Herausforderung zum mathematischen Forschen: Annähernd gekürzt

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Die Kinder lösen Rechnungsaufgaben. Susi bemerkt beiläufig: “ 10/13 kann man nicht kürzen.“
– „Aber annähernd“, antwortet Stephan.
– „Was meinst du damit?“
– “ 10/13 ist annähernd 3/4.“
– „Mag sein, aber das hilft mir nicht für meine Aufgabe. Wenn es nicht genau richtig ist, dann ist es falsch.“
– „Kommt darauf an“, meint Stephan. „Für viele praktische Zwecke ist eine annähernde Lösung gut genug. Zum Beispiel, kannst du eine 10/13 Tasse Milch einschenken? oder 10/13 von einem Apfel abschneiden? 3/4 ist doch viel praktischer.“
– „Ja, aber wir sind jetzt nicht beim Essen. Für die Schulaufgaben taugt dein annäherndes Kürzen nicht.“
– „Sollte es aber. Ich wäre dafür, im Schulbuch eine Lektion über annäherndes Kürzen einzufügen.“

Lassen wir uns von dieser Diskussion zu einigen mathematischen Entdeckungen anregen. Meines Wissens kommt das annähernde Kürzen immer noch nicht in den Schulbüchern vor. Aber du kannst den Inhalt einer solchen Lektion selber herausfinden. Die folgenden Fragen sollen dir ein paar Anstösse geben dazu:

1) Wie gut ist Stephans Annäherung? D.h. wie gross ist der Fehler?

2) Versuche andere Brüche annähernd zu kürzen; z.B. 10/17 oder 19/29. Findest du ein systematisches Verfahren, um die beste „annähernde Kürzung“ zu finden?
(Wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, dann wirst du feststellen, dass man verschiedener Meinung sein kann darüber, welches die „beste“ ist. Was für Kriterien würdest du anwenden? Begründe, warum.)

3) Was für Bedingungen sollte ein Bruch erfüllen, damit er „annähernd gekürzt“ werden kann?

4) Versuche weitere mathematische Eigenschaften des annähernden Kürzens herauszufinden.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische Anmerkungen:

Forschungsaufgaben haben einige Eigenschaften, die sie von „schulüblichen“ Mathematikaufgaben unterscheiden:

– Die Antwort ist nicht einfach eine Zahl oder ein mathematischer Ausdruck, sondern ein (unter Umständen komplizierter) mathematischer Sachverhalt, der erklärt werden soll. Das kann auf unterschiedliche Arten geschehen. Es gibt also nicht einfach eine „einzige richtige Antwort“. Um einen Vergleich mit Sprachübungen zu machen: Viele Schulbuchaufgaben sind wie Grammatikübungen. Eine Forschungsaufgabe dagegen ist wie ein Aufsatzthema.

– Bei einer Forschungsaufgabe geht es nicht um die Schnelligkeit, sondern um die „Tiefe“ des Denkens. Das mathematische Denken wird auf nachhaltige Weise geübt, weil die Antworten nicht mit einer mechanischen Prozedur gefunden werden können, sondern nur durch eingehende Betrachtung des Themas unter verschiedenen Blickwinkeln.
Forschungsaufgaben sollten deshalb nie unter Zeitdruck gelöst werden müssen. Idealerweise sollte eine Frist von mindestens einer Woche gegeben werden, wobei täglich mindestens eine Stunde zur Arbeit am Thema zur Verfügung stehen sollte. (Bei einfacheren Themen und auf den unteren Schulstufen kann es auch weniger sein.)

Idealerweise kommen noch folgende Aspekte dazu:

– Die Schüler werden herausgefordert und ermutigt, das Thema mit eigenen Fragestellungen zu erweitern. (In der vorliegenden Aufgabe betrifft dies die sehr offen formulierte Frage 4.) Dadurch wird Raum geschaffen für die eigene Kreativität; ein Aspekt, der in der Schulmathematik oft zu kurz kommt.

– Die Aufgabenstellung ist mit einem gewissen „Mysterium“ umgeben. Erst im Lauf des Forschens wird ersichtlich, was das eigentliche (mathematische) Thema der Aufgabe ist. Und/oder das Problem führt unerwarteterweise über das vordergründige Thema hinaus zu einem anderen Gebiet der Mathematik.

– Die Probleme können aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet und mit verschiedenen mathematischen „Werkzeugen“ angegangen werden. Z.B. mit Zahlenbeispielen oder algebraisch; geometrisch oder analytisch; usw.

– Es kann sinnvoll sein, in Kleingruppen von zwei oder drei Schülern zu arbeiten.

Das Erarbeiten einer Forschungsaufgabe erfordert in der Regel mehrere oder alle der folgenden Tätigkeiten:

– Beispiele sammeln und damit „spielen“.
In dieser Phase geht es darum, mit dem Thema vertraut zu werden. In der vorliegenden Aufgabe z.B. werden die Schüler versuchen, verschiedene Brüche „annähernd zu kürzen“, und werden den jeweiligen Fehler ihrer Näherungen ausrechnen. Möglicherweise werden sie auch verschiedene Methoden erfinden und ausprobieren, um auf solche Näherungen zu kommen. Diese Sammlung von Beispielen dient dann als „Rohmaterial“ für die weiteren Schritte.

– Beobachten.
Hier geht es um die Frage: Wie „verhalten sich“ diese Zahlen (bzw. andere mathematische Objekte)? Beim näheren Beobachten der Beispiele können Gemeinsamkeiten und Auffälligkeiten festgestellt werden. Beim vorliegenden Thema könnten Schüler z.B. die Beobachtung machen, dass das „annähernde Kürzen“ besonders einfach ist bei jenen Brüchen, wo der Nenner beinahe ein Vielfaches des Zählers ist.
Die Beobachtungen können zu weiteren Erkenntnissen führen, wenn sie geordnet und systematisiert werden.

– Vermutungen aufstellen; Sachverhalte verallgemeinern.
Die gemachten Beobachtungen sollten nun zu Fragen grundsätzlicherer Art führen, wie z.B: Ist das immer so? Warum ist das so? Usw. Die Schüler sollen ermutigt werden, ihre Vermutungen zu formulieren, auch und gerade dann, wenn sie nicht sicher sind, ob diese richtig sind oder nicht. Das Aufstellen von Vermutungen ist ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur Lösung.
Der nächste Artikel zu dieser Forschungsaufgabe wird einige Hinweise enthalten, wie das konkret bei dieser Aufgabe aussehen könnte.

– Die Vermutungen überprüfen und begründen.
In dieser Phase werden die gemachten Vermutungen „aussortiert“. Eine falsche Vermutung kann oft durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden. Für eine richtige Vermutung kann im besten Fall ein logisch korrekter Beweis gefunden werden. (Ein Beweis ist im Grunde nichts anderes als eine überzeugende Antwort auf die Frage: „Warum?“)

– Schlussfolgerungen formulieren.
Hier geht es darum, die erkannten Eigenschaften und Gesetze geordnet und verständlich zu formulieren, und wenn möglich zu begründen. In den Schlussfolgerungen dürfen aber durchaus auch Vermutungen erwähnt werden, die nicht bewiesen werden konnten, sofern vieles dafür spricht, dass sie richtig sind.
Auf den höheren Stufen darf erwartet werden, dass Schüler ihre Schlussfolgerungen schriftlich formulieren. Bei jüngeren Schülern kann auch eine mündliche Erklärung ausreichend sein.

– Die Fragestellung erweitern.
Oft führt die Antwort auf eine Frage zu neuen, unbeantworteten Fragen. Diese Erweiterungen des Themas können sehr wertvoll sein, sofern die Schüler in der Lage sind, sie zu erforschen. Dann können die vorherigen Phasen für die neuen Fragestellungen nochmals durchlaufen werden. Andernfalls können solche unbeantworteten Fragen auch Schülern einer höheren Stufe als neue Forschungsaufgaben vorgelegt werden.

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2 Antworten to “Herausforderung zum mathematischen Forschen: Annähernd gekürzt”

  1. Nähere Hinweise und Zusatzfrage zur Forschungsaufgabe: Annähernd gekürzt | Christlicher Aussteiger Says:

    […] ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte […]

  2. Annähernd gekürzt: Nähere Hinweise zur Zusatzfrage 5 | Christlicher Aussteiger Says:

    […] Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dieser Artikel wird also nicht viel Sinn machen, wenn du nicht zuerst die ursprüngliche […]

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