Archive for the ‘Mathematik’ Category

Annähernd gekürzt: Nähere Hinweise zur Zusatzfrage 5

26. Dezember 2019

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dieser Artikel wird also nicht viel Sinn machen, wenn du nicht zuerst die ursprüngliche Problemstellung gelesen hast, und wenn möglich selber versucht hast, die Antworten zu finden. Selber denken macht schlau!
– Falls du dies bereits getan hast, aber zur Zusatzfrage noch Zweifel hast, dann hoffe ich, dass dir die folgenden Hinweise Gewinn bringen.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält zusätzlich einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zur Zusatzfrage (5): Nehmen wir wiederum das erste Beispiel aus dem ursprünglichen Problem. Wir haben festgestellt, dass es darum geht, Vielfache von 10 und von 13 zu finden, die sich um 1 unterscheiden. Das kann man aber auch anders formulieren:
„Finde ein Vielfaches von 10, das beim Teilen durch 13 einen Rest von 1 oder von 12 ergibt.“
Oder auch: „Finde ein Vielfaches von 13, das beim Teilen durch 10 einen Rest von 1 oder von 9 ergibt.“
Überlege: Warum sind diese beiden Formulierungen gleichbedeutend? – Und warum zwei mögliche Reste?

Eine weitere entscheidende Beobachtung ist, dass sich die Vielfachen mit dieser Eigenschaft jeweils in Schritten von 10·13=130 wiederholen. Die erste Lösung mit der verlangten Eigenschaft war 39 und 40; weitere Lösungen wären demnach 169 und 170; 299 und 300; usw. – Überprüfe dies; und überlege, warum das so ist.
(Für das ursprüngliche Problem sind natürlich die weiteren Lösungen nicht sinnvoll, weil dadurch der Bruch „erweitert“ statt „gekürzt“ würde. Aber um die Antwort auf die Zusatzfrage zu verstehen, ist es hilfreich zu sehen, dass sich diese Lösungen periodisch wiederholen.)

Die Zahl 130 hat also eine besondere Bedeutung für die Lösungen des Problems, im Fall des Bruchs 10/13. Kannst du damit den Zusammenhang zwischen den beiden „besten“ Näherungen finden?
Wenn nicht, dann noch ein letzter Hinweis: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 130, und zeichne darauf die Vielfachen von 10 und von 13 ein, die den Lösungen entsprechen. Du wirst eine interessante Symmetrie feststellen. Beschreibe diese Symmetrie mathematisch, und verallgemeinere sie für andere Zahlen. Wenn du zeigen kannst, dass diese Symmetrie für alle Probleme dieser Art gilt, dann hast du damit Stephans Behauptung bewiesen. Und natürlich kennst du dann auch sein „ganz einfaches“ Verfahren, die zweite Näherung zu finden.


Weitere Anmerkungen für Eltern und Lehrer:

Manche mathematischen Forschungen sind wie eine Wundertüte: Sie beginnen mit einer anscheinend ganz einfachen Fragestellung; aber dann stellt man unerwarteterweise fest, dass noch andere und fortgeschrittenere Dinge darinstecken. Das ist auch hier der Fall. Wir begannen mit einem relativ einfachen Problem, das lediglich Kenntnisse des Bruchrechnens verlangt. Aus dieser Perspektive dürften manche Elfjährige bereits in der Lage sein, erste Antworten auf die ersten beiden Fragen (und evtl. Frage 3) zu finden. Aber in den näheren Hinweisen zu jenen Fragen haben wir bereits gesehen, dass eine vollständige Erklärung der gemachten Beobachtungen zu weiteren Themen führt (die wir Elfjährigen normalerweise noch nicht zumuten sollten!). So könnte diese Forschungsarbeit für fortgeschrittenere Schüler u.a. als Sprungbrett dienen zur Einführung von Themen wie: Modulare Kongruenz und modulare Arithmetik; diophantische Gleichungen; Eigenschaften von teilerfremden Zahlen (Chinesischer Restsatz); usw. (Natürlich sind hierzu zumindest elementare Algebrakenntnisse Voraussetzung.)

Wir sehen hier auch, dass Schüler selbst beim Mathematiklernen nicht durchgängig nach Alters- bzw. Leistungsgruppen getrennt zu werden brauchen. Bei einer Aufgabe wie dieser können durchaus „Anfänger“ und „Fortgeschrittene“ zusammenarbeiten. Jeder hat die Möglichkeit, Entdeckungen zu machen, die seinem Verständnis gemäss sind. Und „Anfänger“ können sich an der ganz einfachen Entdeckung, dass Brüche „annähernd gleich“ sein können, ebenso freuen wie „Fortgeschrittene“ an der Entdeckung eines Beweises für ein zahlentheoretisches Gesetz.

Nähere Hinweise und Zusatzfrage zur Forschungsaufgabe: Annähernd gekürzt

7. November 2019

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Frage 1 sollte keine Hinweise benötigen; das ist eine einfache Bruchrechnungsaufgabe.

Zu Frage 2: Dies ist natürlich die Hauptfrage!
Ich gehe davon aus, dass du selber schon verschiedene annähernde Kürzungen gefunden hast, bevor du diese Hinweise zu Rate ziehst. (Andernfalls ist entweder die Aufgabe zu schwierig für dich, oder du hast noch nicht ernstlich mit Forschen angefangen.) Wenden wir uns daher zuerst dem zweiten Teil der Frage zu, mit deinen annähernden Kürzungen vor Augen:
Einerseits ist eine annähernde Kürzung "gut", wenn sie einen möglichst kleinen Fehler aufweist. Andererseits aber sollten Zähler und Nenner des neuen Bruchs möglichst klein sein. Du wirst festgestellt haben, dass da, wo es mehrere Möglichkeiten gibt, oft eine von ihnen den kleinsten Fehler aufweist, aber eine andere den kleinsten Zähler und Nenner hat. Um das Beispiel von Susi und Stephan zu nehmen: 10/13 ist auch annähernd 7/9. Bei dieser zweiten Näherung ist der Fehler kleiner (rechne!), aber Zähler und Nenner sind grösser als bei 3/4. Man könnte also diese beiden Näherungen als "gleich gut" bezeichnen.
Vergleichen wir damit die Näherung 4/5. Zähler und Nenner sind grösser als bei 3/4; und auch der Fehler ist grösser. Diese Näherung muss also als weniger gut bezeichnet werden als 3/4 und 7/9.
Wenn wir beide Kriterien zugleich berücksichtigen wollen, könnten wir die "Unvollkommenheit" einer Annäherung definieren als den Fehler multipliziert mit dem Nenner der Näherung. (Das ist eine ziemlich willkürliche Definition. Es ist aber praktischer, zum Multiplizieren den Nenner zu nehmen und nicht den Zähler. Überlege, warum.) Die besten Näherungen wären dann jene mit der geringsten "Unvollkommenheit". Im obigen Beispiel wirst du feststellen, dass 3/4 und 7/9 beide eine Unvollkommenheit von 1/13 haben; während 4/5 eine Unvollkommenheit von 2/13 hat. (Prüfe es nach!)

Nun zum ersten Teil der Frage: Wenn du jeweils die Fehler der "besten" Näherungen ausgerechnet hast, dann solltest du bereits die entscheidende Eigenschaft gefunden haben, die diese auszeichnet. Diese sollte dir helfen, auf relativ einfache Weise diese besten Näherungen zu finden. (Es gibt aber auch so keine ganz direkte Operation dafür!)
– Hast du diese Eigenschaft noch nicht gefunden? Dann pass auf, was beim Ausrechnen des Fehlers passiert; also der Differenz zwischen dem ursprünglichen Bruch und der Näherung:
10/133/4  =  10·4/13·413·3/13·4  =  1/52.
Der Fehler wird klein, weil die Differenz zwischen 10·4 und 13·3 genau 1 beträgt. Es geht also darum, Vielfache von 10 bzw. 13 zu finden, die sich um genau 1 unterscheiden.
Eine andere Frage ist nun, wie man solche Vielfache findet. Man kann es einfach ausprobieren, indem man die Folgen der Vielfachen von Zähler und Nenner miteinander vergleicht. Aber vielleicht kann man die Suche effizienter durchführen? Hier kannst du selber weiter forschen. Wir gelangen da in Bereiche der Zahlentheorie, die im normalen Schulunterricht selten zur Sprache kommen. (Für Neugierige: Das Thema hat damit zu tun, wie man den modularen Kehrwert einer Zahl findet.)

Zu Frage 3: Du weisst jetzt, was für Eigenschaften eine "beste" annähernde Kürzung hat. Was für Bedingungen müssen Zähler und Nenner eines Bruchs erfüllen, damit Zahlen mit diesen Eigenschaften überhaupt existieren? – Und wenn solche nicht existieren: Was können wir dann mit dem Bruch machen, anstelle einer "annähernden" Kürzung?
(Auch hier kommen wir wieder auf eine interessante Eigenschaft aus der Zahlentheorie!)

Zu Frage 4: Hier kannst du natürlich unbeschränkt weiterforschen und vom Hundertsten ins Tausendste kommen, bzw. von den Hundertsteln in die Tausendstel … Übe dich in der Kunst, interessante Fragen zu stellen!
Hier nur ein Beispiel, was man noch herausfinden könnte. Stephan, der Experte im annähernden Kürzen, behauptet: "Wenn man zu einem Bruch eine ‚bestmögliche‘ annähernde Kürzung finden kann, dann gibt es immer eine zweite, die ebenso gut ist (nach dem oben definierten Kriterium der ‚Unvollkommenheit‘). Und diese kann man dann auf ganz einfache Weise finden."

Dazu nun die Zusatz-Frage 5:

Stimmt Stephans Behauptung? Kannst du sie beweisen, oder allenfalls widerlegen? Und welches ist das "ganz einfache" Verfahren, mit dem man die zweite Näherung finden kann?

(Nähere Hinweise zu dieser Frage folgen später…)

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Annähernd gekürzt

19. Oktober 2019

Niveau: Einfach bis mittelschwer (ca.5. bis 9.Schuljahr)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Die Kinder lösen Rechnungsaufgaben. Susi bemerkt beiläufig: “ 10/13 kann man nicht kürzen.“
– „Aber annähernd“, antwortet Stephan.
– „Was meinst du damit?“
– “ 10/13 ist annähernd 3/4.“
– „Mag sein, aber das hilft mir nicht für meine Aufgabe. Wenn es nicht genau richtig ist, dann ist es falsch.“
– „Kommt darauf an“, meint Stephan. „Für viele praktische Zwecke ist eine annähernde Lösung gut genug. Zum Beispiel, kannst du eine 10/13 Tasse Milch einschenken? oder 10/13 von einem Apfel abschneiden? 3/4 ist doch viel praktischer.“
– „Ja, aber wir sind jetzt nicht beim Essen. Für die Schulaufgaben taugt dein annäherndes Kürzen nicht.“
– „Sollte es aber. Ich wäre dafür, im Schulbuch eine Lektion über annäherndes Kürzen einzufügen.“

Lassen wir uns von dieser Diskussion zu einigen mathematischen Entdeckungen anregen. Meines Wissens kommt das annähernde Kürzen immer noch nicht in den Schulbüchern vor. Aber du kannst den Inhalt einer solchen Lektion selber herausfinden. Die folgenden Fragen sollen dir ein paar Anstösse geben dazu:

1) Wie gut ist Stephans Annäherung? D.h. wie gross ist der Fehler?

2) Versuche andere Brüche annähernd zu kürzen; z.B. 10/17 oder 19/29. Findest du ein systematisches Verfahren, um die beste „annähernde Kürzung“ zu finden?
(Wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, dann wirst du feststellen, dass man verschiedener Meinung sein kann darüber, welches die „beste“ ist. Was für Kriterien würdest du anwenden? Begründe, warum.)

3) Was für Bedingungen sollte ein Bruch erfüllen, damit er „annähernd gekürzt“ werden kann?

4) Versuche weitere mathematische Eigenschaften des annähernden Kürzens herauszufinden.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische Anmerkungen:

Forschungsaufgaben haben einige Eigenschaften, die sie von „schulüblichen“ Mathematikaufgaben unterscheiden:

– Die Antwort ist nicht einfach eine Zahl oder ein mathematischer Ausdruck, sondern ein (unter Umständen komplizierter) mathematischer Sachverhalt, der erklärt werden soll. Das kann auf unterschiedliche Arten geschehen. Es gibt also nicht einfach eine „einzige richtige Antwort“. Um einen Vergleich mit Sprachübungen zu machen: Viele Schulbuchaufgaben sind wie Grammatikübungen. Eine Forschungsaufgabe dagegen ist wie ein Aufsatzthema.

– Bei einer Forschungsaufgabe geht es nicht um die Schnelligkeit, sondern um die „Tiefe“ des Denkens. Das mathematische Denken wird auf nachhaltige Weise geübt, weil die Antworten nicht mit einer mechanischen Prozedur gefunden werden können, sondern nur durch eingehende Betrachtung des Themas unter verschiedenen Blickwinkeln.
Forschungsaufgaben sollten deshalb nie unter Zeitdruck gelöst werden müssen. Idealerweise sollte eine Frist von mindestens einer Woche gegeben werden, wobei täglich mindestens eine Stunde zur Arbeit am Thema zur Verfügung stehen sollte. (Bei einfacheren Themen und auf den unteren Schulstufen kann es auch weniger sein.)

Idealerweise kommen noch folgende Aspekte dazu:

– Die Schüler werden herausgefordert und ermutigt, das Thema mit eigenen Fragestellungen zu erweitern. (In der vorliegenden Aufgabe betrifft dies die sehr offen formulierte Frage 4.) Dadurch wird Raum geschaffen für die eigene Kreativität; ein Aspekt, der in der Schulmathematik oft zu kurz kommt.

– Die Aufgabenstellung ist mit einem gewissen „Mysterium“ umgeben. Erst im Lauf des Forschens wird ersichtlich, was das eigentliche (mathematische) Thema der Aufgabe ist. Und/oder das Problem führt unerwarteterweise über das vordergründige Thema hinaus zu einem anderen Gebiet der Mathematik.

– Die Probleme können aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet und mit verschiedenen mathematischen „Werkzeugen“ angegangen werden. Z.B. mit Zahlenbeispielen oder algebraisch; geometrisch oder analytisch; usw.

– Es kann sinnvoll sein, in Kleingruppen von zwei oder drei Schülern zu arbeiten.

Das Erarbeiten einer Forschungsaufgabe erfordert in der Regel mehrere oder alle der folgenden Tätigkeiten:

– Beispiele sammeln und damit „spielen“.
In dieser Phase geht es darum, mit dem Thema vertraut zu werden. In der vorliegenden Aufgabe z.B. werden die Schüler versuchen, verschiedene Brüche „annähernd zu kürzen“, und werden den jeweiligen Fehler ihrer Näherungen ausrechnen. Möglicherweise werden sie auch verschiedene Methoden erfinden und ausprobieren, um auf solche Näherungen zu kommen. Diese Sammlung von Beispielen dient dann als „Rohmaterial“ für die weiteren Schritte.

– Beobachten.
Hier geht es um die Frage: Wie „verhalten sich“ diese Zahlen (bzw. andere mathematische Objekte)? Beim näheren Beobachten der Beispiele können Gemeinsamkeiten und Auffälligkeiten festgestellt werden. Beim vorliegenden Thema könnten Schüler z.B. die Beobachtung machen, dass das „annähernde Kürzen“ besonders einfach ist bei jenen Brüchen, wo der Nenner beinahe ein Vielfaches des Zählers ist.
Die Beobachtungen können zu weiteren Erkenntnissen führen, wenn sie geordnet und systematisiert werden.

– Vermutungen aufstellen; Sachverhalte verallgemeinern.
Die gemachten Beobachtungen sollten nun zu Fragen grundsätzlicherer Art führen, wie z.B: Ist das immer so? Warum ist das so? Usw. Die Schüler sollen ermutigt werden, ihre Vermutungen zu formulieren, auch und gerade dann, wenn sie nicht sicher sind, ob diese richtig sind oder nicht. Das Aufstellen von Vermutungen ist ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur Lösung.
Der nächste Artikel zu dieser Forschungsaufgabe wird einige Hinweise enthalten, wie das konkret bei dieser Aufgabe aussehen könnte.

– Die Vermutungen überprüfen und begründen.
In dieser Phase werden die gemachten Vermutungen „aussortiert“. Eine falsche Vermutung kann oft durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden. Für eine richtige Vermutung kann im besten Fall ein logisch korrekter Beweis gefunden werden. (Ein Beweis ist im Grunde nichts anderes als eine überzeugende Antwort auf die Frage: „Warum?“)

– Schlussfolgerungen formulieren.
Hier geht es darum, die erkannten Eigenschaften und Gesetze geordnet und verständlich zu formulieren, und wenn möglich zu begründen. In den Schlussfolgerungen dürfen aber durchaus auch Vermutungen erwähnt werden, die nicht bewiesen werden konnten, sofern vieles dafür spricht, dass sie richtig sind.
Auf den höheren Stufen darf erwartet werden, dass Schüler ihre Schlussfolgerungen schriftlich formulieren. Bei jüngeren Schülern kann auch eine mündliche Erklärung ausreichend sein.

– Die Fragestellung erweitern.
Oft führt die Antwort auf eine Frage zu neuen, unbeantworteten Fragen. Diese Erweiterungen des Themas können sehr wertvoll sein, sofern die Schüler in der Lage sind, sie zu erforschen. Dann können die vorherigen Phasen für die neuen Fragestellungen nochmals durchlaufen werden. Andernfalls können solche unbeantworteten Fragen auch Schülern einer höheren Stufe als neue Forschungsaufgaben vorgelegt werden.

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 4)

17. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Diese letzte Folge ist ein Anhang zu einer kleinen „mathematischen Entdeckungsreise“, die mit dieser Forschungsaufgabe. anfing. Ich empfehle, mit dem Lesen (und Forschen) dort zu beginnen, um besser zu verstehen, wovon wir hier sprechen.


Probleme, die unterschiedliche Gebiete der Mathematik miteinander verbinden, haben einen besonderen Reiz. Das vorliegende ist von dieser Art. Wir haben mit einer Geometrieaufgabe angefangen, mussten zusätzlich die Trigonometrie beiziehen, und landeten dann bei einer besonderen Abbildung, der Inversion, die man auch analytisch untersuchen kann. In diesem Zusammenhang habe ich in der letzten Folge eine Zusatzfrage gestellt (Frage 4), die in der ursprünglichen Problemstellung nicht vorkam: Beweise (analytisch), dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist. Hier nun einige Hinweise dazu, für jene, die es versucht haben und irgendwo auf dem Weg steckengeblieben sind, oder schon den Einstieg nicht fanden.

Stelle die Situation in einem Koordinatensystem dar. Wähle die praktischsten Werte für O und R. Untersuche die Gleichung eines Kreises, und die Gleichung der Inversion dieses Kreises. Kannst du beweisen, dass die Gleichung der Inversion ebenfalls einen Kreis beschreibt?

Du kannst es sogleich auf deine eigene Art versuchen, oder auch dem folgenden „Rezept“ folgen:

Ich habe O(0;0) und R=1 gewählt. Der Kreis, der das „Urbild“ ist, soll das Zentrum (p;0) haben und einen Radius r. Sein Zentrum liegt also auf der x-Achse.
Wir dürfen diese Einschränkungen vornehmen, ohne dass der Beweis an Allgemeingültigkeit verliert, denn die geometrischen Eigenschaften der Inversion bleiben bei Streckung und Drehung erhalten. Somit können alle anderen Situationen auf die hier gewählte zurückgeführt werden.
Wir definieren ausserdem, dass p und r nicht gleich sind. Denn sonst ginge die Kreislinie durch O, und das ist der Fall, den wir bereits mit den Fragen 1 bis 3 untersucht haben. (Man kann natürlich auch diesen Fall analytisch untersuchen.)

Die Gleichung unseres Kreises lautet also:

(xp)2 + y2 = r2

Wenn wir nun einen Punkt A(x; y) haben, der diese Gleichung erfüllt (also auf unserem Kreis liegt), und wir wenden die Inversion an, was sind dann die Koordinaten A'(x‘; y‘) des Abbilds von A?
Erinnere dich, dass A‘ auf der Verbindungsgeraden AO liegt; und ausserdem gilt: AO·A’O = R2.

Du erhältst dann je einen Ausdruck für x‘ und für y‘; aber diese Ausdrücke enthalten noch die „alten“ Koordinaten x und y. Es geht jetzt also darum, aus diesen beiden Gleichungen x und y zu eliminieren, damit wir die Gleichung des ganzen „invertierten Kreises“ erhalten. Diese Gleichung sollte als Variabeln nur noch x‘ und y‘ enthalten (sowie die Parameter p und r).
D.h. zusammen mit der obigen Gleichung des Urbilds haben wir nun ein System von drei Gleichungen. Wir sollten also daraus zwei Variabeln (x und y) eliminieren können und dann eine einzige Gleichung haben.

Die algebraischen Umformungen während dieses Vorgangs können u.U. sehr kompliziert werden – oder je nachdem auch relativ einfach, wenn du es geschickt anpackst. Hier noch ein paar Tips dazu:

– Sei dir im Klaren darüber, worauf wir hinauswollen. Wir wollen beweisen, dass das Abbild ein Kreis ist. Das ist dann der Fall, wenn wir die Gleichung in die folgende Form bringen können:

(x‚ – a)2 + (y‚ – b)2 = s2

… wobei die Ausdrücke von a, b und s Konstanten sein müssen, d.h. sie dürfen nicht x‘ oder y‘ enthalten.
Wir können übrigens bereits voraussagen, dass b=0. Warum?

– Sowohl die Gleichung des Urbilds, als auch die voraussichtliche Gleichung des Abbilds, sind quadratisch. Daher die Empfehlung: Wenn möglich unterwegs kein unnötiges Wurzelziehen (und auch kein unnötiges Ausmultiplizieren)!

– Statt z.B. nach x und/oder nach y aufzulösen und diese Lösungen einzusetzen, wird die Sache evtl. einfacher, wenn wir direkt gewisse zusammengesetzte Ausdrücke ersetzen, z.B. x2 + y2, oder x/x‘. (Auf diese Weise bin ich auf einen Lösungsweg gekommen, in dem tatsächlich keine einzige Quadratwurzel vorkommt!)

Genug der Hinweise. Ich darf noch verraten, dass die Vermutung richtig ist: das Abbild ist tatsächlich ein Kreis. Aber nun bist du dran!

Du könntest dann zusätzlich untersuchen, was es für Kreise gibt, die auf sich selber abgebildet werden. (Abgesehen vom trivialen Fall des Inversionskreises selber, also des Kreises um O mit Radius R.) Was für Bedingungen müssen solche Kreise erfüllen?

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

11. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Fragen 1 und 2)

5. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 1: Wenn du eine genaue Konstruktion angefertigt hast, dann dürftest du erkannt haben, dass der gesuchte geometrische Ort ein Kreis ist. Bei genauerer Beobachtung liegt die Vermutung nahe, dass die Kreislinie durch O geht. Und aus Symmetriegründen muss das Zentrum dieses Kreises auf der Senkrechten von O auf g liegen.

Diese Senkrechte ist als Symmetrieachse der ganzen Situation eine „privilegierte“ Linie. Bezeichnen wir mit A den Schnittpunkt dieser Senkrechten mit g, und mit M den Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von A aus. Falls der gesuchte g.O. tatsächlich, wie vermutet, ein Kreis ist, dann muss MO sein Durchmesser sein.

Wenn diese Vermutung richtig ist, dann ist eine Konsequenz davon, dass alle anderen Sehnen unserer Konstruktion durch M gehen müssen. Denn bei allen anderen Mittelpunkten Mi bildet OMi mit der betreffenden Sehne einen rechten Winkel. Wenn also Mi zu unserem geometrischen Ort gehört, dann ist dieser rechte Winkel einem Thaleskreis über MO einbeschrieben. Diese Beobachtung weist den Weg zu einem von mehreren möglichen Beweisen:

Führen wir die ganze Konstruktion „rückwärts“ aus:
– Konstruiere eine Sehne, die durch M geht.
– Konstruiere Tangenten in den Endpunkten der neuen Sehne. Bezeichnen wir mit B den Schnittpunkt dieser Tangenten.
– Verbinden wir OB; damit erhalten wir den Mittelpunkt M1 der neuen Sehne.
– Bezeichnen wir mit α den halben Zentrumswinkel über der ersten Sehne, und mit β den halben Zentrumswinkel über der neuen Sehne.

Wenn wir nun beweisen können, dass das Dreieck AOB rechtwinklig ist bei A, dann ist der Beweis vollständig: Dann ist nämlich B ein Punkt von g; und wir haben ja den Punkt M1 so konstruiert, dass er auf einem Kreis mit MO als Durchmesser liegt. Also ist dann dieser Kreis effektiv der g.O. aller Punkte Mi.

Vorderhand der naheliegendste Weg zur Vervollständigung dieses Beweises besteht in der Trigonometrie: Versuche die Längen der verschiedenen vorkommenden Stücke auszudrücken mit Hilfe des Kreisradius R, und trigonometrischer Funktionen der Winkel α bzw. β. Benütze die Dreiecke in der Figur; vorzugsweise die rechtwinkligen. Z.B. können wir mit Hilfe des Dreiecks OTM sehen, dass MT = R·sin α und MO = R·cos α. Noch unbekannte Winkel wirst du, wo möglich, durch α und β ausdrücken müssen. Die Einzelheiten solltest du nun selber vervollständigen können; denn wenn du dich an Probleme dieser Schwierigkeitsstufe wagst, dann ist anzunehmen, dass du diese Themen beherrschst.

Oder wer weiss, vielleicht findest du einen völlig andersartigen Beweis?

Zu Frage 2: Bezeichnen wir mit S1, S2 die Schnittpunkte von g mit dem Kreis. Diese sind die Grenzfälle, wo die beiden Tangenten an den Kreis in einer einzigen zusammenfallen. Die entsprechende Sehne wird dann zu einem Punkt, und diese Punkte S1, S2 sind somit die „Mittelpunkte“ der Sehnen. Also gehören diese Punkte selber zum gesuchten g.O; und wir können vermuten, dass dieser in einem Kreis besteht, der durch O, S1 und S2 geht.

Für die Punkte von g ausserhalb des Kreises gilt dieselbe Beziehung wie bei Frage 1. Wir werden einen Beweis führen können mit ähnlichen Überlegungen wie dort, sobald wir die Bedeutung der Punkte von g innerhalb des Kreises verstanden haben.
Wenn wir einige Beispiele konstruieren, werden wir feststellen, dass hier die umgekehrte Beziehung gilt: Wählen wir einen Punkt B auf g innerhalb des Kreises. Verlängern wir OB bis zum Schnittpunkt M1 auf dem g.O. Nun ist B der Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von M1 aus an den Kreis. Und wenn wir die Senkrechte von O auf g wählen, dann sind diese Berührungspunkte S1 und S2.

Nun solltest du selber den Beweis für diesen Fall vervollständigen können.

Retraite ins Land der Mathematik

29. Mai 2019

Lange habe ich mich mit dem Thema „Autoritarismus in ‚christlichen‘ Kirchen“ beschäftigt. Länger als mir lieb war. Leider ist es, wie mir sogar ein freikirchlicher Pastor bestätigte, nötig, sich mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aber es hat meinem persönlichen Wohlbefinden ziemlich zugesetzt, von so vielen hässlichen Dingen Kenntnis nehmen zu müssen, die in „frommen“ Kreisen vor sich gehen.

Deshalb befinde ich mich gegenwärtig in einer Art persönlichen Retraite. Neben der persönlichen Gemeinschaft mit Gott, habe ich festgestellt, dass auch das „Land der Mathematik“ ein guter Rückzugsort ist. So verbringe ich einen Teil meiner Zeit damit, mathematische Probleme auszutüfteln, und an meinen Büchern zum aktiven Mathematiklernen weiterzuarbeiten.

Die Mathematik ist in gewisser Hinsicht ein Abbild oder Gleichnis von Gottes Reich. Die Zahlen folgen treu ihren Gesetzen. Sie haben nie gelernt zu lügen oder zu betrügen, oder übereinander herrschen zu wollen. In mathematischen Zusammenhängen zu forschen, ist fast wie ein Gebiet der Schöpfung zu betreten, das vom Sündenfall noch unberührt geblieben ist. (Allerdings ist dieses „Land“ von keinem Menschen bewohnt, sondern nur von abstrakten Geschöpfen.)

Die Mathematik ist verlässlich. Ihre Gesetze sind keinem zeitbedingten Wandel unterworfen. Sie brauchen sich nicht um „politische Korrektheit“ zu kümmern. Allen Relativisten zum Trotz, ist die Mathematik eine Wissenschaft von unveränderlichen, universellen Wahrheiten.

Was die Menschen betrifft, die die Mathematik erforschen oder anwenden, so mögen diese sündhaft sein und die Mathematik zu sündhaften Zwecken missbrauchen. Aber damit vermögen sie nicht die Mathematik an sich mit ihrer Sündhaftigkeit anzustecken.

In der Mathematik kann es keine Willkürherrschaft geben. Niemand, auch nicht die mächtigste Regierung, kann ein mathematisches Gesetz nach Belieben abändern, in Kraft setzen oder aufheben. Niemand kann einem anderen vorschreiben, wie er die Gesetze der Mathematik anzuwenden hat. (Auch wenn das in manchen Bildungseinrichtungen immer wieder versucht wird – aber das Ergebnis ist dann nicht echte Mathematik, sondern Bürokratie.)
Wenn auch manche mathematischen Gesetze unter dem Namen einer bestimmten Persönlichkeit bekannt sind, so kann doch diese Persönlichkeit keinen Eigentumsanspruch darauf erheben. Sie hat das Gesetz nur entdeckt, aber nicht geschaffen.

In der Mathematik gibt es deshalb keinen Raum für menschliche Herrschaft, weder in der Form von Demokratie noch in der Form von Monarchie und Diktatur. Mathematische Gesetze unterliegen weder Mehrheitsbeschlüssen, noch Volksabstimmungen, noch Regierungsdiktaten, noch den Doktrinen von Päpsten und anderen religiösen Machthabern.
In der Mathematik erfüllt sich daher in gewisser Weise der Ausspruch von Jesus: „Einer ist euer Meister; ihr aber seid alle Brüder.“ (Matth.23,8) Nur einer hat je mathematische Gesetze geschaffen und „in Kraft gesetzt“: Gott selber.
Es gibt zwar Personen, die wegen ihrer hervorragenden Kenntnisse der Mathematik als „Autoritäten“ auf diesem Gebiet gelten. Aber diese Art von Autorität ist nicht im Sinne von „herrschen“ oder „Macht ausüben“ zu verstehen, sondern im Sinn einer besonderen Befähigung, anderen ihr Verständnis der mathematischen Gesetze zu vermitteln. Und das sollte eher als eine „Dienstleistung“ angesehen werden.

So ist es auch in der Gemeinschaft der Nachfolger Jesu, wie sie ursprünglich von ihm selber vorgezeichnet wurde, nicht vorgesehen, dass einer über den andern „herrsche“. Es mag „Lehrer“ geben in dem Sinne, dass einige ein besseres Verständnis von Gottes Wesen und seinen Gesetzen haben, und dieses Verständnis andern vermitteln können. Aber auch diese hat Jesus nie beauftragt, anderen Vorschriften zu machen, ihnen ihre besondere Auslegung aufzuzwingen, oder gar eigene Gesetze aufzustellen. Im Gegenteil, sie sollen „Diener“ sein (Matth. 23,11; 20,25-27). Wie die Wahrheiten der Mathematik, so können auch die Wahrheiten Gottes niemandem aufgezwungen, sondern höchstens erklärt werden.

Es braucht auch niemand eine Genehmigung, ein Diplom, oder eine Mitgliedschaft in einer akademischen Vereinigung, um Mathematik treiben zu dürfen. Die Mathematik ist Allgemeingut, „public domain“. Nur eines ist notwendig: die Bereitschaft, die Gesetze der Mathematik selber als verbindlich anzuerkennen und zu befolgen.
In derselben Weise hat auch jeder Zutritt zu Gott durch Jesus Christus, der bereit ist, ihm zu folgen. Man braucht dazu weder einem irdischen Leiter seine Loyalität zu erklären, noch in der Tradition einer bestimmten kirchlichen Richtung geschult zu sein, noch Mitglied einer religiösen Vereinigung oder Kirche zu werden.

Noch hätte ich Stoff für viele Artikel zum Thema „Autoritarismus“. Aber diese müssen noch einige Zeit warten. Interessierten Lesern kann ich empfehlen, in der Zwischenzeit im Internet nach „geistlicher Missbrauch“ zu suchen. Auch interessant ist eine Suche nach „Robert Lifton“ und „Mind Control“. Liftons Kriterien beruhen zwar nicht auf der Bibel, sondern auf der Psychologie. Sie zeichnen aber ein deutliches Porträt jener Gruppen und Leiter, die die Menschen „hinter sich selbst her“ ziehen wollen; was nach Apg.20,30 ein klares Kennzeichen falscher Geschwister und falscher Leiter ist. Es mag hilfreich sein, Gruppen und Organisationen nach diesen Kriterien zu beurteilen – nicht nur jene Gruppen, die im Verdacht der Sektiererei stehen, sondern auch jene, die als „Mainstream-Evangelikale“ gelten, oder sogar als „liberal“. Ja, auch die universitäre Bibelkritik kommt im Licht von Liftons Kriterien nicht sonderlich gut weg.

Genug damit; ich kehre zurück in meine Retraite.

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Ein mysteriöser geometrischer Ort

19. Mai 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum O, und eine Gerade g ausserhalb des Kreises. Von einem Punkt auf g aus konstruiert man die Tangenten an den Kreis, und verbindet deren Berührungspunkte T1 und T2 mit einer Geraden. Wir bezeichnen mit M den Mittelpunkt zwischen T1 und T2.

Frage 1: Wenn diese Konstruktion von allen Punkten von g aus ausgeführt wird, was ist dann der geometrische Ort aller Punkte M? – Konstruiere einige Beispiele, beobachte, und stelle Vermutungen auf. Dann überprüfe die wahrscheinlichste(n) Vermutung(en), und versuche sie zu beweisen.

Frage 2: Wie ändern sich die Bedingungen, wenn g den Kreis schneidet? Und kannst du für diesen Fall eine entsprechende geometrische Interpretation finden für jene Punkte von g, die sich innerhalb des Kreises befinden?

Frage 3: Bei dieser Konstruktion entspricht jeder Punkt von g genau einem Punkt auf dem mysteriösen geometrischen Ort. Es handelt sich also offenbar um eine Abbildung von g. Kannst du diese Abbildung genauer definieren bzw. beschreiben? Was für Eigenschaften dieser Abbildung gehen direkt aus den Antworten auf die Fragen 1 und 2 hervor? Untersuche weitere Eigenschaften, beschreibe und begründe sie.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische und persönliche Anmerkungen:

Forschungsaufgaben sind eine von mehreren Methoden, das Mathematiklernen „aktiver“ zu gestalten. Andere solche Methoden beruhen z.B. auf dem Hantieren mit konkreten Materialien wie Cuisenaire-Stäbchen, logischen Blöcken, usw, welche es den Schülern ermöglichen, mathematische Gesetzmässigkeiten mit den eigenen Händen zu „be-greifen“. Auf den höheren Stufen nehmen die Einsatzmöglichkeiten für solche Materialien ab, da die Mathematik zunehmend abstrakter wird. Dafür nimmt die Fähigkeit der Schüler zu, neue Themen anhand von wenigen Leitfragen selbständig zu erarbeiten und zu erforschen.

Sachverhalte, die man selber erforscht und entdeckt hat, vergisst man nicht so schnell wieder! Das eigene Forschen erfordert zwar mehr Zeit und Anstrengung, als wenn ein Lehrer einfach ein paar Formeln an die Tafel schreibt. Dafür ist die Lernerfahrung unvergleichlich viel dauerhafter. Insbesondere dann, wenn die Schüler nicht einfach eine bestimmte Aufgabe als „Pflichtübung“ vorgesetzt bekommen, sondern aus mehreren Aufgaben und Themen eine auswählen dürfen, die ihrem Können und Interesse entspricht.

Eine wichtige Erfahrung dabei ist, dass mathematische Gesetze und Formeln nicht willkürliche „Inhalte“ sind, die womöglich nur von Lehrern erfunden wurden, um Schüler zu schikanieren. Nein, in der Mathematik hat alles seine Begründung. Jede Formel, jedes Gesetz kann logisch erklärt werden. Auf (fast) jedes „Warum?“ gibt es eine Antwort. Und die Antwort ist umso einsichtiger, je mehr man selber dazu beigetragen hat, sie zu finden. Mehrere meiner Nachhilfeschüler haben nach der Beschäftigung mit einer Forschungsaufgabe mathematische Gesetzmässigkeiten verstanden, die sie zuvor trotz aller Erklärungen ihrer Lehrer nicht verstehen konnten. Meine eigenen Kinder haben sich mit solchen und ähnlichen Methoden angewöhnt, sich die Dinge selber zu erklären, was ihnen auch jetzt im Universitätsstudium zugute kommt.

Es geht also darum, mathematische Themen mit einem gewissen „Mysterium“ zu umgeben und die Neugier der Schüler zu wecken, statt ihnen fertige Antworten vorzusetzen auf Fragen, die sie gar nicht gestellt haben.Wenn wir zudem darauf achten, dass die Schüler an Aufgaben arbeiten dürfen, deren Schwierigkeitsgrad sie nicht überfordert, dann wird gleichzeitig ihr Selbstvertrauen gestärkt: „Mathematik ist etwas, was ich selber entdecken kann. Ich bin der Mathematik nicht hilflos ausgeliefert. Ich kann eigene Fragen stellen und Probleme erfinden, und sie lösen.“
Natürlich werden ab und zu weitere Hilfestellungen auf dem Weg erforderlich sein. Auch für die vorliegende Aufgabe werde ich später solche geben.

Frage 3 ist bewusst offen formuliert. In der Mathematik soll es Raum geben für eigene Kreativität, und für eigene Erweiterungen eines Themas, über die Schulbuchaufgaben hinaus.

Bei der Erarbeitung der hier gestellten Aufgabe bin ich tatsächlich selber den Weg eines Schülers gegangen, der zuerst vor einem Mysterium steht und dann schrittweise anfängt, es zu verstehen. Ich war eigentlich daran, viel einfachere Aufgaben aufzustellen für Schüler, die eben erst anfangen, die Eigenschaften von Kreisen, Sehnen und Tangenten zu lernen. Dabei stellte ich mir selber aus Neugier die obige Frage 1. Statt in einem Buch oder im Internet nach der Antwort zu suchen, begann ich selber zu forschen, zu zeichnen, zu konstruieren, zu rechnen. Zuerst geriet ich in verschiedene Sackgassen und musste neue Alternativen ausprobieren. Nach zwei bis drei Stunden kam ich auf einen schlüssigen und nicht allzu komplizierten Beweis, und ging befriedigt schlafen.
Am nächsten Morgen machte ich mich daran, das Ergebnis übersichtlich zusammenzufassen, und über einige zusätzliche Fragestellungen nachzudenken. Dabei kam mir schlagartig die Erkenntnis, dass dieses Problem mit einem anderen, auf den ersten Blick völlig andersartigen Thema zusammenhängt; und damit ergab sich plötzlich eine ganz neue Perspektive (Frage 3). Das war so eine Art mehrfach potenziertes „Aha-Erlebnis“; so ähnlich wie sich Archimedes in der Badewanne gefühlt haben muss, als er plötzlich das Gesetz des Auftriebs verstand. Der Mathematiker Keith Devlin von der Universität Stanford schrieb einmal sinngemäss über dieses Hochgefühl einer mathematischen Entdeckung: „Das ist besser als jedes von Drogen erzeugte ‚High‘, es kostet nichts, und hat keine schädlichen Nebenwirkungen. Eine Motivation für mich, als Mathematiker zu arbeiten, ist der Wunsch, dieses Hochgefühl immer und immer wieder erleben zu dürfen.“

Hätte ich zuerst Literatur zum Thema studiert, so hätte ich wahrscheinlich die Antworten schneller gefunden. Aber mein Verständnis davon wäre oberflächlicher gewesen. Und ich hätte das aufregende Erlebnis verpasst, eine eigene Entdeckung zu machen.

Ich wünsche mir, dass schon Schüler diese Entdeckerfreude erleben dürfen und dadurch zum Mathematiklernen motiviert werden. Die hier vorgestellte Aufgabe erfordert ein hohes Mass an Vorkenntnissen; aber auch zu einfacheren Themen lassen sich interessante Forschungsthemen finden.

Paul Lockhart: Mathematik in der Schule (Fortsetzung)

3. Februar 2014

Auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart (Siehe Vorwort zum 1.Teil)

Wie sollen wir also unsere Schüler Mathematik lehren? – Indem wir begeisternde und natürliche Probleme finden, die ihrem Geschmack, ihrer Persönlichkeit und ihrem Mass an Erfahrung entsprechen. Indem wir ihnen Zeit geben, Entdeckungen zu machen und Vermutungen zu formulieren. Indem wir ihnen helfen, ihre Argumente zu verfeinern, und eine Umgebung gesunder mathematischer Kritik schaffen. Indem wir flexibel sind und offen für plötzliche Richtungsänderungen je nach der Neugier der Schüler. Kurz, indem wir eine ehrliche intellektuelle Beziehung eingehen mit unseren Schülern und unserem Unterrichtsfach.

Natürlich ist das aus mehreren Gründen unmöglich. Abgesehen davon, dass die standardisierten Prüfungen dem Lehrer praktisch keinen Freiraum mehr lassen, bezweifle ich auch, dass die meisten Lehrer überhaupt eine so intensive Beziehung zu ihren Schülern eingehen wollen. Das erfordert zuviel Verletzbarkeit und zuviel Verantwortung – kurz, es ist zuviel Arbeit!

(…)

Mathematik ist aber tatsächlich harte kreative Arbeit, ebenso wie Malerei oder Dichtung. Deshalb ist sie sehr schwer zu lehren. Mathematik ist ein langsamer, gedankenvoller Prozess. Es braucht Zeit, ein Kunstwerk herzustellen; und nur ein geübter Lehrer kann ein solches erkennen. Es ist einfacher, eine Liste von Regeln aufzustellen, als werdende junge Künstler anzuleiten.
Mathematik ist eine Kunst, und Kunst sollte von tätigen Künstlern gelehrt werden, oder zumindest von Menschen, welche die Kunstform wertschätzen und sie erkennen können, wenn sie sie sehen. Warum akzeptieren wir Mathematiklehrer, die nie in ihrem Leben ein eigenes originales Stück Mathematik produziert haben, nichts über die Geschichte und Philosophie ihres Faches wissen, nichts über die neusten Entwicklungen, nichts, was über das hinausgeht, was sie ihren unglücklichen Schülern vorsetzen müssen? Was für ein Lehrer ist das? Wie kann jemand etwas lehren, was er selber nicht ausübt?

(…) Lehren hat nicht mit Informationsvermittlung zu tun. Es bedeutet, eine ehrliche intellektuelle Beziehung zu den Schülern zu haben. Es erfordert keine Methode, keine Hilfsmittel, und keine Ausbildung. Nur die Fähigkeit, echt zu sein. Und wenn Sie nicht echt sein können, dann haben Sie kein Recht, sich unschuldigen Kindern aufzunötigen.
Insbesondere kann man das Lehren nicht lehren. Lehrerseminare sind ein völliger Unsinn. Ja, Sie können Entwicklungspsychologie und alles mögliche lernen, und Sie können darauf trainiert werden, eine Wandtafel „effizient“ zu benützen und einen geordneten „Lektionenplan“ zu erarbeiten (was übrigens sicherstellt, dass Ihre Lektionen geplant sein werden und somit nicht mehr echt); aber Sie werden nie ein wirklicher Lehrer sein, wenn Sie nicht dazu bereit sind, als Person echt zu sein. Lehren bedeutet Offenheit und Ehrlichkeit, die Fähigkeit, Begeisterung zu teilen, und eine Liebe zum Lernen. Wenn Sie dies nicht haben, dann werden Ihnen alle Lehrertitel der Welt nicht helfen; und wenn Sie diese Dinge haben, dann sind Lehrertitel völlig unnötig.

.

SIMPLICIO: Gut, ich verstehe, dass Mathematik mit Kunst zu tun hat, und dass wir diese nicht gerade gut vermitteln. Aber ist das nicht zuviel verlangt von unserem Schulsystem? Wir wollen ja keine Philosophen ausbilden, wir wollen nur, dass die Leute die grundlegenden Rechenfertigkeiten erlernen, die sie in unserer Gesellschaft brauchen.

SALVIATI: Aber das ist nicht wahr! Die Schulmathematik beschäftigt sich mit vielen Dingen, die nichts zu tun haben mit der Fähigkeit, in der Gesellschaft klarzukommen – z.B. Algebra oder Trigonometrie. Diese sind völlig irrelevant für das Alltagsleben. Ich schlage einfach vor, dass wenn wir solche Dinge einführen, dass wir es auf organische und natürliche Weise tun. (…) Wir lernen Dinge, weil sie uns jetzt interessieren, nicht weil sie später nützlich sein könnten. Aber genau das verlangen wir von den Kindern in Mathematik.

SIMPLICIO: Aber sollten Drittklässler nicht rechnen können?

SALVIATI: Warum? Möchtest du sie trainieren, dass sie 427 + 389 zusammenzählen können? Das ist nicht die Art von Fragen, die Achtjährige normalerweise stellen. Sogar viele Erwachsene verstehen den Stellenwert im Dezimalsystem nicht wirklich, und du erwartest von Achtjährigen, eine klare Vorstellung davon zu haben? Oder kümmert es dich nicht, ob sie es verstehen? Es ist einfach zu früh für diese Art von technischem Training. Man kann es natürlich tun, aber letztlich schadet es den Kindern mehr, als es ihnen nützt. Es wäre viel besser zu warten, bis ihre eigene natürliche Neugier über Zahlen erwacht.

SIMPLICIO: Was sollen wir dann mit kleinen Kindern im Mathematikunterricht tun?

SALVIATI: Lasst sie spielen! Lehrt sie Schach und Go, Hex und Backgammon, Nim, oder was immer. Erfindet eigene Spiele. Löst Puzzles und Rätsel. Konfrontiert sie mit Situationen, wo sie deduktiv überlegen müssen. Sorgt euch nicht um Notationsweisen und Techniken. Helft ihnen, zu aktiven und kreativen mathematischen Denkern zu werden.

SIMPLICIO: Das scheint mir ein schreckliches Risiko zu sein. Wenn unsere Schüler dann nicht einmal mehr zu- und wegzählen können, was dann?

SALVIATI: Ich denke, es ist ein viel grösseres Risiko, die Schulen von jedem kreativen Ausdruck zu entleeren, wo die Schüler nur noch Daten, Formeln und Wörterlisten auswendig lernen. (…)

SIMPLICIO: Aber es gibt doch ein gewisses mathematisches Grundwissen, das ein gebildeter Mensch kennen sollte.

SALVIATI: Ja, und das wichtigste davon ist das Wissen, dass Mathematik eine Kunstform ist, die die Menschen zu ihrem eigenen Vergnügen ausüben! Ja, es ist gut, wenn die Menschen etwas über Zahlen und Formen wissen. Aber das gewinnt man nicht durch stures Auswendiglernen. Man lernt Dinge, indem man sie tut, und du behältst im Gedächtnis, was dir wichtig ist. Millionen von Erwachsenen haben mathematische Formeln in ihren Köpfen, aber sie haben keine Ahnung, was sie bedeuten. Sie hatten nie die Gelegenheit, solche Dinge selber zu entdecken oder zu erfinden. (…) Sie hatten nicht einmal Gelegenheit, über einer Frage neugierig zu werden, denn die Frage wurde beantwortet, bevor sie gestellt wurde.

SIMPLICIO: Aber wir haben nicht so viel Zeit, dass jeder Schüler die ganze Mathematik selber erfinden könnte! Die Menschheit brauchte Jahrhunderte, um den Satz von Pythagoras zu entdecken. Wie soll ein durchschnittliches Schulkind das schaffen?

SALVIATI: Das erwarte ich gar nicht. Verstehe mich recht. Ich beklage mich darüber, dass Kunst und Erfindung, Geschichte und Philosophie, Zusammenhang und Perspektive überhaupt nicht vorkommen im Mathematiklehrplan. Damit sage ich nicht, Notierung, Techniken und Kenntnisse seien unwichtig. Natürlich sind sie wichtig. Wir brauchen beides. (…) Aber die Menschen lernen besser, wenn sie am Prozess beteiligt sind, der die Ergebnisse hervorbringt.

(…)

Der Mathematiklehrplan

(…) Das Auffälligste am Mathematiklehrplan ist seine Starrheit. Überall werden genau dieselben Dinge in genau derselben Weise und Reihenfolge gesagt und getan. Das hat zu tun mit dem „Leitern-Mythos“ – die Idee, Mathematik könne als eine Reihe von „Themen“ angeordnet werden, von denen jedes ein wenig fortgeschrittener oder „höher“ sei als das vorhergehende. Dadurch wird die Schulmathematik zu einem Wettrennen – einige Schüler sind den anderen „voraus“, und die Eltern anderer fürchten, ihr Kind könnte „zurückbleiben“. Aber wohin genau führt dieses Rennen? Worin besteht die Ziellinie? Es ist ein trauriges Rennen nach Nirgendwo. Am Ende bist du um eine mathematische Bildung betrogen worden, und du weisst es nicht einmal.
Echte Mathematik wird nicht in Konservenbüchsen geliefert. Probleme führen dich dahin, wohin du ihnen folgst. Kunst ist kein Wettrennen. (…)

Anstelle von Entdeckungsreisen haben wir Regeln und Reglemente. Wir hören nie einen Schüler sagen: „Ich war neugierig, was geschieht, wenn man eine Zahl in eine negative Potenz erhebt, und fand heraus, dass es Sinn macht, wenn man darunter den Kehrwert versteht.“ Stattdessen präsentieren Lehrer und Schulbücher die „Regel für negative Exponenten“ als fait accompli, ohne etwas über die Ästhetik dieser Wahl zu sagen, oder wie man darauf kommen kann.

(…) Anstelle eines natürlichen Problemzusammenhangs, in welchem die Schüler selber entscheiden können, welchen Sinn sie ihren Worten geben wollen, werden sie einer endlosen Folge von unbegründeten A-Priori-„Definitionen“ unterworfen. Der Lehrplan ist besessen von Nomenklatur, anscheinend zu dem einzigen Zweck, dem Lehrer Prüfungsstoff zu liefern. Kein Mathematiker in der ganzen Welt würde solche sinnlosen Unterscheidungen machen: 2 1/2 ist eine „gemischte Zahl“, während 5/2 ein „unechter Bruch“ ist. Die beiden Zahlen sind ganz einfach gleich! Es handelt sich um genau dieselbe Zahl mit genau denselben Eigenschaften. Wer, ausser einem Viertklasslehrer, benützt solche Worte?
Natürlich ist es einfacher, die Schüler über ihre Kenntnis einer sinnlosen Definition zu prüfen, als sie zu inspirieren, etwas Schönes zu schaffen und selber den Sinn darin zu finden. Auch wenn wir darin übereinstimmen, dass ein grundlegender gemeinsamer mathematischer Wortschatz wichtig ist, diese Beispiele gehören nicht dazu. Wie traurig, dass Fünftklässler gelehrt werden, statt „Viereck“ oder „vierseitige Form“ „Quadrilateral“ zu sagen (im Englischen), aber dass sie nie in eine Situation kommen, wo sie Wörter wie „Vermutung“ oder „Gegenbeispiel“ gebrauchen könnten.

Anmerkung meinerseits: Hier noch ein etwas exotischeres Beispiel: Wissen Sie, was eine „kodifizierte Zahl“ ist? Nein? Gut, wenn Sie nicht zufällig ein Schulbuchautor für das peruanische (oder irgendein anderes) Erziehungsministerium sind, dann sind Sie entschuldigt, denn niemand sonst gebraucht diesen Begriff. Diese Autoren verstehen unter einer „kodifizierten Zahl“ eine Zahl, die mit den entsprechenden Abkürzungen für „Einer“, „Zehner“, „Hunderter“ usw. geschrieben wird, also z.B. „3T 4H 1Z 8E“.
Und was ist dann eine „dekodifizierte Zahl“? Der gesunde Menschenverstand würde annehmen, es handle sich um die normal geschriebene Zahl, also z.B. „3418“. Aber nein, gemäss den Schulbuchautoren ist eine „dekodifizierte Zahl“ eine „kodifizierte Zahl“, wo statt der Abkürzungen der effektive Stellenwert der Ziffern geschrieben wird, also z.B. „3000 + 400 + 10 + 8“.
Wozu müssen die Kinder derart absurde Begriffe lernen, als ob es sich um äusserst wichtige mathematische Konzepte handle? (Echte Mathematiker gebrauchen diese Begriffe jedenfalls nicht.) Ich hege den Verdacht, solche Wörter seien speziell zu dem Zweck erfunden worden, die völlig unvernünftige Zunahme der Schulstunden während der letzten Jahre zu rechtfertigen.
Rücken wir die Dinge in ihre Perspektive: Diese willkürlich erfundenen Wörter werden in die Gehirne von Zehnjährigen gequetscht, die noch nicht einmal die Namen der häufigsten Pflanzen- und Tierarten ihrer Umgebung kennen, und auch nicht die Namen von allgemein gebräuchlichen Küchengeräten und anderen Haushaltgegenständen. Wahrscheinlich werden sie letztere während ihrer ganzen Schullaufbahn nie kennenlernen, denn sie sind derart beschäftigt mit Schulstunden und Hausaufgaben, dass sie keine Zeit haben, ihren Eltern zuhause etwas zu helfen, oder einen Ausflug aufs Land zu unternehmen und die Natur kennenzulernen. Und ihre Gehirne sind völlig ausgelastet damit, sinnlose Begriffe und Definitionen zu lernen. So denken sie, es sei viel wichtiger zu wissen, was eine „kodifizierte Zahl“ ist, als was ein Salatsieb oder ein Schraubenzieher ist und wozu man diese Dinge benützt.

Sprachlehrer wissen, dass Rechtschreibung und Aussprache am besten im Zusammenhang mit dem Lesen und Schreiben gelernt werden. Geschichtslehrer wissen, dass Namen und Daten uninteressant sind, wenn man den Hintergrund der Ereignisse nicht kennt. Warum ist der Mathematikunterricht im 19.Jahrhundert zurückgeblieben? Vergleichen Sie Ihre Erfahrung des Algebra-Lernens mit Bertrand Russells Erinnerung:

„Ich musste auswendiglernen: ‚Das Quadrat der Summe von zwei Zahlen ist gleich der Summe ihrer Quadrate plus zweimal ihr Produkt.‘ Ich hatte nicht die entfernteste Vorstellung, was das bedeutete, und als ich mich nicht an die Worte erinnern konnte, warf mir mein Lehrer das Buch an den Kopf, was meinen Intellekt in keiner Weise förderte.“

Sind die Dinge heute wirklich so anders?

Fanden Sie diesen Artikel interessant? Dann interessiert Sie sicher auch dieses Buch zum Mathematiklernen durch eigenes Forschen und Entdecken.

Weitere Informationen hier.

Paul Lockhart: Mathematik in der Schule

11. Januar 2014

Kommentierte auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart

Mathematik in der Schule

Es gibt keinen sichereren Weg dazu, die Begeisterung und das Interesse an einem Thema abzutöten, als es zu einem obligatorischen Schulfach zu machen. Machen wir es zudem zu einem Hauptbestandteil der standardisierten Prüfungen, dann wird das Bildungs-Establishment alles Leben daraus heraussaugen. Schulbehörden verstehen nicht, was Mathematik ist. Ebensowenig verstehen es die Pädagogikexperten, die Schulbuchautoren, die Verlage, und leider verstehen es auch die meisten Mathematiklehrer nicht. Die Reichweite des Problems ist so enorm, dass ich kaum weiss, wo ich beginnen soll.

Beginnen wir mit dem Debakel der Schulreformen. (…) Dieses ganze Gezänk darum, was für „Themen“ in welcher Reihenfolge gelehrt werden sollen, ob diese oder jene Notation verwendet werden soll, oder was für Modelle von Taschenrechnern zu verwenden seien – das ist wie die Stühle auf dem Deck der „Titanic“ umzustellen! Mathematik ist die Musik des Verstandes. Mathematik zu treiben bedeutet, an einem Abenteuer von Entdeckung und Vermutung, Intuition und Inspiration teilzunehmen; in Verwirrung zu kommen – nicht weil Sie keinen Sinn darin sehen, sondern weil Sie ihm einen Sinn gaben und trotzdem noch nicht verstehen, was Ihr Geschöpf tut; eine durchbrechende Idee zu haben; als Künstler frustriert zu sein; von einer fast schmerzhaften Schönheit überwältigt zu sein; lebendig zu sein. Wenn Sie das alles aus der Mathematik wegnehmen, dann können Sie so viele Konferenzen abhalten, wie Sie wollen, es nützt nichts mehr. Ihr Ärzte, operiert soviel Ihr wollt: euer Patient ist bereits tot.

Das Traurigste an diesen „Reformen“ sind die Versuche, „Mathematik interessant zu machen“ und „relevant für das Leben der Kinder“. Mathematik muss nicht interessant gemacht werden – sie ist bereits interessanter, als wir ertragen können! Und ihre Herrlichkeit besteht darin, dass sie für unser Leben überhaupt nicht relevant ist. Deshalb macht sie Spass!

Die Versuche, Mathematik als relevant für das tägliche Leben darzustellen, wirken unvermeidlich gezwungen und gekünstelt: „Seht, Kinder, wenn ihr Algebra könnt, dann könnt ihr herausfinden, wie alt Maria ist, wenn wir wissen, dass sie zwei Jahre älter ist als das Doppelte von ihrem Alter vor sieben Jahren!“ (Als ob jemand irgendwann einmal Zugang zu einer solch lächerlichen Information hätte anstelle von Marias Alter.) – In der Algebra geht es nicht um das tägliche Leben, es geht um Zahlen und Symmetrien – und das ist an und für sich eine wertvolles Unterfangen:

„Nehmen wir an, ich kenne die Summe und die Differenz zweier Zahlen. Wie kann ich diese Zahlen herausfinden?“

Das ist eine einfache und elegante Frage, und sie braucht keine zusätzlichen Anstrengungen, um sie interessant erscheinen zu lassen. Die alten Babylonier hatten Freude daran, an solchen Problemen zu arbeiten, und unsere Schüler ebenso. (Und ich hoffe, Ihnen macht es ebenfalls Spass, darüber nachzudenken!) Wir müssen keine Purzelbäume schlagen, um die Mathematik „relevant“ zu machen. Sie ist ebenso relevant wie jede andere Kunst: als sinnvolle menschliche Erfahrung.

Anmerkung meinerseits: Recht hat Lockhart hier, dass die „Relevanz“ von Schulbuchaufgaben nur vorgetäuscht ist. Warum soll ich Textaufgaben über einen Bauernhof oder einen Kaufladen lösen, wenn meine tatsächliche Umgebung aus einer sterilen Schulbank vor einer Wandtafel besteht? – Anders sieht die Sache aber aus, wenn das Kind tatsächlich eine Zeitlang auf einem Bauernhof leben oder in einem Laden mitarbeiten kann. Die reale Umgebung wird ihm unweigerlich konkrete mathematische Probleme stellen: Wie gross muss ein Eimer sein, um zwei Kühe zu melken? Wieviel Rückgeld muss ich geben? Usw.
Das Problem bei Lockhart scheint mir zu sein, dass er trotz allem an der sterilen Schulzimmerumgebung festhält, die, wie Raymond Moore sagt, höchstens ein zweidimensionales Abbild des wirklichen, dreidimensionalen Lebens bieten kann. Homeschooling bietet dagegen enorm vielfältige Möglichkeiten zu praktischen Tätigkeiten des wirklichen Lebens (wie z.B. die Mithilfe auf einem Bauernhof oder in einem Laden), die, wenn sie entsprechend verwertet werden, immer wieder Anlass zu mathematischem Denken geben. Mathematisches Verständnis sollte sich nicht auf abstrakte Gebilde beschränken. Ebenso wichtig ist die Fähigkeit, mathematische Konzepte in Situationen des praktischen Lebens hinein zu „übersetzen“, und umgekehrt.

Hier ein authentisches Beispiel aus unserem Alltag, wie praktische Probleme und mathematische Abstraktion ineinander übergehen und einander gegenseitig bereichern: Eine Nachbarin von uns hatte ein Grundstück gekauft, hegte aber den Verdacht, sie sei bei der Flächenangabe betrogen worden. Sie liess deshalb die Seiten und die Diagonalen genau ausmessen (es handelte sich um ein unregelmässiges Viereck) und kam dann mit den Massen zu meinem ältesten Sohn mit der Bitte, er möge ihr doch die Fläche ausrechnen. Er erkannte sofort, dass eine Diagonale das Viereck in zwei Dreiecke teilt, dessen Seitenlängen nun bekannt sind. Er wusste aber nicht, wie man daraus die Fläche ausrechnen kann. „Wenn wir nur die Höhe des Dreiecks wüssten!“ – „Aber vielleicht können wir sie ausrechnen. Zeichnen wir sie doch einmal ein, und schreiben wir alles auf, was wir darüber wissen.“

Heron0

– Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und dreier Gleichungen kamen wir so auf eine Formel für die Höhe und damit für die Fläche. Unser Ergebnis sah so aus:

Heron1

und somit:

Heron2

Dann suchten wir in einer Formelsammlung, ob wir etwas Entsprechendes fänden. Einmal um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet hatten, und auch einfach aus Neugier. Wir fanden die Heronsche Flächenformel, die so aussieht:

Heron3

– wobei p den halben Umfang des Dreiecks bedeutet. Diese Formel ist natürlich bedeutend schöner und eleganter als unsere; insbesondere ist sie symmetrisch inbezug auf die drei Seiten a, b und c. Es ist aber nicht auf den ersten Blick einsichtig, ob diese Formel wirklich gleichbedeutend ist mit der unsrigen. Es stellte sich daher die Frage, ob man zeigen kann, dass die beiden Formeln tatsächlich gleichbedeutend sind. Das war nun natürlich eine mathematische Abstraktion, völlig losgelöst von dem praktischen Problem mit dem Grundstück. Wir stellten fest, dass man in unserer Formel den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren zerlegen kann (das war etwas, was mein Sohn damals sowieso am Üben war) und dann nach einigen Umformungen tatsächlich zu der Form kommt, wie sie in der Formelsammlung steht.
So hat mein Sohn die Formel weitgehend selbständig hergeleitet – und erst noch mit Praxisbezug -, mit weitaus grösserem Lerneffekt, als es normalerweise in der Schule geschieht. Ohne es geplant zu haben, haben wir effektiv alle folgenden Lehrplanpunkte „durchgenommen“:
– Elementare Geometrie des Dreiecks und Vierecks
– Satz von Pythagoras
– Lösung eines Gleichungssystems mit mehreren Unbekannten
– Faktorenzerlegung eines algebraischen Ausdrucks, einschliesslich Gebrauch der binomischen Formel für (a+b)2
– Flächenformel nach Heron.
Und unsere Nachbarin war zufrieden, weil sie jetzt wusste, wie gross ihr Grundstück war.

In diesem Problem liegt übrigens eine weitere Forschungsaufgabe, die wir aber (noch) nicht durchgeführt haben: Die alten Griechen kannten ja keine Algebra, sondern führten die meisten mathematischen Schlussfolgerungen und Beweise auf graphisch-geometrische Weise durch. Heron kann also seine Formel nicht auf dem oben beschriebenen Weg gefunden haben. Wie kann man diese Formel rein geometrisch herleiten?

Denken Sie etwa, Kinder wollen wirklich etwas, was für ihr tägliches Leben relevant ist? Denken Sie, sie würden sich für etwas Praktisches wie Zinseszinsen begeistern? Sie erfreuen sich vielmehr an Phantasie, und genau das kann die Mathematik geben – eine Erholung vom täglichen Leben, ein Gegenmittel gegen die Arbeitswelt.

Anmerkung meinerseits: Lockhart erweist sich hier als Nachfolger G.H.Hardys, der kategorisch behauptete, Mathematik sei nur so lange Mathematik, wie sie keine praktische Anwendung habe und nichts mit der tatsächlichen physikalischen Welt zu tun habe. Er weicht damit der Frage aus, woher es dann kommt, dass die Mathematik tatsächlich so genau mit den Gesetzen des physikalischen Universums übereinstimmt. Von einer rein „imaginären“ Gedankenkonstruktion wäre das ja nicht zu erwarten. (Nur ab und zu erwähnt Lockhart beiläufig, dass mathematische Konzepte manchmal im Nachhinein „zufällig“ (?) eine praktische Anwendung finden.)
Die pragmatische Erklärung, Mathematik sei eben aus der Beobachtung der physikalischen Welt und als Antwort auf praktische Notwendigkeiten entstanden, überzeugt dagegen auch nicht. Viele mathematische Konzepte wurden erdacht, lange bevor ihre Übereinstimmung mit physikalischen Gesetzmässigkeiten und ihre Anwendbarkeit hierauf entdeckt wurde. Z.B. untersuchten bereits die alten Griechen die Eigenschaften der Kegelschnitte; aber erst Kepler entdeckte, dass Kegelschnitte die Umlaufbahnen von Planeten und anderen Himmelskörpern exakt beschreiben.
Für mich ist die einleuchtendste Erklärung die christliche: Derselbe Gott, der das Universum erschaffen hat, hat auch die menschlichen Denkstrukturen geschaffen, sodass es notwendigerweise eine Entsprechung zwischen den beiden geben muss.
Daraus folgt aber, dass eine praktische Anwendbarkeit der Mathematik zu erwarten ist, und ebenso, dass mathematisches Denken öfters auch durch praktische Probleme des täglichen Lebens angestossen wird. Das tut der Mathematik als Mathematik keinen Abbruch, ist aber – hierin stimme ich mit Lockhart überein – nicht ihr tieferer Sinn.

Ein ähnliches Problem ergibt sich, wenn Lehrer oder Schulbücher „kindgemäss“ sein wollen. (…) Um den Schülern zu helfen, die Formel für den Kreisumfang zu lernen, erfinden sie z.B. eine Geschichte von einem Hund, der um einen kreisrunden Baum herumläuft und „Pipi“ an seinen Rand macht (U=2pr), oder ähnlichen Unsinn.
Aber was ist mit der wirklichen Geschichte? Die Geschichte vom Kampf der Menschheit mit der Messung von Kurven; von Eudoxus und Archimedes und ihrer Methode der Ausschöpfung; von der Transzendenz der Zahl Pi? Was ist interessanter: den Umfang von Kreisen zu berechnen mit einer Formel, die man von jemandem ohne weitere Erklärung vorgesetzt bekommt, oder die Geschichte eines der schönsten und faszinierendsten Probleme der Menschheitsgeschichte zu hören? Wir heute töten das Interesse der Menschen an Kreisen ab! Welches andere Schulfach wird so gelehrt, ohne jede Erwähnung seiner Geschichte, Philosophie, thematischen Entwicklung, ästhetischen Kriterien, und seines aktuellen Standes? Welches andere Schulfach verachtet seine primären Quellen – herrliche Kunstwerke von einigen der kreativsten Denker der Geschichte – zugunsten von drittklassigen Schulbuchnachahmungen?

Das grösste Problem mit der Schulmathematik ist, dass es in ihr keine Probleme mehr gibt. – Ich weiss, diese faden „Übungen“ werden als Probleme ausgegeben: „Dies ist ein Beispiel für ein Problem. Hier steht, wie man es löst. Ja, das kommt an der Prüfung. Löst die Übungen 1 bis 35 als Hausaufgabe.“ Was für eine traurige Art, Mathematik zu lernen: wie ein abgerichteter Schimpanse.

Aber ein echtes Problem, eine echte, ehrliche, natürliche, menschliche Frage – das ist etwas anderes. Wie lang ist die Diagonale eines Würfels? Hören die Primzahlen nie auf? Ist Unendlich eine Zahl? Auf wieviele Arten kann ich eine Fläche symmetrisch mit Fliesen belegen? – Die Geschichte der Mathematik ist die Geschichte der menschlichen Beschäftigung mit Fragen wie diesen. Nicht des gedankenlosen Wiederkäuens von Formeln und Algorithmen.

Ein gutes Problem besteht darin, dass du nicht weisst, wie man es lösen kann. Das macht es zu einer guten Gelegenheit; zu einem Sprungbrett zu weiteren interessanten Fragen: Ein Dreieck füllt die Hälfte einer Schachtel aus. Wie steht es nun mit einer Pyramide in einer dreidimensionalen Schachtel? Können wir dieses Problem auf ähnliche Weise lösen?

Ich verstehe den Gedanken, die Schüler bestimmte Techniken üben zu lassen. Ich tue das auch. Aber nicht als Selbstzweck. Wie in jeder Kunst, sollten die Techniken in ihrem Zusammenhang eingeübt werden: die grossen Probleme, ihre Geschichte, der kreative Prozess. Geben Sie Ihren Schülern ein gutes Problem und lassen Sie sie damit kämpfen und frustriert werden. Sehen sie, was für Ideen sie hervorbringen. Warten Sie, bis sie verzweifelt nach einer Idee verlangen, und dann geben Sie ihnen eine Technik. Aber nur so viel wie nötig.

Legen Sie also Ihre Lektionenpläne und Ihre Projektoren beiseite, Ihre vierfarbigen Schulbuchgräuel, Ihre CD-ROMs und den ganzen Multimedia-Zirkus der gegenwärtigen Schulbildung, und treiben Sie einfach Mathematik mit Ihren Schülern! Zeichnungslehrer verschwenden ihre Zeit auch nicht mit Schulbüchern und sturem Üben von Techniken. Sie lassen die Kinder zeichnen, gehen von Tisch zu Tisch, machen Vorschläge und geben Rat:

„Ich habe über unser Dreiecksproblem nachgedacht, und habe etwas festgestellt. Wenn das Dreieck so richtig schief liegt, dann füllt es nicht die Hälfte der Schachtel aus! Sehen Sie, hier:“

Lockhart4

„Eine ausgezeichnete Beobachtung! Unsere Erklärung mit dem Zerschneiden geht davon aus, dass die Spitze des Dreiecks über der Grundlinie liegt. Jetzt brauchen wir eine neue Idee.“
„Soll ich versuchen, es auf eine andere Weise zu zerteilen?“
„Bestimmt. Probiere alles mögliche aus. Lass mich wissen, was du herausfindest!“

Anmerkung meinerseits: Lockhart berührt hier einen wesentlichen Punkt: die kindliche Neugier und Phantasie als Antrieb zur Mathematik. Ich kann das aus eigener Erfahrung bestätigen. Ich hatte das Glück, als Kind in mathematischer Hinsicht so frühreif zu sein (und gleichzeitig in einer Zeit zu leben, als Kinder noch nicht so früh eingeschult wurden wie heute), dass ich Gelegenheit hatte, Mathematik zu treiben, bevor ich zur Schule kam, unbeeinflusst von Lehrplänen und schulischen Methoden. Ich erinnere mich noch, wie ich als etwa Sechsjähriger u.a. spielerisch die Eigenschaften der „Dreieckszahlen“ untersuchte (ohne schon auf eine algebraische Formel zu kommen), und ein Heftchen mit Multiplikationstabellen von 1 x 1 bis etwa 20 x 30 füllte, aus reiner Neugier, was für Zahlen dabei herauskommen würden.
Andererseits möchte ich hier ergänzen, dass das kindliche Denken noch nicht zu Abstraktionen neigt. Die kindliche Phantasie entzündet sich an konkreten Gegenständen und Ereignissen seiner Umgebung, und drückt sich meistens in konkreten Darstellungen und Handlungen aus. (Ein klassisches Beispiel ist das freie Spiel mit Gegenständen, wo ein Holzklotz als Haus dienen kann und ein abgebrochener Ast als Pferdchen.) So entsprang z.B. das Konzept der „Dreieckszahlen“ aus konkreten Zeichnungen auf dem Papier, bzw. aus mit Steinchen und anderen Gegenständen gelegten Figuren. Was nicht mehr konkret dargestellt und nachvollzogen werden kann, ist dem kindlichen Verständnis in der Regel nicht zugänglich.
Mir scheint deshalb, Lockhart idealisiert zu sehr, wenn er das kindliche Entdecken der Mathematik direkt dem Forschen eines erwachsenen Mathematikers gleichstellt. Die beteiligten Denkstrukturen sind in diesen Fällen nicht dieselben. Er kommt meines Erachtens der pädagogischen Wirklichkeit näher, wenn er an anderer Stelle (siehe in der nächsten Folge) vorschlägt, den Mathematikunterricht in den unteren Schuljahren hauptsächlich mit (Denk-)Spielen zu verbringen. Hier kann das Kind seine Entdeckungen anhand konkreter Handlungen machen.

 Fortsetzung folgt

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