausgeführt wird, was ist dann der geometrische Ort aller Punkte M? – Konstruiere einige Beispiele, beobachte, und stelle Vermutungen auf. Dann überprüfe die wahrscheinlichste(n) Vermutung(en), und versuche sie zu beweisen.

Frage 2: Wie ändern sich die Bedingungen, wenn g den Kreis schneidet? Und kannst du für diesen Fall eine entsprechende geometrische Interpretation finden für jene Punkte von g, die sich innerhalb des Kreises befinden?

Frage 3: Bei dieser Konstruktion entspricht jeder Punkt von g genau einem Punkt auf dem mysteriösen geometrischen Ort. Es handelt sich also offenbar um eine Abbildung von g. Kannst du diese Abbildung genauer definieren bzw. beschreiben? Was für Eigenschaften dieser Abbildung gehen direkt aus den Antworten auf die Fragen 1 und 2 hervor? Untersuche weitere Eigenschaften, beschreibe und begründe sie.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische und persönliche Anmerkungen:

Forschungsaufgaben sind eine von mehreren Methoden, das Mathematiklernen „aktiver“ zu gestalten. Andere solche Methoden beruhen z.B. auf dem Hantieren mit konkreten Materialien wie Cuisenaire-Stäbchen, logischen Blöcken, usw, welche es den Schülern ermöglichen, mathematische Gesetzmässigkeiten mit den eigenen Händen zu „be-greifen“. Auf den höheren Stufen nehmen die Einsatzmöglichkeiten für solche Materialien ab, da die Mathematik zunehmend abstrakter wird. Dafür nimmt die Fähigkeit der Schüler zu, neue Themen anhand von wenigen Leitfragen selbständig zu erarbeiten und zu erforschen.

Sachverhalte, die man selber erforscht und entdeckt hat, vergisst man nicht so schnell wieder! Das eigene Forschen erfordert zwar mehr Zeit und Anstrengung, als wenn ein Lehrer einfach ein paar Formeln an die Tafel schreibt. Dafür ist die Lernerfahrung unvergleichlich viel dauerhafter. Insbesondere dann, wenn die Schüler nicht einfach eine bestimmte Aufgabe als „Pflichtübung“ vorgesetzt bekommen, sondern aus mehreren Aufgaben und Themen eine auswählen dürfen, die ihrem Können und Interesse entspricht.

Eine wichtige Erfahrung dabei ist, dass mathematische Gesetze und Formeln nicht willkürliche „Inhalte“ sind, die womöglich nur von Lehrern erfunden wurden, um Schüler zu schikanieren. Nein, in der Mathematik hat alles seine Begründung. Jede Formel, jedes Gesetz kann logisch erklärt werden. Auf (fast) jedes „Warum?“ gibt es eine Antwort. Und die Antwort ist umso einsichtiger, je mehr man selber dazu beigetragen hat, sie zu finden. Mehrere meiner Nachhilfeschüler haben nach der Beschäftigung mit einer Forschungsaufgabe mathematische Gesetzmässigkeiten verstanden, die sie zuvor trotz aller Erklärungen ihrer Lehrer nicht verstehen konnten. Meine eigenen Kinder haben sich mit solchen und ähnlichen Methoden angewöhnt, sich die Dinge selber zu erklären, was ihnen auch jetzt im Universitätsstudium zugute kommt.

Es geht also darum, mathematische Themen mit einem gewissen „Mysterium“ zu umgeben und die Neugier der Schüler zu wecken, statt ihnen fertige Antworten vorzusetzen auf Fragen, die sie gar nicht gestellt haben.Wenn wir zudem darauf achten, dass die Schüler an Aufgaben arbeiten dürfen, deren Schwierigkeitsgrad sie nicht überfordert, dann wird gleichzeitig ihr Selbstvertrauen gestärkt: „Mathematik ist etwas, was ich selber entdecken kann. Ich bin der Mathematik nicht hilflos ausgeliefert. Ich kann eigene Fragen stellen und Probleme erfinden, und sie lösen.“
Natürlich werden ab und zu weitere Hilfestellungen auf dem Weg erforderlich sein. Auch für die vorliegende Aufgabe werde ich später solche geben.

Frage 3 ist bewusst offen formuliert. In der Mathematik soll es Raum geben für eigene Kreativität, und für eigene Erweiterungen eines Themas, über die Schulbuchaufgaben hinaus.

Bei der Erarbeitung der hier gestellten Aufgabe bin ich tatsächlich selber den Weg eines Schülers gegangen, der zuerst vor einem Mysterium steht und dann schrittweise anfängt, es zu verstehen. Ich war eigentlich daran, viel einfachere Aufgaben aufzustellen für Schüler, die eben erst anfangen, die Eigenschaften von Kreisen, Sehnen und Tangenten zu lernen. Dabei stellte ich mir selber aus Neugier die obige Frage 1. Statt in einem Buch oder im Internet nach der Antwort zu suchen, begann ich selber zu forschen, zu zeichnen, zu konstruieren, zu rechnen. Zuerst geriet ich in verschiedene Sackgassen und musste neue Alternativen ausprobieren. Nach zwei bis drei Stunden kam ich auf einen schlüssigen und nicht allzu komplizierten Beweis, und ging befriedigt schlafen.
Am nächsten Morgen machte ich mich daran, das Ergebnis übersichtlich zusammenzufassen, und über einige zusätzliche Fragestellungen nachzudenken. Dabei kam mir schlagartig die Erkenntnis, dass dieses Problem mit einem anderen, auf den ersten Blick völlig andersartigen Thema zusammenhängt; und damit ergab sich plötzlich eine ganz neue Perspektive (Frage 3). Das war so eine Art mehrfach potenziertes „Aha-Erlebnis“; so ähnlich wie sich Archimedes in der Badewanne gefühlt haben muss, als er plötzlich das Gesetz des Auftriebs verstand. Der Mathematiker Keith Devlin von der Universität Stanford schrieb einmal sinngemäss über dieses Hochgefühl einer mathematischen Entdeckung: „Das ist besser als jedes von Drogen erzeugte ‚High‘, es kostet nichts, und hat keine schädlichen Nebenwirkungen. Eine Motivation für mich, als Mathematiker zu arbeiten, ist der Wunsch, dieses Hochgefühl immer und immer wieder erleben zu dürfen.“

Hätte ich zuerst Literatur zum Thema studiert, so hätte ich wahrscheinlich die Antworten schneller gefunden. Aber mein Verständnis davon wäre oberflächlicher gewesen. Und ich hätte das aufregende Erlebnis verpasst, eine eigene Entdeckung zu machen.

Ich wünsche mir, dass schon Schüler diese Entdeckerfreude erleben dürfen und dadurch zum Mathematiklernen motiviert werden. Die hier vorgestellte Aufgabe erfordert ein hohes Mass an Vorkenntnissen; aber auch zu einfacheren Themen lassen sich interessante Forschungsthemen finden.

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