Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

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