Annähernd gekürzt: Nähere Hinweise zur Zusatzfrage 5

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dieser Artikel wird also nicht viel Sinn machen, wenn du nicht zuerst die ursprüngliche Problemstellung gelesen hast, und wenn möglich selber versucht hast, die Antworten zu finden. Selber denken macht schlau!
– Falls du dies bereits getan hast, aber zur Zusatzfrage noch Zweifel hast, dann hoffe ich, dass dir die folgenden Hinweise Gewinn bringen.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält zusätzlich einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zur Zusatzfrage (5): Nehmen wir wiederum das erste Beispiel aus dem ursprünglichen Problem. Wir haben festgestellt, dass es darum geht, Vielfache von 10 und von 13 zu finden, die sich um 1 unterscheiden. Das kann man aber auch anders formulieren:
„Finde ein Vielfaches von 10, das beim Teilen durch 13 einen Rest von 1 oder von 12 ergibt.“
Oder auch: „Finde ein Vielfaches von 13, das beim Teilen durch 10 einen Rest von 1 oder von 9 ergibt.“
Überlege: Warum sind diese beiden Formulierungen gleichbedeutend? – Und warum zwei mögliche Reste?

Eine weitere entscheidende Beobachtung ist, dass sich die Vielfachen mit dieser Eigenschaft jeweils in Schritten von 10·13=130 wiederholen. Die erste Lösung mit der verlangten Eigenschaft war 39 und 40; weitere Lösungen wären demnach 169 und 170; 299 und 300; usw. – Überprüfe dies; und überlege, warum das so ist.
(Für das ursprüngliche Problem sind natürlich die weiteren Lösungen nicht sinnvoll, weil dadurch der Bruch „erweitert“ statt „gekürzt“ würde. Aber um die Antwort auf die Zusatzfrage zu verstehen, ist es hilfreich zu sehen, dass sich diese Lösungen periodisch wiederholen.)

Die Zahl 130 hat also eine besondere Bedeutung für die Lösungen des Problems, im Fall des Bruchs 10/13. Kannst du damit den Zusammenhang zwischen den beiden „besten“ Näherungen finden?
Wenn nicht, dann noch ein letzter Hinweis: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 130, und zeichne darauf die Vielfachen von 10 und von 13 ein, die den Lösungen entsprechen. Du wirst eine interessante Symmetrie feststellen. Beschreibe diese Symmetrie mathematisch, und verallgemeinere sie für andere Zahlen. Wenn du zeigen kannst, dass diese Symmetrie für alle Probleme dieser Art gilt, dann hast du damit Stephans Behauptung bewiesen. Und natürlich kennst du dann auch sein „ganz einfaches“ Verfahren, die zweite Näherung zu finden.


Weitere Anmerkungen für Eltern und Lehrer:

Manche mathematischen Forschungen sind wie eine Wundertüte: Sie beginnen mit einer anscheinend ganz einfachen Fragestellung; aber dann stellt man unerwarteterweise fest, dass noch andere und fortgeschrittenere Dinge darinstecken. Das ist auch hier der Fall. Wir begannen mit einem relativ einfachen Problem, das lediglich Kenntnisse des Bruchrechnens verlangt. Aus dieser Perspektive dürften manche Elfjährige bereits in der Lage sein, erste Antworten auf die ersten beiden Fragen (und evtl. Frage 3) zu finden. Aber in den näheren Hinweisen zu jenen Fragen haben wir bereits gesehen, dass eine vollständige Erklärung der gemachten Beobachtungen zu weiteren Themen führt (die wir Elfjährigen normalerweise noch nicht zumuten sollten!). So könnte diese Forschungsarbeit für fortgeschrittenere Schüler u.a. als Sprungbrett dienen zur Einführung von Themen wie: Modulare Kongruenz und modulare Arithmetik; diophantische Gleichungen; Eigenschaften von teilerfremden Zahlen (Chinesischer Restsatz); usw. (Natürlich sind hierzu zumindest elementare Algebrakenntnisse Voraussetzung.)

Wir sehen hier auch, dass Schüler selbst beim Mathematiklernen nicht durchgängig nach Alters- bzw. Leistungsgruppen getrennt zu werden brauchen. Bei einer Aufgabe wie dieser können durchaus „Anfänger“ und „Fortgeschrittene“ zusammenarbeiten. Jeder hat die Möglichkeit, Entdeckungen zu machen, die seinem Verständnis gemäss sind. Und „Anfänger“ können sich an der ganz einfachen Entdeckung, dass Brüche „annähernd gleich“ sein können, ebenso freuen wie „Fortgeschrittene“ an der Entdeckung eines Beweises für ein zahlentheoretisches Gesetz.

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