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Paul Lockhart: Mathematik in der Schule (Fortsetzung)

3. Februar 2014

Auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart (Siehe Vorwort zum 1.Teil)

Wie sollen wir also unsere Schüler Mathematik lehren? – Indem wir begeisternde und natürliche Probleme finden, die ihrem Geschmack, ihrer Persönlichkeit und ihrem Mass an Erfahrung entsprechen. Indem wir ihnen Zeit geben, Entdeckungen zu machen und Vermutungen zu formulieren. Indem wir ihnen helfen, ihre Argumente zu verfeinern, und eine Umgebung gesunder mathematischer Kritik schaffen. Indem wir flexibel sind und offen für plötzliche Richtungsänderungen je nach der Neugier der Schüler. Kurz, indem wir eine ehrliche intellektuelle Beziehung eingehen mit unseren Schülern und unserem Unterrichtsfach.

Natürlich ist das aus mehreren Gründen unmöglich. Abgesehen davon, dass die standardisierten Prüfungen dem Lehrer praktisch keinen Freiraum mehr lassen, bezweifle ich auch, dass die meisten Lehrer überhaupt eine so intensive Beziehung zu ihren Schülern eingehen wollen. Das erfordert zuviel Verletzbarkeit und zuviel Verantwortung – kurz, es ist zuviel Arbeit!

(…)

Mathematik ist aber tatsächlich harte kreative Arbeit, ebenso wie Malerei oder Dichtung. Deshalb ist sie sehr schwer zu lehren. Mathematik ist ein langsamer, gedankenvoller Prozess. Es braucht Zeit, ein Kunstwerk herzustellen; und nur ein geübter Lehrer kann ein solches erkennen. Es ist einfacher, eine Liste von Regeln aufzustellen, als werdende junge Künstler anzuleiten.
Mathematik ist eine Kunst, und Kunst sollte von tätigen Künstlern gelehrt werden, oder zumindest von Menschen, welche die Kunstform wertschätzen und sie erkennen können, wenn sie sie sehen. Warum akzeptieren wir Mathematiklehrer, die nie in ihrem Leben ein eigenes originales Stück Mathematik produziert haben, nichts über die Geschichte und Philosophie ihres Faches wissen, nichts über die neusten Entwicklungen, nichts, was über das hinausgeht, was sie ihren unglücklichen Schülern vorsetzen müssen? Was für ein Lehrer ist das? Wie kann jemand etwas lehren, was er selber nicht ausübt?

(…) Lehren hat nicht mit Informationsvermittlung zu tun. Es bedeutet, eine ehrliche intellektuelle Beziehung zu den Schülern zu haben. Es erfordert keine Methode, keine Hilfsmittel, und keine Ausbildung. Nur die Fähigkeit, echt zu sein. Und wenn Sie nicht echt sein können, dann haben Sie kein Recht, sich unschuldigen Kindern aufzunötigen.
Insbesondere kann man das Lehren nicht lehren. Lehrerseminare sind ein völliger Unsinn. Ja, Sie können Entwicklungspsychologie und alles mögliche lernen, und Sie können darauf trainiert werden, eine Wandtafel „effizient“ zu benützen und einen geordneten „Lektionenplan“ zu erarbeiten (was übrigens sicherstellt, dass Ihre Lektionen geplant sein werden und somit nicht mehr echt); aber Sie werden nie ein wirklicher Lehrer sein, wenn Sie nicht dazu bereit sind, als Person echt zu sein. Lehren bedeutet Offenheit und Ehrlichkeit, die Fähigkeit, Begeisterung zu teilen, und eine Liebe zum Lernen. Wenn Sie dies nicht haben, dann werden Ihnen alle Lehrertitel der Welt nicht helfen; und wenn Sie diese Dinge haben, dann sind Lehrertitel völlig unnötig.

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SIMPLICIO: Gut, ich verstehe, dass Mathematik mit Kunst zu tun hat, und dass wir diese nicht gerade gut vermitteln. Aber ist das nicht zuviel verlangt von unserem Schulsystem? Wir wollen ja keine Philosophen ausbilden, wir wollen nur, dass die Leute die grundlegenden Rechenfertigkeiten erlernen, die sie in unserer Gesellschaft brauchen.

SALVIATI: Aber das ist nicht wahr! Die Schulmathematik beschäftigt sich mit vielen Dingen, die nichts zu tun haben mit der Fähigkeit, in der Gesellschaft klarzukommen – z.B. Algebra oder Trigonometrie. Diese sind völlig irrelevant für das Alltagsleben. Ich schlage einfach vor, dass wenn wir solche Dinge einführen, dass wir es auf organische und natürliche Weise tun. (…) Wir lernen Dinge, weil sie uns jetzt interessieren, nicht weil sie später nützlich sein könnten. Aber genau das verlangen wir von den Kindern in Mathematik.

SIMPLICIO: Aber sollten Drittklässler nicht rechnen können?

SALVIATI: Warum? Möchtest du sie trainieren, dass sie 427 + 389 zusammenzählen können? Das ist nicht die Art von Fragen, die Achtjährige normalerweise stellen. Sogar viele Erwachsene verstehen den Stellenwert im Dezimalsystem nicht wirklich, und du erwartest von Achtjährigen, eine klare Vorstellung davon zu haben? Oder kümmert es dich nicht, ob sie es verstehen? Es ist einfach zu früh für diese Art von technischem Training. Man kann es natürlich tun, aber letztlich schadet es den Kindern mehr, als es ihnen nützt. Es wäre viel besser zu warten, bis ihre eigene natürliche Neugier über Zahlen erwacht.

SIMPLICIO: Was sollen wir dann mit kleinen Kindern im Mathematikunterricht tun?

SALVIATI: Lasst sie spielen! Lehrt sie Schach und Go, Hex und Backgammon, Nim, oder was immer. Erfindet eigene Spiele. Löst Puzzles und Rätsel. Konfrontiert sie mit Situationen, wo sie deduktiv überlegen müssen. Sorgt euch nicht um Notationsweisen und Techniken. Helft ihnen, zu aktiven und kreativen mathematischen Denkern zu werden.

SIMPLICIO: Das scheint mir ein schreckliches Risiko zu sein. Wenn unsere Schüler dann nicht einmal mehr zu- und wegzählen können, was dann?

SALVIATI: Ich denke, es ist ein viel grösseres Risiko, die Schulen von jedem kreativen Ausdruck zu entleeren, wo die Schüler nur noch Daten, Formeln und Wörterlisten auswendig lernen. (…)

SIMPLICIO: Aber es gibt doch ein gewisses mathematisches Grundwissen, das ein gebildeter Mensch kennen sollte.

SALVIATI: Ja, und das wichtigste davon ist das Wissen, dass Mathematik eine Kunstform ist, die die Menschen zu ihrem eigenen Vergnügen ausüben! Ja, es ist gut, wenn die Menschen etwas über Zahlen und Formen wissen. Aber das gewinnt man nicht durch stures Auswendiglernen. Man lernt Dinge, indem man sie tut, und du behältst im Gedächtnis, was dir wichtig ist. Millionen von Erwachsenen haben mathematische Formeln in ihren Köpfen, aber sie haben keine Ahnung, was sie bedeuten. Sie hatten nie die Gelegenheit, solche Dinge selber zu entdecken oder zu erfinden. (…) Sie hatten nicht einmal Gelegenheit, über einer Frage neugierig zu werden, denn die Frage wurde beantwortet, bevor sie gestellt wurde.

SIMPLICIO: Aber wir haben nicht so viel Zeit, dass jeder Schüler die ganze Mathematik selber erfinden könnte! Die Menschheit brauchte Jahrhunderte, um den Satz von Pythagoras zu entdecken. Wie soll ein durchschnittliches Schulkind das schaffen?

SALVIATI: Das erwarte ich gar nicht. Verstehe mich recht. Ich beklage mich darüber, dass Kunst und Erfindung, Geschichte und Philosophie, Zusammenhang und Perspektive überhaupt nicht vorkommen im Mathematiklehrplan. Damit sage ich nicht, Notierung, Techniken und Kenntnisse seien unwichtig. Natürlich sind sie wichtig. Wir brauchen beides. (…) Aber die Menschen lernen besser, wenn sie am Prozess beteiligt sind, der die Ergebnisse hervorbringt.

(…)

Der Mathematiklehrplan

(…) Das Auffälligste am Mathematiklehrplan ist seine Starrheit. Überall werden genau dieselben Dinge in genau derselben Weise und Reihenfolge gesagt und getan. Das hat zu tun mit dem „Leitern-Mythos“ – die Idee, Mathematik könne als eine Reihe von „Themen“ angeordnet werden, von denen jedes ein wenig fortgeschrittener oder „höher“ sei als das vorhergehende. Dadurch wird die Schulmathematik zu einem Wettrennen – einige Schüler sind den anderen „voraus“, und die Eltern anderer fürchten, ihr Kind könnte „zurückbleiben“. Aber wohin genau führt dieses Rennen? Worin besteht die Ziellinie? Es ist ein trauriges Rennen nach Nirgendwo. Am Ende bist du um eine mathematische Bildung betrogen worden, und du weisst es nicht einmal.
Echte Mathematik wird nicht in Konservenbüchsen geliefert. Probleme führen dich dahin, wohin du ihnen folgst. Kunst ist kein Wettrennen. (…)

Anstelle von Entdeckungsreisen haben wir Regeln und Reglemente. Wir hören nie einen Schüler sagen: „Ich war neugierig, was geschieht, wenn man eine Zahl in eine negative Potenz erhebt, und fand heraus, dass es Sinn macht, wenn man darunter den Kehrwert versteht.“ Stattdessen präsentieren Lehrer und Schulbücher die „Regel für negative Exponenten“ als fait accompli, ohne etwas über die Ästhetik dieser Wahl zu sagen, oder wie man darauf kommen kann.

(…) Anstelle eines natürlichen Problemzusammenhangs, in welchem die Schüler selber entscheiden können, welchen Sinn sie ihren Worten geben wollen, werden sie einer endlosen Folge von unbegründeten A-Priori-„Definitionen“ unterworfen. Der Lehrplan ist besessen von Nomenklatur, anscheinend zu dem einzigen Zweck, dem Lehrer Prüfungsstoff zu liefern. Kein Mathematiker in der ganzen Welt würde solche sinnlosen Unterscheidungen machen: 2 1/2 ist eine „gemischte Zahl“, während 5/2 ein „unechter Bruch“ ist. Die beiden Zahlen sind ganz einfach gleich! Es handelt sich um genau dieselbe Zahl mit genau denselben Eigenschaften. Wer, ausser einem Viertklasslehrer, benützt solche Worte?
Natürlich ist es einfacher, die Schüler über ihre Kenntnis einer sinnlosen Definition zu prüfen, als sie zu inspirieren, etwas Schönes zu schaffen und selber den Sinn darin zu finden. Auch wenn wir darin übereinstimmen, dass ein grundlegender gemeinsamer mathematischer Wortschatz wichtig ist, diese Beispiele gehören nicht dazu. Wie traurig, dass Fünftklässler gelehrt werden, statt „Viereck“ oder „vierseitige Form“ „Quadrilateral“ zu sagen (im Englischen), aber dass sie nie in eine Situation kommen, wo sie Wörter wie „Vermutung“ oder „Gegenbeispiel“ gebrauchen könnten.

Anmerkung meinerseits: Hier noch ein etwas exotischeres Beispiel: Wissen Sie, was eine „kodifizierte Zahl“ ist? Nein? Gut, wenn Sie nicht zufällig ein Schulbuchautor für das peruanische (oder irgendein anderes) Erziehungsministerium sind, dann sind Sie entschuldigt, denn niemand sonst gebraucht diesen Begriff. Diese Autoren verstehen unter einer „kodifizierten Zahl“ eine Zahl, die mit den entsprechenden Abkürzungen für „Einer“, „Zehner“, „Hunderter“ usw. geschrieben wird, also z.B. „3T 4H 1Z 8E“.
Und was ist dann eine „dekodifizierte Zahl“? Der gesunde Menschenverstand würde annehmen, es handle sich um die normal geschriebene Zahl, also z.B. „3418“. Aber nein, gemäss den Schulbuchautoren ist eine „dekodifizierte Zahl“ eine „kodifizierte Zahl“, wo statt der Abkürzungen der effektive Stellenwert der Ziffern geschrieben wird, also z.B. „3000 + 400 + 10 + 8“.
Wozu müssen die Kinder derart absurde Begriffe lernen, als ob es sich um äusserst wichtige mathematische Konzepte handle? (Echte Mathematiker gebrauchen diese Begriffe jedenfalls nicht.) Ich hege den Verdacht, solche Wörter seien speziell zu dem Zweck erfunden worden, die völlig unvernünftige Zunahme der Schulstunden während der letzten Jahre zu rechtfertigen.
Rücken wir die Dinge in ihre Perspektive: Diese willkürlich erfundenen Wörter werden in die Gehirne von Zehnjährigen gequetscht, die noch nicht einmal die Namen der häufigsten Pflanzen- und Tierarten ihrer Umgebung kennen, und auch nicht die Namen von allgemein gebräuchlichen Küchengeräten und anderen Haushaltgegenständen. Wahrscheinlich werden sie letztere während ihrer ganzen Schullaufbahn nie kennenlernen, denn sie sind derart beschäftigt mit Schulstunden und Hausaufgaben, dass sie keine Zeit haben, ihren Eltern zuhause etwas zu helfen, oder einen Ausflug aufs Land zu unternehmen und die Natur kennenzulernen. Und ihre Gehirne sind völlig ausgelastet damit, sinnlose Begriffe und Definitionen zu lernen. So denken sie, es sei viel wichtiger zu wissen, was eine „kodifizierte Zahl“ ist, als was ein Salatsieb oder ein Schraubenzieher ist und wozu man diese Dinge benützt.

Sprachlehrer wissen, dass Rechtschreibung und Aussprache am besten im Zusammenhang mit dem Lesen und Schreiben gelernt werden. Geschichtslehrer wissen, dass Namen und Daten uninteressant sind, wenn man den Hintergrund der Ereignisse nicht kennt. Warum ist der Mathematikunterricht im 19.Jahrhundert zurückgeblieben? Vergleichen Sie Ihre Erfahrung des Algebra-Lernens mit Bertrand Russells Erinnerung:

„Ich musste auswendiglernen: ‚Das Quadrat der Summe von zwei Zahlen ist gleich der Summe ihrer Quadrate plus zweimal ihr Produkt.‘ Ich hatte nicht die entfernteste Vorstellung, was das bedeutete, und als ich mich nicht an die Worte erinnern konnte, warf mir mein Lehrer das Buch an den Kopf, was meinen Intellekt in keiner Weise förderte.“

Sind die Dinge heute wirklich so anders?

Paul Lockhart: Mathematik in der Schule

11. Januar 2014

Kommentierte auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart

Mathematik in der Schule

Es gibt keinen sichereren Weg dazu, die Begeisterung und das Interesse an einem Thema abzutöten, als es zu einem obligatorischen Schulfach zu machen. Machen wir es zudem zu einem Hauptbestandteil der standardisierten Prüfungen, dann wird das Bildungs-Establishment alles Leben daraus heraussaugen. Schulbehörden verstehen nicht, was Mathematik ist. Ebensowenig verstehen es die Pädagogikexperten, die Schulbuchautoren, die Verlage, und leider verstehen es auch die meisten Mathematiklehrer nicht. Die Reichweite des Problems ist so enorm, dass ich kaum weiss, wo ich beginnen soll.

Beginnen wir mit dem Debakel der Schulreformen. (…) Dieses ganze Gezänk darum, was für „Themen“ in welcher Reihenfolge gelehrt werden sollen, ob diese oder jene Notation verwendet werden soll, oder was für Modelle von Taschenrechnern zu verwenden seien – das ist wie die Stühle auf dem Deck der „Titanic“ umzustellen! Mathematik ist die Musik des Verstandes. Mathematik zu treiben bedeutet, an einem Abenteuer von Entdeckung und Vermutung, Intuition und Inspiration teilzunehmen; in Verwirrung zu kommen – nicht weil Sie keinen Sinn darin sehen, sondern weil Sie ihm einen Sinn gaben und trotzdem noch nicht verstehen, was Ihr Geschöpf tut; eine durchbrechende Idee zu haben; als Künstler frustriert zu sein; von einer fast schmerzhaften Schönheit überwältigt zu sein; lebendig zu sein. Wenn Sie das alles aus der Mathematik wegnehmen, dann können Sie so viele Konferenzen abhalten, wie Sie wollen, es nützt nichts mehr. Ihr Ärzte, operiert soviel Ihr wollt: euer Patient ist bereits tot.

Das Traurigste an diesen „Reformen“ sind die Versuche, „Mathematik interessant zu machen“ und „relevant für das Leben der Kinder“. Mathematik muss nicht interessant gemacht werden – sie ist bereits interessanter, als wir ertragen können! Und ihre Herrlichkeit besteht darin, dass sie für unser Leben überhaupt nicht relevant ist. Deshalb macht sie Spass!

Die Versuche, Mathematik als relevant für das tägliche Leben darzustellen, wirken unvermeidlich gezwungen und gekünstelt: „Seht, Kinder, wenn ihr Algebra könnt, dann könnt ihr herausfinden, wie alt Maria ist, wenn wir wissen, dass sie zwei Jahre älter ist als das Doppelte von ihrem Alter vor sieben Jahren!“ (Als ob jemand irgendwann einmal Zugang zu einer solch lächerlichen Information hätte anstelle von Marias Alter.) – In der Algebra geht es nicht um das tägliche Leben, es geht um Zahlen und Symmetrien – und das ist an und für sich eine wertvolles Unterfangen:

„Nehmen wir an, ich kenne die Summe und die Differenz zweier Zahlen. Wie kann ich diese Zahlen herausfinden?“

Das ist eine einfache und elegante Frage, und sie braucht keine zusätzlichen Anstrengungen, um sie interessant erscheinen zu lassen. Die alten Babylonier hatten Freude daran, an solchen Problemen zu arbeiten, und unsere Schüler ebenso. (Und ich hoffe, Ihnen macht es ebenfalls Spass, darüber nachzudenken!) Wir müssen keine Purzelbäume schlagen, um die Mathematik „relevant“ zu machen. Sie ist ebenso relevant wie jede andere Kunst: als sinnvolle menschliche Erfahrung.

Anmerkung meinerseits: Recht hat Lockhart hier, dass die „Relevanz“ von Schulbuchaufgaben nur vorgetäuscht ist. Warum soll ich Textaufgaben über einen Bauernhof oder einen Kaufladen lösen, wenn meine tatsächliche Umgebung aus einer sterilen Schulbank vor einer Wandtafel besteht? – Anders sieht die Sache aber aus, wenn das Kind tatsächlich eine Zeitlang auf einem Bauernhof leben oder in einem Laden mitarbeiten kann. Die reale Umgebung wird ihm unweigerlich konkrete mathematische Probleme stellen: Wie gross muss ein Eimer sein, um zwei Kühe zu melken? Wieviel Rückgeld muss ich geben? Usw.
Das Problem bei Lockhart scheint mir zu sein, dass er trotz allem an der sterilen Schulzimmerumgebung festhält, die, wie Raymond Moore sagt, höchstens ein zweidimensionales Abbild des wirklichen, dreidimensionalen Lebens bieten kann. Homeschooling bietet dagegen enorm vielfältige Möglichkeiten zu praktischen Tätigkeiten des wirklichen Lebens (wie z.B. die Mithilfe auf einem Bauernhof oder in einem Laden), die, wenn sie entsprechend verwertet werden, immer wieder Anlass zu mathematischem Denken geben. Mathematisches Verständnis sollte sich nicht auf abstrakte Gebilde beschränken. Ebenso wichtig ist die Fähigkeit, mathematische Konzepte in Situationen des praktischen Lebens hinein zu „übersetzen“, und umgekehrt.

Hier ein authentisches Beispiel aus unserem Alltag, wie praktische Probleme und mathematische Abstraktion ineinander übergehen und einander gegenseitig bereichern: Eine Nachbarin von uns hatte ein Grundstück gekauft, hegte aber den Verdacht, sie sei bei der Flächenangabe betrogen worden. Sie liess deshalb die Seiten und die Diagonalen genau ausmessen (es handelte sich um ein unregelmässiges Viereck) und kam dann mit den Massen zu meinem ältesten Sohn mit der Bitte, er möge ihr doch die Fläche ausrechnen. Er erkannte sofort, dass eine Diagonale das Viereck in zwei Dreiecke teilt, dessen Seitenlängen nun bekannt sind. Er wusste aber nicht, wie man daraus die Fläche ausrechnen kann. „Wenn wir nur die Höhe des Dreiecks wüssten!“ – „Aber vielleicht können wir sie ausrechnen. Zeichnen wir sie doch einmal ein, und schreiben wir alles auf, was wir darüber wissen.“

Heron0

– Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und dreier Gleichungen kamen wir so auf eine Formel für die Höhe und damit für die Fläche. Unser Ergebnis sah so aus:

Heron1

und somit:

Heron2

Dann suchten wir in einer Formelsammlung, ob wir etwas Entsprechendes fänden. Einmal um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet hatten, und auch einfach aus Neugier. Wir fanden die Heronsche Flächenformel, die so aussieht:

Heron3

– wobei p den halben Umfang des Dreiecks bedeutet. Diese Formel ist natürlich bedeutend schöner und eleganter als unsere; insbesondere ist sie symmetrisch inbezug auf die drei Seiten a, b und c. Es ist aber nicht auf den ersten Blick einsichtig, ob diese Formel wirklich gleichbedeutend ist mit der unsrigen. Es stellte sich daher die Frage, ob man zeigen kann, dass die beiden Formeln tatsächlich gleichbedeutend sind. Das war nun natürlich eine mathematische Abstraktion, völlig losgelöst von dem praktischen Problem mit dem Grundstück. Wir stellten fest, dass man in unserer Formel den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren zerlegen kann (das war etwas, was mein Sohn damals sowieso am Üben war) und dann nach einigen Umformungen tatsächlich zu der Form kommt, wie sie in der Formelsammlung steht.
So hat mein Sohn die Formel weitgehend selbständig hergeleitet – und erst noch mit Praxisbezug -, mit weitaus grösserem Lerneffekt, als es normalerweise in der Schule geschieht. Ohne es geplant zu haben, haben wir effektiv alle folgenden Lehrplanpunkte „durchgenommen“:
– Elementare Geometrie des Dreiecks und Vierecks
– Satz von Pythagoras
– Lösung eines Gleichungssystems mit mehreren Unbekannten
– Faktorenzerlegung eines algebraischen Ausdrucks, einschliesslich Gebrauch der binomischen Formel für (a+b)2
– Flächenformel nach Heron.
Und unsere Nachbarin war zufrieden, weil sie jetzt wusste, wie gross ihr Grundstück war.

In diesem Problem liegt übrigens eine weitere Forschungsaufgabe, die wir aber (noch) nicht durchgeführt haben: Die alten Griechen kannten ja keine Algebra, sondern führten die meisten mathematischen Schlussfolgerungen und Beweise auf graphisch-geometrische Weise durch. Heron kann also seine Formel nicht auf dem oben beschriebenen Weg gefunden haben. Wie kann man diese Formel rein geometrisch herleiten?

Denken Sie etwa, Kinder wollen wirklich etwas, was für ihr tägliches Leben relevant ist? Denken Sie, sie würden sich für etwas Praktisches wie Zinseszinsen begeistern? Sie erfreuen sich vielmehr an Phantasie, und genau das kann die Mathematik geben – eine Erholung vom täglichen Leben, ein Gegenmittel gegen die Arbeitswelt.

Anmerkung meinerseits: Lockhart erweist sich hier als Nachfolger G.H.Hardys, der kategorisch behauptete, Mathematik sei nur so lange Mathematik, wie sie keine praktische Anwendung habe und nichts mit der tatsächlichen physikalischen Welt zu tun habe. Er weicht damit der Frage aus, woher es dann kommt, dass die Mathematik tatsächlich so genau mit den Gesetzen des physikalischen Universums übereinstimmt. Von einer rein „imaginären“ Gedankenkonstruktion wäre das ja nicht zu erwarten. (Nur ab und zu erwähnt Lockhart beiläufig, dass mathematische Konzepte manchmal im Nachhinein „zufällig“ (?) eine praktische Anwendung finden.)
Die pragmatische Erklärung, Mathematik sei eben aus der Beobachtung der physikalischen Welt und als Antwort auf praktische Notwendigkeiten entstanden, überzeugt dagegen auch nicht. Viele mathematische Konzepte wurden erdacht, lange bevor ihre Übereinstimmung mit physikalischen Gesetzmässigkeiten und ihre Anwendbarkeit hierauf entdeckt wurde. Z.B. untersuchten bereits die alten Griechen die Eigenschaften der Kegelschnitte; aber erst Kepler entdeckte, dass Kegelschnitte die Umlaufbahnen von Planeten und anderen Himmelskörpern exakt beschreiben.
Für mich ist die einleuchtendste Erklärung die christliche: Derselbe Gott, der das Universum erschaffen hat, hat auch die menschlichen Denkstrukturen geschaffen, sodass es notwendigerweise eine Entsprechung zwischen den beiden geben muss.
Daraus folgt aber, dass eine praktische Anwendbarkeit der Mathematik zu erwarten ist, und ebenso, dass mathematisches Denken öfters auch durch praktische Probleme des täglichen Lebens angestossen wird. Das tut der Mathematik als Mathematik keinen Abbruch, ist aber – hierin stimme ich mit Lockhart überein – nicht ihr tieferer Sinn.

Ein ähnliches Problem ergibt sich, wenn Lehrer oder Schulbücher „kindgemäss“ sein wollen. (…) Um den Schülern zu helfen, die Formel für den Kreisumfang zu lernen, erfinden sie z.B. eine Geschichte von einem Hund, der um einen kreisrunden Baum herumläuft und „Pipi“ an seinen Rand macht (U=2pr), oder ähnlichen Unsinn.
Aber was ist mit der wirklichen Geschichte? Die Geschichte vom Kampf der Menschheit mit der Messung von Kurven; von Eudoxus und Archimedes und ihrer Methode der Ausschöpfung; von der Transzendenz der Zahl Pi? Was ist interessanter: den Umfang von Kreisen zu berechnen mit einer Formel, die man von jemandem ohne weitere Erklärung vorgesetzt bekommt, oder die Geschichte eines der schönsten und faszinierendsten Probleme der Menschheitsgeschichte zu hören? Wir heute töten das Interesse der Menschen an Kreisen ab! Welches andere Schulfach wird so gelehrt, ohne jede Erwähnung seiner Geschichte, Philosophie, thematischen Entwicklung, ästhetischen Kriterien, und seines aktuellen Standes? Welches andere Schulfach verachtet seine primären Quellen – herrliche Kunstwerke von einigen der kreativsten Denker der Geschichte – zugunsten von drittklassigen Schulbuchnachahmungen?

Das grösste Problem mit der Schulmathematik ist, dass es in ihr keine Probleme mehr gibt. – Ich weiss, diese faden „Übungen“ werden als Probleme ausgegeben: „Dies ist ein Beispiel für ein Problem. Hier steht, wie man es löst. Ja, das kommt an der Prüfung. Löst die Übungen 1 bis 35 als Hausaufgabe.“ Was für eine traurige Art, Mathematik zu lernen: wie ein abgerichteter Schimpanse.

Aber ein echtes Problem, eine echte, ehrliche, natürliche, menschliche Frage – das ist etwas anderes. Wie lang ist die Diagonale eines Würfels? Hören die Primzahlen nie auf? Ist Unendlich eine Zahl? Auf wieviele Arten kann ich eine Fläche symmetrisch mit Fliesen belegen? – Die Geschichte der Mathematik ist die Geschichte der menschlichen Beschäftigung mit Fragen wie diesen. Nicht des gedankenlosen Wiederkäuens von Formeln und Algorithmen.

Ein gutes Problem besteht darin, dass du nicht weisst, wie man es lösen kann. Das macht es zu einer guten Gelegenheit; zu einem Sprungbrett zu weiteren interessanten Fragen: Ein Dreieck füllt die Hälfte einer Schachtel aus. Wie steht es nun mit einer Pyramide in einer dreidimensionalen Schachtel? Können wir dieses Problem auf ähnliche Weise lösen?

Ich verstehe den Gedanken, die Schüler bestimmte Techniken üben zu lassen. Ich tue das auch. Aber nicht als Selbstzweck. Wie in jeder Kunst, sollten die Techniken in ihrem Zusammenhang eingeübt werden: die grossen Probleme, ihre Geschichte, der kreative Prozess. Geben Sie Ihren Schülern ein gutes Problem und lassen Sie sie damit kämpfen und frustriert werden. Sehen sie, was für Ideen sie hervorbringen. Warten Sie, bis sie verzweifelt nach einer Idee verlangen, und dann geben Sie ihnen eine Technik. Aber nur so viel wie nötig.

Legen Sie also Ihre Lektionenpläne und Ihre Projektoren beiseite, Ihre vierfarbigen Schulbuchgräuel, Ihre CD-ROMs und den ganzen Multimedia-Zirkus der gegenwärtigen Schulbildung, und treiben Sie einfach Mathematik mit Ihren Schülern! Zeichnungslehrer verschwenden ihre Zeit auch nicht mit Schulbüchern und sturem Üben von Techniken. Sie lassen die Kinder zeichnen, gehen von Tisch zu Tisch, machen Vorschläge und geben Rat:

„Ich habe über unser Dreiecksproblem nachgedacht, und habe etwas festgestellt. Wenn das Dreieck so richtig schief liegt, dann füllt es nicht die Hälfte der Schachtel aus! Sehen Sie, hier:“

Lockhart4

„Eine ausgezeichnete Beobachtung! Unsere Erklärung mit dem Zerschneiden geht davon aus, dass die Spitze des Dreiecks über der Grundlinie liegt. Jetzt brauchen wir eine neue Idee.“
„Soll ich versuchen, es auf eine andere Weise zu zerteilen?“
„Bestimmt. Probiere alles mögliche aus. Lass mich wissen, was du herausfindest!“

Anmerkung meinerseits: Lockhart berührt hier einen wesentlichen Punkt: die kindliche Neugier und Phantasie als Antrieb zur Mathematik. Ich kann das aus eigener Erfahrung bestätigen. Ich hatte das Glück, als Kind in mathematischer Hinsicht so frühreif zu sein (und gleichzeitig in einer Zeit zu leben, als Kinder noch nicht so früh eingeschult wurden wie heute), dass ich Gelegenheit hatte, Mathematik zu treiben, bevor ich zur Schule kam, unbeeinflusst von Lehrplänen und schulischen Methoden. Ich erinnere mich noch, wie ich als etwa Sechsjähriger u.a. spielerisch die Eigenschaften der „Dreieckszahlen“ untersuchte (ohne schon auf eine algebraische Formel zu kommen), und ein Heftchen mit Multiplikationstabellen von 1 x 1 bis etwa 20 x 30 füllte, aus reiner Neugier, was für Zahlen dabei herauskommen würden.
Andererseits möchte ich hier ergänzen, dass das kindliche Denken noch nicht zu Abstraktionen neigt. Die kindliche Phantasie entzündet sich an konkreten Gegenständen und Ereignissen seiner Umgebung, und drückt sich meistens in konkreten Darstellungen und Handlungen aus. (Ein klassisches Beispiel ist das freie Spiel mit Gegenständen, wo ein Holzklotz als Haus dienen kann und ein abgebrochener Ast als Pferdchen.) So entsprang z.B. das Konzept der „Dreieckszahlen“ aus konkreten Zeichnungen auf dem Papier, bzw. aus mit Steinchen und anderen Gegenständen gelegten Figuren. Was nicht mehr konkret dargestellt und nachvollzogen werden kann, ist dem kindlichen Verständnis in der Regel nicht zugänglich.
Mir scheint deshalb, Lockhart idealisiert zu sehr, wenn er das kindliche Entdecken der Mathematik direkt dem Forschen eines erwachsenen Mathematikers gleichstellt. Die beteiligten Denkstrukturen sind in diesen Fällen nicht dieselben. Er kommt meines Erachtens der pädagogischen Wirklichkeit näher, wenn er an anderer Stelle (siehe in der nächsten Folge) vorschlägt, den Mathematikunterricht in den unteren Schuljahren hauptsächlich mit (Denk-)Spielen zu verbringen. Hier kann das Kind seine Entdeckungen anhand konkreter Handlungen machen.

 Fortsetzung folgt

Paul Lockhart: Mathematik als Kunst, und das Elend des Mathematikunterrichts

31. Dezember 2013

Vorwort des Übersetzers:

Vor einigen Jahren fand ich im Internet Paul Lockharts „A Mathematician’s Lament“ (Klage eines Mathematikers). Diese Schrift bestätige manche meiner eigenen Gedanken über den Mathematikunterricht an den Schulen, wie ich ihn während der letzten Jahre hauptsächlich aus der Perspektive meiner Nachhilfeschüler kennenlernte. Nachdem ich jahrelang in meiner Umgebung mit meinen Ideen über das Mathematiklernen nur auf Unverständnis stiess, und insbesondere alle Leute, die es eigentlich wissen müssten (d.h. Lehrer und Schulplaner) das Gegenteil vertreten, da begann ich mich allmählich zu fragen, ob wirklich die ganze Welt verrückt ist, oder ob vielleicht ich selber der Verrückte bin. Seit meiner „Entdeckung“ von Lockhart habe ich aber noch weitere solche „Verrückte“ gefunden. Schlechte Nachrichten für den Rest der Welt…
Nun ist Paul Lockhart nicht irgendwer. Er ist ein Berufsmathematiker mit Unterrichtserfahrung sowohl an Universitäten wie auch an Volksschulen in den USA. Er weiss also, wovon er spricht.

Ich habe Lockhart schon bei verschiedenen Gelegenheiten zitiert und möchte jetzt einen längeren Auszug aus seinen Gedanken wiedergeben – mit einigen Kommentaren meinerseits. In manchen Einzelheiten bin ich mit ihm nicht einverstanden, da er offenbar aus einer anderen weltanschaulichen Ecke kommt als ich. Aber in den Grundzügen finde ich seine Schrift gut, wichtig, bereichernd und in gutem Sinne herausfordernd. Ausserdem sind die konstruktiven Ideen, die er neben seiner Schulkritik bringt, auch für die Situation des Homeschooling anwendbar. Das Original ist etwas lang für einen Blog-Artikel (25 A4-Seiten), weshalb ich mich auf die wichtigsten Auszüge beschränke; ein ganzes Kapitel (über Beweisführung und Formalismus in der Geometrie) habe ich weggelassen.


Kommentierte auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart:

Der Alptraum eines Musikers

Ein Musiker erwacht aus einem schrecklichen Alptraum. In seinem Traum befindet er sich in einer Gesellschaft, wo der Musikunterricht obligatorisch gemacht wurde. „Wir helfen unseren Schülern, konkurrenzfähiger zu werden in einer immer mehr mit Geräuschen erfüllten Welt.“ Erzieher, Schulsysteme und der Staat werden für dieses wichtige Projekt verantwortlich gemacht. Untersuchungen werden in Auftrag gegeben, Kommissionen werden gebildet, und Entscheidungen werden getroffen – alles ohne den Rat oder die Mitwirkung auch nur eines einzigen ausübenden Musikers oder Komponisten.

Da Musiker ihre Ideen in der Form von Musiknoten ausdrücken, müssen diese seltsamen Linien und Punkte als „die Sprache der Musik“ angesehen werden. Es ist notwendig, dass die Schüler diese Sprache beherrschen, wenn sie irgendeinen Grad musikalischer Fähigkeit erreichen sollen. Ja, es wäre einfach lächerlich, von einem Kind zu erwarten, dass es ein Lied singt oder ein Instrument spielt, ohne zuerst gründlich in Notenschrift und Musiktheorie geschult zu sein. Musik zu spielen und zu hören, und erst recht eigene Stücke zu komponieren, sind sehr fortgeschrittene Themen, die erst auf Gymnasial- und Hochschulstufe behandelt werden können.

Primar- und Sekundarschule hingegen haben die Aufgabe, die Schüler in diese Musiksprache einzuführen. „Im Musikunterricht nehmen wir unser Notenpapier und schreiben Noten von der Tafel ab oder transponieren sie in eine andere Tonart. Wir müssen die Notenschlüssel und Vorzeichen richtig schreiben und anwenden, und unser Lehrer kontrolliert streng, dass wir die Viertelnoten vollständig ausfüllen. Einmal hatten wir ein schwieriges Problem über chromatische Tonleitern, und ich hatte es richtig gelöst, aber mein Lehrer gab mir eine schlechte Note, weil die Notenhälse auf die falsche Seite zeigten.“

(…)
In den höheren Schuljahren nimmt der Druck erst recht zu. Um ans Gymnasium zu kommen, müssen die Schüler Rhythmus- und Harmonielehre und den Kontrapunkt beherrschen. „Es ist eine Menge Lernstoff; aber wenn sie dann am Gymnasium endlich richtige Musik zu hören bekommen, dann werden sie diese Arbeit der früheren Schuljahre wertschätzen.“ – Natürlich werden sich nur wenige Schüler auf Musik spezialisieren, sodass nur wenige überhaupt die Töne zu hören bekommen werden, die durch die schwarzen Notenköpfe dargestellt werden. „Um die Wahrheit zu sagen: die meisten Schüler sind nicht besonders gut in Musik. Die Schulstunden langweilen sie, und ihre Hausaufgaben sind kaum lesbar. Es scheint sie gar nicht zu interessieren, wie wichtig die Musik in der heutigen Welt ist.“ (…)

Der Musiker wacht schweissgebadet auf und wird sich dankbar bewusst, dass es nur ein verrückter Traum war. „Natürlich!“ ruft er aus. „Keine Gesellschaft würde je eine so schöne und sinnreiche Kunst auf so etwas Geistloses und Triviales reduzieren. Keine Kultur kann so grausam zu ihren Kindern sein, dass sie ihnen auf solche Weise ein natürliches, befriedigendes Mittel menschlichen Ausdrucks vorenthielte. Wie absurd!“

(…)

Aber leider ist unser gegenwärtiger Mathematikunterricht genau ein solcher Alptraum. Wenn ich eine Strategie entwickeln müsste, um die natürliche Neugier eines Kindes und seine Liebe zum Erfinden von Mustern zu zerstören, dann könnte ich keine bessere Lösung dafür finden als die gegenwärtige Schule. Ich könnte gar nicht auf derartige sinnlose und seelenzerstörerische Ideen kommen, wie sie den gegenwärtigen Mathematikunterricht prägen.
Jedermann weiss, dass etwas falsch läuft. Die Politiker sagen: „Wir brauchen höhere Anforderungen.“ Die Schulen sagen: „Wir brauchen mehr Geld und Ausrüstung.“ Die Pädagogikexperten sagen das eine, und die Lehrer das andere. Aber sie haben alle unrecht. Die einzigen, die verstehen, was vorgeht, sind jene, die meistens beschuldigt und nie um ihre Meinung gefragt werden: die Schüler. Sie sagen: „Die Mathematikstunden sind dumm und langweilig“, und sie haben recht.


Mathematik und Kultur

Zuallererst müssen wir verstehen, dass Mathematik eine Kunst ist. Der Unterschied zwischen der Mathematik und anderen Künsten wie Musik oder Malerei besteht lediglich darin, dass unsere Kultur sie nicht als Kunst erkennt. Jedermann versteht, dass Dichter, Maler und Musiker Kunstwerke schaffen. Unsere Gesellschaft ist sogar recht grosszügig im Bereich der Kreativität: Architekten, Köche und sogar Fernsehdirektoren werden als Künstler bezeichnet. Warum also nicht auch die Mathematiker?

Ein Teil des Problems besteht darin, dass niemand weiss, was Mathematiker eigentlich tun. Nach der allgemeinen Auffassung scheinen sie irgendwie mit der Wissenschaft verbunden zu sein – vielleicht helfen sie den Wissenschaftern mit ihren Formeln, oder füttern Computer zu irgendeinem Zweck mit grossen Zahlen. Die meisten Menschen ordnen Mathematiker den „rationalen Denkern“ zu, im Gegensatz zu den „poetischen Träumern“.

In Wirklichkeit aber gibt es nichts Träumerischeres, Poetischeres, Radikaleres, Subversiveres und Psychedelischeres als die Mathematik. Sie ist ebenso überwältigend wie die Kosmologie und die Physik (die Mathematiker erfanden Schwarze Löcher lange bevor die Astronomen tatsächlich welche entdeckten), und erlaubt mehr Ausdrucksfreiheit als die Dichtung oder die Musik (welche stark von den Eigenschaften des physikalischen Universums abhängen). Mathematik ist die reinste aller Künste, und zugleich die am meisten missverstandene.

Ich möchte also zu erklären versuchen, was Mathematik ist, und was Mathematiker tun. Eine ausgezeichnete Beschreibung stammt von G.H.Hardy:

„Ein Mathematiker ist wie ein Maler oder ein Dichter ein Schöpfer von Mustern. Wenn seine Muster dauerhafter sind als Dichtung oder Musik, dann liegt das daran, dass sie aus Ideen bestehen.“

Mathematiker schaffen also Muster aus Ideen. Was für Ideen? Ideen über Nashörner? Nein, die überlassen wir den Biologen. Ideen über Sprache und Kultur? Nein, normalerweise nicht. Diese Dinge sind viel zu kompliziert für den Geschmack der meisten Mathematiker. Wenn es ein allgemeines ästhetisches Prinzip in der Mathematik gibt, dann dieses: Einfach ist schön. Die Mathematiker denken gerne über die einfachst möglichen Dinge nach, und die einfachst möglichen Dinge sind imaginär.

Anmerkung meinerseits: Diese Aussagen über Mathematik als Kunst und als entdeckerisch-kreativer Prozess mögen Lesern, deren Freude an der Mathematik durch langweilige Schulstunden verdorben wurde, als weit hergeholt erscheinen. Aber eben: das Problem liegt nicht bei der Mathematik, es liegt bei der Schule. Ich möchte dem Leser sehr ans Herz legen, das untenstehende Beispiel Lockharts mitzudenken und nachzuvollziehen, um zu verstehen, worum es beim „mathematischen Prozess“ eigentlich geht.
– Ich würde hier noch einen Schritt weitergehen und sagen: Mathematik, richtig verstanden, ist eine Form der Anbetung, die darin besteht, „Gottes Gedanken Ihm nachzudenken“ (wie Johannes Kepler sagte). So empfanden es grosse Wissenschafter der Vergangenheit wie Newton, Kepler oder Maxwell, angesichts der mathematischen Gesetze, die das Universum regieren. Sie sahen in der Mathematik einen Widerhall der „Dekrete Gottes“, welche die Welt aufrechterhalten.

Wenn ich z.B. Lust habe, über Formen nachzudenken – was oft vorkommt – , dann könnte ich mir ein Dreieck in einer rechteckigen Schachtel vorstellen:

Lockhart1

Ich frage mich, wieviel von dieser Schachtel das Dreieck ausfüllt? Vielleicht zwei Drittel?
Es ist hier wichtig zu verstehen, dass ich nicht über diese Zeichnung von einem Dreieck in einer Schachtel spreche. Ich spreche auch nicht von einem Metalldreieck als Teil einer Brückenverstrebung. Ich habe keinen praktischen Vorsatz; ich spiele einfach. Das ist Mathematik: Neugierig sein, spielen, mich mit meinen Vorstellungen unterhalten.
Die Frage, wieviel von der Schachtel das Dreieck ausfüllt, hat zunächst nicht einmal einen Sinn, wenn man sie auf tatsächliche physikalische Gegenstände bezieht. Sogar ein mit höchster Präzision hergestelltes wirkliches Dreieck ist eine hoffnungslos komplizierte Sammlung von umherschwingenden Atomen, die ständig ihre Form ändert. Ausser natürlich, wenn wir über irgendwie angenäherte Masse sprechen wollen. Aber da bekommen wir es mit aller Art von Einzelheiten der wirklichen Welt zu tun. Das überlassen wir den Wissenschaftern. Die mathematische Frage handelt von einem imaginären Dreieck in einer imaginären Schachtel. Seine Seiten sind vollkommen, weil ich sie so haben möchte. Das ist ein wichtiges Thema in der Mathematik: Die Dinge sind so, wie Sie sie haben möchten. Sie haben endlose Wahlmöglichkeiten; die Wirklichkeit kommt Ihnen nicht in die Quere.

Wenn Sie andererseits einmal eine Wahl getroffen haben (z.B. ob Ihr Dreieck symmetrisch sein soll oder nicht), dann tun Ihre Geschöpfe, was sie von sich aus tun, ob es Ihnen gefällt oder nicht. Das ist das Erstaunliche an den imaginären Mustern: sie geben Ihnen Antwort! Das Dreieck füllt einen bestimmten Anteil der Schachtel aus, und ich kann nicht darüber bestimmen, wie gross dieser Anteil ist. Es ist eine ganz bestimmte Zahl, und ich muss herausfinden, wie gross sie ist.

Wir fangen also an zu spielen und uns vorzustellen, was wir wollen, und bilden Muster und stellen Fragen darüber. Aber wie beantworten wir die Fragen? Das ist nicht wie in der Wissenschaft. Ich kann kein Experiment mit Reagenzgläsern und Maschinen machen, das mir die Wahrheit über ein Gebilde meiner Vorstellung sagt. Fragen über unsere Vorstellungen können nur mit Hilfe unserer Vorstellungen beantwortet werden, und das ist harte Arbeit.

In dem Beispiel mit dem Dreieck sehe ich etwas Einfaches und Schönes:

  Lockhart2

Wenn ich das Rechteck auf diese Weise in zwei Rechtecke zerschneide, dann sehe ich, dass jeder Teil seinerseits von einer Dreiecksseite diagonal in zwei Hälften zerschnitten wird. Innerhalb des Dreiecks ist also genauso viel Platz vorhanden wie ausserhalb. Das bedeutet, dass das Dreieck genau die Hälfte der Schachtel ausfüllt!

So sieht und fühlt sich ein Stück Mathematik an. Die Kunst des Mathematikers besteht darin, einfache und elegante Fragen zu stellen über unsere imaginären Geschöpfe, und befriedigende und schöne Erklärungen zu finden. Dieser Bereich der reinen Ideen ist faszinierend, macht Spass und kostet nichts!

Woher kam nun diese meine Idee? Wie kam ich darauf, diese zusätzliche Linie zu zeichnen? Wie weiss ein Maler, wo er seinen Pinsel ansetzen soll? Inspiration, Erfahrung, Versuch und Irrtum, oder einfach Glück. Das ist die ganze Kunst; eine Kunst, die Dinge in andere umwandelt. Das Verhältnis zwischen dem Rechteck und dem Dreieck war ein Geheimnis, und dann machte eine einzige kleine Linie es offenbar. Zuerst konnte ich es nicht sehen, und dann sah ich es plötzlich. Irgendwie konnte ich aus dem Nichts eine tiefgründige, einfache Schönheit schaffen, und ich selber wurde in dem Prozess verändert. Ist es nicht das, worum es bei aller Kunst geht?

Deshalb ist es so herzzerreissend zu sehen, was der Mathematik in der Schule angetan wird. Dieses reichhaltige und faszinierende Abenteuer der Vorstellungskraft wird reduziert auf eine sterile Sammlung von „Daten“, die auswendiggelernt werden müssen, und Prozeduren, die angewandt werden müssen. Anstelle einer einfachen und natürlichen Frage über Formen, und eines kreativen und lohnenden Prozesses von Erfindung und Entdeckung, wird den Schülern Folgendes vorgesetzt:

Lockhart3
Flächenformel des Dreiecks: F = 1/2 b h

„Die Fläche eines Dreiecks ist gleich des halben Produktes aus dessen Grundlinie und dessen Höhe.“ Die Schüler müssen diese Formel auswendiglernen und sie dann in unzähligen Übungen „anwenden“. Damit ist jede Spannung und jede Freude weg, und sogar die Anstrengung und Frustration des kreativen Prozesses. Es gibt hier nicht einmal mehr ein Problem. Die Frage wurde im selben Atemzug gestellt und beantwortet – dem Schüler bleibt nichts mehr zu tun übrig.

Lassen Sie mich klarstellen, wogegen ich mich ausspreche. Ich bin nicht gegen Formeln, noch gegen das Lernen interessanter Tatsachen. Das alles ist in seinem Zusammenhang gut, und hat seinen Platz, so wie das Wörterlernen in einer Fremdsprache seinen Platz hat: Es hilft einem, reichere und detailliertere Kunstwerke zu schaffen. Aber das Entscheidende hier ist nicht die Tatsache, dass das Dreieck die Hälfte der Schachtel ausfüllt. Das Entscheidende ist die schöne Idee, es mit dieser Linie zu unterteilen. Das kann andere schöne Ideen inspirieren und zu kreativen Durchbrüchen in anderen Problemen führen. Eine reine Darstellung der Tatsache kann das nicht.

Wenn wir den kreativen Prozess weglassen und nur dessen Ergebnis übriglassen, dann wird niemand innerlich daran beteiligt sein. Es ist wie wenn man mir sagt, Michelangelo hätte eine schöne Skulptur geschaffen, mich aber die Skulptur selber nicht sehen lässt. Wie soll ich davon inspiriert werden? (In Wirklichkeit ist es sogar noch schlimmer. Wenn man von Michelangelo spricht, dann verstehe ich zumindest, dass es die Kunst der Skulptur gibt, und dass man es mir nicht erlaubt, sie zu bewundern.)

Wenn man sich nur auf das Was konzentriert und das Warum ausser acht lässt, dann wird die Mathematik auf eine leere Hülle reduziert. Die Kunst liegt nicht in der „Wahrheit“, sondern in deren Erklärung, in der Argumentation. (…) Mathematik ist die Kunst des Erklärens. Wenn wir den Schülern die Gelegenheit vorenthalten, an dieser Kunst mitzuwirken – ihre eigenen Probleme zu stellen, ihre eigenen Vermutungen anzustellen und Entdeckungen zu machen, sich dabei zu irren, kreativ frustriert zu sein, eine Inspiration zu haben, und ihre eigenen Erklärungen und Beweise zusammenzuschustern – dann berauben wir sie der Mathematik selber.

Ich beklage mich also nicht über das Vorkommen von Tatsachen und Formeln im Mathematikunterricht. Ich beklage mich über die Abwesenheit der Mathematik in unserem Mathematikunterricht.

(…)

Wenn Ihr Mathematiklehrer Ihnen die Vorstellung vermittelt (ausdrücklich oder durch sein Beispiel), in der Mathematik ginge es um das Auswendiglernen von Formeln und Definitionen und Algorithmen, wer wird diese Vorstellung berichtigen?
Dieses kulturelle Problem ist ein Monster, das sich selber fortpflanzt: die Schüler lernen von ihren Lehrern, was Mathematik sei, und diese haben es wiederum von ihren Lehrern gelernt, sodass dieser Mangel an Verständnis und Wertschätzung der Mathematik sich von Generation zu Generation wiederholt. Noch schlimmer: Diese Weiterverbreitung von „Pseudo-Mathematik“, diese Betonung auf der richtigen, aber sinnlosen Manipulation von Symbolen, schafft ihre eigene Kultur und ihre eigenen Wertvorstellungen. Jene, die sie beherrschen, bilden sich auf ihren Erfolg etwas ein. Das Letzte, was sie hören wollen, ist, dass es bei der Mathematik um reine Kreativität und ästhetisches Gefühl gehe. Manch ein Universitätsstudent hat mit Betrübnis entdeckt, nachdem man ihm zehn Jahre lang gesagt hatte, er sei „gut in Mathematik“, dass er in Wirklichkeit keinerlei mathematisches Talent hatte und lediglich gut darin war, den Anweisungen anderer zu folgen. In der Mathematik geht es aber nicht darum, den Richtungsweisungen anderer zu folgen; es geht darum, neue Richtungen einzuschlagen.

(…)

Anmerkung meinerseits: Lockhart spricht hier ein wichtiges Problem an, das ich aus einer etwas anderen Perspektive auch schon angesprochen habe in „Mathematikunterricht – eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien?“: Der Schulunterricht zielt darauf ab, die Schüler in mechanischen Fertigkeiten zu trainieren, die genausogut von einem Taschenrechner ausgeführt werden könnten; aber wirkliche mathematische Prinzipien werden ihnen kaum vermittelt. Der Schüler erhält dadurch den Eindruck, es gehe bei der Mathematik darum, stur den (meistens uneinsichtigen) Anordnungen eines Lehrers zu folgen. Er wird nur das „Wie“ gelehrt, aber nicht das „Warum“. Die Einsicht wird ihm vorenthalten, dass mathematische Gesetze ein „Allgemeingut“ sind, das er auch von sich aus entdecken kann.
– Ob diese Beobachtungen auf die Schulsysteme aller Länder zutreffen, kann ich nicht beurteilen. Auf Perú, wo ich zur Zeit lebe, treffen sie mit Sicherheit zu. In der Schweiz, wo ich meine Schulzeit verbrachte, erlebte ich seinerzeit am Gymnasium noch einen Unterricht, der grossen Wert legte auf die „Kunst des Erklärens“, die Herleitung und Begründung der mathematischen Formeln und Tatsachen; und ab und zu gab es auch Aufgaben zum eigenen Forschen (wenn auch mit sehr eng umrissenen Themen und Fragestellungen). Aber eben erst am Gymnasium; und in der Schweiz kommt die Mehrheit der Schüler nicht dazu, ein Gymnasium zu besuchen – in der Regel nur jene, die zum vornherein vorhaben, nachher ein Universitätsstudium aufzunehmen. Auf den unteren Schuljahren wurden die mathematischen „Techniken“ zwar mit verschiedenen Materialien veranschaulicht; aber es ging eben doch vorwiegend um die „richtige, aber sinnlose Manipulation von Symbolen“. Während die Einsicht nicht vermittelt wurde, dass Mathematik auf (im Grunde wenigen und einfachen) Prinzipien und Gesetzen beruht, die man auch selber entdecken kann und mit denen man „spielen“ kann. – Die nächste Folge wird das Thema „Mathematik an der Schule“ vertiefen.

Fortsetzung folgt

Mathematische Kunstausstellung – Anhang (Links)

7. Oktober 2012

Mehr mathematische Kunst im Internet

Für Interessierte füge ich hier eine kleine Link-Sammlung an zu Seiten, die sich ebenfalls mit mathematischer Kunst (oder einem Teilaspekt davon) beschäftigen.


„Dimensions“
Eine sehr anschauliche, rund zweistündige Film-Serie über Themen wie projektive Geometrie, vierdimensionale Geometrie, komplexe Zahlen und Fraktale. (Man sieht sich z.B. durch verschiedene vierdimensionale Körper hindurchfliegen – natürlich in unseren dreidimensionalen Raum hineinprojiziert.) Kann gratis in verschiedenen Sprachen (inkl. Deutsch) heruntergeladen werden. Die grossen Dateien werden zwar Ihre Internetverbindung ziemlich strapazieren, aber es lohnt sich. Nur schon um die immense Arbeit zu bewundern, die in diese Serie gesteckt worden ist. Mit ganz wenigen Ausnahmen (eine Weltkarte und einige Porträts berühmter Mathematiker) sind sämtliche Bilder und Animationen mittels mathematischer Algorithmen programmiert und vom Computer generiert worden.
Zum Verständnis ist z.T. etwas fortgeschritteneres mathematisches Wissen erforderlich; das meiste wird aber auf allgemeinverständliche Art und Weise erklärt.
„Die Primzahleninsel“
Dieser Autor hat die statistische Verteilung der Primzahlen nach einem bestimmten Algorithmus in eine gebirgige Oberfläche umgerechnet und diese mit künstlerischer Ausschmückung als eine geheimnisvolle Insel dargestellt. Auch einige andere Arten, Primzahlen graphisch darzustellen, können auf derselben Website angesehen werden. (Beschreibungen auf Englisch)
Primzahlenspiralen
Noch eine andere Art, Primzahlen graphisch darzustellen: mittels verschiedenartiger Spiralen, die unerwartete Regelmässigkeiten und Muster hervorbringen. (Beschreibungen auf Englisch)

Website von Jean-François Colonna
Colonna verbindet Mathematik, Computergraphik und Kunst in einzigartiger Weise. Die Erklärungen sind auf Französisch und (z.T.) Englisch, aber seine Kunstwerke können auch ohne Sprachkenntnisse bewundert werden.
Die Arbeit von Colonna ist um einiges anspruchsvoller als die Beispiele in meiner Artikelserie – sowohl vom Künstlerischen her, als auch inbezug auf die damit verbundenen mathematischen Konzepte. Aber das meiste ist sehr ausführlich erklärt, sodass jemand mit etwas fortgeschrittenen Mathematik- und Programmierkenntnissen selber ähnliche Werke schaffen könnte.
„MArTH Madness“
Ein Bericht über ein interessantes Schulprojekt in den USA zum Thema „mathematische Kunst“. Alles mögliche kommt darin vor, von einfachsten Handzeichnungen über geometrisches Origami bis zu Computergraphiken und spektakulären dreidimensionalen Baukasten-Konstruktionen.
Blog von Vi Hart
Blog einer originellen Mathematikerin, die alle möglichen Gegenstände in mathematische Kunst verwandelt: Ballons, Wäschekörbe, Esswaren, Schirme, und und und … Mit vielen Fotos und Videoclips. Sehenswert ist z.B. die „Möbius-Story“, eine auf ein transparentes Möbius-Band gezeichnete Kindergeschichte, was überraschende Effekte ergibt.
POV-Ray (Persistence Of Vision Raytracker)
Nicht eigentlich ein Kunstwerk, aber ein Hilfsmittel, um Kunstwerke herzustellen. – POV-Ray ist ein Computerprogramm, oder besser gesagt, eine Programmiersprache, mit der man erstaunliche 3D-Graphiken und Animationen schaffen kann. Im Gegensatz zu anderen Graphikprogrammen werden bei einem „Raytracker“ die Objekte nicht mit Hilfe eines Zeichnungsprogramms entworfen, sondern durch mathematische Formeln definiert. (Es sind aber auch Zeichnungsprogramme erhältlich, mit denen man Objekte entwerfen kann, die dann in POV-Ray importiert werden können.)
Die 3D-Teilerdiagramme im Teil 4, die Gebirgsmodelle im Teil 5, die dreidimensionalen komplexen Funktionen im Teil 8 und die dreidimensionalen Wellen-Animationen im Teil 10 dieser Artikelserie wurden mit Hilfe von POV-Ray hergestellt. Auch der obenerwähnte Film „Dimensions“ wurde mit POV-Ray programmiert.
Die POV-Ray-Website enthält ausserdem Links zu weiteren Seiten, wo mit diesem Programm hergestellte Kunstwerke ausgestellt sind.

Mathematische Kunstausstellung, Teil 10: Beschwingt, gewellt und auf hoher See

28. September 2012

Schwingungen

Eine Schwingung ist zunächst einfach eine Hin- und Her- (oder Auf- und Ab-) Bewegung. So wie dieser rote Punkt links, der ohne müde zu werden auf und ab pendelt.
Mathematik- bzw. Physik-Bewanderte wissen, dass eine „gewöhnliche“ Schwingung (fachmännischer gesagt, eine harmonische Schwingung) als Sinuskurve dargestellt wird. Das scheint die normale Art zu sein, wie Violin- oder Gitarrensaiten, Pendel, und andere Gegenstände zu schwingen pflegen. Stellen wir also die zeitliche Auf- und Ab-Bewegung unseres Punktes graphisch dar, indem wir sie mit einer gleichmässigen waagerechten Fortbewegung auf der „Zeitachse“ kombinieren. So erhalten wir eine Sinuskurve:

Wir können diese Schwingung aber auch anders darstellen. Statt sie mit einer linearen Fortbewegung zu kombinieren, können wir die senkrechte Schwingung mit einer ebensolchen waagerechten Schwingung kombinieren. Bei einer Phasenverschiebung von 1/4 der Periode ergibt das folgendes Bild:

Ein Kreis! – Tatsächlich kann die Sinusfunktion auch so definiert werden, dass sie die Höhe einer Kreislinie über der Waagerechten bedeutet, im Verhältnis zum Winkel am Kreismittelpunkt. Wasserwellen haben auch ein ungefähr „sinusförmiges“ Aussehen, aber die Wasserteilchen bewegen sich in Wirklichkeit ungefähr kreisförmig auf und ab.

Wir könnten jetzt aber auch Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen miteinander kombinieren. Hier z.B. schwingen die beiden roten Punkte mit Frequenzen im Verhältnis 2:3 :

Solche Figuren, die durch die Kombination verschiedener Schwingungen entstehen, werden Lissajous-Figuren genannt. Hier einige Beispiele, wie diese dekorativen Figuren aussehen können:


Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 7:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in gleicher Richtung, im Verhältnis 1:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in Gegenrichtung, im Verhältnis 7:10.

Kombination von vier geradlinigen Schwingungen (zwei waagrechte und zwei senkrechte) im Verhältnis 18:5:6:12.

Kombination von drei kreisförmigen Schwingungen im Verhältnis 32:36:45.


Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 10:13:26.)

Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 5:7:18.)

Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 3:7. Der Animationseffekt kommt hier (wie auch im unteren Bild) dadurch zustande, dass im Laufe der Zeit die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen geändert wird.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 7:20. Im Verlauf der Animation ändert sich die Amplitude der einen Schwingung (ebenso im unteren Bild).

Kombination einer kreisförmigen mit einer vertikalen Schwingung; Änderung der Phasenverschiebung.


Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 5:18; Änderung der Amplitude.

Die Figuren werden eher „harmonisch“, wenn sich die Verhältnisse zwischen den Frequenzen durch kleine ganze Zahlen ausdrücken lassen (bzw. Zahlen mit einem kleinen gemeinsamen Vielfachen). Bei grösseren oder „ungeraden“ Zahlenverhältnissen machen die entstehenden Figuren einen etwas unregelmässigeren oder „chaotischeren“ Eindruck.
Dasselbe kann man in der Musik beobachten. Töne bestehen ja auch aus Schwingungen. Dabei empfinden wir in der Regel jene Akkorde als wohlklingend, bei welchen die Frequenzen der einzelnen Töne solche ganzen Zahlenverhältnisse bilden. Z.B. besteht ein Dur-Akkord aus Tönen mit dem Frequenzverhältnis 3:4:5, 4:5:6 oder 5:6:8. Bei einem Moll-Akkord ist das Verhältnis 10:12:15, 12:15:20 oder 15:20:24.

Wir machen Wellen

Eine Welle ist sozusagen eine Schwingung, die sich in Raum und Zeit fortbewegt. Der momentane Zustand der Welle ist also sowohl von dem Ort abhängig, an dem man sie beobachtet, wie auch vom Zeitpunkt. Überlagerungen mehrerer Wellen unterliegen ähnlichen Gesetzmässigkeiten wie die oben betrachteten Lissajous-Figuren.
Meistens geht eine Welle von einem bestimmten Punkt aus und breitet sich von da her kreisförmig (bzw. im Raum kugelförmig) nach allen Seiten gleichmässig aus – z.B. wenn man einen Stein ins Wasser wirft. Im folgenden Bild wurde eine Überlagerung dreier solcher Wellen mathematisch nachkonstruiert. (Der Ursprung einer der drei Wellen liegt so weit ausserhalb des Bildes, dass sie als fast geradlinige senkrechte Streifen erscheint.)

Hier noch eine andere Überlagerung dreier Wellen, in grösserem Massstab:

Zum Schluss sehen wir uns das Ganze noch „echt“, also als dreidimensionale Animation an. Auch die untenstehenden Computergraphiken bestehen aus Überlagerungen von lediglich drei Wellen. Auf diese Weise kann man mathematisch Wasserwellen „nachmodellieren“. (Profis werden die Farben und Texturen sicher noch „echter“ herausarbeiten können als ich.) Auch die echten Wellen sind also mathematisch geordnete Gebilde.

Nur nicht seekrank werden …

Mathematische Kunstausstellung, Teil 9 – Funktionen als Abbildungen

24. August 2012

In der Mathematik werden Funktionen auch „Abbildungen“ genannt: Jeder Ausgangswert entspricht einem Punkt, der auf einen anderen Punkt (den Funktionswert) abgebildet wird. Alle Ausgangswerte zusammen bilden das Urbild, alle Funktionswerte zusammen das Abbild.
Was liegt also näher, als die Funktionen komplexer Zahlen als ebensolche „Abbildungen“ eines wirklichen Bildes darzustellen?

Nehmen wir als „Versuchskaninchen“ dieses Meerschweinchen, und passen wir es in ein Koordinatensystem ein, damit wir nicht nur die „Abbildung“ dieses Bildes, sondern der ganzen Zahlenebene mitverfolgen können:

Die einfachsten Abbildungen sind die Translation (Verschiebung), die Drehung, und die Streckung (Vergrösserung). Eine Verschiebung kommt mathematisch so zustande, dass zu jedem Punkt des Urbildes derselbe Wert addiert wird. Dann verschiebt sich das ganze Bild um diese Distanz. Eine Streckung entspricht einer Multiplikation: Werden z.B. die Koordinaten jedes Punktes mit 3 multipliziert, dann wird das Bild dreifach vergrössert. Bei einer Drehung wird der Winkel jedes Punktes (bezüglich des Nullpunktes) verändert. Ich glaube, es ist nicht nötig, diese einfachen Abbildungen bildlich darzustellen.

Was geschieht aber, wenn wir jeden Punkt des Urbildes mit einer komplexen Zahl multiplizieren? Unten z.B. die Funktion y = x · (1 + 0.4i). Wir sehen, dass das Ergebnis eine „Drehstreckung“ ist: Das Bild wird gedreht und gleichzeitig leicht vergrössert.

Ein weiteres Beispiel dieser Art: y = x · (1 + 1.4i) :

Versuchen wir jetzt etwas anderes und erheben wir unser Meerschweinchen ins Quadrat (y = x2). Das gibt bereits eine nicht mehr so ganz einfache Abbildung:

Und wenn wir einen gebrochenen Exponenten gebrauchen, sagen wir y = x1.6 ? – Das gibt eine ähnliche Abbildung, nur scheint es hier, sie sei auf halbem Wege stehengeblieben:

Nehmen wir schliesslich noch den Kehrwert (y = 1/x). Das gibt eine ganz interessante Abbildung, bei welcher der Nullpunkt in unendliche Ferne rückt und der „unendlich ferne Punkt“ auf den Nullpunkt abgebildet wird. Die Koordinatenlinien werden dabei zu Kreisen, die alle durch den Nullpunkt gehen; und unser armes Meerschweinchen strebt mit seinem Hinterteil gegen die Unendlichkeit!

Geordnetes Punktemischen

Nun noch eine Abbildung, die nichts mit den komplexen Zahlen zu tun hat. (Oder vielleicht doch? In der Mathematik gibt es so viele überraschende Zusammenhänge, dass man sich nicht wundern sollte, wenn letztendlich fast alles mit allem irgendwie zusammenhängt …)

Nehmen wir wieder unser Meerschweinchen, das uns bereits so gute Dienste geleistet hat. Das digitalisierte Bild besteht aus lauter quadratischen Bildpunkten. Der Computer speichert diese nicht als zweidimensionales Bild, sondern als eine lange Kette von Daten hintereinander. Nach dem letzten Punkt der obersten Reihe kommt einfach der erste Punkt der nächsten Reihe, und so weiter. Der Computer braucht dann nur noch die zusätzliche Information, wie lang eine Reihe ist, um das Bild richtig darstellen zu können.

Lassen wir nun den Computer diese „Datenkette“ mischen, und zwar auf folgende Weise: Die Position jedes Punktes wird mit einer konstanten Zahl multipliziert, sagen wir 97. Wir verschieben also Punkt 1 auf Platz 97, Punkt 2 auf Platz 194, Punkt 3 auf Platz 291, und so weiter. Natürlich werden wir damit irgendwann einmal über das Ende des ursprünglichen Bildes hinausschiessen. Wenn das passieren sollte, dann springen wir einfach wieder zum Anfang des Bildes und zählen von da weiter. Mathematisch gesprochen, kommt jeder Punkt a auf den Platz „97a modulo die Gesamtzahl aller Bildpunkte“. (Offenbar hat diese Abbildung also mit der modularen Arithmetik zu tun, die wir in Teil 2 und Teil 3 behandelten.)
Mathematiker werden schnell herausfinden, dass die Sache einen kleinen Haken hat: Wenn mein konstanter Multiplikator zufällig einen gemeinsamen Teiler hat mit der Gesamtzahl der Bildpunkte, dann werden in der Abbildung einige Punkte doppelt belegt, während andere gar nicht vorkommen. Deshalb wählen wir als Multiplikator am besten eine Primzahl (und eine, die nicht gerade ein Faktor der Bildweite oder -höhe ist).

Auf das Ergebnis dieser Abbildung wenden wir nun wiederum dieselbe Abbildung an, und so weiter. Hier sehen wir die ersten sechs Schritte dieser Transformation:

Man könnte annehmen, dass das Bild bei fortgesetzter Transformation immer chaotischer wird. Dem ist aber nicht so (weshalb ich diese Transformation „geordnetes Mischen“ nenne). Im Gegenteil, an gewissen Stellen erscheinen immer wieder verkleinerte, etwas verzerrte Abbilder des ursprünglichen Bildes. Nach einer ganz bestimmten Anzahl von Schritten ginge sogar wieder unser ursprüngliches Meerschweinchen heil und unversehrt aus dieser Prozedur hervor! (Man kann mathematisch beweisen, dass genau dann, wenn Punkt 1 wieder auf Punkt 1 abgebildet wird, auch alle übrigen Punkte wieder an ihrem ursprünglichen Platz sind. Es sind dazu also maximal so viele Schritte nötig, wie das Bild Punkte enthält. Das sind bei unserem Bild genau 19398.)

Manchmal braucht man aber viel weniger Schritte, um wieder das ursprüngliche Bild zu erhalten. Hier z.B. eine solche „Mischung“, die bereits im siebten Schritt zur Ausgangsstellung zurückkehrt. (Der Multiplikator ist hier 6, und die Gesamtzahl der Bildpunkte ist 66-1):

Hier noch einige weitere Bilder, die beim „Mischen“ des Meerschweinchens entstanden sind:


(Schritt 8)

(Schritt 13)

(Schritt 30)

(Schritt 52)

(Schritt 65)

(Schritt 79)

(Schritt 91)

(Schritt 98)

Mathematische Kunstausstellung, Teil 8 – Kreativität und komplexe Zahlen

9. August 2012

Kann Mathematik kreativ und originell sein?

In der letzten Folge sind wir bei einer etwas philosophischen Frage stehengeblieben. Wir haben inzwischen viele „mathematische Kunstwerke“ vorgestellt und bewundert. Aber in der Mathematik funktioniert alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen, während Kunst viel zu tun hat mit Kreativität und Originalität. Gibt es in der Mathematik keinen Raum für Originalität?

Nun haben aber die Mathematiker aller Zeiten immer wieder neue mathematische Objekte erfunden. Persönlich finde ich z.B. die imaginären und komplexen Zahlen eine sehr originelle Erfindung: Nach den „normalen“ Rechenregeln ist es einfach unmöglich, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Bis irgendwann im 16.Jahrhundert ein Mathematiker (wahrscheinlich Girolamo Cardano) auf die Idee kam, die Wurzel aus -1 einfach zu „erfinden“ (heute wird sie „i“ genannt), und dann durch logische Schlüsse die Rechenregeln herauszufinden, die auf diese „erfundene Zahl“ anzuwenden wären. Man kann sich jetzt darüber streiten, ob diese Zahlen wirklich existieren, oder ob sie nur „ausgedacht“ (eben „imaginär“) sind. Jedenfalls kann man auf gesetzmässige Weise mit ihnen rechnen, und in gewissen Bereichen der Mathematik und der Physik sind sie sogar unentbehrlich.

Damit ist ein tiefgründigeres Thema angeschnitten: Wie kommt es, dass die „originelle“ (und damals von manchen für abwegig gehaltene) Erfindung eines Mathematikers des 16.Jahrhunderts plötzlich in der Quantenmechanik des 20.Jahrhunderts eine praktische Anwendung und Bestätigung findet? Wenn die innere Struktur von Atomen nur mit Hilfe von „imaginären“ Zahlen mathematisch beschrieben werden kann, dann sind diese Zahlen doch nicht so „imaginär“, sondern existieren in der wirklichen Welt? Aber wie konnte dann Cardano sie „erfinden“, wo er doch von Atomen und Elementarteilchen keine Ahnung hatte? Warum stimmt seine rein gedankliche Erfindung exakt überein mit den Eigenschaften physikalischer Phänomene, die erst vierhundert Jahre später entdeckt wurden?

Eugene Wigner (Physik-Nobelpreisträger 1963 und Mitbegründer der Quantenmechanik) schreibt über dieses Phänomen in einem Artikel mit dem Titel: „Die unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“ (1960):

„Man kann sich kaum des Eindrucks erwehren, dass wir hier einem Wunder gegenüberstehen, von ebenso auffallender Natur wie das Wunder, dass der menschliche Geist tausend Argumente miteinander verknüpfen kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln; oder wie die beiden Wunder der Existenz von Naturgesetzen, und der Fähigkeit des menschlichen Geistes, sie herauszufinden. Was von den mir bekannten Zitaten einer Erklärung für das Auftauchen mathematischer Konzepte in der Physik am nächsten kommt, ist Einsteins Ausspruch, dass wir nur jene physikalischen Theorien zu akzeptieren bereit sind, die schön sind.“
– Und im Schlussabschnitt:
„Das Wunder, dass die Sprache der Mathematik zur Formulierung physikalischer Gesetze angemessen ist, ist eine wunderbare Gabe, die wir weder verstehen noch verdienen.“

Offenbar war Wigner mit den christlichen Erklärungen dieses Wunders nicht vertraut. So schreibt z.B. Francis Schaeffer (in „Wie können wir denn leben?“):

„Der Beginn der modernen Naturwissenschaft stand nicht in Konflikt mit der Lehre der Bibel; ganz im Gegenteil, an einem kritischen Punkt beruhte die wissenschaftliche Revolution auf der Lehre der Bibel. Sowohl Alfred North Whitehead (1861-1947) als auch J.Robert Oppenheimer (1904-1967) haben darauf hingewiesen, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild heraus entstanden ist. (…) Soweit ich weiss, waren beide keine Christen und hätten sich selbst nicht als Christen bezeichnet; jedoch erkannten beide ohne Einschränkung, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild geboren wurde.
(…) In den Harvard University Lowell Lectures mit dem Titel Science and the Modern World (1925) („Wissenschaft und die moderne Welt“) erklärte Whitehead, das Christentum sei die Mutter der Wissenschaft wegen „der mittelalterlichen Lehre von der Rationalität Gottes“. Whitehead sprach auch von Vertrauen auf die „verständliche Rationalität eines persönlichen Wesens“. Er erklärte in diesen Vorlesungen, dass die frühen Naturwissenschaftler wegen der Rationalität Gottes einen „unumstösslichen Glauben daran besassen, dass jedes einzelne Ereignis zu den vorausgegangenen Ereignissen in einer Weise in Beziehung gesetzt werden kann, in der allgemeine Prinzipien zum Ausdruck kommen. Ohne diesen Glauben wären die unglaublichen Anstrengungen der Wissenschaftler ohne Hoffnung gewesen.“ Mit anderen Worten: Weil die frühen Naturwissenschaftler glaubten, die Welt sei von einem vernünftigen Gott geschaffen worden, überraschte es sie nicht, dass es menschenmöglich war, auf der Grundlage der Vernunft wahre Dinge über die Natur und das Universum herauszufinden.“

Und James Nickel schreibt in „Fundamente der Mathematik“:

„Es ist zu erwarten, dass die humanistischen Mathematiker die Rolle der Mathematik in Gottes Plänen nicht verstehen werden. Da sie ihr Leben nicht unter die Herrschaft ihres Schöpfers stellen wollen, ist es ihre Schuld, dass sie blind sind für die Herrlichkeit Gottes, die sich in dem einzigartigen Spiegel der Mathematik widerspiegelt. (…) Damit ihre tägliche praktische Arbeit einen Nutzen hat, müssen die Wissenschafter und angewandten Mathematiker dennoch biblische Voraussetzungen über die physische Welt annehmen, die gegen ihre erklärten Denkvoraussetzungen gehen. (…) Die Wissenschafter müssen mit der objektiven Kohärenz eines Universums – nicht eines Multiversums – rechnen, wenn es so etwas wie echte Wissenschaft geben soll. (…) Der menschliche Geist mit seinen mathematischen Fähigkeiten und die physikalische Welt mit ihrer beobachtbaren mathematischen Ordnung stimmen zusammen, weil sie vom selben Schöpfer geschaffen wurden.“

Nun ist aber Gott die kreativste Person, die es überhaupt gibt. Wenn er uns also (unter anderem) mit der Fähigkeit geschaffen hat, Mathematik zu treiben, dann sollte es uns nicht verwundern, dass es in der Mathematik tatsächlich viel Raum zu Kreativität und Originalität gibt. Und wahrscheinlich wäre ein geringerer Verstand als der göttliche nicht dazu in der Lage gewesen, Exaktheit und strenge Regelmässigkeit auf diese Weise mit Kreativität und Originalität zu verbinden, wie es in der Mathematik geschieht.


Sehen wir uns nun eine andere Art an, komplexe Funktionen darzustellen. Wir „halten“ z.B. die reelle Komponente der Ausgangszahl „fest“ bei einem bestimmten Wert, sagen wir 3. Es gibt unendlich viele komplexe Zahlen mit einer reellen Komponente von 3: 3 + i, 3 + 2i, 3 + 3i, usw. Jede dieser Zahlen hat einen Funktionswert, und wenn wir alle diese Funktionswerte als Punkte zeichnen, erhalten wir eine Kurve in der komplexen Zahlenebene. Dasselbe können wir nun natürlich für andere Werte der reellen Komponente tun. So erhalten wir eine Kurvenschar. Diese können wir z.B. als dreidimensionales Gebilde darstellen, wobei die senkrechte Achse die jeweilige Realkomponente der Ausgangswerte darstellt. Also: Auf der „Höhe Null“ zeichnen wir die Kurve, die der Realkomponente 0 entspricht; auf „Höhe 1“ die zum Wert 1 gehörige Kurve, usw.

Im folgenden einige Beispiele solcher Graphiken. Die sichtbaren Netzlinien entsprechen dabei dem Koordinatensystem der ursprünglichen komplexen Zahlenebene (d.h. der Ausgangswerte).

Hier die Cosinusfunktion der komplexen Zahlen (y = cos(x)):

… und hier nochmals dieselbe Cosinusfunktion, aber diesmal entspricht die senkrechte Achse einem Fortschreiten entlang der Imaginärkomponenten der Ausgangswerte:

Hier die Funktion y = (2+i) x :

… und nochmals dieselbe Funktion, aber aus der „Perspektive der Imaginärkomponente“ gesehen:

Mathematische Kunstausstellung, Teil 7 – Noch mehr Funktionen und Abbildungen

4. August 2012

Komplexe Funktionen

In der 5.Folge haben wir uns bereits ein wenig mit Funktionsgraphiken befasst. Ich möchte nochmals auf dieses Thema zurückkommen.

Interessantere Funktionsgraphiken entstehen, wenn wir die Funktionen von komplexen Zahlen bildlich darstellen. Nur ist es hier nicht so selbstverständlich, wie eine solche Graphik aussehen soll. Der „wirkliche“ Graph einer komplexen Funktion ist nämlich vierdimensional!
(Man kann das schnell verstehen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die reellen Zahlen auf einer Geraden dargestellt werden können. Der Graph einer reellen Funktion ist deshalb zweidimensional, wobei normalerweise die Anfangszahl auf der waagerechten x-Achse und der Funktionswert auf der senkrechten y-Achse dargestellt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl benötigt jedoch zwei Dimensionen. Somit bräuchten wir für die Darstellung sowohl der Anfangszahl wie auch des Funktionswertes je zwei Achsen, insgesamt also vier.)

Nun können wir leider keine vierdimensionalen Graphiken zeichnen. Es gibt aber andere Arten, wie komplexe Funktionen dargestellt werden können. Eine gebräuchliche Art besteht darin, die jeweiligen Funktionswerte auf der komplexen Zahlenebene durch Farben darzustellen: Die Helligkeit der Farbe entspricht dem Absolutwert der Zahl (Null = weiss, unendlich = schwarz), und der Farbton entspricht dem „Winkel“ relativ zum Nullpunkt (d.h. dem Argument in Polarkoordinaten). Die unveränderte komplexe Zahlenebene (also die triviale Funktion y = x) würde nach diesem Vorgehen wie folgt eingefärbt:

Ein Vorteil dieser Methode (für den Mathematiker) besteht darin, dass die Nullstellen einer Funktion in einer solchen Graphik sofort als weisse Punkte erkennbar sind.
Sehen wir uns also einige solche Graphiken an.

Hier die quadratische Funktion y = 3x2 + 2x + 2i, mit zwei Nullstellen:

Eine Funktion dritten Grades hat drei Nullstellen, wie z.B. die folgende (y = 2x3 + 2x2 + x + 1):

Und eine Funktion vierten Grades hat vier Nullstellen, wie in den folgenden drei Beispielen:

y = x4 + 2x3 + 3x2 – 1 – i :

y = 3x4 + 5x3 + 3x2 + 4x + 1 + 3i :

y = x4 + 2x3 + 1 :

Sehen wir uns nun einige Potenzfunktionen an. Im folgenden die gewöhnliche quadratische Funktion y = x2 :

Fügen wir zum Exponenten noch einen kleinen Imaginärteil hinzu, dann ergibt sich eine kleine „Störung“ im Bild:

y = x2 + 0.1i:

Auch diese „Störung“ hat aber System und Schönheit. Das folgende Bild zeigt, dass die Graphik in diesem Fall die Form einer logarithmischen Spirale annimmt (wie sie in der Natur z.B. in Schneckenhäuschen vorkommt):

y = x3.3 + i:

Noch zwei weitere Potenzfunktionen:

y = x -1.5 – 0.3i:

y = x -0.3i:

Auch die Exponentialfunktion ergibt interessante Graphiken:

y = (1 + i) x:

y = (3 – 3i) x:

Zu guter Letzt noch die Sinusfunktion für komplexe Zahlen (y = sin(x)):

Offenbar sind alle diese „Kunstwerke“ durch die mathematischen Gesetze bereits vorgegeben; man muss nur eine Art und Weise finden, sie sichtbar zu machen. Man könnte sich hier fragen, ob es in der Mathematik auch Raum gibt für Originalität. Wenn alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen funktioniert, wo bleibt da die Kreativität? – Diese Frage möchte ich mir aber für die nächste Folge aufsparen.

Mathematische Kunstausstellung (Teil 6): Iterative Funktionen, chaotische Funktionen und Fraktale

6. Juli 2012

Es macht nichts, wenn Sie mit diesem Titel nichts anfangen können. Sie können sich trotzdem an den Bildern freuen. Es sind dieses Mal einige recht interessante darunter! – Einige der Bilder in diesem Artikel sind mehrere Megabytes gross; es kann deshalb einige Zeit dauern, bis sie erscheinen. In der Zwischenzeit können Sie die nachstehende Einleitung durchlesen. Sie dient zum besseren Verständnis der Dinge, die weiter unten auf den Leser warten.

Einführung

Was ist denn das für eine seltsame Fieberkurve?

Es handelt sich um die Darstellung der iterativen Funktion yn+1 = yn2 -1.6. „Iterativ“ bedeutet, dass die Funktionswerte nicht direkt errechnet werden, sondern dass jeder Funktionswert aus dem jeweils vorangehenden abgeleitet werden muss. Der Anfangswert der Funktion ist vorgegeben; im obigen Beispiel beträgt er 1.3. Somit beträgt der nächste Wert (1.3)2 – 1.6 = 0.09. Um nun zum nächsten Wert zu gelangen, muss ich 0.09 als neue Ausgangszahl nehmen: (0.09)2 – 1.6 = -1.5919. Darauf folgt (-1.5919)2 – 1.6 = 0.93414561. (Wir erinnern uns, dass eine negative Zahl im Quadrat wieder eine positive Zahl ergibt.) So geht es weiter, und wir sehen, dass die Funktionswerte ständig in einem Bereich zwischen ca. -1.6 und 1 hin- und herschwanken, aber ohne erkennbare Regelmässigkeit. Diese Funktion verhält sich „chaotisch“, d.h. ihr Verhalten an einem bestimmten Punkt ist nicht voraussagbar, obwohl sie nach einer klaren und einfachen Regel konstruiert ist.

Das ist ziemlich überraschend. Andere ähnliche Funktionen dieser Art verlaufen keineswegs chaotisch. Würden wir z.B. zum Quadrat jeweils 1.6 dazuzählen statt wegzählen, dann würde die Kurve einfach immer steiler nach oben verlaufen. Das ist ziemlich langweilig, und ich habe deshalb davon auch kein Bild gemacht.

Noch überraschender ist, dass selbst geringfügige Änderungen in der Anfangszahl oder im Funktionsparameter (der konstanten Zahl, die zu- bzw. weggezählt wird) den weiteren Kurvenverlauf völlig verändern. Hier sehen wir z.B. dieselbe Funktion, aber mit der Anfangszahl 1.299998 (also nur zwei Millionstel weniger als im obigen Beispiel):

Man stellt fest, dass ca. die ersten 30 Schritte sich ähneln, aber danach wird das Bild völlig anders.

Wie schon erwähnt, ergeben nicht alle Parameter einen chaotischen Funktionsverlauf. Im untenstehenden Bild z.B. beginnen wir wieder mit 1.3, nehmen aber als Parameter -0.7, d.h. die Funktion heisst hier yn+1 = yn2 – 0.7. Wir sehen, dass sich diese Funktion nach anfänglichem Schwanken auf einen bestimmten Grenzwert einpendelt:

Noch ein anderes Beispiel: yn+1 = yn2 – 2.1, auch wieder ausgehend von der Zahl 1.3. Hier werden die Schwankungen allmählich immer grösser, bis sie schliesslich den Bereich des Pendelns verlassen und die Kurve nach oben verschwindet:

Es gibt hier eine ganz exakte Grenze zwischen Ausgangswerten, die eine „pendelnde“ oder konvergierende Funktion erzeugen, und Ausgangswerten, die zu einer ständig steigenden Funktion führen. (Wer etwas von Mathematik versteht, kann ausrechnen, wo diese Grenze genau liegt.)

Wir nehmen als Beispiel wieder unsere anfängliche Funktion mit dem Parameter -1.6, und zwei verschiedene, aber nahe beieinanderliegende Ausgangszahlen. Hier ist die Ausgangszahl -1.86014705 …:

… und hier -1.86014706, also gerade ein Hundertmillionstel weniger:

Mit ein wenig Geduld (oder einem Computer) könnte man jetzt ausrechnen, in welchem Bereich jene Ausgangszahlen und Parameter liegen, deren Funktionen nie nach oben „ausreissen“. Man hätte dann eine Menge (im mathematischen Sinn) von Funktionen, die in diesem Bereich liegen, und man könnte diese Menge graphisch darstellen.

Das ist genau der Gedanke, welcher den „Julia-Mengen“ zugrundeliegt, einem der bekanntesten Fraktale. (Benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia.) Man führt die obige iterative Funktion für verschiedene Anfangswerte und Parameter durch, und kann dann in einem Koordinatensystem den Bereich einfärben, der den „pendelnden“ Funktionen entspricht. Nur dass man diese Operation mit komplexen Zahlen durchführt, dann wird das Ganze noch etwas interessanter. (Komplexe Zahlen müssen mit zwei Komponenten ausgedrückt werden, wie z.B. (3.7 – 4i). Ihre graphische Darstellung erfordert daher eine Zahlenebene, nicht nur eine Zahlengerade.)

Julia-Mengen

Sehen wir uns also einige Kunstwerke an, die von dieser Operation hervorgebracht werden. – Wie wir in den obigen Beispielen sahen, pendelt diese iterative „Quadrier- und Zuzählfunktion“ in ziemlich kleinen Zahlbereichen. Alle untenstehenden Bilder stellen deshalb einen Bereich ungefähr zwischen -1 und 1 dar. Für Kenner gebe ich in Klammern jeweils den Funktionsparameter an, der dem jeweiligen Bild entspricht.

Es gibt kompakte Julia-Mengen wie diese (0.3 + 0.18i) … :

… und langgezogene ausgefranste wie diese (0.43 – 0.2i) … :

… und ganz zerstückelte wie diese (0.44 – 0.18i):

In den letzten beiden Bildern kann man bereits eine interessante Eigenschaft dieser Strukturen erkennen: Sie sind „selbstähnlich“; d.h. die Form der ganzen Menge kehrt jeweils in verkleinerter Form in ihren Einzelteilen wieder. Nehmen wir das noch etwas genauer unter die Lupe. In der folgenden animierten Computergraphik erscheint eine besonders zerstückelte Julia-Menge (0.424 + 0.198i). Wir zoomen auf den Punkt (-0.3205 – 0.114i), bis die Vergrösserung das 4000fache des anfänglichen Bildes beträgt. Selbst bei dieser Vergrösserung erscheinen noch kleinere Details, alle dem grösseren Gesamtbild ähnlich; und würden wir weiter vergrössern, so ginge es bis in die Unendlichkeit so weiter:

Fraktale sind für die Forscher interessant, nicht nur wegen ihrer abenteuerlichen Formen. Sie erlauben es, mathematische Beschreibungen zu finden für Strukturen, die in der Natur vorkommen und zuvor für gänzlich „unmathematisch“ oder eben „chaotisch“ gehalten wurden, wie z.B. Wolken, Berge, Bäume und andere Pflanzen, oder Blumenkohl. Selbst solche Formen sind also nicht einfach „zufällig“, sondern weisen durch ihre mathematische Struktur auf die ordnende Hand des Schöpfers hin.

Selbstähnlichkeit bei der Quinua-Pflanze: Jeder Seitentrieb ist ein verkleinertes Abbild der ganzen Pflanze. Die Seitentriebe produzieren ihrerseits kleinere Seitentriebe, die wiederum die Struktur der ganzen Pflanze aufweisen. Bei grossen Pflanzen bringen diese kleineren Seitentriebe wiederum Unterstrukturen hervor (unten).

In der vorherigen Folge haben wir bereits ein solches Fraktal kennengelernt, nämlich das durch selbstähnliche Interpolation generierte „Gebirge“. Die meisten fraktalen Figuren, die Bekanntheit erlangt haben (z.B. der Kochsche Schneestern, das Sierpinsky-Dreieck, oder der Menger-Schwamm), beruhen auf einer solchen fortgesetzten Interpolation. Interessant ist nun an den Julia-Mengen, dass diese nicht durch ein solches Interpolationsverfahren errechnet werden, aber dennoch eine selbstähnliche Struktur aufweisen. Es ist mir nicht bekannt, ob eine schlüssige mathematische Erklärung dafür gefunden wurde, warum das so ist. (Wahrscheinlich gibt es eine solche Erklärung, aber ich bin ihr noch nicht begegnet.)

– Interessant ist es auch zu beobachten, wie sich die Julia-Menge verhält, wenn man den Parameter ganz allmählich verändert. Das folgende Bild zeigt das gleich auf zwei Arten: Die unterste (rote) Ebene dieser „Wabbeltorte“ ist eine Julia-Menge, deren Parameter sich in einem Abstand von 0.2 zum Nullpunkt befindet. Steigen wir durch die Ebenen auf, so entfernt sich der Parameter immer mehr vom Nullpunkt, bis er sich in der obersten (violett-roten) Ebene in einem Abstand von 0.6 zum Nullpunkt befindet. Diese ganze „Parameter-Menge“ rotieren wir jetzt in einem Kreis um den Nullpunkt; das ist es, was im Lauf der Animation geschieht:

Die folgende Animation zeigt nochmals ein ähnliches Gebilde. Nur verändern sich hier die Parameter im Lauf der Animation nicht; sie stellen immer – von der untersten zur obersten Ebene vorwärtsschreitend – das Intervall von (0.354 + 0.354i) bis (0.534 + 0.534i) dar. Die resultierende Form ähnelt einem (etwas schiefen) Gebirge, und wir fliegen jetzt mitten durch dieses „Julia-Gebirge“:

Hier nochmals ein ähnliches Bild, zwar nicht bewegt, aber dafür grossformatiger (1024×768) als „Wallpaper“ für den Computer. (Es erscheint hier verkleinert, aber mit Rechts-Klick darauf und „Ziel speichern“ kann es in seiner vollen Grösse heruntergeladen werden.)

Zum Schluss wandeln wir die Idee der Julia-Menge noch ein wenig ab: Warum muss die zugrundeliegende Funktion immer quadratisch sein? Wir könnten doch unseren Funktionswert stattdessen jeweils z.B. in die 7. Potenz erheben. Nicht ganz überraschend für Kenner der komplexen Zahlen, entsteht dabei ein siebenstrahliger Stern. In der untenstehenden Animation wird eine dreidimensionale Darstellung, ähnlich wie die obigen, Schicht um Schicht aufgebaut. Sie entspricht einer „Wanderung“ vom Parameter (0.75 + 0.13i) zum Parameter (0.84 + 0.13i). Interessant ist dabei, wie sich die Menge entlang dieses Weges mehrmals in kleine Teile aufteilt und sich dann wieder zusammenfügt:

 

Mathematische Kunstausstellung (Teil 5): Kubische Funktionen, mathematische Landschaften und digitale Bildbearbeitung

29. Juni 2012

Kurvenscharen zweiten und dritten Grades

Es ist wohlbekannt, dass man mathematische Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch als Kurven darstellen kann. So ergibt z.B. die Funktion y = x eine im Winkel von 45º ansteigende Gerade; die Funktion y = x2 ergibt eine nach oben geöffnete Parabel.

Nun kann man eine solche Funktion um einen veränderlichen Parameter erweitern, dann erhält man eine ganze „Familie“ von Funktionen oder Kurven. Statt y = x2 kann ich z.B. schreiben y = ax2, und der Parameter a kann z.B. die Werte von -1 bis 1 durchlaufen. Wenn wir die entstehenden Kurven alle zusammen in einem einzigen Koordinatensystem zeichnen, erhalten wir folgende Kurvenschar:

(Die Seitenlänge jedes weissen Quadrats entspricht einer Einheit. Logischerweise gehen alle diese Kurven durch den Nullpunkt, denn wenn x=0 ist, wird der Funktionswert immer Null, unabhängig vom Parameter.)

Hier noch eine weitere Kurvenschar. Sie stellt die Funktion y = x3 + x2 + bx dar, wobei der Parameter b die Werte von -3 (rote Kurve) bis 4,5 (violette Kurve) durchläuft.

Nun können wir natürlich weitere veränderliche Parameter einführen. Z.B. können wir den quadratischen Ausdruck x2 mit einem Parameter a multiplizieren und diesen im Lauf der Zeit ändern: y = x3 + ax2 + bx Damit erhalten wir ein bewegtes Bild. Im folgenden Bild durchläuft der Parameter b innerhalb jeder Kurvenschar die Werte von 0,9 (rot) bis 3,45 (violett). Im Lauf der Animation durchläuft zudem der Parameter a die Werte von 3,5 bis -3,5. Das sieht dann so aus:

Solche Kurven dritten Grades (bzw. kubische Funktionen) werden oft in Computergraphiken verwendet (z.B. die sogenannten Bezier-Kurven in Zeichnungsprogrammen). In solchen Graphiken ist es oft nötig, zwei gegebene Punkte mit einer möglichst „sanften“ Kurve zu verbinden. Wenn dann auch noch die Richtung bzw. Neigung vorgeschrieben ist, mit welcher die Kurve durch jeden der beiden Punkte verlaufen muss, dann ist eine Kurve dritten Grades die am einfachsten zu berechnende mathematische Kurve, welche diese Bedingungen erfüllt.
Computerprogramme zur Darstellung dreidimensionaler Landschaften z.B. können einige wenige gegebene Höhenpunkte in nahtlos ineinander übergehende Geländeformen verwandeln, indem sie die jeweiligen Höhen der dazwischenliegenden Flächen mittels einer kubischen Funktion interpolieren. So kommt die Mathematik der (digitalen) Kunst zu Hilfe.

Die folgende Animation zeigt diesen Vorgang vereinfacht, d.h. am Beispiel einer zweidimensionalen Kurve:


Wir interpolieren ein Gebirge

Bei einem dreidimensionalen Gelände sieht das so aus: Hier haben wir ein „Gebirge“, dessen Höhe durch 16 (4×4) Punkte definiert ist. Wenn wir keinerlei Interpolation anwenden, ergibt jeder Punkt einfach ein ebenes, quadratisches Plateau. Das sieht natürlich nicht wie ein richtiges Gebirge aus:

Das folgende Bild wurde aus denselben 16 Punkten konstruiert, aber diesmal werden die dazwischenliegenden Höhen linear interpoliert. (Genauer wird das bilineare Interpolation genannt, weil nach zwei Richtungen hin – Breite und Länge – interpoliert wird.) Das ergibt geradlinige Abhänge und pyramidenförmige Bergspitzen:

Im folgenden Bild nun wurden die Zwischenhöhen mit Hilfe einer kubischen Funktion errechnet (bikubische Interpolation); also wie im vorherigen zweidimensionalen Beispiel. Das ergibt gerundete Bergkuppen, die auf „natürlichere“ Weise ineinander übergehen. Um diese ganze Landschaft zu definieren, werden immer noch lediglich die ursprünglichen 16 Punkte gebraucht:


Anwendung in der digitalen Bildbearbeitung

Genau dieselben Algorithmen kommen auch z.B. bei der digitalen Vergrösserung von Fotografien zur Anwendung. Anstelle von Höhenstufen werden einfach die Farbwerte interpoliert. Der Computer „weiss“ ja gar nicht, ob die errechneten Zahlen nun Höhenangaben oder Farbabstufungen bedeuten; er rechnet einfach mit den „nackten“ Zahlen.

Dieses Bild von 28×28 Pixeln wird im folgenden 16-fach vergrössert.

So kommt es heraus, wenn man überhaupt keine Interpolation vornimmt: Das kleine Bild besteht tatsächlich aus genau denselben Farbquadraten wie das folgende grosse Bild. Es wird vom Auge nur nicht auf dieselbe Weise wahrgenommen, weil unser Auge im kleinen Bild die einzelnen Quadrate nicht mehr unterscheiden kann, im vergrösserten Bild aber sehr wohl. (Betrachten Sie das untenstehende Bild aus etwa fünf Metern Entfernung, und Sie werden sehen, wie Ihr Auge von selbst die Interpolation vornimmt.)

Im nächsten Bild wurde eine bilineare Interpolation vorgenommen. Das sieht schon viel besser aus, aber es erscheinen immer noch störende rechtwinklige Striche:

Und nun dieselbe Vergrösserung mit der bikubischen Interpolation. Die Farbübergänge sehen hier am besten aus:


Eine Fraktal-Landschaft

Zu guter Letzt verlassen wir die kubischen Funktionen und springen schnell zu einem anderen Thema. Wir wenden auf unsere künstliche Gebirgslandschaft eine ganz andere Art der Interpolation an, die noch viel eher den in der Natur vorkommenden Formen entspricht:

So sieht das Gebirge schon fast „echt“ aus. Es handelt sich hier um eine fraktale oder selbstähnliche Interpolation. Diese baut auf der bilinearen Interpolation auf, fügt aber in zunehmend kleineren Schritten jeweils einen Korrekturwert hinzu, welcher einer verkleinerten Version des gesamten Gebirges entspricht. Das geht so: Die ursprünglich gegebenen 16 Punkte teilen den Grundriss der gesamten Landschaft in 16 Quadrate auf. In jedem dieser Quadrate werden zunächst je 16 „Unterpunkte“ durch bilineare Interpolation bestimmt. Zusätzlich wird aber zur Höhe jedes dieser Punkte ein Wert addiert, der der Höhe des entsprechenden „Haupt-Punktes“ im Gesamtgrundriss entspricht – nur geteilt durch 4, weil ja die Unterquadrate eine viermal kleinere Seitenlänge haben. Also wird z.B. zu allen „Unterpunkten“, die in ihrem Unterquadrat die Position Nr.12 einnehmen, ein Viertel der Höhe von „Hauptpunkt Nr.12“ im grossen Quadrat dazugezählt. – Diese Unterquadrate werden dann auf dieselbe Weise wiederum in Unterquadrate aufgeteilt, wobei der Korrekturwert dieses Mal durch 16 geteilt wird, weil wir jetzt Quadrate mit einer 16mal kleineren Seitenlänge haben. Und so weiter, so oft man will.
Das Ergebnis ist eine „selbstähnliche“ Landschaft, in welcher die Gesamtstruktur des Gebirges in jedem seiner Teile verkleinert wieder erscheint. Diese Erscheinung kann tatsächlich in echten Gebirgszügen beobachtet werden, sowie in anderen Gebilden der Schöpfung Gottes wie z.B. Wolken oder Bäumen. Auch solche anscheinend ganz unregelmässigen Formen können also mit geordneten mathematischen Strukturen beschrieben werden. Wir werden solchen Strukturen in der nächsten Folge wieder begegnen.
Das Erstaunliche daran ist, dass auch dieses „unregelmässige“ Gebirge durch die ursprünglichen 16 Punkte (und den Interpolations-Algorithmus) eindeutig bestimmt ist. 16 Zahlen und eine mathematische Formel beschreiben die Form dieses Gebildes vollständig.

Noch ein weiteres Beispiel dieser Art. Der Standort des Betrachters wurde hier im Inneren der Landschaft gewählt, und die Höhe des Wasserspiegels (sowie auch die Farbgebung) wurde willkürlich festgelegt. Im übrigen wurde aber auch diese Landschaft durch selbstähnliche Interpolation aus nur 16 Punkten errechnet. (Die Originalgrösse dieses Bildes ist 1024×768 Pixel, sodass es als Desktop-Hintergrundbild verwendet werden kann.)