Archive for the ‘Aus der Schule geplaudert’ Category

Kinder-Ferienprogramm: Livingstone reloaded

15. August 2019

Als unsere Kinder noch klein waren, wählten wir das Leben von David Livingstone als Kernthema eines ihrer ersten Lernprojekte. Jetzt sind unsere eigenen Kinder gross, und eine neue Generation nimmt an unseren Kinder-Ferienprogrammen teil. Für diese haben wir kürzlich das Thema „Livingstone“ wiederbelebt. Einige Aktivitäten (z.B. die „Expeditionen“) führten wir fast genauso durch, wie wir es damals mit unseren Kindern getan hatten. Andere Aktivitäten fielen entsprechend der Zusammensetzung und den Bedürfnissen der Gruppe anders aus.

Wie seinerzeit Livingstone, erforschten wir eine Flusslandschaft und schrieben Berichte darüber.

Unten: Ein gefrorener Wasserfall am Ursprung eines der Quellflüsse des Amazonas. Um ein solches Naturschauspiel zu sehen, muss man hier in Perú auf 4500 Meter Höhe aufsteigen.

Die Grundidee solcher Lernprojekte besteht darin, ausgehend von einem Thema, das die Kinder interessiert, ein breites Spektrum von Aktivitäten anzubieten oder vorzuschlagen, in deren Verlauf Kenntnisse aus Geschichte, Geographie, Naturwissenschaft, Sprache, Mathematik, u.a. vermittelt werden können. In einer grösseren Gruppe, wie es diesmal der Fall war, kann jedes Kind selber entscheiden, bei welchen Aktivitäten es mitmachen will.
Wir kennen mehrere alternative Schulen, die mit solchen Methoden funktionieren. Auch unsere eigenen Kinder haben wir weitgehend auf diese Weise ausgebildet. Im Vergleich mit ihren Altersgenossen hatten sie dadurch viel mehr Gelegenheiten zu praktischen Erfahrungen, zu körperlicher Betätigung und zum Spielen. Wissensmässig hatten sie dennoch keinen Nachteil: sie schafften den Eintritt in die Universität auf Anhieb.

Bild: Teilnehmer des Ferienprogramms im grossen Kreis. Nebst anderen Aktivitäten, erzählten wir im Kreis jeden Tag ein Stück der Lebensgeschichte Livingstones.

„Aber in den Ferien?“, werden jetzt einige Leser befremdet fragen. „Und sogar Mathematik??“ – Dazu muss man wissen, dass die meisten peruanischen Eltern in der Erziehung ihrer Kinder eine einzige Priorität kennen: den akademischen „Erfolg“. Deshalb florieren hierzulande sogenannte „academias“, d.h. „Ferienschulen“, die während den Schulferien genau dasselbe intelligenztötende Programm von Auswendiglernen und Abfragen anbieten wie die herkömmlichen Schulen. Wir mussten feststellen, dass neuerdings sogar die Schulen selber den Kindern ihre Ferien wegnehmen: Einige Kinder in unserem Programm nahmen an gewissen angebotenen Aktivitäten nicht teil, nicht etwa weil sie stattdessen spielen oder etwas anderes machen wollten, sondern weil sie ihre Schulaufgaben machen mussten. Z.B. fünfundzwanzig Seiten im Mathematikbuch selbständig durcharbeiten – innerhalb von zwei Wochen Ferien.

Wenn also Eltern etwas bemängeln an unserem Programm, dann nicht, dass wir sogar in den Ferien noch Sprach- und Mathematikstunden anbieten. Sondern im Gegenteil, dass wir so wenig „schulische“ Aktivitäten haben, und dass wir erst noch den Kindern die Freiheit lassen, zu diesen Angeboten nein zu sagen. Wir pflegen deshalb vor jedem Ferienprogramm einen Elternabend durchzuführen, wo wir den Eltern unsere Methoden und die Gründe dafür ausführlich erklären. Wir können das sogar mit Publikationen des staatlichen Bildungsministeriums begründen, die im wesentlichen dasselbe sagen wie wir: dass Kinder zu ihrer gesunden Entwicklung auch körperliche Betätigung und Spiel brauchen; dass sie nicht gezwungen werden sollen, Dinge zu lernen, die sie von ihrem Entwicklungsstand her noch nicht verstehen können; dass sie Gelegenheit erhalten sollen, ihre Gaben und Talente zu entfalten; usw. Doch die Schulen funktionieren weiterhin so, als ob diese Publikationen nicht existierten: Es wird weiterhin verlangt, dass die Kinder bereits im Kindergarten Lesen und Schreiben lernen (obwohl der offizielle Lehrplan ihnen dazu bis zum Ende der 2.Klasse Zeit lässt); Drittklässler müssen weiterhin Gleichungen lösen, bevor sie auch nur das Einmaleins beherrschen; und Primarschüler sitzen weiterhin bis spät in der Nacht an ihren Hausaufgaben.

In unserem Ferienprogramm gaben wir manchen Interessengruppen die Namen von Berufen. Einige davon hatten natürlich mit dem Leben Livingstones zu tun.

Oben: Die „Ärzte“ lernten u.a, einander das Herz und die Lungen abzuhören. (Livingstone war Arzt.)

Die „Bibelforscher“ erhielten anhand eines „Bibelpanoramas“ einen Überblick über die biblische Geschichte vom Anfang bis zum Ende. (Als Missionar musste Livingstone natürlich die Bibel studieren.)

Bild: Zwei Schüler stellen am Schlussabend ihr Bibelpanorama vor.

Die „Geographen“ zeichneten während unserer „Expeditionen“ interessante Tier- und Pflanzenarten, und andere Beobachtungen auf. Einige Fortgeschrittenere vermassen unseren Weg mit Hilfe eines Kompasses und dem Zählen von Schritten, und konstruierten später aufgrund dieser Angaben eine einfache Landkarte.

Die „Journalisten“ schrieben einen Bericht über die Expeditionen. (Livingstone war zwar kein Journalist, aber in seinem Tagebuch schrieb er ebenfalls ausführliche Berichte über seine Reisen. Und der Journalist Henry Morton Stanley war es, der 1871 den verschollenen Livingstone in Ujiji am Tanganyikasee auffand.)

Die „Übersetzer“ lernten eine Fremdsprache, so wie Livingstone die einheimischen afrikanischen Sprachen lernen musste. Wir hatten, wie in früheren Ferienprogrammen, Englisch vorgeschlagen; aber auf Wunsch mehrerer Teilnehmer ersetzten wir es durch Quechua. Das ist die ursprüngliche Sprache weiter Teile des peruanischen Hochlandes; aber in den Städten verstehen selbst von den Einheimischen manche kein Quechua mehr, und müssen es deshalb als Schulfach lernen. – Am nächsten Tag schrieben sich manche Kinder zusätzlich für „Englisch“ ein. Anscheinend hatten ihre Eltern sie gefragt, wozu sie Quechua lernen wollten; Englisch sei doch viel wichtiger. Aber wir hatten unsere Entscheidung bereits getroffen, sodass es dieses Mal keinen Englischkurs gab.

Bild: Die „Übersetzer“ lernen ein Lied auf Quechua.

Dann gab es einige weitere Gruppen, die keinen direkten Zusammenhang mit Livingstone hatten:

Die „Ingenieure“ bauten kunstvolle Kugelbahnen aus Kartonröhren.

Unten: Auch der Kleinste muss es ausprobieren…

Die „Köche“ bereiteten zweimal ein Mittagessen mit Nachtisch zu.

Oben: Gemeinsames Mittagessen.
Unten: Beim Zubereiten eines Kuchenteigs.

In der Schachgruppe hatten wir sowohl Anfänger, die erst die Bewegungen der Figuren lernen mussten, wie auch Fortgeschrittenere, die in einer separaten Gruppe mehr über Strategie und über weniger bekannte Regeln lernten.

In der Bastelgruppe fertigten die Teilnehmer verschiedene Handarbeiten an.

Oben: Die Kleineren basteln Blumen aus Papier und Karton.
Unten: Stoffmalen mit den Grösseren.

Und es gab sogar eine beträchtliche Zahl von Interessenten für jene Gruppe, die vor allem von den Eltern gewünscht wurde (für ihre Kinder natürlich, nicht für sie selber…): die „Mathematiker“. Wir versuchten diese Gruppe so praktisch und spielerisch wie möglich zu gestalten. Im Bild unten zwei Kinder beim Üben der Division mit Rest, anhand einer Montessori-Aktivität.

Noch nie zuvor hatten wir so viele Interessengruppen! Bei früheren Gelegenheiten gab es meistens nur für vier oder fünf Gruppen genügend Interessenten, sodass uns viel Zeit blieb für freie Aktivitäten, Spiele, und zum spontanen Eingehen auf zusätzliche Ideen, die im Lauf der Ferien aufkamen. Dieses Mal jedoch hatten sich für die meisten Gruppen mehr als die Hälfte der Teilnehmer eingetragen, sodass wir fast die gesamte Zeit für die Gruppen einsetzen mussten. Ob die Kinder „aktiver“ geworden sind? Oder ob sie einen stärkeren „Herdentrieb“ entwickelt haben (wenn einer sich für eine Gruppe einträgt, wollen die anderen dasselbe auch)?

Bei meiner eigenen Beschäftigung mit Livingstone fand ich übrigens, dass sein Leben auch einen Zusammenhang hat mit dem Thema dieses Blogs: „Christlicher Aussteiger“. Doch davon in einem späteren Artikel …

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Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 4)

17. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Diese letzte Folge ist ein Anhang zu einer kleinen „mathematischen Entdeckungsreise“, die mit dieser Forschungsaufgabe. anfing. Ich empfehle, mit dem Lesen (und Forschen) dort zu beginnen, um besser zu verstehen, wovon wir hier sprechen.


Probleme, die unterschiedliche Gebiete der Mathematik miteinander verbinden, haben einen besonderen Reiz. Das vorliegende ist von dieser Art. Wir haben mit einer Geometrieaufgabe angefangen, mussten zusätzlich die Trigonometrie beiziehen, und landeten dann bei einer besonderen Abbildung, der Inversion, die man auch analytisch untersuchen kann. In diesem Zusammenhang habe ich in der letzten Folge eine Zusatzfrage gestellt (Frage 4), die in der ursprünglichen Problemstellung nicht vorkam: Beweise (analytisch), dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist. Hier nun einige Hinweise dazu, für jene, die es versucht haben und irgendwo auf dem Weg steckengeblieben sind, oder schon den Einstieg nicht fanden.

Stelle die Situation in einem Koordinatensystem dar. Wähle die praktischsten Werte für O und R. Untersuche die Gleichung eines Kreises, und die Gleichung der Inversion dieses Kreises. Kannst du beweisen, dass die Gleichung der Inversion ebenfalls einen Kreis beschreibt?

Du kannst es sogleich auf deine eigene Art versuchen, oder auch dem folgenden „Rezept“ folgen:

Ich habe O(0;0) und R=1 gewählt. Der Kreis, der das „Urbild“ ist, soll das Zentrum (p;0) haben und einen Radius r. Sein Zentrum liegt also auf der x-Achse.
Wir dürfen diese Einschränkungen vornehmen, ohne dass der Beweis an Allgemeingültigkeit verliert, denn die geometrischen Eigenschaften der Inversion bleiben bei Streckung und Drehung erhalten. Somit können alle anderen Situationen auf die hier gewählte zurückgeführt werden.
Wir definieren ausserdem, dass p und r nicht gleich sind. Denn sonst ginge die Kreislinie durch O, und das ist der Fall, den wir bereits mit den Fragen 1 bis 3 untersucht haben. (Man kann natürlich auch diesen Fall analytisch untersuchen.)

Die Gleichung unseres Kreises lautet also:

(xp)2 + y2 = r2

Wenn wir nun einen Punkt A(x; y) haben, der diese Gleichung erfüllt (also auf unserem Kreis liegt), und wir wenden die Inversion an, was sind dann die Koordinaten A'(x‘; y‘) des Abbilds von A?
Erinnere dich, dass A‘ auf der Verbindungsgeraden AO liegt; und ausserdem gilt: AO·A’O = R2.

Du erhältst dann je einen Ausdruck für x‘ und für y‘; aber diese Ausdrücke enthalten noch die „alten“ Koordinaten x und y. Es geht jetzt also darum, aus diesen beiden Gleichungen x und y zu eliminieren, damit wir die Gleichung des ganzen „invertierten Kreises“ erhalten. Diese Gleichung sollte als Variabeln nur noch x‘ und y‘ enthalten (sowie die Parameter p und r).
D.h. zusammen mit der obigen Gleichung des Urbilds haben wir nun ein System von drei Gleichungen. Wir sollten also daraus zwei Variabeln (x und y) eliminieren können und dann eine einzige Gleichung haben.

Die algebraischen Umformungen während dieses Vorgangs können u.U. sehr kompliziert werden – oder je nachdem auch relativ einfach, wenn du es geschickt anpackst. Hier noch ein paar Tips dazu:

– Sei dir im Klaren darüber, worauf wir hinauswollen. Wir wollen beweisen, dass das Abbild ein Kreis ist. Das ist dann der Fall, wenn wir die Gleichung in die folgende Form bringen können:

(x‚ – a)2 + (y‚ – b)2 = s2

… wobei die Ausdrücke von a, b und s Konstanten sein müssen, d.h. sie dürfen nicht x‘ oder y‘ enthalten.
Wir können übrigens bereits voraussagen, dass b=0. Warum?

– Sowohl die Gleichung des Urbilds, als auch die voraussichtliche Gleichung des Abbilds, sind quadratisch. Daher die Empfehlung: Wenn möglich unterwegs kein unnötiges Wurzelziehen (und auch kein unnötiges Ausmultiplizieren)!

– Statt z.B. nach x und/oder nach y aufzulösen und diese Lösungen einzusetzen, wird die Sache evtl. einfacher, wenn wir direkt gewisse zusammengesetzte Ausdrücke ersetzen, z.B. x2 + y2, oder x/x‘. (Auf diese Weise bin ich auf einen Lösungsweg gekommen, in dem tatsächlich keine einzige Quadratwurzel vorkommt!)

Genug der Hinweise. Ich darf noch verraten, dass die Vermutung richtig ist: das Abbild ist tatsächlich ein Kreis. Aber nun bist du dran!

Du könntest dann zusätzlich untersuchen, was es für Kreise gibt, die auf sich selber abgebildet werden. (Abgesehen vom trivialen Fall des Inversionskreises selber, also des Kreises um O mit Radius R.) Was für Bedingungen müssen solche Kreise erfüllen?

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

11. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Fragen 1 und 2)

5. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 1: Wenn du eine genaue Konstruktion angefertigt hast, dann dürftest du erkannt haben, dass der gesuchte geometrische Ort ein Kreis ist. Bei genauerer Beobachtung liegt die Vermutung nahe, dass die Kreislinie durch O geht. Und aus Symmetriegründen muss das Zentrum dieses Kreises auf der Senkrechten von O auf g liegen.

Diese Senkrechte ist als Symmetrieachse der ganzen Situation eine „privilegierte“ Linie. Bezeichnen wir mit A den Schnittpunkt dieser Senkrechten mit g, und mit M den Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von A aus. Falls der gesuchte g.O. tatsächlich, wie vermutet, ein Kreis ist, dann muss MO sein Durchmesser sein.

Wenn diese Vermutung richtig ist, dann ist eine Konsequenz davon, dass alle anderen Sehnen unserer Konstruktion durch M gehen müssen. Denn bei allen anderen Mittelpunkten Mi bildet OMi mit der betreffenden Sehne einen rechten Winkel. Wenn also Mi zu unserem geometrischen Ort gehört, dann ist dieser rechte Winkel einem Thaleskreis über MO einbeschrieben. Diese Beobachtung weist den Weg zu einem von mehreren möglichen Beweisen:

Führen wir die ganze Konstruktion „rückwärts“ aus:
– Konstruiere eine Sehne, die durch M geht.
– Konstruiere Tangenten in den Endpunkten der neuen Sehne. Bezeichnen wir mit B den Schnittpunkt dieser Tangenten.
– Verbinden wir OB; damit erhalten wir den Mittelpunkt M1 der neuen Sehne.
– Bezeichnen wir mit α den halben Zentrumswinkel über der ersten Sehne, und mit β den halben Zentrumswinkel über der neuen Sehne.

Wenn wir nun beweisen können, dass das Dreieck AOB rechtwinklig ist bei A, dann ist der Beweis vollständig: Dann ist nämlich B ein Punkt von g; und wir haben ja den Punkt M1 so konstruiert, dass er auf einem Kreis mit MO als Durchmesser liegt. Also ist dann dieser Kreis effektiv der g.O. aller Punkte Mi.

Vorderhand der naheliegendste Weg zur Vervollständigung dieses Beweises besteht in der Trigonometrie: Versuche die Längen der verschiedenen vorkommenden Stücke auszudrücken mit Hilfe des Kreisradius R, und trigonometrischer Funktionen der Winkel α bzw. β. Benütze die Dreiecke in der Figur; vorzugsweise die rechtwinkligen. Z.B. können wir mit Hilfe des Dreiecks OTM sehen, dass MT = R·sin α und MO = R·cos α. Noch unbekannte Winkel wirst du, wo möglich, durch α und β ausdrücken müssen. Die Einzelheiten solltest du nun selber vervollständigen können; denn wenn du dich an Probleme dieser Schwierigkeitsstufe wagst, dann ist anzunehmen, dass du diese Themen beherrschst.

Oder wer weiss, vielleicht findest du einen völlig andersartigen Beweis?

Zu Frage 2: Bezeichnen wir mit S1, S2 die Schnittpunkte von g mit dem Kreis. Diese sind die Grenzfälle, wo die beiden Tangenten an den Kreis in einer einzigen zusammenfallen. Die entsprechende Sehne wird dann zu einem Punkt, und diese Punkte S1, S2 sind somit die „Mittelpunkte“ der Sehnen. Also gehören diese Punkte selber zum gesuchten g.O; und wir können vermuten, dass dieser in einem Kreis besteht, der durch O, S1 und S2 geht.

Für die Punkte von g ausserhalb des Kreises gilt dieselbe Beziehung wie bei Frage 1. Wir werden einen Beweis führen können mit ähnlichen Überlegungen wie dort, sobald wir die Bedeutung der Punkte von g innerhalb des Kreises verstanden haben.
Wenn wir einige Beispiele konstruieren, werden wir feststellen, dass hier die umgekehrte Beziehung gilt: Wählen wir einen Punkt B auf g innerhalb des Kreises. Verlängern wir OB bis zum Schnittpunkt M1 auf dem g.O. Nun ist B der Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von M1 aus an den Kreis. Und wenn wir die Senkrechte von O auf g wählen, dann sind diese Berührungspunkte S1 und S2.

Nun solltest du selber den Beweis für diesen Fall vervollständigen können.

Retraite ins Land der Mathematik

29. Mai 2019

Lange habe ich mich mit dem Thema „Autoritarismus in ‚christlichen‘ Kirchen“ beschäftigt. Länger als mir lieb war. Leider ist es, wie mir sogar ein freikirchlicher Pastor bestätigte, nötig, sich mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aber es hat meinem persönlichen Wohlbefinden ziemlich zugesetzt, von so vielen hässlichen Dingen Kenntnis nehmen zu müssen, die in „frommen“ Kreisen vor sich gehen.

Deshalb befinde ich mich gegenwärtig in einer Art persönlichen Retraite. Neben der persönlichen Gemeinschaft mit Gott, habe ich festgestellt, dass auch das „Land der Mathematik“ ein guter Rückzugsort ist. So verbringe ich einen Teil meiner Zeit damit, mathematische Probleme auszutüfteln, und an meinen Büchern zum aktiven Mathematiklernen weiterzuarbeiten.

Die Mathematik ist in gewisser Hinsicht ein Abbild oder Gleichnis von Gottes Reich. Die Zahlen folgen treu ihren Gesetzen. Sie haben nie gelernt zu lügen oder zu betrügen, oder übereinander herrschen zu wollen. In mathematischen Zusammenhängen zu forschen, ist fast wie ein Gebiet der Schöpfung zu betreten, das vom Sündenfall noch unberührt geblieben ist. (Allerdings ist dieses „Land“ von keinem Menschen bewohnt, sondern nur von abstrakten Geschöpfen.)

Die Mathematik ist verlässlich. Ihre Gesetze sind keinem zeitbedingten Wandel unterworfen. Sie brauchen sich nicht um „politische Korrektheit“ zu kümmern. Allen Relativisten zum Trotz, ist die Mathematik eine Wissenschaft von unveränderlichen, universellen Wahrheiten.

Was die Menschen betrifft, die die Mathematik erforschen oder anwenden, so mögen diese sündhaft sein und die Mathematik zu sündhaften Zwecken missbrauchen. Aber damit vermögen sie nicht die Mathematik an sich mit ihrer Sündhaftigkeit anzustecken.

In der Mathematik kann es keine Willkürherrschaft geben. Niemand, auch nicht die mächtigste Regierung, kann ein mathematisches Gesetz nach Belieben abändern, in Kraft setzen oder aufheben. Niemand kann einem anderen vorschreiben, wie er die Gesetze der Mathematik anzuwenden hat. (Auch wenn das in manchen Bildungseinrichtungen immer wieder versucht wird – aber das Ergebnis ist dann nicht echte Mathematik, sondern Bürokratie.)
Wenn auch manche mathematischen Gesetze unter dem Namen einer bestimmten Persönlichkeit bekannt sind, so kann doch diese Persönlichkeit keinen Eigentumsanspruch darauf erheben. Sie hat das Gesetz nur entdeckt, aber nicht geschaffen.

In der Mathematik gibt es deshalb keinen Raum für menschliche Herrschaft, weder in der Form von Demokratie noch in der Form von Monarchie und Diktatur. Mathematische Gesetze unterliegen weder Mehrheitsbeschlüssen, noch Volksabstimmungen, noch Regierungsdiktaten, noch den Doktrinen von Päpsten und anderen religiösen Machthabern.
In der Mathematik erfüllt sich daher in gewisser Weise der Ausspruch von Jesus: „Einer ist euer Meister; ihr aber seid alle Brüder.“ (Matth.23,8) Nur einer hat je mathematische Gesetze geschaffen und „in Kraft gesetzt“: Gott selber.
Es gibt zwar Personen, die wegen ihrer hervorragenden Kenntnisse der Mathematik als „Autoritäten“ auf diesem Gebiet gelten. Aber diese Art von Autorität ist nicht im Sinne von „herrschen“ oder „Macht ausüben“ zu verstehen, sondern im Sinn einer besonderen Befähigung, anderen ihr Verständnis der mathematischen Gesetze zu vermitteln. Und das sollte eher als eine „Dienstleistung“ angesehen werden.

So ist es auch in der Gemeinschaft der Nachfolger Jesu, wie sie ursprünglich von ihm selber vorgezeichnet wurde, nicht vorgesehen, dass einer über den andern „herrsche“. Es mag „Lehrer“ geben in dem Sinne, dass einige ein besseres Verständnis von Gottes Wesen und seinen Gesetzen haben, und dieses Verständnis andern vermitteln können. Aber auch diese hat Jesus nie beauftragt, anderen Vorschriften zu machen, ihnen ihre besondere Auslegung aufzuzwingen, oder gar eigene Gesetze aufzustellen. Im Gegenteil, sie sollen „Diener“ sein (Matth. 23,11; 20,25-27). Wie die Wahrheiten der Mathematik, so können auch die Wahrheiten Gottes niemandem aufgezwungen, sondern höchstens erklärt werden.

Es braucht auch niemand eine Genehmigung, ein Diplom, oder eine Mitgliedschaft in einer akademischen Vereinigung, um Mathematik treiben zu dürfen. Die Mathematik ist Allgemeingut, „public domain“. Nur eines ist notwendig: die Bereitschaft, die Gesetze der Mathematik selber als verbindlich anzuerkennen und zu befolgen.
In derselben Weise hat auch jeder Zutritt zu Gott durch Jesus Christus, der bereit ist, ihm zu folgen. Man braucht dazu weder einem irdischen Leiter seine Loyalität zu erklären, noch in der Tradition einer bestimmten kirchlichen Richtung geschult zu sein, noch Mitglied einer religiösen Vereinigung oder Kirche zu werden.

Noch hätte ich Stoff für viele Artikel zum Thema „Autoritarismus“. Aber diese müssen noch einige Zeit warten. Interessierten Lesern kann ich empfehlen, in der Zwischenzeit im Internet nach „geistlicher Missbrauch“ zu suchen. Auch interessant ist eine Suche nach „Robert Lifton“ und „Mind Control“. Liftons Kriterien beruhen zwar nicht auf der Bibel, sondern auf der Psychologie. Sie zeichnen aber ein deutliches Porträt jener Gruppen und Leiter, die die Menschen „hinter sich selbst her“ ziehen wollen; was nach Apg.20,30 ein klares Kennzeichen falscher Geschwister und falscher Leiter ist. Es mag hilfreich sein, Gruppen und Organisationen nach diesen Kriterien zu beurteilen – nicht nur jene Gruppen, die im Verdacht der Sektiererei stehen, sondern auch jene, die als „Mainstream-Evangelikale“ gelten, oder sogar als „liberal“. Ja, auch die universitäre Bibelkritik kommt im Licht von Liftons Kriterien nicht sonderlich gut weg.

Genug damit; ich kehre zurück in meine Retraite.

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Ein mysteriöser geometrischer Ort

19. Mai 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum O, und eine Gerade g ausserhalb des Kreises. Von einem Punkt auf g aus konstruiert man die Tangenten an den Kreis, und verbindet deren Berührungspunkte T1 und T2 mit einer Geraden. Wir bezeichnen mit M den Mittelpunkt zwischen T1 und T2.

Frage 1: Wenn diese Konstruktion von allen Punkten von g aus ausgeführt wird, was ist dann der geometrische Ort aller Punkte M? – Konstruiere einige Beispiele, beobachte, und stelle Vermutungen auf. Dann überprüfe die wahrscheinlichste(n) Vermutung(en), und versuche sie zu beweisen.

Frage 2: Wie ändern sich die Bedingungen, wenn g den Kreis schneidet? Und kannst du für diesen Fall eine entsprechende geometrische Interpretation finden für jene Punkte von g, die sich innerhalb des Kreises befinden?

Frage 3: Bei dieser Konstruktion entspricht jeder Punkt von g genau einem Punkt auf dem mysteriösen geometrischen Ort. Es handelt sich also offenbar um eine Abbildung von g. Kannst du diese Abbildung genauer definieren bzw. beschreiben? Was für Eigenschaften dieser Abbildung gehen direkt aus den Antworten auf die Fragen 1 und 2 hervor? Untersuche weitere Eigenschaften, beschreibe und begründe sie.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische und persönliche Anmerkungen:

Forschungsaufgaben sind eine von mehreren Methoden, das Mathematiklernen „aktiver“ zu gestalten. Andere solche Methoden beruhen z.B. auf dem Hantieren mit konkreten Materialien wie Cuisenaire-Stäbchen, logischen Blöcken, usw, welche es den Schülern ermöglichen, mathematische Gesetzmässigkeiten mit den eigenen Händen zu „be-greifen“. Auf den höheren Stufen nehmen die Einsatzmöglichkeiten für solche Materialien ab, da die Mathematik zunehmend abstrakter wird. Dafür nimmt die Fähigkeit der Schüler zu, neue Themen anhand von wenigen Leitfragen selbständig zu erarbeiten und zu erforschen.

Sachverhalte, die man selber erforscht und entdeckt hat, vergisst man nicht so schnell wieder! Das eigene Forschen erfordert zwar mehr Zeit und Anstrengung, als wenn ein Lehrer einfach ein paar Formeln an die Tafel schreibt. Dafür ist die Lernerfahrung unvergleichlich viel dauerhafter. Insbesondere dann, wenn die Schüler nicht einfach eine bestimmte Aufgabe als „Pflichtübung“ vorgesetzt bekommen, sondern aus mehreren Aufgaben und Themen eine auswählen dürfen, die ihrem Können und Interesse entspricht.

Eine wichtige Erfahrung dabei ist, dass mathematische Gesetze und Formeln nicht willkürliche „Inhalte“ sind, die womöglich nur von Lehrern erfunden wurden, um Schüler zu schikanieren. Nein, in der Mathematik hat alles seine Begründung. Jede Formel, jedes Gesetz kann logisch erklärt werden. Auf (fast) jedes „Warum?“ gibt es eine Antwort. Und die Antwort ist umso einsichtiger, je mehr man selber dazu beigetragen hat, sie zu finden. Mehrere meiner Nachhilfeschüler haben nach der Beschäftigung mit einer Forschungsaufgabe mathematische Gesetzmässigkeiten verstanden, die sie zuvor trotz aller Erklärungen ihrer Lehrer nicht verstehen konnten. Meine eigenen Kinder haben sich mit solchen und ähnlichen Methoden angewöhnt, sich die Dinge selber zu erklären, was ihnen auch jetzt im Universitätsstudium zugute kommt.

Es geht also darum, mathematische Themen mit einem gewissen „Mysterium“ zu umgeben und die Neugier der Schüler zu wecken, statt ihnen fertige Antworten vorzusetzen auf Fragen, die sie gar nicht gestellt haben.Wenn wir zudem darauf achten, dass die Schüler an Aufgaben arbeiten dürfen, deren Schwierigkeitsgrad sie nicht überfordert, dann wird gleichzeitig ihr Selbstvertrauen gestärkt: „Mathematik ist etwas, was ich selber entdecken kann. Ich bin der Mathematik nicht hilflos ausgeliefert. Ich kann eigene Fragen stellen und Probleme erfinden, und sie lösen.“
Natürlich werden ab und zu weitere Hilfestellungen auf dem Weg erforderlich sein. Auch für die vorliegende Aufgabe werde ich später solche geben.

Frage 3 ist bewusst offen formuliert. In der Mathematik soll es Raum geben für eigene Kreativität, und für eigene Erweiterungen eines Themas, über die Schulbuchaufgaben hinaus.

Bei der Erarbeitung der hier gestellten Aufgabe bin ich tatsächlich selber den Weg eines Schülers gegangen, der zuerst vor einem Mysterium steht und dann schrittweise anfängt, es zu verstehen. Ich war eigentlich daran, viel einfachere Aufgaben aufzustellen für Schüler, die eben erst anfangen, die Eigenschaften von Kreisen, Sehnen und Tangenten zu lernen. Dabei stellte ich mir selber aus Neugier die obige Frage 1. Statt in einem Buch oder im Internet nach der Antwort zu suchen, begann ich selber zu forschen, zu zeichnen, zu konstruieren, zu rechnen. Zuerst geriet ich in verschiedene Sackgassen und musste neue Alternativen ausprobieren. Nach zwei bis drei Stunden kam ich auf einen schlüssigen und nicht allzu komplizierten Beweis, und ging befriedigt schlafen.
Am nächsten Morgen machte ich mich daran, das Ergebnis übersichtlich zusammenzufassen, und über einige zusätzliche Fragestellungen nachzudenken. Dabei kam mir schlagartig die Erkenntnis, dass dieses Problem mit einem anderen, auf den ersten Blick völlig andersartigen Thema zusammenhängt; und damit ergab sich plötzlich eine ganz neue Perspektive (Frage 3). Das war so eine Art mehrfach potenziertes „Aha-Erlebnis“; so ähnlich wie sich Archimedes in der Badewanne gefühlt haben muss, als er plötzlich das Gesetz des Auftriebs verstand. Der Mathematiker Keith Devlin von der Universität Stanford schrieb einmal sinngemäss über dieses Hochgefühl einer mathematischen Entdeckung: „Das ist besser als jedes von Drogen erzeugte ‚High‘, es kostet nichts, und hat keine schädlichen Nebenwirkungen. Eine Motivation für mich, als Mathematiker zu arbeiten, ist der Wunsch, dieses Hochgefühl immer und immer wieder erleben zu dürfen.“

Hätte ich zuerst Literatur zum Thema studiert, so hätte ich wahrscheinlich die Antworten schneller gefunden. Aber mein Verständnis davon wäre oberflächlicher gewesen. Und ich hätte das aufregende Erlebnis verpasst, eine eigene Entdeckung zu machen.

Ich wünsche mir, dass schon Schüler diese Entdeckerfreude erleben dürfen und dadurch zum Mathematiklernen motiviert werden. Die hier vorgestellte Aufgabe erfordert ein hohes Mass an Vorkenntnissen; aber auch zu einfacheren Themen lassen sich interessante Forschungsthemen finden.

Lernprojekt „Arche Noah“

13. Februar 2018

Schon lange habe ich nicht mehr „aus der Schule geplaudert“, bzw. einen Artikel für diese Blog-Sektion geschrieben. Das liegt daran, dass wir in letzter Zeit nicht mehr viel „Schule“ haben. Unsere eigenen Kinder sind jetzt gross, studieren auswärts und haben unseren „Unterricht“ kaum noch nötig. In unserer Umgebung besteht nicht viel Interesse an unserem pädagogischen Modell. Dafür fragen uns manchmal Interessenten von weiter weg, ob sie von uns lernen dürfen. So war kürzlich eine Mutter aus Kolumbien mit ihrem neunjährigen Sohn für zwei Wochen bei uns, um zusammen einige Studien und Lernprojekte durchzuführen. Mit von der Partie war auch eine andere Homeschool-Familie, deren Kinder allmählich in das Alter kommen, wo man mit ihnen interessantere Aktivitäten durchführen kann.

Ein wichtiges Ziel dieser Zeit bestand darin, ein themenzentriertes Lernprojekt zu erarbeiten und praktisch durchzuführen, das Aktivitäten aus den verschiedensten Wissensgebieten bzw. „Schulfächern“ umfasst: Lesen, Schreiben, Rechnen, Naturkunde, Zeichnen, Basteln, Singen, Bibel, usw. Diese Arbeitsweise ist für „Homeschooling“ ideal: Das Thema wird entsprechend der Interessen der Kinder gewählt, sodass deren Motivation bereits sichergestellt ist. Der Schwierigkeitsgrad der Aktivitäten kann dem Entwicklungsstand der Kinder angepasst werden, wobei oft die Älteren den Jüngeren helfen. Neue Inhalte und Fertigkeiten werden nicht nach „Schulfächern“ fragmentiert aufgenommen, sondern zusammenhängend in Verbindung mit dem umfassenden Thema.

Der jüngste Teilnehmer (vierjährig) war schon seit über einem Monat von der Arche Noah fasziniert; er hatte während dieser Zeit fast täglich ein Bilderbuch mit der Noah-Geschichte angeschaut und hat insgesamt gegen hundert Archen gezeichnet. So wählten wir dies als Hauptthema für die Aktivitäten mit den Kindern.

Zuerst sammelten wir mit den Eltern Ideen für verschiedenste Aktivitäten:
– Lesen: über verschiedene Tiere und ihre Gewohnheiten; über Schiffsbau. Zusammenfassungen schreiben. (Das Lesen über Tiere schliesst zugleich das Fach „Naturkunde“ mit ein.)
– Zeichnen: Tiere zeichnen; die Arche; Regenbogen.
– Basteln: Ein Modell der Arche bauen.
– Rechnen: Die in der Bibel angegebenen Masse der Arche in heutige Masseinheiten umrechnen. Zum Bau des Modells massstäblich umrechnen.
– Singen: Lieder über Tiere singen.
– Bibelunterricht war durch das Lesen der Geschichte von Noah bereits eingeschlossen.

Dem Alter der Kinder entsprechend konnten wir noch keine allzu anspruchsvollen Aufgaben planen. Da die kleineren Kinder noch nicht lesen konnten, lasen die grösseren ihnen vor.

Bei der Durchführung der Aktivitäten ergaben sich ab und zu neue Ideen. Nachdem wir ein wenig über Löwen und über Fische gelesen hatten, fanden wir, dass unser neunjähriger Gast sich vor allem für Katzen interessierte und gerne selber eine Katze halten wollte. (Das ist jetzt das nächste Projekt für seine Familie…) Wir formulierten zuerst gemeinsam einige Fragen über Katzen und lasen dann ausgiebig, um die Antworten zu finden. Zum Beispiel:

Warum spielen Katzen?
Warum streiten sich Katzen und Hunde?
Wie muss man ein Katze erziehen, damit sie stubenrein wird?
Was für besondere Fähigkeiten haben Katzen?
Wann und wo wurden Katzen zuerst domestiziert?
Was fressen Katzen?
Wieviel frisst eine Katze im Tag?
Wie schwer ist eine Katze?

Da wir selber eine Katze haben, konnten wir die letzten beiden Fragen durch direkte Beobachtung beantworten. Der Junge hatte für die Zeit seines Aufenthalts das Füttern der Katze als sein Ämtchen übernommen. So musste er nur noch die tägliche Portion der Katze wägen. Wir stellten ihm dann noch die Aufgabe auszurechnen, wieviel die Katze in einem Monat frisst, und wie viel das kostet.

Komplizierter war das Wägen der Katze selber, denn sie wollte nicht auf der Personenwaage stillhalten. Wir gaben den Kindern absichtlich keine Anweisungen, sondern forderten sie heraus, selber eine Lösung zu finden. Zuerst versuchten sie der Katze auf der Waage etwas zu fressen zu geben, aber das funktionierte nicht. Dann versuchten sie die Katze in einen Eimer zu setzen und so zu wägen, aber sie wehrte sich mit allen Kräften. Schliesslich musste ich ihnen zeigen, dass die Katze stillhielt, wenn jemand von uns sie auf dem Arm trug. Das ergab eine neue Rechnungsaufgabe: Die Person mit der Katze wiegt so und so viel. Die Person allein wiegt so und so viel. Wieviel wiegt die Katze?

Beim Ausrechnen der Masse der Arche Noah kamen wir auf die Idee, diese Masse draussen auf der Strasse abzuschreiten, um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen. Alle staunten, wie lang die Arche war (etwa 135 Meter). Die Breite der Arche wurde gut veranschaulicht durch einen Spielplatz in der Nähe, der ungefähr gleich breit war (22,5 Meter). Dann suchten wir ein Haus, dessen Höhe ungefähr der Höhe der Arche entsprach (etwa fünf Stockwerke).

Dann kamen wir auf die Idee, auf dem Zementboden des Spielplatzes mit Kreide einige grosse Tiere in Lebensgrösse zu zeichnen: Löwe, Elefant, Nilpferd, Giraffe. Dazu mussten wir natürlich zuerst in einem Tierbuch nachlesen, wie gross diese Tiere waren. Dann massen die grösseren Kinder auf dem Spielplatz die entsprechenden Masse ab, und alle halfen beim Zeichnen. Wir staunten am Schluss, wie „klein“ diese grossen Tiere sich ausnahmen im Vergleich zu den Ausmassen der Arche. Tatsächlich hätten auf jedem der drei Decks mehrere hundert Tiere dieser Grössenordnung bequem Platz gefunden.

Die Nilpferd-Zeichnung.

Hier entsteht eine Giraffe.

Der „Initiant“ unseres Themas musste natürlich auch hier eine Arche zeichnen; allerdings nicht in tatsächlicher Grösse.

Es blieb nicht mehr viel Zeit, um über Schiffsbau zu lesen. Wir fanden aber die interessante Information, dass auch moderne Hochseeschiffe oft in denselben Grössenverhältnissen wie die Arche gebaut werden; insbesondere Frachtschiffe, die nicht unbedingt schnell vorwärtskommen müssen, aber auch mit schweren Lasten auf hoher See stabil bleiben müssen. Und tatsächlich war ja bei der Arche die Stabilität und Tragfähigkeit das wichtigste Erfordernis, während die Geschwindigkeit unwichtig war.

Schliesslich bauten wir aus Kartonschachteln ein Modell der Arche im Massstab 1:100.

Die Arche im Bau. Innerhalb der Arche einige aus Karton ausgeschnittene grosse Tiere im selben Massstab.

Unser vierjähriger „Arche-Fan“ bestand darauf, dass die Arche in richtigem Wasser schwimmen müsse. Wir strichen sie deshalb mit flüssigem Kerzenwachs an, damit möglichst kein Wasser eindringen konnte. Das biblisch vorgeschriebene Material dazu wäre zwar Pech gewesen; aber darauf verzichteten wir, aus Rücksicht auf die Hände und Kleider der Kinder… Dann gingen wir zum Fluss, um die Probe zu machen. Die Arche schwamm prächtig, und wir fanden, dass sie sogar eine Last von etwa 15 kg gut aushalten konnte. Nur bildeten sich mit der Last dann doch einige kleinere Lecks, sodass wir den Versuch abbrechen und die Arche trocknen mussten. Pech hätte besser abgedichtet.

Die Arche wird zu Wasser gelassen.

Im Lauf dieses Projekts fanden wir wieder neu bestätigt, dass Lernen Freude macht, wenn dabei auf die Bedürfnisse und Interessen der Kinder Rücksicht genommen wird. Abgesehen von den „eigentlichen“ Themen (Arche, Tiere, Schiffe) kamen nebenbei und auf informelle Weise verschiedene „schulische“ Inhalte zum Zug: Fragesätze; Längenmasse; Proportionen; Auftrieb; u.a. Diese müssen jetzt nicht mehr als trockene Theorie eingeführt werden, weil die Kinder bereits praktische Erfahrungen damit gesammelt haben. Und nicht zuletzt sorgten die Ausflüge zum Spielplatz und zum Fluss für ausreichende Bewegung an der frischen Luft.

Kann jemand, der zuhause ausgebildet wurde, an einer Universität studieren?

18. September 2015

Natürlich – warum nicht? In den USA gibt es bereits Tausende von Universitätsstudenten, die zuvor nie eine Schule besuchten. Nur in unaufgeklärten Ländern wird auch heute noch Homeschooling-Eltern der unberechtigte Vorwurf gemacht, sie würden damit ihren Kindern die berufliche Zukunft verbauen. – Da müsste natürlich zuerst nachgefragt werden, ob eine gute berufliche Zukunft wirklich von einem Universitätsabschluss abhängt; und ob umgekehrt ein Universitätsabschluss wirklich eine gute berufliche Zukunft garantiert. Doch davon ein anderes Mal; in diesem Artikel befasse ich mich spezifisch mit dem Thema „Universitätsstudium“.

Kritiker führen hier meistens die beiden folgenden Aspekte an:

1. Kann man das nötige akademische Niveau erreichen, ohne eine Schule zu besuchen?

Der „Fraser-Report“ führt verschiedene Untersuchungen aus den USA und Kanada an, wonach das akademische Niveau von zuhause ausgebildeten Studenten im Durchschnitt deutlich höher ist als dasjenige von gleichaltrigen Schülern. Das kann auf verschiedene Faktoren zurückgeführt werden, die dazu beitragen, dass „Homeschooling“ pädagogisch wertvoller und effizienter ist: persönliches und individuelles „Mentoring“; ein individueller, auf die Bedürfnisse des jeweiligen Kindes zugeschnittener Lehrplan; eine emotionell positive und ermutigende Umgebung; Abwesenheit von negativen Einflüssen der schulischen Umgebung (Unruhe und Disziplinlosigkeit in der Klasse; unpersönliche Lehrer-Schüler-Beziehung; Mobbing).

Nun gibt es in diesen unaufgeklärten Ländern Kritiker, die das trotz der statistisch erwiesenen Fakten einfach nicht glauben wollen: „Ein einzelnes Elternpaar kann doch unmöglich die nötigen Kenntnisse haben, um ihre Kinder bis zur Hochschulreife selber auszubilden!“ – Eine solche Aussage ist etwa so sinnvoll wie die folgende: „Ein Baum kann doch unmöglich höher als zehn Meter werden, weil Wasser in einer Röhre nicht höher als zehn Meter steigen kann!“ – Anstatt stur und blind darauf zu beharren, das sei unmöglich, täte dieser Kritiker besser daran, nachzuforschen, wie es denn die Bäume machen, um Höhen von vierzig Metern und mehr zu erreichen. Ebenso könnten Homeschool-Kritiker einiges lernen, wenn sie stattdessen nachfragten, wie es denn die Eltern gemacht haben, deren zuhause ausgebildete Kinder tatsächlich an einer Universität studieren oder bereits abgeschlossen haben.

Mein ältester Sohn hat dieses Jahr ein Beispiel gegeben. Er hat im ersten Anlauf die Aufnahmeprüfung an eine Universität bestanden, die als eine der anspruchsvollsten hier in Perú gilt. (Nur die allerwenigsten Bewerber schaffen das. Die meisten, die schlussendlich aufgenommen werden, mussten sich nach ihrem Schulabschluss noch während zwei, drei oder noch mehr Jahren speziell auf diese Prüfung vorbereiten.) Jetzt ist er im zweiten Semester seines Informatikstudiums.
– Zur Erklärung: Im hiesigen System gibt es keine Maturitäts- bzw. Abiturprüfungen. Jede Universität erstellt ihre eigenen Aufnahmeprüfungen, deren Niveau von einer Universität zur andern unterschiedlich sein kann. Zu diesen Prüfungen melden sich in der Regel rund zehnmal so viele Bewerber, als Studienplätze vorhanden sind. Es genügt also nicht, an der Prüfung eine genügende Note zu haben; sondern man muss mit seinem Notendurchschnitt zu den obersten 10% aller Bewerber gehören.

Nun, wie haben wir das gemacht, wir Eltern, die wir doch „unmöglich die nötigen Kenntnisse haben können“? – Das mögen Interessierte und Kritiker selber herausfinden. Hier einige Hinweise dazu.

2. Kann man ohne Schulabschlusszeugnis an eine Universität aufgenommen werden?

Zuerst möchte ich erwähnen, dass auch zuhause ausgebildete Jugendliche ein Schulabschlusszeugnis erwerben können. In einigen Ländern durch Bestehen einer entsprechenden Prüfung; in anderen Ländern ist zusätzlich der Besuch des letzten Schuljahres an einer staatlich anerkannten Schule erforderlich. Das ist der Weg, für den sich unsere Kinder entschieden haben. An der Schule, wo sie ihre Zeugnisse erhielten, fragten wir nach, ob wir damit rechnen könnten, dass diese Möglichkeit auch in Zukunft bestehen würde. Wir erhielten zur Antwort: „Diese Möglichkeit muss bestehen bleiben, denn wir dürfen niemandem das Recht auf Bildung verweigern.“ – Staatliche Regierungen weltweit sind also verpflichtet, Jugendlichen (und Erwachsenen), die ihre Ausbildung auf einem anderen als dem offiziell vorgesehenen Weg erworben haben, die Möglichkeit zu bieten, ihre Ausbildung fortzusetzen auf dem Niveau, das ihrem Kenntnisstand entspricht – und natürlich die entsprechenden Zeugnisse zu erhalten.
Interessanterweise wird das sogar im unaufgeklärten Deutschland anerkannt. Während in diesem Land Eltern, die ihr Recht auf die Erziehung ihrer eigenen Kinder geltend machen wollen, regelmässig schikaniert, bedroht, verfolgt, und vor Gericht verurteilt werden, so haben andererseits deutsche Gerichte festgestellt, dass auch in diesem Land zuhause ausgebildete Jugendliche das Recht haben, in derjenigen Klasse eingeschult zu werden, die ihrem Alter und Kenntnisstand entspricht, ohne zusätzliche Schuljahre absolvieren zu müssen. (Siehe z.B. hier .)

Zum anderen verlangen viele Universitäten (darunter die weltweit rennomiertesten) von den Studienanwärtern gar keinen offiziellen Schulabschluss. In den USA haben die meisten Hochschulen inzwischen ein offizielles Aufnahmeverfahren für zuhause ausgebildete Bewerber. Dieses besteht in der Regel aus einer standardisierten Aufnahmeprüfung, sowie Einreichen eines „Portfolios“ von schriftlichen Arbeiten (Aufsätze, Zusammenfassungen von gelesenen Büchern, Forschungsarbeiten, usw.), die der Bewerber im Lauf seiner Ausbildung zuhause geschrieben hat.
Manche Universitäten ziehen sogar zuhause ausgebildete Studenten vor: Sie „bringen gewisse Fähigkeiten mit – Motivation; Neugier; die Fähigkeit, selber Verantwortung für ihre Ausbildung zu übernehmen -, die von den Schulen nicht sehr gut vermittelt werden.“ (Jon Reider, Aufnahmebeamter der Universität Stanford, zitiert im oben erwähnten „Fraser-Report“.)

Den Knüller habe ich mir bis zum Schluss aufgespart: Das geht sogar in Deutschland! Die Deutsch-Amerikanerin Carla Widman wurde letztes Jahr zum Masterstudium an der Ludwig-Maximilians-Universität in München zugelassen, obwohl sie nie eine Schule besucht hatte. Wie berichtet wird, verlangte die Universität anfangs zusätzlich zur Bachelor-Urkunde auch noch ein Schulzeugnis. Schliesslich gab sie sich mit einem von Widmans Mutter selber ausgestellten Abiturzeugnis zufrieden.
Ob Carla Widman der Einstieg in den Studienbetrieb schwergefallen ist? – Im Gegenteil! Der Bericht sagt darüber:

„Absolventen vom Gymnasium oder der High School, die über Jahre von den Lehrern den Stoff vorgekaut bekamen, fallen die ersten Semester an der Uni oft schwer. Sie sind es nicht gewohnt, plötzlich alles alleine zu organisieren. Widman dagegen schon: ‚Ich war meine gesamte Schulzeit auf mich allein gestellt. Im Uni-Alltag habe ich mich gerade am Anfang viel leichter getan als manche Kollegen.‘ “

Fazit: Kein Problem. Man kann und man darf an einer Universität studieren, ohne zur Schule gegangen zu sein. Sogar in Deutschland.

Seneca verkehrt zitiert

18. Januar 2015

Wer hat nicht schon das Sprichwort gehört: „Nicht für die Schule, für das Leben lernen wir“?

Gehen wir dem Ursprung dieses Sprichwortes nach, so machen wir eine interessante Entdeckung. Es geht nämlich auf ein Zitat des altrömischen Philosophen und Pädagogen Seneca zurück. Nur hat Seneca das genaue Gegenteil dessen gesagt, was die angebliche Volksweisheit ihm in den Mund legt! Das Originalzitat lautet nämlich:

„Nicht für das Leben, sondern für die Schule lernen wir.“

Seneca drückte damit eine Kritik am seinerzeitigen Schulsystem aus, die heute genauso zutrifft: Die Schulen erfüllen genau den Auftrag nicht, der (gemäss der staatlichen Propaganda) zu ihrer Hauptaufgabe gehörte, nämlich die Schüler auf das Leben vorzubereiten.

Auf Wikipedia fand ich eine deutsche Übersetzung des ganzen Abschnitts, aus dem das Zitat stammt:

„Kinderspiele sind es, die wir da spielen. An überflüssigen Problemen stumpft sich die Schärfe und Feinheit des Denkens ab; derlei Erörterungen helfen uns ja nicht, richtig zu leben, sondern allenfalls, gelehrt zu reden. Lebensweisheit liegt offener zu Tage als Schulweisheit; ja sagen wir’s doch gerade heraus: Es wäre besser, wir könnten unserer gelehrten Schulbildung einen gesunden Menschenverstand abgewinnen. Aber wir verschwenden ja, wie alle unsere übrigen Güter an überflüssigen Luxus, so unser höchstes Gut, die Philosophie, an überflüssige Fragen. Wie an der unmäßigen Sucht nach allem anderen, so leiden wir an einer unmäßigen Sucht auch nach Gelehrsamkeit: Nicht für das Leben, sondern für die Schule lernen wir.“
(Seneca, Epistulae morales ad Lucilium 106, 11–12)

Das sind überraschend aktuelle Aussagen. Kein Wunder, dass unsere Gesellschaft nicht wahrhaben will, was Seneca wirklich gesagt hat, sondern seine Aussage in ihr Gegenteil verkehrt! Man möchte ja die Illusion aufrechterhalten, Schule sei eine höchst nützliche und sinnvolle Einrichtung (eben eine „Vorbereitung auf das Leben“), und der Schulstoff behandle höchst wichtige und wesentliche Fragen und Probleme.

Ich weiss nicht, wie es Ihnen geht; aber ich musste in meinem praktischen Leben noch nie historische Daten auswendig wissen oder Gedichte auswendig rezitieren; auch wurde ich noch nie nach dem Unterschied zwischen Labial- und Dentallauten oder anderen hochwichtigen Unterrichtsinhalten gefragt. (Falls jetzt jemand mit den „Grundfertigkeiten des Lesens, Schreibens und Rechnens“ aufwarten möchte: Diese habe ich nicht in der Schule gelernt; und ich habe in früheren Artikeln aufgezeigt, dass kein Kind, das in einer gesunden Familie aufwächst, hierzu eine Schule nötig hat.)

Ein Kind wird auf das Leben vorbereitet, indem man es am Leben teilnehmen lässt. Nicht, indem man es aus dem normalen Leben herausnimmt und es in die künstliche und lebensfremde Einrichtung der Schule steckt, wo (so Seneca) eine unmässige Menge an überflüssigen Fragen behandelt werden.

Also, liebe Leser, wenn Ihr Seneca zitieren wollt, dann bitte richtig. Dann könnten vielleicht sogar einige schulgläubige Zeitgenossen zum Umdenken kommen.

Wie die Gehirnwäsche im kommunistischen Deutschland funktioniert

4. August 2014

Leider etwas spät fand ich diesen offenen Brief von Dirk Wunderlich, dem Vater der deutschen Familie, der schon seit längerem die Ausreise nach Frankreich verweigert wird, und die ausserdem Opfer gewalttätiger Übergriffe von seiten deutscher Behörden geworden ist:

http://www.freiewelt.net/wie-laut-soll-ich-denn-noch-schreien-oder-die-schulpflicht-der-staat-und-der-tod-10036017/

Wunderlich analysiert darin eingehend, wie Deutschland 1968 eine (von der sogenannten „Frankfurter Schule“ initiierte) Kulturrevolution erlebte, und im Zuge der daraufhin einsetzenden allgemeinen Gehirnwäsche immer mehr zu einem Orwellschen Unrechtsstaat geworden ist. Es versteht sich von selbst, dass die Schulen ein entscheidendes Element dieser Gehirnwäsche sind, und dass von daher die Machthaber insbesondere die Schulpflicht mit brutaler und unverhältnismässiger Gewalt durchsetzen.

Dass die meisten Deutschen gar nicht bemerkt haben, dass diese Revolution stattgefunden hat, ist bei näherem Zusehen gar nicht so verwunderlich. Die Umstürzler haben aus den Erfahrungen des Sowjetkommunismus gelernt und wissen jetzt, dass es mehr Erfolg verspricht, ihre Revolutionen mittels allmählicher „Umerziehung“ des Volkes durchzuführen statt mit direkter Gewalt. „Der lange Marsch durch die Institutionen“ wurde diese verdeckte Operation von der „Frankfurter Schule“ genannt. Offenbar ist dieser lange Marsch jetzt an seinem Ziel angekommen, bevor es die meisten Deutschen überhaupt bemerkt haben.

Man vergleiche dazu den Fall Venezuela. Ausländische Beobachter erkannten ziemlich bald nach der Wahl von Hugo Chavez, dass er das Land allmählich in eine kommunistische Diktatur umgestaltete. Den Venezolanern selber ist das aber mehrheitlich erst in den letzten Jahren klargeworden, und einige haben es immer noch nicht bemerkt. (Als Chavez noch lebte, wurde er z.B. in mehreren evangelikalen Internet-Diskussionsforen als „Christ“ bezeichnet.) Wenn man selber das Ziel unterschwelliger Gehirnwäsche ist, dann bemerkt man das eben viel später als ein Aussenstehender – oder überhaupt nicht. Genau dasselbe geschieht anscheinend in Deutschland.

Es gab zwar einige wenige Warner (z.B. der dieses Jahr verstorbene Theologieprofessor Georg Huntemann), aber sie wurden anscheinend nicht ernst genommen. Man vergleiche auch den aufschlussreichen Artikel „60 Jahre DDR“.

Traurigerweise spürt man aus dem Brief der Wunderlichs auch die Verzweiflung einer Familie, deren psychische und physische Widerstandskraft durch den Staatsterror gezielt zerstört wurde. Und es gibt niemanden in Deutschland, der dagegen aufschreit?! Der Verdacht liegt nahe, dass die gegenwärtige Verfolgung christlicher Familien in Deutschland (schätzungsweise mindestens zwanzig Fälle in den letzten zehn Jahren) nur ein „Probelauf“ an einer gesellschaftlich isolierten Randgruppe ist (mehrheitlich „Homeschooler“), um zu erproben, wie weit man gehen kann, ohne dass die Allgemeinheit anfängt zu protestieren. Gleichzeitig wird daran gearbeitet, immer weiter reichende Gruppen von Christen auf dieselbe Weise gesellschaftlich zu isolieren (indem sie z.B. von der Evangelischen Allianz und verwandten Organisationen als „Fundamentalisten“ u.ä. beschimpft werden), sodass man nach erfolgreichem „Probelauf“ zu einer allgemeinen Christenverfolgung übergehen kann. Ein vereinter Protest zumindest des „evangelikalen“ Sektors könnte diese Entwicklung eventuell noch aufhalten; aber anscheinend hat man daran kein Interesse. Bis jetzt ist mir im deutschsprachigen Raum keine einzige evangelikale Gemeinde oder Gemeindeverband bekannt, und auch kein übergemeindliches Werk, das sich für verfolgte Christen in Deutschland einsetzen würde. Sollte mein Verdacht zutreffen, so werden sich die evangelikalen Organisationen bald vor die Wahl gestellt sehen, sich entweder der Staatsideologie völlig zu unterwerfen (was sie ja ohnehin zunehmend schon tun), oder aber selber verfolgt zu werden.


Zusatz für jene Leser, die über den „Fall Wunderlich“ nicht informiert sind:
Die Familie Wunderlich lebte längere Zeit in Frankreich, musste aber 2012 arbeitshalber nach Deutschland zurückkehren. Doch schon bald nach ihrer Ankunft wurde ihnen das Sorgerecht für ihre vier Kinder entzogen, weil sie aus christlicher Verantwortung ihre Kinder selber erzogen und ausbildeten. Den Kindern wurden die Pässe weggenommen, um eine Rückkehr der Familie nach Frankreich zu verhindern. Im Jahre 2013 überfiel ein Aufgebot von 40 Polizisten das Heim der Wunderlichs und verschleppte die Kinder an einen unbekannten Ort. Nach einem längeren juristischen Seilziehen durften die Kinder zwar nach Hause zurückkehren, aber nur unter der Auflage, dass sie eine staatliche Schule besuchen würden; und der Familie wurde gerichtlich die definitive Wegnahme der Kinder angedroht für den Fall, dass sie Deutschland verlassen würden. Das Sorgerecht und die Pässe der Kinder haben sie bis jetzt nicht zurückerhalten. Diese Familie wird also nach bewährter DDR-Tradition in ihrem eigenen Land gefangengehalten, nur weil sie in ein Land ziehen möchten, wo sie ihre elterlichen Rechte frei ausüben dürfen. Für dieses Ansinnen wurden sie in Deutschland ihrer Elternrechte sowie ihres Menschenrechts auf Freizügigkeit beraubt, und sowohl Eltern wie Kinder stehen in Gefahr, der Freiheit überhaupt beraubt zu werden. So ist es um die „Rechststaatlichkeit“ im Deutschland des 21.Jahrhunderts bestellt.

Siehe dazu auch die Presseerklärung vom Dezember 2013.