Archive for the ‘Aus der Schule geplaudert’ Category

Die ganze Welt macht Homeschooling. Wirklich??

20. April 2020

Nachdem jetzt ein grosser Teil der Welt schon mehrere Wochen unter Hausarrest steht, muss auch die (Schul-)Bildung notgedrungen zuhause stattfinden. Deshalb bieten viele entwickelte Länder jetzt Hilfsmittel an, mit denen Kinder (oder Eltern und Kinder zusammen) zuhause lernen können. Auch in weniger entwickelten Ländern wie z.B. hier in Perú versucht man es wenigstens. Nur in Deutschland tut man sich offenbar noch schwer damit, wie ich aus Pressemitteilungen entnehme. Da ist das Vorurteil „Ohne Lehrer kann man nicht lernen“ offenbar noch zu tief verwurzelt. Aber selbst aus dem bildungsmässig so unterentwickelten Deutschland lese ich, dass einige Orte angefangen haben, Schulbildung per Internet zu vermitteln.

In diesem Zusammenhang taucht jetzt in einigen Nachrichtenmedien das Wort „Homeschooling“ auf. Nun ja – wörtlich bedeutet das „Schule zuhause“. Technisch gesehen könnte man also diesen Begriff tatsächlich auf die gegenwärtige Situation anwenden. Doch ein Grossteil der Familien, die tatsächlich Homeschooling praktizieren, dürfte das anders sehen. Was die staatlichen Bildungsinstitutionen gegenwärtig einzuführen versuchen, ist Fernunterricht. Der wichtigste Unterschied ist folgender:

Der Kerngedanke des Homeschooling besteht darin, dass für Erziehung und Bildung die Familie zuständig ist, nicht der Staat. Somit ist es jede Familie, die eigenständig darüber entscheidet, welche Themen, Lerninhalte und Methoden den Bedürfnissen ihrer Kinder entsprechen. Damit wird sichergestellt, dass jedes Kind die Art von Ausbildung erhält, die ihm gemäss seinen persönlichen Eigenheiten den grössten Nutzen bringt. Beim Fernunterricht dagegen ist es die Schule, und letztlich die staatliche Regierung, welche die Lerninhalte, Materialien, und z.T. sogar Zeitpläne festlegt. Homeschooling ist Unabhängigkeit vom staatlichen Schulsystem, und kindgemässe Bildung. Fernunterricht dagegen zwängt das Schulsystem in die Wohnstube.
Nun ist die Homeschool-Bewegung nicht ganz unschuldig an dieser Begriffsverwechslung. Statt „Homeschooling“ hätte man ja ein weniger missverständliches Wort wählen können, wie z.B. „Bildung zuhause“, oder „Bildung in der Familie“. Und ein gewisser Prozentsatz von Homeschooling-Familien praktiziert tatsächlich Fernunterricht.
Als unsere Kinder ins Schulalter kamen, und wir uns nach Personen und Organisationen umsahen, die uns auf unserem Bildungsweg begleiten und unterstützen könnten, wurden wir u.a. auf die Deutsche Fernschule aufmerksam gemacht. Doch auf den zweiten oder dritten Blick sahen wir bereits, dass dieser Weg für uns nicht in Frage kam. Da wurde hauptsächlich aufgezählt, wieviele Diktate, Grammatikübungen, Mathematikarbeiten usw. die Schüler jeden Monat schreiben müssten. Also dieselben geisttötenden Routineaufgaben, auszuführen in einem sinnentleerten intellektuellen Vakuum, wie in allen Staatsschulen. Nur dass wir als Eltern die Rolle des Zuchtmeisters spielen müssten, statt diese undankbare Aufgabe einem staatsbesoldeten Kinderdompteur überlassen zu können. – Bald darauf fanden wir in den Vorschlägen von Raymond und Dorothy Moore ein flexibles, kinder- und elterngerechtes pädagogisches Modell. Damit wurde die Ausbildung unserer Kinder bis zum Universitätseintritt zu einem befriedigenden und erfolgreichen Abenteuer.

Schon damals haben wir gesehen, dass eine „Schule zuhause“, wörtlich so verstanden, unsere Beziehung zu unseren Kindern stark belasten würde. Für Kinder ist es wichtig, Eltern zu haben, denen sie vertrauen können, die ihnen Verständnis entgegenbringen, und deren Zuneigung nicht von Leistung abhängig gemacht wird. Diese Vertrauensbeziehung wird zerstört, wenn Eltern die Rolle eines Lehrers übernehmen wollen oder müssen. (Deshalb tun sich erfahrungsgemäss gerade jene Eltern, die von Beruf Lehrer sind, am schwersten damit, die Prinzipien einer guten Bildung zuhause zu verstehen und anzuwenden.)

Genau das dürfte die Wurzel vieler Probleme sein, die manche Familien gegenwärtig mit dem Fernunterricht haben. Sie sehen sich gezwungen, den schulischen Leistungsdruck auf direkteste Weise an ihre Kinder weiterzugeben – oft im Zusammenhang mit Aufgaben von relativ geringem pädagogischem Wert. Gleichzeitig wird es ihnen schwergemacht, jene Themen oder Aktivitäten wahrzunehmen, für die die Kinder bereits von sich aus motiviert wären.
Schlimm ist es, wenn dann Journalisten schreiben, wie unzufrieden viele Eltern mit dem sogenannten „Homeschooling“ seien. Berichtigen Sie das bitte: Fernunterricht, nicht Homeschooling!

Dabei haben auch staatliche Stellen manchmal ganz gute Ideen. So fand ich z.B. in einem Dokument der Thurgauer Pädagogischen Hochschule, „Fernunterricht gestalten„, die folgenden kurz gefassten Hinweise:

„Weniger ist mehr!
Fernunterricht ist für Lehrpersonen und Schüler/innen neu; daher sind technische, soziale und organisatorische Reibungsverluste zu erwarten
Stoffmenge reduzieren; Schwerpunkte setzen, Lernzuwachs entsteht insbesondere in den Bereichen Online-Kollaboration und Selbst-Organisation
Bewusst machen: was ist wirklich wichtig?
Stundenplanstrukturen auflösen, Lernen flexibilisieren
von aktuellen Ereignissen / Phänomenen ausgehen (z. B. Corona Pandemie)
Gesamtworkload abstimmen und begrenzen (Lead: Klassenlehrperson)
(…)
Selbstbestimmung ermöglichen, Differenzieren
flexible Zeiteinteilung (z.B. durch Wochenplanarbeit)
eigene Themen auswählen lassen, projektartiges Arbeiten ermöglichen
Pflicht- und Zusatzaufträge anbieten, Wahlmöglichkeiten zulassen
nach Möglichkeit aktivierende und produktive Aufgaben stellen
mit Schüler/innen gemeinsam Themen und Abläufe planen (sofern möglich)“

(Unterstreichungen von mir hinzugefügt.) Wo solche Hinweise beherzigt werden, ist der Erfolg sicher viel besser, als wenn es, wie sich eine Mutter aus einer anderen Umgebung im Internet beklagte, den Kindern ständig „Hausaufgaben aufs Handy regnet“. Falls Sie sich in letzterer Situation befinden sollten, dann kann ich Ihnen und Ihren Kindern zuliebe nur raten, da einen grossen Regenschirm aufzuspannen und diesen Hausaufgaben-Regen abzuwehren: „Nein, das musst du jetzt wirklich nicht auch noch machen. Tu, was dir eine Hilfe ist beim Lernen, und dann ersetzen wir die anderen Aufgaben durch etwas Interessanteres …“

Nun ist natürlich auch ein „echtes“ bzw. kindgemässes Homeschooling nicht jedermanns Ding. Homeschooling bzw. Fernunterricht per Regierungsdekret obligatorisch zu machen, ist genauso verfehlt, wie es zu verbieten. Beides untergräbt die Eigenverantwortung der Familie. Es ist gut und richtig, dass Schulverantwortliche Hilfsmittel zum Fernunterricht zur Verfügung stellen. Aber den einzelnen Familien sollte die Entscheidung überlassen werden, ob und wie weit sie von diesen Hilfsmitteln Gebrauch machen. Sonst ist das Ergebnis das genaue Gegenteil von richtigem Homeschooling: nämlich dass der Staat den Familien auch noch diktiert, was sie in ihrem ureigensten Privatbereich zu tun und zu lassen hätten.
Und auch falls uns wieder einmal Friedenszeiten beschert sein sollten, dann ist es gut und richtig, dass der Staat Schulen anbietet; aber auch dann sollte den Familien die Entscheidung überlassen werden, ob und wie weit sie von diesem Angebot Gebrauch machen möchten. So wie man jetzt Verständnis dafür hat, dass es manchen Familien schwerfällt, ihre Kinder selber auszubilden, so sollte man dann auch Verständnis haben dafür, dass für manche Kinder und Familien die Schule nicht die geeignete Bildungsform ist.

Unterkühltes Wasser

18. Januar 2020

In einem alten Eintrag berichtete ich über ein Experiment mit einer unterkühlten Flüssigkeit. Durch Zufall haben wir herausgefunden, dass man einen Aspekt jenes Experimentes auch mit gewöhnlichem Wasser beobachten kann, nämlich die Kristallisation einer unterkühlten Flüssigkeit. Nur tritt dabei keine spektakuläre Erwärmung ein wie im Fall der Natriumacetatlösung.

Wir legen jeweils transparente Flaschen voll Wasser auf ein Wellblechdach im Freien, damit es durch das Sonnenlicht desinfiziert wird („SODIS“-Methode). Die Flaschen bleiben über Nacht draussen, auch im Winter, wenn es gefriert. (Im hiesigen Hochlandklima haben wir auch dann tagsüber sehr intensive Sonneneinstrahlung.)
An einem kalten Morgen holten wir eine solche Flasche ins Haus und begannen Wasser daraus in ein Glas zu giessen. Das Wasser in der Flasche war nicht gefroren; aber sobald es ausfloss, begannen sich in der Flasche Eiskristalle zu bilden, bis sie ganz voll Eis war. Man kann den Prozess auch durch Umrühren mit einem Löffel auslösen; oder durch Schütteln der geschlossenen Flasche, sofern sich etwas Luft darin befindet.
Das Wasser in der Flasche war also offenbar unterkühlt gewesen. D.h. seine Temperatur lag mehrere Grade unter dem Gefrierpunkt, und es war trotzdem in flüssigem Zustand geblieben.

Hier haben wir eine Flasche mit solch unterkühltem Wasser:

Flasche mit Wasser

Der folgende Filmausschnitt zeigt den Kristallisationsvorgang: (Das Video braucht evtl. längere Zeit zum Laden.)

Kristallisation

Und hier das Ergebnis:

Wasser gefroren

Ich nehme an, dass das Experiment auch unter anderen klimatischen Bedingungen durchgeführt werden kann (z.B. im Gefrierfach des Kühlschranks). Es müssten dazu aber wahrscheinlich folgende Bedingungen erfüllt sein:
– Die Flasche sollte möglichst keine Luft enthalten.
– Sie muss während des Kühlvorgangs vollständig ruhig liegen.
– Die Kühltemperatur sollte nicht allzu kalt sein. Im Klima unserer Gegend sinkt die Temperatur nachts jeweils von etwa 10 Grad über Null (beim Einnachten) auf etwa 4 bis 7 Grad unter Null (frühmorgens). Das Wasser ist also während etwa acht Stunden einem mässigen Frost ausgesetzt.

Annähernd gekürzt: Nähere Hinweise zur Zusatzfrage 5

26. Dezember 2019

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dieser Artikel wird also nicht viel Sinn machen, wenn du nicht zuerst die ursprüngliche Problemstellung gelesen hast, und wenn möglich selber versucht hast, die Antworten zu finden. Selber denken macht schlau!
– Falls du dies bereits getan hast, aber zur Zusatzfrage noch Zweifel hast, dann hoffe ich, dass dir die folgenden Hinweise Gewinn bringen.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält zusätzlich einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zur Zusatzfrage (5): Nehmen wir wiederum das erste Beispiel aus dem ursprünglichen Problem. Wir haben festgestellt, dass es darum geht, Vielfache von 10 und von 13 zu finden, die sich um 1 unterscheiden. Das kann man aber auch anders formulieren:
„Finde ein Vielfaches von 10, das beim Teilen durch 13 einen Rest von 1 oder von 12 ergibt.“
Oder auch: „Finde ein Vielfaches von 13, das beim Teilen durch 10 einen Rest von 1 oder von 9 ergibt.“
Überlege: Warum sind diese beiden Formulierungen gleichbedeutend? – Und warum zwei mögliche Reste?

Eine weitere entscheidende Beobachtung ist, dass sich die Vielfachen mit dieser Eigenschaft jeweils in Schritten von 10·13=130 wiederholen. Die erste Lösung mit der verlangten Eigenschaft war 39 und 40; weitere Lösungen wären demnach 169 und 170; 299 und 300; usw. – Überprüfe dies; und überlege, warum das so ist.
(Für das ursprüngliche Problem sind natürlich die weiteren Lösungen nicht sinnvoll, weil dadurch der Bruch „erweitert“ statt „gekürzt“ würde. Aber um die Antwort auf die Zusatzfrage zu verstehen, ist es hilfreich zu sehen, dass sich diese Lösungen periodisch wiederholen.)

Die Zahl 130 hat also eine besondere Bedeutung für die Lösungen des Problems, im Fall des Bruchs 10/13. Kannst du damit den Zusammenhang zwischen den beiden „besten“ Näherungen finden?
Wenn nicht, dann noch ein letzter Hinweis: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 130, und zeichne darauf die Vielfachen von 10 und von 13 ein, die den Lösungen entsprechen. Du wirst eine interessante Symmetrie feststellen. Beschreibe diese Symmetrie mathematisch, und verallgemeinere sie für andere Zahlen. Wenn du zeigen kannst, dass diese Symmetrie für alle Probleme dieser Art gilt, dann hast du damit Stephans Behauptung bewiesen. Und natürlich kennst du dann auch sein „ganz einfaches“ Verfahren, die zweite Näherung zu finden.


Weitere Anmerkungen für Eltern und Lehrer:

Manche mathematischen Forschungen sind wie eine Wundertüte: Sie beginnen mit einer anscheinend ganz einfachen Fragestellung; aber dann stellt man unerwarteterweise fest, dass noch andere und fortgeschrittenere Dinge darinstecken. Das ist auch hier der Fall. Wir begannen mit einem relativ einfachen Problem, das lediglich Kenntnisse des Bruchrechnens verlangt. Aus dieser Perspektive dürften manche Elfjährige bereits in der Lage sein, erste Antworten auf die ersten beiden Fragen (und evtl. Frage 3) zu finden. Aber in den näheren Hinweisen zu jenen Fragen haben wir bereits gesehen, dass eine vollständige Erklärung der gemachten Beobachtungen zu weiteren Themen führt (die wir Elfjährigen normalerweise noch nicht zumuten sollten!). So könnte diese Forschungsarbeit für fortgeschrittenere Schüler u.a. als Sprungbrett dienen zur Einführung von Themen wie: Modulare Kongruenz und modulare Arithmetik; diophantische Gleichungen; Eigenschaften von teilerfremden Zahlen (Chinesischer Restsatz); usw. (Natürlich sind hierzu zumindest elementare Algebrakenntnisse Voraussetzung.)

Wir sehen hier auch, dass Schüler selbst beim Mathematiklernen nicht durchgängig nach Alters- bzw. Leistungsgruppen getrennt zu werden brauchen. Bei einer Aufgabe wie dieser können durchaus „Anfänger“ und „Fortgeschrittene“ zusammenarbeiten. Jeder hat die Möglichkeit, Entdeckungen zu machen, die seinem Verständnis gemäss sind. Und „Anfänger“ können sich an der ganz einfachen Entdeckung, dass Brüche „annähernd gleich“ sein können, ebenso freuen wie „Fortgeschrittene“ an der Entdeckung eines Beweises für ein zahlentheoretisches Gesetz.

Nähere Hinweise und Zusatzfrage zur Forschungsaufgabe: Annähernd gekürzt

7. November 2019

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Frage 1 sollte keine Hinweise benötigen; das ist eine einfache Bruchrechnungsaufgabe.

Zu Frage 2: Dies ist natürlich die Hauptfrage!
Ich gehe davon aus, dass du selber schon verschiedene annähernde Kürzungen gefunden hast, bevor du diese Hinweise zu Rate ziehst. (Andernfalls ist entweder die Aufgabe zu schwierig für dich, oder du hast noch nicht ernstlich mit Forschen angefangen.) Wenden wir uns daher zuerst dem zweiten Teil der Frage zu, mit deinen annähernden Kürzungen vor Augen:
Einerseits ist eine annähernde Kürzung "gut", wenn sie einen möglichst kleinen Fehler aufweist. Andererseits aber sollten Zähler und Nenner des neuen Bruchs möglichst klein sein. Du wirst festgestellt haben, dass da, wo es mehrere Möglichkeiten gibt, oft eine von ihnen den kleinsten Fehler aufweist, aber eine andere den kleinsten Zähler und Nenner hat. Um das Beispiel von Susi und Stephan zu nehmen: 10/13 ist auch annähernd 7/9. Bei dieser zweiten Näherung ist der Fehler kleiner (rechne!), aber Zähler und Nenner sind grösser als bei 3/4. Man könnte also diese beiden Näherungen als "gleich gut" bezeichnen.
Vergleichen wir damit die Näherung 4/5. Zähler und Nenner sind grösser als bei 3/4; und auch der Fehler ist grösser. Diese Näherung muss also als weniger gut bezeichnet werden als 3/4 und 7/9.
Wenn wir beide Kriterien zugleich berücksichtigen wollen, könnten wir die "Unvollkommenheit" einer Annäherung definieren als den Fehler multipliziert mit dem Nenner der Näherung. (Das ist eine ziemlich willkürliche Definition. Es ist aber praktischer, zum Multiplizieren den Nenner zu nehmen und nicht den Zähler. Überlege, warum.) Die besten Näherungen wären dann jene mit der geringsten "Unvollkommenheit". Im obigen Beispiel wirst du feststellen, dass 3/4 und 7/9 beide eine Unvollkommenheit von 1/13 haben; während 4/5 eine Unvollkommenheit von 2/13 hat. (Prüfe es nach!)

Nun zum ersten Teil der Frage: Wenn du jeweils die Fehler der "besten" Näherungen ausgerechnet hast, dann solltest du bereits die entscheidende Eigenschaft gefunden haben, die diese auszeichnet. Diese sollte dir helfen, auf relativ einfache Weise diese besten Näherungen zu finden. (Es gibt aber auch so keine ganz direkte Operation dafür!)
– Hast du diese Eigenschaft noch nicht gefunden? Dann pass auf, was beim Ausrechnen des Fehlers passiert; also der Differenz zwischen dem ursprünglichen Bruch und der Näherung:
10/133/4  =  10·4/13·413·3/13·4  =  1/52.
Der Fehler wird klein, weil die Differenz zwischen 10·4 und 13·3 genau 1 beträgt. Es geht also darum, Vielfache von 10 bzw. 13 zu finden, die sich um genau 1 unterscheiden.
Eine andere Frage ist nun, wie man solche Vielfache findet. Man kann es einfach ausprobieren, indem man die Folgen der Vielfachen von Zähler und Nenner miteinander vergleicht. Aber vielleicht kann man die Suche effizienter durchführen? Hier kannst du selber weiter forschen. Wir gelangen da in Bereiche der Zahlentheorie, die im normalen Schulunterricht selten zur Sprache kommen. (Für Neugierige: Das Thema hat damit zu tun, wie man den modularen Kehrwert einer Zahl findet.)

Zu Frage 3: Du weisst jetzt, was für Eigenschaften eine "beste" annähernde Kürzung hat. Was für Bedingungen müssen Zähler und Nenner eines Bruchs erfüllen, damit Zahlen mit diesen Eigenschaften überhaupt existieren? – Und wenn solche nicht existieren: Was können wir dann mit dem Bruch machen, anstelle einer "annähernden" Kürzung?
(Auch hier kommen wir wieder auf eine interessante Eigenschaft aus der Zahlentheorie!)

Zu Frage 4: Hier kannst du natürlich unbeschränkt weiterforschen und vom Hundertsten ins Tausendste kommen, bzw. von den Hundertsteln in die Tausendstel … Übe dich in der Kunst, interessante Fragen zu stellen!
Hier nur ein Beispiel, was man noch herausfinden könnte. Stephan, der Experte im annähernden Kürzen, behauptet: "Wenn man zu einem Bruch eine ‚bestmögliche‘ annähernde Kürzung finden kann, dann gibt es immer eine zweite, die ebenso gut ist (nach dem oben definierten Kriterium der ‚Unvollkommenheit‘). Und diese kann man dann auf ganz einfache Weise finden."

Dazu nun die Zusatz-Frage 5:

Stimmt Stephans Behauptung? Kannst du sie beweisen, oder allenfalls widerlegen? Und welches ist das "ganz einfache" Verfahren, mit dem man die zweite Näherung finden kann?

(Nähere Hinweise zu dieser Frage folgen später…)

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Annähernd gekürzt

19. Oktober 2019

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Die Kinder lösen Rechnungsaufgaben. Susi bemerkt beiläufig: “ 10/13 kann man nicht kürzen.“
– „Aber annähernd“, antwortet Stephan.
– „Was meinst du damit?“
– “ 10/13 ist annähernd 3/4.“
– „Mag sein, aber das hilft mir nicht für meine Aufgabe. Wenn es nicht genau richtig ist, dann ist es falsch.“
– „Kommt darauf an“, meint Stephan. „Für viele praktische Zwecke ist eine annähernde Lösung gut genug. Zum Beispiel, kannst du eine 10/13 Tasse Milch einschenken? oder 10/13 von einem Apfel abschneiden? 3/4 ist doch viel praktischer.“
– „Ja, aber wir sind jetzt nicht beim Essen. Für die Schulaufgaben taugt dein annäherndes Kürzen nicht.“
– „Sollte es aber. Ich wäre dafür, im Schulbuch eine Lektion über annäherndes Kürzen einzufügen.“

Lassen wir uns von dieser Diskussion zu einigen mathematischen Entdeckungen anregen. Meines Wissens kommt das annähernde Kürzen immer noch nicht in den Schulbüchern vor. Aber du kannst den Inhalt einer solchen Lektion selber herausfinden. Die folgenden Fragen sollen dir ein paar Anstösse geben dazu:

1) Wie gut ist Stephans Annäherung? D.h. wie gross ist der Fehler?

2) Versuche andere Brüche annähernd zu kürzen; z.B. 10/17 oder 19/29. Findest du ein systematisches Verfahren, um die beste „annähernde Kürzung“ zu finden?
(Wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, dann wirst du feststellen, dass man verschiedener Meinung sein kann darüber, welches die „beste“ ist. Was für Kriterien würdest du anwenden? Begründe, warum.)

3) Was für Bedingungen sollte ein Bruch erfüllen, damit er „annähernd gekürzt“ werden kann?

4) Versuche weitere mathematische Eigenschaften des annähernden Kürzens herauszufinden.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische Anmerkungen:

Forschungsaufgaben haben einige Eigenschaften, die sie von „schulüblichen“ Mathematikaufgaben unterscheiden:

– Die Antwort ist nicht einfach eine Zahl oder ein mathematischer Ausdruck, sondern ein (unter Umständen komplizierter) mathematischer Sachverhalt, der erklärt werden soll. Das kann auf unterschiedliche Arten geschehen. Es gibt also nicht einfach eine „einzige richtige Antwort“. Um einen Vergleich mit Sprachübungen zu machen: Viele Schulbuchaufgaben sind wie Grammatikübungen. Eine Forschungsaufgabe dagegen ist wie ein Aufsatzthema.

– Bei einer Forschungsaufgabe geht es nicht um die Schnelligkeit, sondern um die „Tiefe“ des Denkens. Das mathematische Denken wird auf nachhaltige Weise geübt, weil die Antworten nicht mit einer mechanischen Prozedur gefunden werden können, sondern nur durch eingehende Betrachtung des Themas unter verschiedenen Blickwinkeln.
Forschungsaufgaben sollten deshalb nie unter Zeitdruck gelöst werden müssen. Idealerweise sollte eine Frist von mindestens einer Woche gegeben werden, wobei täglich mindestens eine Stunde zur Arbeit am Thema zur Verfügung stehen sollte. (Bei einfacheren Themen und auf den unteren Schulstufen kann es auch weniger sein.)

Idealerweise kommen noch folgende Aspekte dazu:

– Die Schüler werden herausgefordert und ermutigt, das Thema mit eigenen Fragestellungen zu erweitern. (In der vorliegenden Aufgabe betrifft dies die sehr offen formulierte Frage 4.) Dadurch wird Raum geschaffen für die eigene Kreativität; ein Aspekt, der in der Schulmathematik oft zu kurz kommt.

– Die Aufgabenstellung ist mit einem gewissen „Mysterium“ umgeben. Erst im Lauf des Forschens wird ersichtlich, was das eigentliche (mathematische) Thema der Aufgabe ist. Und/oder das Problem führt unerwarteterweise über das vordergründige Thema hinaus zu einem anderen Gebiet der Mathematik.

– Die Probleme können aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet und mit verschiedenen mathematischen „Werkzeugen“ angegangen werden. Z.B. mit Zahlenbeispielen oder algebraisch; geometrisch oder analytisch; usw.

– Es kann sinnvoll sein, in Kleingruppen von zwei oder drei Schülern zu arbeiten.

Das Erarbeiten einer Forschungsaufgabe erfordert in der Regel mehrere oder alle der folgenden Tätigkeiten:

– Beispiele sammeln und damit „spielen“.
In dieser Phase geht es darum, mit dem Thema vertraut zu werden. In der vorliegenden Aufgabe z.B. werden die Schüler versuchen, verschiedene Brüche „annähernd zu kürzen“, und werden den jeweiligen Fehler ihrer Näherungen ausrechnen. Möglicherweise werden sie auch verschiedene Methoden erfinden und ausprobieren, um auf solche Näherungen zu kommen. Diese Sammlung von Beispielen dient dann als „Rohmaterial“ für die weiteren Schritte.

– Beobachten.
Hier geht es um die Frage: Wie „verhalten sich“ diese Zahlen (bzw. andere mathematische Objekte)? Beim näheren Beobachten der Beispiele können Gemeinsamkeiten und Auffälligkeiten festgestellt werden. Beim vorliegenden Thema könnten Schüler z.B. die Beobachtung machen, dass das „annähernde Kürzen“ besonders einfach ist bei jenen Brüchen, wo der Nenner beinahe ein Vielfaches des Zählers ist.
Die Beobachtungen können zu weiteren Erkenntnissen führen, wenn sie geordnet und systematisiert werden.

– Vermutungen aufstellen; Sachverhalte verallgemeinern.
Die gemachten Beobachtungen sollten nun zu Fragen grundsätzlicherer Art führen, wie z.B: Ist das immer so? Warum ist das so? Usw. Die Schüler sollen ermutigt werden, ihre Vermutungen zu formulieren, auch und gerade dann, wenn sie nicht sicher sind, ob diese richtig sind oder nicht. Das Aufstellen von Vermutungen ist ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur Lösung.
Der nächste Artikel zu dieser Forschungsaufgabe wird einige Hinweise enthalten, wie das konkret bei dieser Aufgabe aussehen könnte.

– Die Vermutungen überprüfen und begründen.
In dieser Phase werden die gemachten Vermutungen „aussortiert“. Eine falsche Vermutung kann oft durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden. Für eine richtige Vermutung kann im besten Fall ein logisch korrekter Beweis gefunden werden. (Ein Beweis ist im Grunde nichts anderes als eine überzeugende Antwort auf die Frage: „Warum?“)

– Schlussfolgerungen formulieren.
Hier geht es darum, die erkannten Eigenschaften und Gesetze geordnet und verständlich zu formulieren, und wenn möglich zu begründen. In den Schlussfolgerungen dürfen aber durchaus auch Vermutungen erwähnt werden, die nicht bewiesen werden konnten, sofern vieles dafür spricht, dass sie richtig sind.
Auf den höheren Stufen darf erwartet werden, dass Schüler ihre Schlussfolgerungen schriftlich formulieren. Bei jüngeren Schülern kann auch eine mündliche Erklärung ausreichend sein.

– Die Fragestellung erweitern.
Oft führt die Antwort auf eine Frage zu neuen, unbeantworteten Fragen. Diese Erweiterungen des Themas können sehr wertvoll sein, sofern die Schüler in der Lage sind, sie zu erforschen. Dann können die vorherigen Phasen für die neuen Fragestellungen nochmals durchlaufen werden. Andernfalls können solche unbeantworteten Fragen auch Schülern einer höheren Stufe als neue Forschungsaufgaben vorgelegt werden.

Kinder-Ferienprogramm: Livingstone reloaded

15. August 2019

Als unsere Kinder noch klein waren, wählten wir das Leben von David Livingstone als Kernthema eines ihrer ersten Lernprojekte. Jetzt sind unsere eigenen Kinder gross, und eine neue Generation nimmt an unseren Kinder-Ferienprogrammen teil. Für diese haben wir kürzlich das Thema „Livingstone“ wiederbelebt. Einige Aktivitäten (z.B. die „Expeditionen“) führten wir fast genauso durch, wie wir es damals mit unseren Kindern getan hatten. Andere Aktivitäten fielen entsprechend der Zusammensetzung und den Bedürfnissen der Gruppe anders aus.

Wie seinerzeit Livingstone, erforschten wir eine Flusslandschaft und schrieben Berichte darüber.

Unten: Ein gefrorener Wasserfall am Ursprung eines der Quellflüsse des Amazonas. Um ein solches Naturschauspiel zu sehen, muss man hier in Perú auf 4500 Meter Höhe aufsteigen.

Die Grundidee solcher Lernprojekte besteht darin, ausgehend von einem Thema, das die Kinder interessiert, ein breites Spektrum von Aktivitäten anzubieten oder vorzuschlagen, in deren Verlauf Kenntnisse aus Geschichte, Geographie, Naturwissenschaft, Sprache, Mathematik, u.a. vermittelt werden können. In einer grösseren Gruppe, wie es diesmal der Fall war, kann jedes Kind selber entscheiden, bei welchen Aktivitäten es mitmachen will.
Wir kennen mehrere alternative Schulen, die mit solchen Methoden funktionieren. Auch unsere eigenen Kinder haben wir weitgehend auf diese Weise ausgebildet. Im Vergleich mit ihren Altersgenossen hatten sie dadurch viel mehr Gelegenheiten zu praktischen Erfahrungen, zu körperlicher Betätigung und zum Spielen. Wissensmässig hatten sie dennoch keinen Nachteil: sie schafften den Eintritt in die Universität auf Anhieb.

Bild: Teilnehmer des Ferienprogramms im grossen Kreis. Nebst anderen Aktivitäten, erzählten wir im Kreis jeden Tag ein Stück der Lebensgeschichte Livingstones.

„Aber in den Ferien?“, werden jetzt einige Leser befremdet fragen. „Und sogar Mathematik??“ – Dazu muss man wissen, dass die meisten peruanischen Eltern in der Erziehung ihrer Kinder eine einzige Priorität kennen: den akademischen „Erfolg“. Deshalb florieren hierzulande sogenannte „academias“, d.h. „Ferienschulen“, die während den Schulferien genau dasselbe intelligenztötende Programm von Auswendiglernen und Abfragen anbieten wie die herkömmlichen Schulen. Wir mussten feststellen, dass neuerdings sogar die Schulen selber den Kindern ihre Ferien wegnehmen: Einige Kinder in unserem Programm nahmen an gewissen angebotenen Aktivitäten nicht teil, nicht etwa weil sie stattdessen spielen oder etwas anderes machen wollten, sondern weil sie ihre Schulaufgaben machen mussten. Z.B. fünfundzwanzig Seiten im Mathematikbuch selbständig durcharbeiten – innerhalb von zwei Wochen Ferien.

Wenn also Eltern etwas bemängeln an unserem Programm, dann nicht, dass wir sogar in den Ferien noch Sprach- und Mathematikstunden anbieten. Sondern im Gegenteil, dass wir so wenig „schulische“ Aktivitäten haben, und dass wir erst noch den Kindern die Freiheit lassen, zu diesen Angeboten nein zu sagen. Wir pflegen deshalb vor jedem Ferienprogramm einen Elternabend durchzuführen, wo wir den Eltern unsere Methoden und die Gründe dafür ausführlich erklären. Wir können das sogar mit Publikationen des staatlichen Bildungsministeriums begründen, die im wesentlichen dasselbe sagen wie wir: dass Kinder zu ihrer gesunden Entwicklung auch körperliche Betätigung und Spiel brauchen; dass sie nicht gezwungen werden sollen, Dinge zu lernen, die sie von ihrem Entwicklungsstand her noch nicht verstehen können; dass sie Gelegenheit erhalten sollen, ihre Gaben und Talente zu entfalten; usw. Doch die Schulen funktionieren weiterhin so, als ob diese Publikationen nicht existierten: Es wird weiterhin verlangt, dass die Kinder bereits im Kindergarten Lesen und Schreiben lernen (obwohl der offizielle Lehrplan ihnen dazu bis zum Ende der 2.Klasse Zeit lässt); Drittklässler müssen weiterhin Gleichungen lösen, bevor sie auch nur das Einmaleins beherrschen; und Primarschüler sitzen weiterhin bis spät in der Nacht an ihren Hausaufgaben.

In unserem Ferienprogramm gaben wir manchen Interessengruppen die Namen von Berufen. Einige davon hatten natürlich mit dem Leben Livingstones zu tun.

Oben: Die „Ärzte“ lernten u.a, einander das Herz und die Lungen abzuhören. (Livingstone war Arzt.)

Die „Bibelforscher“ erhielten anhand eines „Bibelpanoramas“ einen Überblick über die biblische Geschichte vom Anfang bis zum Ende. (Als Missionar musste Livingstone natürlich die Bibel studieren.)

Bild: Zwei Schüler stellen am Schlussabend ihr Bibelpanorama vor.

Die „Geographen“ zeichneten während unserer „Expeditionen“ interessante Tier- und Pflanzenarten, und andere Beobachtungen auf. Einige Fortgeschrittenere vermassen unseren Weg mit Hilfe eines Kompasses und dem Zählen von Schritten, und konstruierten später aufgrund dieser Angaben eine einfache Landkarte.

Die „Journalisten“ schrieben einen Bericht über die Expeditionen. (Livingstone war zwar kein Journalist, aber in seinem Tagebuch schrieb er ebenfalls ausführliche Berichte über seine Reisen. Und der Journalist Henry Morton Stanley war es, der 1871 den verschollenen Livingstone in Ujiji am Tanganyikasee auffand.)

Die „Übersetzer“ lernten eine Fremdsprache, so wie Livingstone die einheimischen afrikanischen Sprachen lernen musste. Wir hatten, wie in früheren Ferienprogrammen, Englisch vorgeschlagen; aber auf Wunsch mehrerer Teilnehmer ersetzten wir es durch Quechua. Das ist die ursprüngliche Sprache weiter Teile des peruanischen Hochlandes; aber in den Städten verstehen selbst von den Einheimischen manche kein Quechua mehr, und müssen es deshalb als Schulfach lernen. – Am nächsten Tag schrieben sich manche Kinder zusätzlich für „Englisch“ ein. Anscheinend hatten ihre Eltern sie gefragt, wozu sie Quechua lernen wollten; Englisch sei doch viel wichtiger. Aber wir hatten unsere Entscheidung bereits getroffen, sodass es dieses Mal keinen Englischkurs gab.

Bild: Die „Übersetzer“ lernen ein Lied auf Quechua.

Dann gab es einige weitere Gruppen, die keinen direkten Zusammenhang mit Livingstone hatten:

Die „Ingenieure“ bauten kunstvolle Kugelbahnen aus Kartonröhren.

Unten: Auch der Kleinste muss es ausprobieren…

Die „Köche“ bereiteten zweimal ein Mittagessen mit Nachtisch zu.

Oben: Gemeinsames Mittagessen.
Unten: Beim Zubereiten eines Kuchenteigs.

In der Schachgruppe hatten wir sowohl Anfänger, die erst die Bewegungen der Figuren lernen mussten, wie auch Fortgeschrittenere, die in einer separaten Gruppe mehr über Strategie und über weniger bekannte Regeln lernten.

In der Bastelgruppe fertigten die Teilnehmer verschiedene Handarbeiten an.

Oben: Die Kleineren basteln Blumen aus Papier und Karton.
Unten: Stoffmalen mit den Grösseren.

Und es gab sogar eine beträchtliche Zahl von Interessenten für jene Gruppe, die vor allem von den Eltern gewünscht wurde (für ihre Kinder natürlich, nicht für sie selber…): die „Mathematiker“. Wir versuchten diese Gruppe so praktisch und spielerisch wie möglich zu gestalten. Im Bild unten zwei Kinder beim Üben der Division mit Rest, anhand einer Montessori-Aktivität.

Noch nie zuvor hatten wir so viele Interessengruppen! Bei früheren Gelegenheiten gab es meistens nur für vier oder fünf Gruppen genügend Interessenten, sodass uns viel Zeit blieb für freie Aktivitäten, Spiele, und zum spontanen Eingehen auf zusätzliche Ideen, die im Lauf der Ferien aufkamen. Dieses Mal jedoch hatten sich für die meisten Gruppen mehr als die Hälfte der Teilnehmer eingetragen, sodass wir fast die gesamte Zeit für die Gruppen einsetzen mussten. Ob die Kinder „aktiver“ geworden sind? Oder ob sie einen stärkeren „Herdentrieb“ entwickelt haben (wenn einer sich für eine Gruppe einträgt, wollen die anderen dasselbe auch)?

Bei meiner eigenen Beschäftigung mit Livingstone fand ich übrigens, dass sein Leben auch einen Zusammenhang hat mit dem Thema dieses Blogs: „Christlicher Aussteiger“. Doch davon in einem späteren Artikel …

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 4)

17. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Diese letzte Folge ist ein Anhang zu einer kleinen „mathematischen Entdeckungsreise“, die mit dieser Forschungsaufgabe. anfing. Ich empfehle, mit dem Lesen (und Forschen) dort zu beginnen, um besser zu verstehen, wovon wir hier sprechen.


Probleme, die unterschiedliche Gebiete der Mathematik miteinander verbinden, haben einen besonderen Reiz. Das vorliegende ist von dieser Art. Wir haben mit einer Geometrieaufgabe angefangen, mussten zusätzlich die Trigonometrie beiziehen, und landeten dann bei einer besonderen Abbildung, der Inversion, die man auch analytisch untersuchen kann. In diesem Zusammenhang habe ich in der letzten Folge eine Zusatzfrage gestellt (Frage 4), die in der ursprünglichen Problemstellung nicht vorkam: Beweise (analytisch), dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist. Hier nun einige Hinweise dazu, für jene, die es versucht haben und irgendwo auf dem Weg steckengeblieben sind, oder schon den Einstieg nicht fanden.

Stelle die Situation in einem Koordinatensystem dar. Wähle die praktischsten Werte für O und R. Untersuche die Gleichung eines Kreises, und die Gleichung der Inversion dieses Kreises. Kannst du beweisen, dass die Gleichung der Inversion ebenfalls einen Kreis beschreibt?

Du kannst es sogleich auf deine eigene Art versuchen, oder auch dem folgenden „Rezept“ folgen:

Ich habe O(0;0) und R=1 gewählt. Der Kreis, der das „Urbild“ ist, soll das Zentrum (p;0) haben und einen Radius r. Sein Zentrum liegt also auf der x-Achse.
Wir dürfen diese Einschränkungen vornehmen, ohne dass der Beweis an Allgemeingültigkeit verliert, denn die geometrischen Eigenschaften der Inversion bleiben bei Streckung und Drehung erhalten. Somit können alle anderen Situationen auf die hier gewählte zurückgeführt werden.
Wir definieren ausserdem, dass p und r nicht gleich sind. Denn sonst ginge die Kreislinie durch O, und das ist der Fall, den wir bereits mit den Fragen 1 bis 3 untersucht haben. (Man kann natürlich auch diesen Fall analytisch untersuchen.)

Die Gleichung unseres Kreises lautet also:

(xp)2 + y2 = r2

Wenn wir nun einen Punkt A(x; y) haben, der diese Gleichung erfüllt (also auf unserem Kreis liegt), und wir wenden die Inversion an, was sind dann die Koordinaten A'(x‘; y‘) des Abbilds von A?
Erinnere dich, dass A‘ auf der Verbindungsgeraden AO liegt; und ausserdem gilt: AO·A’O = R2.

Du erhältst dann je einen Ausdruck für x‘ und für y‘; aber diese Ausdrücke enthalten noch die „alten“ Koordinaten x und y. Es geht jetzt also darum, aus diesen beiden Gleichungen x und y zu eliminieren, damit wir die Gleichung des ganzen „invertierten Kreises“ erhalten. Diese Gleichung sollte als Variabeln nur noch x‘ und y‘ enthalten (sowie die Parameter p und r).
D.h. zusammen mit der obigen Gleichung des Urbilds haben wir nun ein System von drei Gleichungen. Wir sollten also daraus zwei Variabeln (x und y) eliminieren können und dann eine einzige Gleichung haben.

Die algebraischen Umformungen während dieses Vorgangs können u.U. sehr kompliziert werden – oder je nachdem auch relativ einfach, wenn du es geschickt anpackst. Hier noch ein paar Tips dazu:

– Sei dir im Klaren darüber, worauf wir hinauswollen. Wir wollen beweisen, dass das Abbild ein Kreis ist. Das ist dann der Fall, wenn wir die Gleichung in die folgende Form bringen können:

(x‚ – a)2 + (y‚ – b)2 = s2

… wobei die Ausdrücke von a, b und s Konstanten sein müssen, d.h. sie dürfen nicht x‘ oder y‘ enthalten.
Wir können übrigens bereits voraussagen, dass b=0. Warum?

– Sowohl die Gleichung des Urbilds, als auch die voraussichtliche Gleichung des Abbilds, sind quadratisch. Daher die Empfehlung: Wenn möglich unterwegs kein unnötiges Wurzelziehen (und auch kein unnötiges Ausmultiplizieren)!

– Statt z.B. nach x und/oder nach y aufzulösen und diese Lösungen einzusetzen, wird die Sache evtl. einfacher, wenn wir direkt gewisse zusammengesetzte Ausdrücke ersetzen, z.B. x2 + y2, oder x/x‘. (Auf diese Weise bin ich auf einen Lösungsweg gekommen, in dem tatsächlich keine einzige Quadratwurzel vorkommt!)

Genug der Hinweise. Ich darf noch verraten, dass die Vermutung richtig ist: das Abbild ist tatsächlich ein Kreis. Aber nun bist du dran!

Du könntest dann zusätzlich untersuchen, was es für Kreise gibt, die auf sich selber abgebildet werden. (Abgesehen vom trivialen Fall des Inversionskreises selber, also des Kreises um O mit Radius R.) Was für Bedingungen müssen solche Kreise erfüllen?

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

11. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Fragen 1 und 2)

5. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 1: Wenn du eine genaue Konstruktion angefertigt hast, dann dürftest du erkannt haben, dass der gesuchte geometrische Ort ein Kreis ist. Bei genauerer Beobachtung liegt die Vermutung nahe, dass die Kreislinie durch O geht. Und aus Symmetriegründen muss das Zentrum dieses Kreises auf der Senkrechten von O auf g liegen.

Diese Senkrechte ist als Symmetrieachse der ganzen Situation eine „privilegierte“ Linie. Bezeichnen wir mit A den Schnittpunkt dieser Senkrechten mit g, und mit M den Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von A aus. Falls der gesuchte g.O. tatsächlich, wie vermutet, ein Kreis ist, dann muss MO sein Durchmesser sein.

Wenn diese Vermutung richtig ist, dann ist eine Konsequenz davon, dass alle anderen Sehnen unserer Konstruktion durch M gehen müssen. Denn bei allen anderen Mittelpunkten Mi bildet OMi mit der betreffenden Sehne einen rechten Winkel. Wenn also Mi zu unserem geometrischen Ort gehört, dann ist dieser rechte Winkel einem Thaleskreis über MO einbeschrieben. Diese Beobachtung weist den Weg zu einem von mehreren möglichen Beweisen:

Führen wir die ganze Konstruktion „rückwärts“ aus:
– Konstruiere eine Sehne, die durch M geht.
– Konstruiere Tangenten in den Endpunkten der neuen Sehne. Bezeichnen wir mit B den Schnittpunkt dieser Tangenten.
– Verbinden wir OB; damit erhalten wir den Mittelpunkt M1 der neuen Sehne.
– Bezeichnen wir mit α den halben Zentrumswinkel über der ersten Sehne, und mit β den halben Zentrumswinkel über der neuen Sehne.

Wenn wir nun beweisen können, dass das Dreieck AOB rechtwinklig ist bei A, dann ist der Beweis vollständig: Dann ist nämlich B ein Punkt von g; und wir haben ja den Punkt M1 so konstruiert, dass er auf einem Kreis mit MO als Durchmesser liegt. Also ist dann dieser Kreis effektiv der g.O. aller Punkte Mi.

Vorderhand der naheliegendste Weg zur Vervollständigung dieses Beweises besteht in der Trigonometrie: Versuche die Längen der verschiedenen vorkommenden Stücke auszudrücken mit Hilfe des Kreisradius R, und trigonometrischer Funktionen der Winkel α bzw. β. Benütze die Dreiecke in der Figur; vorzugsweise die rechtwinkligen. Z.B. können wir mit Hilfe des Dreiecks OTM sehen, dass MT = R·sin α und MO = R·cos α. Noch unbekannte Winkel wirst du, wo möglich, durch α und β ausdrücken müssen. Die Einzelheiten solltest du nun selber vervollständigen können; denn wenn du dich an Probleme dieser Schwierigkeitsstufe wagst, dann ist anzunehmen, dass du diese Themen beherrschst.

Oder wer weiss, vielleicht findest du einen völlig andersartigen Beweis?

Zu Frage 2: Bezeichnen wir mit S1, S2 die Schnittpunkte von g mit dem Kreis. Diese sind die Grenzfälle, wo die beiden Tangenten an den Kreis in einer einzigen zusammenfallen. Die entsprechende Sehne wird dann zu einem Punkt, und diese Punkte S1, S2 sind somit die „Mittelpunkte“ der Sehnen. Also gehören diese Punkte selber zum gesuchten g.O; und wir können vermuten, dass dieser in einem Kreis besteht, der durch O, S1 und S2 geht.

Für die Punkte von g ausserhalb des Kreises gilt dieselbe Beziehung wie bei Frage 1. Wir werden einen Beweis führen können mit ähnlichen Überlegungen wie dort, sobald wir die Bedeutung der Punkte von g innerhalb des Kreises verstanden haben.
Wenn wir einige Beispiele konstruieren, werden wir feststellen, dass hier die umgekehrte Beziehung gilt: Wählen wir einen Punkt B auf g innerhalb des Kreises. Verlängern wir OB bis zum Schnittpunkt M1 auf dem g.O. Nun ist B der Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von M1 aus an den Kreis. Und wenn wir die Senkrechte von O auf g wählen, dann sind diese Berührungspunkte S1 und S2.

Nun solltest du selber den Beweis für diesen Fall vervollständigen können.

Retraite ins Land der Mathematik

29. Mai 2019

Lange habe ich mich mit dem Thema „Autoritarismus in ‚christlichen‘ Kirchen“ beschäftigt. Länger als mir lieb war. Leider ist es, wie mir sogar ein freikirchlicher Pastor bestätigte, nötig, sich mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aber es hat meinem persönlichen Wohlbefinden ziemlich zugesetzt, von so vielen hässlichen Dingen Kenntnis nehmen zu müssen, die in „frommen“ Kreisen vor sich gehen.

Deshalb befinde ich mich gegenwärtig in einer Art persönlichen Retraite. Neben der persönlichen Gemeinschaft mit Gott, habe ich festgestellt, dass auch das „Land der Mathematik“ ein guter Rückzugsort ist. So verbringe ich einen Teil meiner Zeit damit, mathematische Probleme auszutüfteln, und an meinen Büchern zum aktiven Mathematiklernen weiterzuarbeiten.

Die Mathematik ist in gewisser Hinsicht ein Abbild oder Gleichnis von Gottes Reich. Die Zahlen folgen treu ihren Gesetzen. Sie haben nie gelernt zu lügen oder zu betrügen, oder übereinander herrschen zu wollen. In mathematischen Zusammenhängen zu forschen, ist fast wie ein Gebiet der Schöpfung zu betreten, das vom Sündenfall noch unberührt geblieben ist. (Allerdings ist dieses „Land“ von keinem Menschen bewohnt, sondern nur von abstrakten Geschöpfen.)

Die Mathematik ist verlässlich. Ihre Gesetze sind keinem zeitbedingten Wandel unterworfen. Sie brauchen sich nicht um „politische Korrektheit“ zu kümmern. Allen Relativisten zum Trotz, ist die Mathematik eine Wissenschaft von unveränderlichen, universellen Wahrheiten.

Was die Menschen betrifft, die die Mathematik erforschen oder anwenden, so mögen diese sündhaft sein und die Mathematik zu sündhaften Zwecken missbrauchen. Aber damit vermögen sie nicht die Mathematik an sich mit ihrer Sündhaftigkeit anzustecken.

In der Mathematik kann es keine Willkürherrschaft geben. Niemand, auch nicht die mächtigste Regierung, kann ein mathematisches Gesetz nach Belieben abändern, in Kraft setzen oder aufheben. Niemand kann einem anderen vorschreiben, wie er die Gesetze der Mathematik anzuwenden hat. (Auch wenn das in manchen Bildungseinrichtungen immer wieder versucht wird – aber das Ergebnis ist dann nicht echte Mathematik, sondern Bürokratie.)
Wenn auch manche mathematischen Gesetze unter dem Namen einer bestimmten Persönlichkeit bekannt sind, so kann doch diese Persönlichkeit keinen Eigentumsanspruch darauf erheben. Sie hat das Gesetz nur entdeckt, aber nicht geschaffen.

In der Mathematik gibt es deshalb keinen Raum für menschliche Herrschaft, weder in der Form von Demokratie noch in der Form von Monarchie und Diktatur. Mathematische Gesetze unterliegen weder Mehrheitsbeschlüssen, noch Volksabstimmungen, noch Regierungsdiktaten, noch den Doktrinen von Päpsten und anderen religiösen Machthabern.
In der Mathematik erfüllt sich daher in gewisser Weise der Ausspruch von Jesus: „Einer ist euer Meister; ihr aber seid alle Brüder.“ (Matth.23,8) Nur einer hat je mathematische Gesetze geschaffen und „in Kraft gesetzt“: Gott selber.
Es gibt zwar Personen, die wegen ihrer hervorragenden Kenntnisse der Mathematik als „Autoritäten“ auf diesem Gebiet gelten. Aber diese Art von Autorität ist nicht im Sinne von „herrschen“ oder „Macht ausüben“ zu verstehen, sondern im Sinn einer besonderen Befähigung, anderen ihr Verständnis der mathematischen Gesetze zu vermitteln. Und das sollte eher als eine „Dienstleistung“ angesehen werden.

So ist es auch in der Gemeinschaft der Nachfolger Jesu, wie sie ursprünglich von ihm selber vorgezeichnet wurde, nicht vorgesehen, dass einer über den andern „herrsche“. Es mag „Lehrer“ geben in dem Sinne, dass einige ein besseres Verständnis von Gottes Wesen und seinen Gesetzen haben, und dieses Verständnis andern vermitteln können. Aber auch diese hat Jesus nie beauftragt, anderen Vorschriften zu machen, ihnen ihre besondere Auslegung aufzuzwingen, oder gar eigene Gesetze aufzustellen. Im Gegenteil, sie sollen „Diener“ sein (Matth. 23,11; 20,25-27). Wie die Wahrheiten der Mathematik, so können auch die Wahrheiten Gottes niemandem aufgezwungen, sondern höchstens erklärt werden.

Es braucht auch niemand eine Genehmigung, ein Diplom, oder eine Mitgliedschaft in einer akademischen Vereinigung, um Mathematik treiben zu dürfen. Die Mathematik ist Allgemeingut, „public domain“. Nur eines ist notwendig: die Bereitschaft, die Gesetze der Mathematik selber als verbindlich anzuerkennen und zu befolgen.
In derselben Weise hat auch jeder Zutritt zu Gott durch Jesus Christus, der bereit ist, ihm zu folgen. Man braucht dazu weder einem irdischen Leiter seine Loyalität zu erklären, noch in der Tradition einer bestimmten kirchlichen Richtung geschult zu sein, noch Mitglied einer religiösen Vereinigung oder Kirche zu werden.

Noch hätte ich Stoff für viele Artikel zum Thema „Autoritarismus“. Aber diese müssen noch einige Zeit warten. Interessierten Lesern kann ich empfehlen, in der Zwischenzeit im Internet nach „geistlicher Missbrauch“ zu suchen. Auch interessant ist eine Suche nach „Robert Lifton“ und „Mind Control“. Liftons Kriterien beruhen zwar nicht auf der Bibel, sondern auf der Psychologie. Sie zeichnen aber ein deutliches Porträt jener Gruppen und Leiter, die die Menschen „hinter sich selbst her“ ziehen wollen; was nach Apg.20,30 ein klares Kennzeichen falscher Geschwister und falscher Leiter ist. Es mag hilfreich sein, Gruppen und Organisationen nach diesen Kriterien zu beurteilen – nicht nur jene Gruppen, die im Verdacht der Sektiererei stehen, sondern auch jene, die als „Mainstream-Evangelikale“ gelten, oder sogar als „liberal“. Ja, auch die universitäre Bibelkritik kommt im Licht von Liftons Kriterien nicht sonderlich gut weg.

Genug damit; ich kehre zurück in meine Retraite.