Archive for the ‘Mathematik’ Category

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 4)

17. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Diese letzte Folge ist ein Anhang zu einer kleinen „mathematischen Entdeckungsreise“, die mit dieser Forschungsaufgabe. anfing. Ich empfehle, mit dem Lesen (und Forschen) dort zu beginnen, um besser zu verstehen, wovon wir hier sprechen.


Probleme, die unterschiedliche Gebiete der Mathematik miteinander verbinden, haben einen besonderen Reiz. Das vorliegende ist von dieser Art. Wir haben mit einer Geometrieaufgabe angefangen, mussten zusätzlich die Trigonometrie beiziehen, und landeten dann bei einer besonderen Abbildung, der Inversion, die man auch analytisch untersuchen kann. In diesem Zusammenhang habe ich in der letzten Folge eine Zusatzfrage gestellt (Frage 4), die in der ursprünglichen Problemstellung nicht vorkam: Beweise (analytisch), dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist. Hier nun einige Hinweise dazu, für jene, die es versucht haben und irgendwo auf dem Weg steckengeblieben sind, oder schon den Einstieg nicht fanden.

Stelle die Situation in einem Koordinatensystem dar. Wähle die praktischsten Werte für O und R. Untersuche die Gleichung eines Kreises, und die Gleichung der Inversion dieses Kreises. Kannst du beweisen, dass die Gleichung der Inversion ebenfalls einen Kreis beschreibt?

Du kannst es sogleich auf deine eigene Art versuchen, oder auch dem folgenden „Rezept“ folgen:

Ich habe O(0;0) und R=1 gewählt. Der Kreis, der das „Urbild“ ist, soll das Zentrum (p;0) haben und einen Radius r. Sein Zentrum liegt also auf der x-Achse.
Wir dürfen diese Einschränkungen vornehmen, ohne dass der Beweis an Allgemeingültigkeit verliert, denn die geometrischen Eigenschaften der Inversion bleiben bei Streckung und Drehung erhalten. Somit können alle anderen Situationen auf die hier gewählte zurückgeführt werden.
Wir definieren ausserdem, dass p und r nicht gleich sind. Denn sonst ginge die Kreislinie durch O, und das ist der Fall, den wir bereits mit den Fragen 1 bis 3 untersucht haben. (Man kann natürlich auch diesen Fall analytisch untersuchen.)

Die Gleichung unseres Kreises lautet also:

(xp)2 + y2 = r2

Wenn wir nun einen Punkt A(x; y) haben, der diese Gleichung erfüllt (also auf unserem Kreis liegt), und wir wenden die Inversion an, was sind dann die Koordinaten A'(x‘; y‘) des Abbilds von A?
Erinnere dich, dass A‘ auf der Verbindungsgeraden AO liegt; und ausserdem gilt: AO·A’O = R2.

Du erhältst dann je einen Ausdruck für x‘ und für y‘; aber diese Ausdrücke enthalten noch die „alten“ Koordinaten x und y. Es geht jetzt also darum, aus diesen beiden Gleichungen x und y zu eliminieren, damit wir die Gleichung des ganzen „invertierten Kreises“ erhalten. Diese Gleichung sollte als Variabeln nur noch x‘ und y‘ enthalten (sowie die Parameter p und r).
D.h. zusammen mit der obigen Gleichung des Urbilds haben wir nun ein System von drei Gleichungen. Wir sollten also daraus zwei Variabeln (x und y) eliminieren können und dann eine einzige Gleichung haben.

Die algebraischen Umformungen während dieses Vorgangs können u.U. sehr kompliziert werden – oder je nachdem auch relativ einfach, wenn du es geschickt anpackst. Hier noch ein paar Tips dazu:

– Sei dir im Klaren darüber, worauf wir hinauswollen. Wir wollen beweisen, dass das Abbild ein Kreis ist. Das ist dann der Fall, wenn wir die Gleichung in die folgende Form bringen können:

(x‚ – a)2 + (y‚ – b)2 = s2

… wobei die Ausdrücke von a, b und s Konstanten sein müssen, d.h. sie dürfen nicht x‘ oder y‘ enthalten.
Wir können übrigens bereits voraussagen, dass b=0. Warum?

– Sowohl die Gleichung des Urbilds, als auch die voraussichtliche Gleichung des Abbilds, sind quadratisch. Daher die Empfehlung: Wenn möglich unterwegs kein unnötiges Wurzelziehen (und auch kein unnötiges Ausmultiplizieren)!

– Statt z.B. nach x und/oder nach y aufzulösen und diese Lösungen einzusetzen, wird die Sache evtl. einfacher, wenn wir direkt gewisse zusammengesetzte Ausdrücke ersetzen, z.B. x2 + y2, oder x/x‘. (Auf diese Weise bin ich auf einen Lösungsweg gekommen, in dem tatsächlich keine einzige Quadratwurzel vorkommt!)

Genug der Hinweise. Ich darf noch verraten, dass die Vermutung richtig ist: das Abbild ist tatsächlich ein Kreis. Aber nun bist du dran!

Du könntest dann zusätzlich untersuchen, was es für Kreise gibt, die auf sich selber abgebildet werden. (Abgesehen vom trivialen Fall des Inversionskreises selber, also des Kreises um O mit Radius R.) Was für Bedingungen müssen solche Kreise erfüllen?

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Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

11. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Fragen 1 und 2)

5. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 1: Wenn du eine genaue Konstruktion angefertigt hast, dann dürftest du erkannt haben, dass der gesuchte geometrische Ort ein Kreis ist. Bei genauerer Beobachtung liegt die Vermutung nahe, dass die Kreislinie durch O geht. Und aus Symmetriegründen muss das Zentrum dieses Kreises auf der Senkrechten von O auf g liegen.

Diese Senkrechte ist als Symmetrieachse der ganzen Situation eine „privilegierte“ Linie. Bezeichnen wir mit A den Schnittpunkt dieser Senkrechten mit g, und mit M den Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von A aus. Falls der gesuchte g.O. tatsächlich, wie vermutet, ein Kreis ist, dann muss MO sein Durchmesser sein.

Wenn diese Vermutung richtig ist, dann ist eine Konsequenz davon, dass alle anderen Sehnen unserer Konstruktion durch M gehen müssen. Denn bei allen anderen Mittelpunkten Mi bildet OMi mit der betreffenden Sehne einen rechten Winkel. Wenn also Mi zu unserem geometrischen Ort gehört, dann ist dieser rechte Winkel einem Thaleskreis über MO einbeschrieben. Diese Beobachtung weist den Weg zu einem von mehreren möglichen Beweisen:

Führen wir die ganze Konstruktion „rückwärts“ aus:
– Konstruiere eine Sehne, die durch M geht.
– Konstruiere Tangenten in den Endpunkten der neuen Sehne. Bezeichnen wir mit B den Schnittpunkt dieser Tangenten.
– Verbinden wir OB; damit erhalten wir den Mittelpunkt M1 der neuen Sehne.
– Bezeichnen wir mit α den halben Zentrumswinkel über der ersten Sehne, und mit β den halben Zentrumswinkel über der neuen Sehne.

Wenn wir nun beweisen können, dass das Dreieck AOB rechtwinklig ist bei A, dann ist der Beweis vollständig: Dann ist nämlich B ein Punkt von g; und wir haben ja den Punkt M1 so konstruiert, dass er auf einem Kreis mit MO als Durchmesser liegt. Also ist dann dieser Kreis effektiv der g.O. aller Punkte Mi.

Vorderhand der naheliegendste Weg zur Vervollständigung dieses Beweises besteht in der Trigonometrie: Versuche die Längen der verschiedenen vorkommenden Stücke auszudrücken mit Hilfe des Kreisradius R, und trigonometrischer Funktionen der Winkel α bzw. β. Benütze die Dreiecke in der Figur; vorzugsweise die rechtwinkligen. Z.B. können wir mit Hilfe des Dreiecks OTM sehen, dass MT = R·sin α und MO = R·cos α. Noch unbekannte Winkel wirst du, wo möglich, durch α und β ausdrücken müssen. Die Einzelheiten solltest du nun selber vervollständigen können; denn wenn du dich an Probleme dieser Schwierigkeitsstufe wagst, dann ist anzunehmen, dass du diese Themen beherrschst.

Oder wer weiss, vielleicht findest du einen völlig andersartigen Beweis?

Zu Frage 2: Bezeichnen wir mit S1, S2 die Schnittpunkte von g mit dem Kreis. Diese sind die Grenzfälle, wo die beiden Tangenten an den Kreis in einer einzigen zusammenfallen. Die entsprechende Sehne wird dann zu einem Punkt, und diese Punkte S1, S2 sind somit die „Mittelpunkte“ der Sehnen. Also gehören diese Punkte selber zum gesuchten g.O; und wir können vermuten, dass dieser in einem Kreis besteht, der durch O, S1 und S2 geht.

Für die Punkte von g ausserhalb des Kreises gilt dieselbe Beziehung wie bei Frage 1. Wir werden einen Beweis führen können mit ähnlichen Überlegungen wie dort, sobald wir die Bedeutung der Punkte von g innerhalb des Kreises verstanden haben.
Wenn wir einige Beispiele konstruieren, werden wir feststellen, dass hier die umgekehrte Beziehung gilt: Wählen wir einen Punkt B auf g innerhalb des Kreises. Verlängern wir OB bis zum Schnittpunkt M1 auf dem g.O. Nun ist B der Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von M1 aus an den Kreis. Und wenn wir die Senkrechte von O auf g wählen, dann sind diese Berührungspunkte S1 und S2.

Nun solltest du selber den Beweis für diesen Fall vervollständigen können.

Retraite ins Land der Mathematik

29. Mai 2019

Lange habe ich mich mit dem Thema „Autoritarismus in ‚christlichen‘ Kirchen“ beschäftigt. Länger als mir lieb war. Leider ist es, wie mir sogar ein freikirchlicher Pastor bestätigte, nötig, sich mit diesem Thema auseinanderzusetzen. Aber es hat meinem persönlichen Wohlbefinden ziemlich zugesetzt, von so vielen hässlichen Dingen Kenntnis nehmen zu müssen, die in „frommen“ Kreisen vor sich gehen.

Deshalb befinde ich mich gegenwärtig in einer Art persönlichen Retraite. Neben der persönlichen Gemeinschaft mit Gott, habe ich festgestellt, dass auch das „Land der Mathematik“ ein guter Rückzugsort ist. So verbringe ich einen Teil meiner Zeit damit, mathematische Probleme auszutüfteln, und an meinen Büchern zum aktiven Mathematiklernen weiterzuarbeiten.

Die Mathematik ist in gewisser Hinsicht ein Abbild oder Gleichnis von Gottes Reich. Die Zahlen folgen treu ihren Gesetzen. Sie haben nie gelernt zu lügen oder zu betrügen, oder übereinander herrschen zu wollen. In mathematischen Zusammenhängen zu forschen, ist fast wie ein Gebiet der Schöpfung zu betreten, das vom Sündenfall noch unberührt geblieben ist. (Allerdings ist dieses „Land“ von keinem Menschen bewohnt, sondern nur von abstrakten Geschöpfen.)

Die Mathematik ist verlässlich. Ihre Gesetze sind keinem zeitbedingten Wandel unterworfen. Sie brauchen sich nicht um „politische Korrektheit“ zu kümmern. Allen Relativisten zum Trotz, ist die Mathematik eine Wissenschaft von unveränderlichen, universellen Wahrheiten.

Was die Menschen betrifft, die die Mathematik erforschen oder anwenden, so mögen diese sündhaft sein und die Mathematik zu sündhaften Zwecken missbrauchen. Aber damit vermögen sie nicht die Mathematik an sich mit ihrer Sündhaftigkeit anzustecken.

In der Mathematik kann es keine Willkürherrschaft geben. Niemand, auch nicht die mächtigste Regierung, kann ein mathematisches Gesetz nach Belieben abändern, in Kraft setzen oder aufheben. Niemand kann einem anderen vorschreiben, wie er die Gesetze der Mathematik anzuwenden hat. (Auch wenn das in manchen Bildungseinrichtungen immer wieder versucht wird – aber das Ergebnis ist dann nicht echte Mathematik, sondern Bürokratie.)
Wenn auch manche mathematischen Gesetze unter dem Namen einer bestimmten Persönlichkeit bekannt sind, so kann doch diese Persönlichkeit keinen Eigentumsanspruch darauf erheben. Sie hat das Gesetz nur entdeckt, aber nicht geschaffen.

In der Mathematik gibt es deshalb keinen Raum für menschliche Herrschaft, weder in der Form von Demokratie noch in der Form von Monarchie und Diktatur. Mathematische Gesetze unterliegen weder Mehrheitsbeschlüssen, noch Volksabstimmungen, noch Regierungsdiktaten, noch den Doktrinen von Päpsten und anderen religiösen Machthabern.
In der Mathematik erfüllt sich daher in gewisser Weise der Ausspruch von Jesus: „Einer ist euer Meister; ihr aber seid alle Brüder.“ (Matth.23,8) Nur einer hat je mathematische Gesetze geschaffen und „in Kraft gesetzt“: Gott selber.
Es gibt zwar Personen, die wegen ihrer hervorragenden Kenntnisse der Mathematik als „Autoritäten“ auf diesem Gebiet gelten. Aber diese Art von Autorität ist nicht im Sinne von „herrschen“ oder „Macht ausüben“ zu verstehen, sondern im Sinn einer besonderen Befähigung, anderen ihr Verständnis der mathematischen Gesetze zu vermitteln. Und das sollte eher als eine „Dienstleistung“ angesehen werden.

So ist es auch in der Gemeinschaft der Nachfolger Jesu, wie sie ursprünglich von ihm selber vorgezeichnet wurde, nicht vorgesehen, dass einer über den andern „herrsche“. Es mag „Lehrer“ geben in dem Sinne, dass einige ein besseres Verständnis von Gottes Wesen und seinen Gesetzen haben, und dieses Verständnis andern vermitteln können. Aber auch diese hat Jesus nie beauftragt, anderen Vorschriften zu machen, ihnen ihre besondere Auslegung aufzuzwingen, oder gar eigene Gesetze aufzustellen. Im Gegenteil, sie sollen „Diener“ sein (Matth. 23,11; 20,25-27). Wie die Wahrheiten der Mathematik, so können auch die Wahrheiten Gottes niemandem aufgezwungen, sondern höchstens erklärt werden.

Es braucht auch niemand eine Genehmigung, ein Diplom, oder eine Mitgliedschaft in einer akademischen Vereinigung, um Mathematik treiben zu dürfen. Die Mathematik ist Allgemeingut, „public domain“. Nur eines ist notwendig: die Bereitschaft, die Gesetze der Mathematik selber als verbindlich anzuerkennen und zu befolgen.
In derselben Weise hat auch jeder Zutritt zu Gott durch Jesus Christus, der bereit ist, ihm zu folgen. Man braucht dazu weder einem irdischen Leiter seine Loyalität zu erklären, noch in der Tradition einer bestimmten kirchlichen Richtung geschult zu sein, noch Mitglied einer religiösen Vereinigung oder Kirche zu werden.

Noch hätte ich Stoff für viele Artikel zum Thema „Autoritarismus“. Aber diese müssen noch einige Zeit warten. Interessierten Lesern kann ich empfehlen, in der Zwischenzeit im Internet nach „geistlicher Missbrauch“ zu suchen. Auch interessant ist eine Suche nach „Robert Lifton“ und „Mind Control“. Liftons Kriterien beruhen zwar nicht auf der Bibel, sondern auf der Psychologie. Sie zeichnen aber ein deutliches Porträt jener Gruppen und Leiter, die die Menschen „hinter sich selbst her“ ziehen wollen; was nach Apg.20,30 ein klares Kennzeichen falscher Geschwister und falscher Leiter ist. Es mag hilfreich sein, Gruppen und Organisationen nach diesen Kriterien zu beurteilen – nicht nur jene Gruppen, die im Verdacht der Sektiererei stehen, sondern auch jene, die als „Mainstream-Evangelikale“ gelten, oder sogar als „liberal“. Ja, auch die universitäre Bibelkritik kommt im Licht von Liftons Kriterien nicht sonderlich gut weg.

Genug damit; ich kehre zurück in meine Retraite.

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Ein mysteriöser geometrischer Ort

19. Mai 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum O, und eine Gerade g ausserhalb des Kreises. Von einem Punkt auf g aus konstruiert man die Tangenten an den Kreis, und verbindet deren Berührungspunkte T1 und T2 mit einer Geraden. Wir bezeichnen mit M den Mittelpunkt zwischen T1 und T2.

Frage 1: Wenn diese Konstruktion von allen Punkten von g aus ausgeführt wird, was ist dann der geometrische Ort aller Punkte M? – Konstruiere einige Beispiele, beobachte, und stelle Vermutungen auf. Dann überprüfe die wahrscheinlichste(n) Vermutung(en), und versuche sie zu beweisen.

Frage 2: Wie ändern sich die Bedingungen, wenn g den Kreis schneidet? Und kannst du für diesen Fall eine entsprechende geometrische Interpretation finden für jene Punkte von g, die sich innerhalb des Kreises befinden?

Frage 3: Bei dieser Konstruktion entspricht jeder Punkt von g genau einem Punkt auf dem mysteriösen geometrischen Ort. Es handelt sich also offenbar um eine Abbildung von g. Kannst du diese Abbildung genauer definieren bzw. beschreiben? Was für Eigenschaften dieser Abbildung gehen direkt aus den Antworten auf die Fragen 1 und 2 hervor? Untersuche weitere Eigenschaften, beschreibe und begründe sie.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische und persönliche Anmerkungen:

Forschungsaufgaben sind eine von mehreren Methoden, das Mathematiklernen „aktiver“ zu gestalten. Andere solche Methoden beruhen z.B. auf dem Hantieren mit konkreten Materialien wie Cuisenaire-Stäbchen, logischen Blöcken, usw, welche es den Schülern ermöglichen, mathematische Gesetzmässigkeiten mit den eigenen Händen zu „be-greifen“. Auf den höheren Stufen nehmen die Einsatzmöglichkeiten für solche Materialien ab, da die Mathematik zunehmend abstrakter wird. Dafür nimmt die Fähigkeit der Schüler zu, neue Themen anhand von wenigen Leitfragen selbständig zu erarbeiten und zu erforschen.

Sachverhalte, die man selber erforscht und entdeckt hat, vergisst man nicht so schnell wieder! Das eigene Forschen erfordert zwar mehr Zeit und Anstrengung, als wenn ein Lehrer einfach ein paar Formeln an die Tafel schreibt. Dafür ist die Lernerfahrung unvergleichlich viel dauerhafter. Insbesondere dann, wenn die Schüler nicht einfach eine bestimmte Aufgabe als „Pflichtübung“ vorgesetzt bekommen, sondern aus mehreren Aufgaben und Themen eine auswählen dürfen, die ihrem Können und Interesse entspricht.

Eine wichtige Erfahrung dabei ist, dass mathematische Gesetze und Formeln nicht willkürliche „Inhalte“ sind, die womöglich nur von Lehrern erfunden wurden, um Schüler zu schikanieren. Nein, in der Mathematik hat alles seine Begründung. Jede Formel, jedes Gesetz kann logisch erklärt werden. Auf (fast) jedes „Warum?“ gibt es eine Antwort. Und die Antwort ist umso einsichtiger, je mehr man selber dazu beigetragen hat, sie zu finden. Mehrere meiner Nachhilfeschüler haben nach der Beschäftigung mit einer Forschungsaufgabe mathematische Gesetzmässigkeiten verstanden, die sie zuvor trotz aller Erklärungen ihrer Lehrer nicht verstehen konnten. Meine eigenen Kinder haben sich mit solchen und ähnlichen Methoden angewöhnt, sich die Dinge selber zu erklären, was ihnen auch jetzt im Universitätsstudium zugute kommt.

Es geht also darum, mathematische Themen mit einem gewissen „Mysterium“ zu umgeben und die Neugier der Schüler zu wecken, statt ihnen fertige Antworten vorzusetzen auf Fragen, die sie gar nicht gestellt haben.Wenn wir zudem darauf achten, dass die Schüler an Aufgaben arbeiten dürfen, deren Schwierigkeitsgrad sie nicht überfordert, dann wird gleichzeitig ihr Selbstvertrauen gestärkt: „Mathematik ist etwas, was ich selber entdecken kann. Ich bin der Mathematik nicht hilflos ausgeliefert. Ich kann eigene Fragen stellen und Probleme erfinden, und sie lösen.“
Natürlich werden ab und zu weitere Hilfestellungen auf dem Weg erforderlich sein. Auch für die vorliegende Aufgabe werde ich später solche geben.

Frage 3 ist bewusst offen formuliert. In der Mathematik soll es Raum geben für eigene Kreativität, und für eigene Erweiterungen eines Themas, über die Schulbuchaufgaben hinaus.

Bei der Erarbeitung der hier gestellten Aufgabe bin ich tatsächlich selber den Weg eines Schülers gegangen, der zuerst vor einem Mysterium steht und dann schrittweise anfängt, es zu verstehen. Ich war eigentlich daran, viel einfachere Aufgaben aufzustellen für Schüler, die eben erst anfangen, die Eigenschaften von Kreisen, Sehnen und Tangenten zu lernen. Dabei stellte ich mir selber aus Neugier die obige Frage 1. Statt in einem Buch oder im Internet nach der Antwort zu suchen, begann ich selber zu forschen, zu zeichnen, zu konstruieren, zu rechnen. Zuerst geriet ich in verschiedene Sackgassen und musste neue Alternativen ausprobieren. Nach zwei bis drei Stunden kam ich auf einen schlüssigen und nicht allzu komplizierten Beweis, und ging befriedigt schlafen.
Am nächsten Morgen machte ich mich daran, das Ergebnis übersichtlich zusammenzufassen, und über einige zusätzliche Fragestellungen nachzudenken. Dabei kam mir schlagartig die Erkenntnis, dass dieses Problem mit einem anderen, auf den ersten Blick völlig andersartigen Thema zusammenhängt; und damit ergab sich plötzlich eine ganz neue Perspektive (Frage 3). Das war so eine Art mehrfach potenziertes „Aha-Erlebnis“; so ähnlich wie sich Archimedes in der Badewanne gefühlt haben muss, als er plötzlich das Gesetz des Auftriebs verstand. Der Mathematiker Keith Devlin von der Universität Stanford schrieb einmal sinngemäss über dieses Hochgefühl einer mathematischen Entdeckung: „Das ist besser als jedes von Drogen erzeugte ‚High‘, es kostet nichts, und hat keine schädlichen Nebenwirkungen. Eine Motivation für mich, als Mathematiker zu arbeiten, ist der Wunsch, dieses Hochgefühl immer und immer wieder erleben zu dürfen.“

Hätte ich zuerst Literatur zum Thema studiert, so hätte ich wahrscheinlich die Antworten schneller gefunden. Aber mein Verständnis davon wäre oberflächlicher gewesen. Und ich hätte das aufregende Erlebnis verpasst, eine eigene Entdeckung zu machen.

Ich wünsche mir, dass schon Schüler diese Entdeckerfreude erleben dürfen und dadurch zum Mathematiklernen motiviert werden. Die hier vorgestellte Aufgabe erfordert ein hohes Mass an Vorkenntnissen; aber auch zu einfacheren Themen lassen sich interessante Forschungsthemen finden.

Paul Lockhart: Mathematik in der Schule (Fortsetzung)

3. Februar 2014

Auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart (Siehe Vorwort zum 1.Teil)

Wie sollen wir also unsere Schüler Mathematik lehren? – Indem wir begeisternde und natürliche Probleme finden, die ihrem Geschmack, ihrer Persönlichkeit und ihrem Mass an Erfahrung entsprechen. Indem wir ihnen Zeit geben, Entdeckungen zu machen und Vermutungen zu formulieren. Indem wir ihnen helfen, ihre Argumente zu verfeinern, und eine Umgebung gesunder mathematischer Kritik schaffen. Indem wir flexibel sind und offen für plötzliche Richtungsänderungen je nach der Neugier der Schüler. Kurz, indem wir eine ehrliche intellektuelle Beziehung eingehen mit unseren Schülern und unserem Unterrichtsfach.

Natürlich ist das aus mehreren Gründen unmöglich. Abgesehen davon, dass die standardisierten Prüfungen dem Lehrer praktisch keinen Freiraum mehr lassen, bezweifle ich auch, dass die meisten Lehrer überhaupt eine so intensive Beziehung zu ihren Schülern eingehen wollen. Das erfordert zuviel Verletzbarkeit und zuviel Verantwortung – kurz, es ist zuviel Arbeit!

(…)

Mathematik ist aber tatsächlich harte kreative Arbeit, ebenso wie Malerei oder Dichtung. Deshalb ist sie sehr schwer zu lehren. Mathematik ist ein langsamer, gedankenvoller Prozess. Es braucht Zeit, ein Kunstwerk herzustellen; und nur ein geübter Lehrer kann ein solches erkennen. Es ist einfacher, eine Liste von Regeln aufzustellen, als werdende junge Künstler anzuleiten.
Mathematik ist eine Kunst, und Kunst sollte von tätigen Künstlern gelehrt werden, oder zumindest von Menschen, welche die Kunstform wertschätzen und sie erkennen können, wenn sie sie sehen. Warum akzeptieren wir Mathematiklehrer, die nie in ihrem Leben ein eigenes originales Stück Mathematik produziert haben, nichts über die Geschichte und Philosophie ihres Faches wissen, nichts über die neusten Entwicklungen, nichts, was über das hinausgeht, was sie ihren unglücklichen Schülern vorsetzen müssen? Was für ein Lehrer ist das? Wie kann jemand etwas lehren, was er selber nicht ausübt?

(…) Lehren hat nicht mit Informationsvermittlung zu tun. Es bedeutet, eine ehrliche intellektuelle Beziehung zu den Schülern zu haben. Es erfordert keine Methode, keine Hilfsmittel, und keine Ausbildung. Nur die Fähigkeit, echt zu sein. Und wenn Sie nicht echt sein können, dann haben Sie kein Recht, sich unschuldigen Kindern aufzunötigen.
Insbesondere kann man das Lehren nicht lehren. Lehrerseminare sind ein völliger Unsinn. Ja, Sie können Entwicklungspsychologie und alles mögliche lernen, und Sie können darauf trainiert werden, eine Wandtafel „effizient“ zu benützen und einen geordneten „Lektionenplan“ zu erarbeiten (was übrigens sicherstellt, dass Ihre Lektionen geplant sein werden und somit nicht mehr echt); aber Sie werden nie ein wirklicher Lehrer sein, wenn Sie nicht dazu bereit sind, als Person echt zu sein. Lehren bedeutet Offenheit und Ehrlichkeit, die Fähigkeit, Begeisterung zu teilen, und eine Liebe zum Lernen. Wenn Sie dies nicht haben, dann werden Ihnen alle Lehrertitel der Welt nicht helfen; und wenn Sie diese Dinge haben, dann sind Lehrertitel völlig unnötig.

.

SIMPLICIO: Gut, ich verstehe, dass Mathematik mit Kunst zu tun hat, und dass wir diese nicht gerade gut vermitteln. Aber ist das nicht zuviel verlangt von unserem Schulsystem? Wir wollen ja keine Philosophen ausbilden, wir wollen nur, dass die Leute die grundlegenden Rechenfertigkeiten erlernen, die sie in unserer Gesellschaft brauchen.

SALVIATI: Aber das ist nicht wahr! Die Schulmathematik beschäftigt sich mit vielen Dingen, die nichts zu tun haben mit der Fähigkeit, in der Gesellschaft klarzukommen – z.B. Algebra oder Trigonometrie. Diese sind völlig irrelevant für das Alltagsleben. Ich schlage einfach vor, dass wenn wir solche Dinge einführen, dass wir es auf organische und natürliche Weise tun. (…) Wir lernen Dinge, weil sie uns jetzt interessieren, nicht weil sie später nützlich sein könnten. Aber genau das verlangen wir von den Kindern in Mathematik.

SIMPLICIO: Aber sollten Drittklässler nicht rechnen können?

SALVIATI: Warum? Möchtest du sie trainieren, dass sie 427 + 389 zusammenzählen können? Das ist nicht die Art von Fragen, die Achtjährige normalerweise stellen. Sogar viele Erwachsene verstehen den Stellenwert im Dezimalsystem nicht wirklich, und du erwartest von Achtjährigen, eine klare Vorstellung davon zu haben? Oder kümmert es dich nicht, ob sie es verstehen? Es ist einfach zu früh für diese Art von technischem Training. Man kann es natürlich tun, aber letztlich schadet es den Kindern mehr, als es ihnen nützt. Es wäre viel besser zu warten, bis ihre eigene natürliche Neugier über Zahlen erwacht.

SIMPLICIO: Was sollen wir dann mit kleinen Kindern im Mathematikunterricht tun?

SALVIATI: Lasst sie spielen! Lehrt sie Schach und Go, Hex und Backgammon, Nim, oder was immer. Erfindet eigene Spiele. Löst Puzzles und Rätsel. Konfrontiert sie mit Situationen, wo sie deduktiv überlegen müssen. Sorgt euch nicht um Notationsweisen und Techniken. Helft ihnen, zu aktiven und kreativen mathematischen Denkern zu werden.

SIMPLICIO: Das scheint mir ein schreckliches Risiko zu sein. Wenn unsere Schüler dann nicht einmal mehr zu- und wegzählen können, was dann?

SALVIATI: Ich denke, es ist ein viel grösseres Risiko, die Schulen von jedem kreativen Ausdruck zu entleeren, wo die Schüler nur noch Daten, Formeln und Wörterlisten auswendig lernen. (…)

SIMPLICIO: Aber es gibt doch ein gewisses mathematisches Grundwissen, das ein gebildeter Mensch kennen sollte.

SALVIATI: Ja, und das wichtigste davon ist das Wissen, dass Mathematik eine Kunstform ist, die die Menschen zu ihrem eigenen Vergnügen ausüben! Ja, es ist gut, wenn die Menschen etwas über Zahlen und Formen wissen. Aber das gewinnt man nicht durch stures Auswendiglernen. Man lernt Dinge, indem man sie tut, und du behältst im Gedächtnis, was dir wichtig ist. Millionen von Erwachsenen haben mathematische Formeln in ihren Köpfen, aber sie haben keine Ahnung, was sie bedeuten. Sie hatten nie die Gelegenheit, solche Dinge selber zu entdecken oder zu erfinden. (…) Sie hatten nicht einmal Gelegenheit, über einer Frage neugierig zu werden, denn die Frage wurde beantwortet, bevor sie gestellt wurde.

SIMPLICIO: Aber wir haben nicht so viel Zeit, dass jeder Schüler die ganze Mathematik selber erfinden könnte! Die Menschheit brauchte Jahrhunderte, um den Satz von Pythagoras zu entdecken. Wie soll ein durchschnittliches Schulkind das schaffen?

SALVIATI: Das erwarte ich gar nicht. Verstehe mich recht. Ich beklage mich darüber, dass Kunst und Erfindung, Geschichte und Philosophie, Zusammenhang und Perspektive überhaupt nicht vorkommen im Mathematiklehrplan. Damit sage ich nicht, Notierung, Techniken und Kenntnisse seien unwichtig. Natürlich sind sie wichtig. Wir brauchen beides. (…) Aber die Menschen lernen besser, wenn sie am Prozess beteiligt sind, der die Ergebnisse hervorbringt.

(…)

Der Mathematiklehrplan

(…) Das Auffälligste am Mathematiklehrplan ist seine Starrheit. Überall werden genau dieselben Dinge in genau derselben Weise und Reihenfolge gesagt und getan. Das hat zu tun mit dem „Leitern-Mythos“ – die Idee, Mathematik könne als eine Reihe von „Themen“ angeordnet werden, von denen jedes ein wenig fortgeschrittener oder „höher“ sei als das vorhergehende. Dadurch wird die Schulmathematik zu einem Wettrennen – einige Schüler sind den anderen „voraus“, und die Eltern anderer fürchten, ihr Kind könnte „zurückbleiben“. Aber wohin genau führt dieses Rennen? Worin besteht die Ziellinie? Es ist ein trauriges Rennen nach Nirgendwo. Am Ende bist du um eine mathematische Bildung betrogen worden, und du weisst es nicht einmal.
Echte Mathematik wird nicht in Konservenbüchsen geliefert. Probleme führen dich dahin, wohin du ihnen folgst. Kunst ist kein Wettrennen. (…)

Anstelle von Entdeckungsreisen haben wir Regeln und Reglemente. Wir hören nie einen Schüler sagen: „Ich war neugierig, was geschieht, wenn man eine Zahl in eine negative Potenz erhebt, und fand heraus, dass es Sinn macht, wenn man darunter den Kehrwert versteht.“ Stattdessen präsentieren Lehrer und Schulbücher die „Regel für negative Exponenten“ als fait accompli, ohne etwas über die Ästhetik dieser Wahl zu sagen, oder wie man darauf kommen kann.

(…) Anstelle eines natürlichen Problemzusammenhangs, in welchem die Schüler selber entscheiden können, welchen Sinn sie ihren Worten geben wollen, werden sie einer endlosen Folge von unbegründeten A-Priori-„Definitionen“ unterworfen. Der Lehrplan ist besessen von Nomenklatur, anscheinend zu dem einzigen Zweck, dem Lehrer Prüfungsstoff zu liefern. Kein Mathematiker in der ganzen Welt würde solche sinnlosen Unterscheidungen machen: 2 1/2 ist eine „gemischte Zahl“, während 5/2 ein „unechter Bruch“ ist. Die beiden Zahlen sind ganz einfach gleich! Es handelt sich um genau dieselbe Zahl mit genau denselben Eigenschaften. Wer, ausser einem Viertklasslehrer, benützt solche Worte?
Natürlich ist es einfacher, die Schüler über ihre Kenntnis einer sinnlosen Definition zu prüfen, als sie zu inspirieren, etwas Schönes zu schaffen und selber den Sinn darin zu finden. Auch wenn wir darin übereinstimmen, dass ein grundlegender gemeinsamer mathematischer Wortschatz wichtig ist, diese Beispiele gehören nicht dazu. Wie traurig, dass Fünftklässler gelehrt werden, statt „Viereck“ oder „vierseitige Form“ „Quadrilateral“ zu sagen (im Englischen), aber dass sie nie in eine Situation kommen, wo sie Wörter wie „Vermutung“ oder „Gegenbeispiel“ gebrauchen könnten.

Anmerkung meinerseits: Hier noch ein etwas exotischeres Beispiel: Wissen Sie, was eine „kodifizierte Zahl“ ist? Nein? Gut, wenn Sie nicht zufällig ein Schulbuchautor für das peruanische (oder irgendein anderes) Erziehungsministerium sind, dann sind Sie entschuldigt, denn niemand sonst gebraucht diesen Begriff. Diese Autoren verstehen unter einer „kodifizierten Zahl“ eine Zahl, die mit den entsprechenden Abkürzungen für „Einer“, „Zehner“, „Hunderter“ usw. geschrieben wird, also z.B. „3T 4H 1Z 8E“.
Und was ist dann eine „dekodifizierte Zahl“? Der gesunde Menschenverstand würde annehmen, es handle sich um die normal geschriebene Zahl, also z.B. „3418“. Aber nein, gemäss den Schulbuchautoren ist eine „dekodifizierte Zahl“ eine „kodifizierte Zahl“, wo statt der Abkürzungen der effektive Stellenwert der Ziffern geschrieben wird, also z.B. „3000 + 400 + 10 + 8“.
Wozu müssen die Kinder derart absurde Begriffe lernen, als ob es sich um äusserst wichtige mathematische Konzepte handle? (Echte Mathematiker gebrauchen diese Begriffe jedenfalls nicht.) Ich hege den Verdacht, solche Wörter seien speziell zu dem Zweck erfunden worden, die völlig unvernünftige Zunahme der Schulstunden während der letzten Jahre zu rechtfertigen.
Rücken wir die Dinge in ihre Perspektive: Diese willkürlich erfundenen Wörter werden in die Gehirne von Zehnjährigen gequetscht, die noch nicht einmal die Namen der häufigsten Pflanzen- und Tierarten ihrer Umgebung kennen, und auch nicht die Namen von allgemein gebräuchlichen Küchengeräten und anderen Haushaltgegenständen. Wahrscheinlich werden sie letztere während ihrer ganzen Schullaufbahn nie kennenlernen, denn sie sind derart beschäftigt mit Schulstunden und Hausaufgaben, dass sie keine Zeit haben, ihren Eltern zuhause etwas zu helfen, oder einen Ausflug aufs Land zu unternehmen und die Natur kennenzulernen. Und ihre Gehirne sind völlig ausgelastet damit, sinnlose Begriffe und Definitionen zu lernen. So denken sie, es sei viel wichtiger zu wissen, was eine „kodifizierte Zahl“ ist, als was ein Salatsieb oder ein Schraubenzieher ist und wozu man diese Dinge benützt.

Sprachlehrer wissen, dass Rechtschreibung und Aussprache am besten im Zusammenhang mit dem Lesen und Schreiben gelernt werden. Geschichtslehrer wissen, dass Namen und Daten uninteressant sind, wenn man den Hintergrund der Ereignisse nicht kennt. Warum ist der Mathematikunterricht im 19.Jahrhundert zurückgeblieben? Vergleichen Sie Ihre Erfahrung des Algebra-Lernens mit Bertrand Russells Erinnerung:

„Ich musste auswendiglernen: ‚Das Quadrat der Summe von zwei Zahlen ist gleich der Summe ihrer Quadrate plus zweimal ihr Produkt.‘ Ich hatte nicht die entfernteste Vorstellung, was das bedeutete, und als ich mich nicht an die Worte erinnern konnte, warf mir mein Lehrer das Buch an den Kopf, was meinen Intellekt in keiner Weise förderte.“

Sind die Dinge heute wirklich so anders?

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Paul Lockhart: Mathematik in der Schule

11. Januar 2014

Kommentierte auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart

Mathematik in der Schule

Es gibt keinen sichereren Weg dazu, die Begeisterung und das Interesse an einem Thema abzutöten, als es zu einem obligatorischen Schulfach zu machen. Machen wir es zudem zu einem Hauptbestandteil der standardisierten Prüfungen, dann wird das Bildungs-Establishment alles Leben daraus heraussaugen. Schulbehörden verstehen nicht, was Mathematik ist. Ebensowenig verstehen es die Pädagogikexperten, die Schulbuchautoren, die Verlage, und leider verstehen es auch die meisten Mathematiklehrer nicht. Die Reichweite des Problems ist so enorm, dass ich kaum weiss, wo ich beginnen soll.

Beginnen wir mit dem Debakel der Schulreformen. (…) Dieses ganze Gezänk darum, was für „Themen“ in welcher Reihenfolge gelehrt werden sollen, ob diese oder jene Notation verwendet werden soll, oder was für Modelle von Taschenrechnern zu verwenden seien – das ist wie die Stühle auf dem Deck der „Titanic“ umzustellen! Mathematik ist die Musik des Verstandes. Mathematik zu treiben bedeutet, an einem Abenteuer von Entdeckung und Vermutung, Intuition und Inspiration teilzunehmen; in Verwirrung zu kommen – nicht weil Sie keinen Sinn darin sehen, sondern weil Sie ihm einen Sinn gaben und trotzdem noch nicht verstehen, was Ihr Geschöpf tut; eine durchbrechende Idee zu haben; als Künstler frustriert zu sein; von einer fast schmerzhaften Schönheit überwältigt zu sein; lebendig zu sein. Wenn Sie das alles aus der Mathematik wegnehmen, dann können Sie so viele Konferenzen abhalten, wie Sie wollen, es nützt nichts mehr. Ihr Ärzte, operiert soviel Ihr wollt: euer Patient ist bereits tot.

Das Traurigste an diesen „Reformen“ sind die Versuche, „Mathematik interessant zu machen“ und „relevant für das Leben der Kinder“. Mathematik muss nicht interessant gemacht werden – sie ist bereits interessanter, als wir ertragen können! Und ihre Herrlichkeit besteht darin, dass sie für unser Leben überhaupt nicht relevant ist. Deshalb macht sie Spass!

Die Versuche, Mathematik als relevant für das tägliche Leben darzustellen, wirken unvermeidlich gezwungen und gekünstelt: „Seht, Kinder, wenn ihr Algebra könnt, dann könnt ihr herausfinden, wie alt Maria ist, wenn wir wissen, dass sie zwei Jahre älter ist als das Doppelte von ihrem Alter vor sieben Jahren!“ (Als ob jemand irgendwann einmal Zugang zu einer solch lächerlichen Information hätte anstelle von Marias Alter.) – In der Algebra geht es nicht um das tägliche Leben, es geht um Zahlen und Symmetrien – und das ist an und für sich eine wertvolles Unterfangen:

„Nehmen wir an, ich kenne die Summe und die Differenz zweier Zahlen. Wie kann ich diese Zahlen herausfinden?“

Das ist eine einfache und elegante Frage, und sie braucht keine zusätzlichen Anstrengungen, um sie interessant erscheinen zu lassen. Die alten Babylonier hatten Freude daran, an solchen Problemen zu arbeiten, und unsere Schüler ebenso. (Und ich hoffe, Ihnen macht es ebenfalls Spass, darüber nachzudenken!) Wir müssen keine Purzelbäume schlagen, um die Mathematik „relevant“ zu machen. Sie ist ebenso relevant wie jede andere Kunst: als sinnvolle menschliche Erfahrung.

Anmerkung meinerseits: Recht hat Lockhart hier, dass die „Relevanz“ von Schulbuchaufgaben nur vorgetäuscht ist. Warum soll ich Textaufgaben über einen Bauernhof oder einen Kaufladen lösen, wenn meine tatsächliche Umgebung aus einer sterilen Schulbank vor einer Wandtafel besteht? – Anders sieht die Sache aber aus, wenn das Kind tatsächlich eine Zeitlang auf einem Bauernhof leben oder in einem Laden mitarbeiten kann. Die reale Umgebung wird ihm unweigerlich konkrete mathematische Probleme stellen: Wie gross muss ein Eimer sein, um zwei Kühe zu melken? Wieviel Rückgeld muss ich geben? Usw.
Das Problem bei Lockhart scheint mir zu sein, dass er trotz allem an der sterilen Schulzimmerumgebung festhält, die, wie Raymond Moore sagt, höchstens ein zweidimensionales Abbild des wirklichen, dreidimensionalen Lebens bieten kann. Homeschooling bietet dagegen enorm vielfältige Möglichkeiten zu praktischen Tätigkeiten des wirklichen Lebens (wie z.B. die Mithilfe auf einem Bauernhof oder in einem Laden), die, wenn sie entsprechend verwertet werden, immer wieder Anlass zu mathematischem Denken geben. Mathematisches Verständnis sollte sich nicht auf abstrakte Gebilde beschränken. Ebenso wichtig ist die Fähigkeit, mathematische Konzepte in Situationen des praktischen Lebens hinein zu „übersetzen“, und umgekehrt.

Hier ein authentisches Beispiel aus unserem Alltag, wie praktische Probleme und mathematische Abstraktion ineinander übergehen und einander gegenseitig bereichern: Eine Nachbarin von uns hatte ein Grundstück gekauft, hegte aber den Verdacht, sie sei bei der Flächenangabe betrogen worden. Sie liess deshalb die Seiten und die Diagonalen genau ausmessen (es handelte sich um ein unregelmässiges Viereck) und kam dann mit den Massen zu meinem ältesten Sohn mit der Bitte, er möge ihr doch die Fläche ausrechnen. Er erkannte sofort, dass eine Diagonale das Viereck in zwei Dreiecke teilt, dessen Seitenlängen nun bekannt sind. Er wusste aber nicht, wie man daraus die Fläche ausrechnen kann. „Wenn wir nur die Höhe des Dreiecks wüssten!“ – „Aber vielleicht können wir sie ausrechnen. Zeichnen wir sie doch einmal ein, und schreiben wir alles auf, was wir darüber wissen.“

Heron0

– Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und dreier Gleichungen kamen wir so auf eine Formel für die Höhe und damit für die Fläche. Unser Ergebnis sah so aus:

Heron1

und somit:

Heron2

Dann suchten wir in einer Formelsammlung, ob wir etwas Entsprechendes fänden. Einmal um zu überprüfen, ob wir richtig gerechnet hatten, und auch einfach aus Neugier. Wir fanden die Heronsche Flächenformel, die so aussieht:

Heron3

– wobei p den halben Umfang des Dreiecks bedeutet. Diese Formel ist natürlich bedeutend schöner und eleganter als unsere; insbesondere ist sie symmetrisch inbezug auf die drei Seiten a, b und c. Es ist aber nicht auf den ersten Blick einsichtig, ob diese Formel wirklich gleichbedeutend ist mit der unsrigen. Es stellte sich daher die Frage, ob man zeigen kann, dass die beiden Formeln tatsächlich gleichbedeutend sind. Das war nun natürlich eine mathematische Abstraktion, völlig losgelöst von dem praktischen Problem mit dem Grundstück. Wir stellten fest, dass man in unserer Formel den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren zerlegen kann (das war etwas, was mein Sohn damals sowieso am Üben war) und dann nach einigen Umformungen tatsächlich zu der Form kommt, wie sie in der Formelsammlung steht.
So hat mein Sohn die Formel weitgehend selbständig hergeleitet – und erst noch mit Praxisbezug -, mit weitaus grösserem Lerneffekt, als es normalerweise in der Schule geschieht. Ohne es geplant zu haben, haben wir effektiv alle folgenden Lehrplanpunkte „durchgenommen“:
– Elementare Geometrie des Dreiecks und Vierecks
– Satz von Pythagoras
– Lösung eines Gleichungssystems mit mehreren Unbekannten
– Faktorenzerlegung eines algebraischen Ausdrucks, einschliesslich Gebrauch der binomischen Formel für (a+b)2
– Flächenformel nach Heron.
Und unsere Nachbarin war zufrieden, weil sie jetzt wusste, wie gross ihr Grundstück war.

In diesem Problem liegt übrigens eine weitere Forschungsaufgabe, die wir aber (noch) nicht durchgeführt haben: Die alten Griechen kannten ja keine Algebra, sondern führten die meisten mathematischen Schlussfolgerungen und Beweise auf graphisch-geometrische Weise durch. Heron kann also seine Formel nicht auf dem oben beschriebenen Weg gefunden haben. Wie kann man diese Formel rein geometrisch herleiten?

Denken Sie etwa, Kinder wollen wirklich etwas, was für ihr tägliches Leben relevant ist? Denken Sie, sie würden sich für etwas Praktisches wie Zinseszinsen begeistern? Sie erfreuen sich vielmehr an Phantasie, und genau das kann die Mathematik geben – eine Erholung vom täglichen Leben, ein Gegenmittel gegen die Arbeitswelt.

Anmerkung meinerseits: Lockhart erweist sich hier als Nachfolger G.H.Hardys, der kategorisch behauptete, Mathematik sei nur so lange Mathematik, wie sie keine praktische Anwendung habe und nichts mit der tatsächlichen physikalischen Welt zu tun habe. Er weicht damit der Frage aus, woher es dann kommt, dass die Mathematik tatsächlich so genau mit den Gesetzen des physikalischen Universums übereinstimmt. Von einer rein „imaginären“ Gedankenkonstruktion wäre das ja nicht zu erwarten. (Nur ab und zu erwähnt Lockhart beiläufig, dass mathematische Konzepte manchmal im Nachhinein „zufällig“ (?) eine praktische Anwendung finden.)
Die pragmatische Erklärung, Mathematik sei eben aus der Beobachtung der physikalischen Welt und als Antwort auf praktische Notwendigkeiten entstanden, überzeugt dagegen auch nicht. Viele mathematische Konzepte wurden erdacht, lange bevor ihre Übereinstimmung mit physikalischen Gesetzmässigkeiten und ihre Anwendbarkeit hierauf entdeckt wurde. Z.B. untersuchten bereits die alten Griechen die Eigenschaften der Kegelschnitte; aber erst Kepler entdeckte, dass Kegelschnitte die Umlaufbahnen von Planeten und anderen Himmelskörpern exakt beschreiben.
Für mich ist die einleuchtendste Erklärung die christliche: Derselbe Gott, der das Universum erschaffen hat, hat auch die menschlichen Denkstrukturen geschaffen, sodass es notwendigerweise eine Entsprechung zwischen den beiden geben muss.
Daraus folgt aber, dass eine praktische Anwendbarkeit der Mathematik zu erwarten ist, und ebenso, dass mathematisches Denken öfters auch durch praktische Probleme des täglichen Lebens angestossen wird. Das tut der Mathematik als Mathematik keinen Abbruch, ist aber – hierin stimme ich mit Lockhart überein – nicht ihr tieferer Sinn.

Ein ähnliches Problem ergibt sich, wenn Lehrer oder Schulbücher „kindgemäss“ sein wollen. (…) Um den Schülern zu helfen, die Formel für den Kreisumfang zu lernen, erfinden sie z.B. eine Geschichte von einem Hund, der um einen kreisrunden Baum herumläuft und „Pipi“ an seinen Rand macht (U=2pr), oder ähnlichen Unsinn.
Aber was ist mit der wirklichen Geschichte? Die Geschichte vom Kampf der Menschheit mit der Messung von Kurven; von Eudoxus und Archimedes und ihrer Methode der Ausschöpfung; von der Transzendenz der Zahl Pi? Was ist interessanter: den Umfang von Kreisen zu berechnen mit einer Formel, die man von jemandem ohne weitere Erklärung vorgesetzt bekommt, oder die Geschichte eines der schönsten und faszinierendsten Probleme der Menschheitsgeschichte zu hören? Wir heute töten das Interesse der Menschen an Kreisen ab! Welches andere Schulfach wird so gelehrt, ohne jede Erwähnung seiner Geschichte, Philosophie, thematischen Entwicklung, ästhetischen Kriterien, und seines aktuellen Standes? Welches andere Schulfach verachtet seine primären Quellen – herrliche Kunstwerke von einigen der kreativsten Denker der Geschichte – zugunsten von drittklassigen Schulbuchnachahmungen?

Das grösste Problem mit der Schulmathematik ist, dass es in ihr keine Probleme mehr gibt. – Ich weiss, diese faden „Übungen“ werden als Probleme ausgegeben: „Dies ist ein Beispiel für ein Problem. Hier steht, wie man es löst. Ja, das kommt an der Prüfung. Löst die Übungen 1 bis 35 als Hausaufgabe.“ Was für eine traurige Art, Mathematik zu lernen: wie ein abgerichteter Schimpanse.

Aber ein echtes Problem, eine echte, ehrliche, natürliche, menschliche Frage – das ist etwas anderes. Wie lang ist die Diagonale eines Würfels? Hören die Primzahlen nie auf? Ist Unendlich eine Zahl? Auf wieviele Arten kann ich eine Fläche symmetrisch mit Fliesen belegen? – Die Geschichte der Mathematik ist die Geschichte der menschlichen Beschäftigung mit Fragen wie diesen. Nicht des gedankenlosen Wiederkäuens von Formeln und Algorithmen.

Ein gutes Problem besteht darin, dass du nicht weisst, wie man es lösen kann. Das macht es zu einer guten Gelegenheit; zu einem Sprungbrett zu weiteren interessanten Fragen: Ein Dreieck füllt die Hälfte einer Schachtel aus. Wie steht es nun mit einer Pyramide in einer dreidimensionalen Schachtel? Können wir dieses Problem auf ähnliche Weise lösen?

Ich verstehe den Gedanken, die Schüler bestimmte Techniken üben zu lassen. Ich tue das auch. Aber nicht als Selbstzweck. Wie in jeder Kunst, sollten die Techniken in ihrem Zusammenhang eingeübt werden: die grossen Probleme, ihre Geschichte, der kreative Prozess. Geben Sie Ihren Schülern ein gutes Problem und lassen Sie sie damit kämpfen und frustriert werden. Sehen sie, was für Ideen sie hervorbringen. Warten Sie, bis sie verzweifelt nach einer Idee verlangen, und dann geben Sie ihnen eine Technik. Aber nur so viel wie nötig.

Legen Sie also Ihre Lektionenpläne und Ihre Projektoren beiseite, Ihre vierfarbigen Schulbuchgräuel, Ihre CD-ROMs und den ganzen Multimedia-Zirkus der gegenwärtigen Schulbildung, und treiben Sie einfach Mathematik mit Ihren Schülern! Zeichnungslehrer verschwenden ihre Zeit auch nicht mit Schulbüchern und sturem Üben von Techniken. Sie lassen die Kinder zeichnen, gehen von Tisch zu Tisch, machen Vorschläge und geben Rat:

„Ich habe über unser Dreiecksproblem nachgedacht, und habe etwas festgestellt. Wenn das Dreieck so richtig schief liegt, dann füllt es nicht die Hälfte der Schachtel aus! Sehen Sie, hier:“

Lockhart4

„Eine ausgezeichnete Beobachtung! Unsere Erklärung mit dem Zerschneiden geht davon aus, dass die Spitze des Dreiecks über der Grundlinie liegt. Jetzt brauchen wir eine neue Idee.“
„Soll ich versuchen, es auf eine andere Weise zu zerteilen?“
„Bestimmt. Probiere alles mögliche aus. Lass mich wissen, was du herausfindest!“

Anmerkung meinerseits: Lockhart berührt hier einen wesentlichen Punkt: die kindliche Neugier und Phantasie als Antrieb zur Mathematik. Ich kann das aus eigener Erfahrung bestätigen. Ich hatte das Glück, als Kind in mathematischer Hinsicht so frühreif zu sein (und gleichzeitig in einer Zeit zu leben, als Kinder noch nicht so früh eingeschult wurden wie heute), dass ich Gelegenheit hatte, Mathematik zu treiben, bevor ich zur Schule kam, unbeeinflusst von Lehrplänen und schulischen Methoden. Ich erinnere mich noch, wie ich als etwa Sechsjähriger u.a. spielerisch die Eigenschaften der „Dreieckszahlen“ untersuchte (ohne schon auf eine algebraische Formel zu kommen), und ein Heftchen mit Multiplikationstabellen von 1 x 1 bis etwa 20 x 30 füllte, aus reiner Neugier, was für Zahlen dabei herauskommen würden.
Andererseits möchte ich hier ergänzen, dass das kindliche Denken noch nicht zu Abstraktionen neigt. Die kindliche Phantasie entzündet sich an konkreten Gegenständen und Ereignissen seiner Umgebung, und drückt sich meistens in konkreten Darstellungen und Handlungen aus. (Ein klassisches Beispiel ist das freie Spiel mit Gegenständen, wo ein Holzklotz als Haus dienen kann und ein abgebrochener Ast als Pferdchen.) So entsprang z.B. das Konzept der „Dreieckszahlen“ aus konkreten Zeichnungen auf dem Papier, bzw. aus mit Steinchen und anderen Gegenständen gelegten Figuren. Was nicht mehr konkret dargestellt und nachvollzogen werden kann, ist dem kindlichen Verständnis in der Regel nicht zugänglich.
Mir scheint deshalb, Lockhart idealisiert zu sehr, wenn er das kindliche Entdecken der Mathematik direkt dem Forschen eines erwachsenen Mathematikers gleichstellt. Die beteiligten Denkstrukturen sind in diesen Fällen nicht dieselben. Er kommt meines Erachtens der pädagogischen Wirklichkeit näher, wenn er an anderer Stelle (siehe in der nächsten Folge) vorschlägt, den Mathematikunterricht in den unteren Schuljahren hauptsächlich mit (Denk-)Spielen zu verbringen. Hier kann das Kind seine Entdeckungen anhand konkreter Handlungen machen.

 Fortsetzung folgt

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Paul Lockhart: Mathematik als Kunst, und das Elend des Mathematikunterrichts

31. Dezember 2013

Vorwort des Übersetzers:

Vor einigen Jahren fand ich im Internet Paul Lockharts „A Mathematician’s Lament“ (Klage eines Mathematikers). Diese Schrift bestätige manche meiner eigenen Gedanken über den Mathematikunterricht an den Schulen, wie ich ihn während der letzten Jahre hauptsächlich aus der Perspektive meiner Nachhilfeschüler kennenlernte. Nachdem ich jahrelang in meiner Umgebung mit meinen Ideen über das Mathematiklernen nur auf Unverständnis stiess, und insbesondere alle Leute, die es eigentlich wissen müssten (d.h. Lehrer und Schulplaner) das Gegenteil vertreten, da begann ich mich allmählich zu fragen, ob wirklich die ganze Welt verrückt ist, oder ob vielleicht ich selber der Verrückte bin. Seit meiner „Entdeckung“ von Lockhart habe ich aber noch weitere solche „Verrückte“ gefunden. Schlechte Nachrichten für den Rest der Welt…
Nun ist Paul Lockhart nicht irgendwer. Er ist ein Berufsmathematiker mit Unterrichtserfahrung sowohl an Universitäten wie auch an Volksschulen in den USA. Er weiss also, wovon er spricht.

Ich habe Lockhart schon bei verschiedenen Gelegenheiten zitiert und möchte jetzt einen längeren Auszug aus seinen Gedanken wiedergeben – mit einigen Kommentaren meinerseits. In manchen Einzelheiten bin ich mit ihm nicht einverstanden, da er offenbar aus einer anderen weltanschaulichen Ecke kommt als ich. Aber in den Grundzügen finde ich seine Schrift gut, wichtig, bereichernd und in gutem Sinne herausfordernd. Ausserdem sind die konstruktiven Ideen, die er neben seiner Schulkritik bringt, auch für die Situation des Homeschooling anwendbar. Das Original ist etwas lang für einen Blog-Artikel (25 A4-Seiten), weshalb ich mich auf die wichtigsten Auszüge beschränke; ein ganzes Kapitel (über Beweisführung und Formalismus in der Geometrie) habe ich weggelassen.


Kommentierte auszugsweise Übersetzung aus „A Mathematician’s Lament“, von Paul Lockhart:

Der Alptraum eines Musikers

Ein Musiker erwacht aus einem schrecklichen Alptraum. In seinem Traum befindet er sich in einer Gesellschaft, wo der Musikunterricht obligatorisch gemacht wurde. „Wir helfen unseren Schülern, konkurrenzfähiger zu werden in einer immer mehr mit Geräuschen erfüllten Welt.“ Erzieher, Schulsysteme und der Staat werden für dieses wichtige Projekt verantwortlich gemacht. Untersuchungen werden in Auftrag gegeben, Kommissionen werden gebildet, und Entscheidungen werden getroffen – alles ohne den Rat oder die Mitwirkung auch nur eines einzigen ausübenden Musikers oder Komponisten.

Da Musiker ihre Ideen in der Form von Musiknoten ausdrücken, müssen diese seltsamen Linien und Punkte als „die Sprache der Musik“ angesehen werden. Es ist notwendig, dass die Schüler diese Sprache beherrschen, wenn sie irgendeinen Grad musikalischer Fähigkeit erreichen sollen. Ja, es wäre einfach lächerlich, von einem Kind zu erwarten, dass es ein Lied singt oder ein Instrument spielt, ohne zuerst gründlich in Notenschrift und Musiktheorie geschult zu sein. Musik zu spielen und zu hören, und erst recht eigene Stücke zu komponieren, sind sehr fortgeschrittene Themen, die erst auf Gymnasial- und Hochschulstufe behandelt werden können.

Primar- und Sekundarschule hingegen haben die Aufgabe, die Schüler in diese Musiksprache einzuführen. „Im Musikunterricht nehmen wir unser Notenpapier und schreiben Noten von der Tafel ab oder transponieren sie in eine andere Tonart. Wir müssen die Notenschlüssel und Vorzeichen richtig schreiben und anwenden, und unser Lehrer kontrolliert streng, dass wir die Viertelnoten vollständig ausfüllen. Einmal hatten wir ein schwieriges Problem über chromatische Tonleitern, und ich hatte es richtig gelöst, aber mein Lehrer gab mir eine schlechte Note, weil die Notenhälse auf die falsche Seite zeigten.“

(…)
In den höheren Schuljahren nimmt der Druck erst recht zu. Um ans Gymnasium zu kommen, müssen die Schüler Rhythmus- und Harmonielehre und den Kontrapunkt beherrschen. „Es ist eine Menge Lernstoff; aber wenn sie dann am Gymnasium endlich richtige Musik zu hören bekommen, dann werden sie diese Arbeit der früheren Schuljahre wertschätzen.“ – Natürlich werden sich nur wenige Schüler auf Musik spezialisieren, sodass nur wenige überhaupt die Töne zu hören bekommen werden, die durch die schwarzen Notenköpfe dargestellt werden. „Um die Wahrheit zu sagen: die meisten Schüler sind nicht besonders gut in Musik. Die Schulstunden langweilen sie, und ihre Hausaufgaben sind kaum lesbar. Es scheint sie gar nicht zu interessieren, wie wichtig die Musik in der heutigen Welt ist.“ (…)

Der Musiker wacht schweissgebadet auf und wird sich dankbar bewusst, dass es nur ein verrückter Traum war. „Natürlich!“ ruft er aus. „Keine Gesellschaft würde je eine so schöne und sinnreiche Kunst auf so etwas Geistloses und Triviales reduzieren. Keine Kultur kann so grausam zu ihren Kindern sein, dass sie ihnen auf solche Weise ein natürliches, befriedigendes Mittel menschlichen Ausdrucks vorenthielte. Wie absurd!“

(…)

Aber leider ist unser gegenwärtiger Mathematikunterricht genau ein solcher Alptraum. Wenn ich eine Strategie entwickeln müsste, um die natürliche Neugier eines Kindes und seine Liebe zum Erfinden von Mustern zu zerstören, dann könnte ich keine bessere Lösung dafür finden als die gegenwärtige Schule. Ich könnte gar nicht auf derartige sinnlose und seelenzerstörerische Ideen kommen, wie sie den gegenwärtigen Mathematikunterricht prägen.
Jedermann weiss, dass etwas falsch läuft. Die Politiker sagen: „Wir brauchen höhere Anforderungen.“ Die Schulen sagen: „Wir brauchen mehr Geld und Ausrüstung.“ Die Pädagogikexperten sagen das eine, und die Lehrer das andere. Aber sie haben alle unrecht. Die einzigen, die verstehen, was vorgeht, sind jene, die meistens beschuldigt und nie um ihre Meinung gefragt werden: die Schüler. Sie sagen: „Die Mathematikstunden sind dumm und langweilig“, und sie haben recht.


Mathematik und Kultur

Zuallererst müssen wir verstehen, dass Mathematik eine Kunst ist. Der Unterschied zwischen der Mathematik und anderen Künsten wie Musik oder Malerei besteht lediglich darin, dass unsere Kultur sie nicht als Kunst erkennt. Jedermann versteht, dass Dichter, Maler und Musiker Kunstwerke schaffen. Unsere Gesellschaft ist sogar recht grosszügig im Bereich der Kreativität: Architekten, Köche und sogar Fernsehdirektoren werden als Künstler bezeichnet. Warum also nicht auch die Mathematiker?

Ein Teil des Problems besteht darin, dass niemand weiss, was Mathematiker eigentlich tun. Nach der allgemeinen Auffassung scheinen sie irgendwie mit der Wissenschaft verbunden zu sein – vielleicht helfen sie den Wissenschaftern mit ihren Formeln, oder füttern Computer zu irgendeinem Zweck mit grossen Zahlen. Die meisten Menschen ordnen Mathematiker den „rationalen Denkern“ zu, im Gegensatz zu den „poetischen Träumern“.

In Wirklichkeit aber gibt es nichts Träumerischeres, Poetischeres, Radikaleres, Subversiveres und Psychedelischeres als die Mathematik. Sie ist ebenso überwältigend wie die Kosmologie und die Physik (die Mathematiker erfanden Schwarze Löcher lange bevor die Astronomen tatsächlich welche entdeckten), und erlaubt mehr Ausdrucksfreiheit als die Dichtung oder die Musik (welche stark von den Eigenschaften des physikalischen Universums abhängen). Mathematik ist die reinste aller Künste, und zugleich die am meisten missverstandene.

Ich möchte also zu erklären versuchen, was Mathematik ist, und was Mathematiker tun. Eine ausgezeichnete Beschreibung stammt von G.H.Hardy:

„Ein Mathematiker ist wie ein Maler oder ein Dichter ein Schöpfer von Mustern. Wenn seine Muster dauerhafter sind als Dichtung oder Musik, dann liegt das daran, dass sie aus Ideen bestehen.“

Mathematiker schaffen also Muster aus Ideen. Was für Ideen? Ideen über Nashörner? Nein, die überlassen wir den Biologen. Ideen über Sprache und Kultur? Nein, normalerweise nicht. Diese Dinge sind viel zu kompliziert für den Geschmack der meisten Mathematiker. Wenn es ein allgemeines ästhetisches Prinzip in der Mathematik gibt, dann dieses: Einfach ist schön. Die Mathematiker denken gerne über die einfachst möglichen Dinge nach, und die einfachst möglichen Dinge sind imaginär.

Anmerkung meinerseits: Diese Aussagen über Mathematik als Kunst und als entdeckerisch-kreativer Prozess mögen Lesern, deren Freude an der Mathematik durch langweilige Schulstunden verdorben wurde, als weit hergeholt erscheinen. Aber eben: das Problem liegt nicht bei der Mathematik, es liegt bei der Schule. Ich möchte dem Leser sehr ans Herz legen, das untenstehende Beispiel Lockharts mitzudenken und nachzuvollziehen, um zu verstehen, worum es beim „mathematischen Prozess“ eigentlich geht.
– Ich würde hier noch einen Schritt weitergehen und sagen: Mathematik, richtig verstanden, ist eine Form der Anbetung, die darin besteht, „Gottes Gedanken Ihm nachzudenken“ (wie Johannes Kepler sagte). So empfanden es grosse Wissenschafter der Vergangenheit wie Newton, Kepler oder Maxwell, angesichts der mathematischen Gesetze, die das Universum regieren. Sie sahen in der Mathematik einen Widerhall der „Dekrete Gottes“, welche die Welt aufrechterhalten.

Wenn ich z.B. Lust habe, über Formen nachzudenken – was oft vorkommt – , dann könnte ich mir ein Dreieck in einer rechteckigen Schachtel vorstellen:

Lockhart1

Ich frage mich, wieviel von dieser Schachtel das Dreieck ausfüllt? Vielleicht zwei Drittel?
Es ist hier wichtig zu verstehen, dass ich nicht über diese Zeichnung von einem Dreieck in einer Schachtel spreche. Ich spreche auch nicht von einem Metalldreieck als Teil einer Brückenverstrebung. Ich habe keinen praktischen Vorsatz; ich spiele einfach. Das ist Mathematik: Neugierig sein, spielen, mich mit meinen Vorstellungen unterhalten.
Die Frage, wieviel von der Schachtel das Dreieck ausfüllt, hat zunächst nicht einmal einen Sinn, wenn man sie auf tatsächliche physikalische Gegenstände bezieht. Sogar ein mit höchster Präzision hergestelltes wirkliches Dreieck ist eine hoffnungslos komplizierte Sammlung von umherschwingenden Atomen, die ständig ihre Form ändert. Ausser natürlich, wenn wir über irgendwie angenäherte Masse sprechen wollen. Aber da bekommen wir es mit aller Art von Einzelheiten der wirklichen Welt zu tun. Das überlassen wir den Wissenschaftern. Die mathematische Frage handelt von einem imaginären Dreieck in einer imaginären Schachtel. Seine Seiten sind vollkommen, weil ich sie so haben möchte. Das ist ein wichtiges Thema in der Mathematik: Die Dinge sind so, wie Sie sie haben möchten. Sie haben endlose Wahlmöglichkeiten; die Wirklichkeit kommt Ihnen nicht in die Quere.

Wenn Sie andererseits einmal eine Wahl getroffen haben (z.B. ob Ihr Dreieck symmetrisch sein soll oder nicht), dann tun Ihre Geschöpfe, was sie von sich aus tun, ob es Ihnen gefällt oder nicht. Das ist das Erstaunliche an den imaginären Mustern: sie geben Ihnen Antwort! Das Dreieck füllt einen bestimmten Anteil der Schachtel aus, und ich kann nicht darüber bestimmen, wie gross dieser Anteil ist. Es ist eine ganz bestimmte Zahl, und ich muss herausfinden, wie gross sie ist.

Wir fangen also an zu spielen und uns vorzustellen, was wir wollen, und bilden Muster und stellen Fragen darüber. Aber wie beantworten wir die Fragen? Das ist nicht wie in der Wissenschaft. Ich kann kein Experiment mit Reagenzgläsern und Maschinen machen, das mir die Wahrheit über ein Gebilde meiner Vorstellung sagt. Fragen über unsere Vorstellungen können nur mit Hilfe unserer Vorstellungen beantwortet werden, und das ist harte Arbeit.

In dem Beispiel mit dem Dreieck sehe ich etwas Einfaches und Schönes:

  Lockhart2

Wenn ich das Rechteck auf diese Weise in zwei Rechtecke zerschneide, dann sehe ich, dass jeder Teil seinerseits von einer Dreiecksseite diagonal in zwei Hälften zerschnitten wird. Innerhalb des Dreiecks ist also genauso viel Platz vorhanden wie ausserhalb. Das bedeutet, dass das Dreieck genau die Hälfte der Schachtel ausfüllt!

So sieht und fühlt sich ein Stück Mathematik an. Die Kunst des Mathematikers besteht darin, einfache und elegante Fragen zu stellen über unsere imaginären Geschöpfe, und befriedigende und schöne Erklärungen zu finden. Dieser Bereich der reinen Ideen ist faszinierend, macht Spass und kostet nichts!

Woher kam nun diese meine Idee? Wie kam ich darauf, diese zusätzliche Linie zu zeichnen? Wie weiss ein Maler, wo er seinen Pinsel ansetzen soll? Inspiration, Erfahrung, Versuch und Irrtum, oder einfach Glück. Das ist die ganze Kunst; eine Kunst, die Dinge in andere umwandelt. Das Verhältnis zwischen dem Rechteck und dem Dreieck war ein Geheimnis, und dann machte eine einzige kleine Linie es offenbar. Zuerst konnte ich es nicht sehen, und dann sah ich es plötzlich. Irgendwie konnte ich aus dem Nichts eine tiefgründige, einfache Schönheit schaffen, und ich selber wurde in dem Prozess verändert. Ist es nicht das, worum es bei aller Kunst geht?

Deshalb ist es so herzzerreissend zu sehen, was der Mathematik in der Schule angetan wird. Dieses reichhaltige und faszinierende Abenteuer der Vorstellungskraft wird reduziert auf eine sterile Sammlung von „Daten“, die auswendiggelernt werden müssen, und Prozeduren, die angewandt werden müssen. Anstelle einer einfachen und natürlichen Frage über Formen, und eines kreativen und lohnenden Prozesses von Erfindung und Entdeckung, wird den Schülern Folgendes vorgesetzt:

Lockhart3
Flächenformel des Dreiecks: F = 1/2 b h

„Die Fläche eines Dreiecks ist gleich des halben Produktes aus dessen Grundlinie und dessen Höhe.“ Die Schüler müssen diese Formel auswendiglernen und sie dann in unzähligen Übungen „anwenden“. Damit ist jede Spannung und jede Freude weg, und sogar die Anstrengung und Frustration des kreativen Prozesses. Es gibt hier nicht einmal mehr ein Problem. Die Frage wurde im selben Atemzug gestellt und beantwortet – dem Schüler bleibt nichts mehr zu tun übrig.

Lassen Sie mich klarstellen, wogegen ich mich ausspreche. Ich bin nicht gegen Formeln, noch gegen das Lernen interessanter Tatsachen. Das alles ist in seinem Zusammenhang gut, und hat seinen Platz, so wie das Wörterlernen in einer Fremdsprache seinen Platz hat: Es hilft einem, reichere und detailliertere Kunstwerke zu schaffen. Aber das Entscheidende hier ist nicht die Tatsache, dass das Dreieck die Hälfte der Schachtel ausfüllt. Das Entscheidende ist die schöne Idee, es mit dieser Linie zu unterteilen. Das kann andere schöne Ideen inspirieren und zu kreativen Durchbrüchen in anderen Problemen führen. Eine reine Darstellung der Tatsache kann das nicht.

Wenn wir den kreativen Prozess weglassen und nur dessen Ergebnis übriglassen, dann wird niemand innerlich daran beteiligt sein. Es ist wie wenn man mir sagt, Michelangelo hätte eine schöne Skulptur geschaffen, mich aber die Skulptur selber nicht sehen lässt. Wie soll ich davon inspiriert werden? (In Wirklichkeit ist es sogar noch schlimmer. Wenn man von Michelangelo spricht, dann verstehe ich zumindest, dass es die Kunst der Skulptur gibt, und dass man es mir nicht erlaubt, sie zu bewundern.)

Wenn man sich nur auf das Was konzentriert und das Warum ausser acht lässt, dann wird die Mathematik auf eine leere Hülle reduziert. Die Kunst liegt nicht in der „Wahrheit“, sondern in deren Erklärung, in der Argumentation. (…) Mathematik ist die Kunst des Erklärens. Wenn wir den Schülern die Gelegenheit vorenthalten, an dieser Kunst mitzuwirken – ihre eigenen Probleme zu stellen, ihre eigenen Vermutungen anzustellen und Entdeckungen zu machen, sich dabei zu irren, kreativ frustriert zu sein, eine Inspiration zu haben, und ihre eigenen Erklärungen und Beweise zusammenzuschustern – dann berauben wir sie der Mathematik selber.

Ich beklage mich also nicht über das Vorkommen von Tatsachen und Formeln im Mathematikunterricht. Ich beklage mich über die Abwesenheit der Mathematik in unserem Mathematikunterricht.

(…)

Wenn Ihr Mathematiklehrer Ihnen die Vorstellung vermittelt (ausdrücklich oder durch sein Beispiel), in der Mathematik ginge es um das Auswendiglernen von Formeln und Definitionen und Algorithmen, wer wird diese Vorstellung berichtigen?
Dieses kulturelle Problem ist ein Monster, das sich selber fortpflanzt: die Schüler lernen von ihren Lehrern, was Mathematik sei, und diese haben es wiederum von ihren Lehrern gelernt, sodass dieser Mangel an Verständnis und Wertschätzung der Mathematik sich von Generation zu Generation wiederholt. Noch schlimmer: Diese Weiterverbreitung von „Pseudo-Mathematik“, diese Betonung auf der richtigen, aber sinnlosen Manipulation von Symbolen, schafft ihre eigene Kultur und ihre eigenen Wertvorstellungen. Jene, die sie beherrschen, bilden sich auf ihren Erfolg etwas ein. Das Letzte, was sie hören wollen, ist, dass es bei der Mathematik um reine Kreativität und ästhetisches Gefühl gehe. Manch ein Universitätsstudent hat mit Betrübnis entdeckt, nachdem man ihm zehn Jahre lang gesagt hatte, er sei „gut in Mathematik“, dass er in Wirklichkeit keinerlei mathematisches Talent hatte und lediglich gut darin war, den Anweisungen anderer zu folgen. In der Mathematik geht es aber nicht darum, den Richtungsweisungen anderer zu folgen; es geht darum, neue Richtungen einzuschlagen.

(…)

Anmerkung meinerseits: Lockhart spricht hier ein wichtiges Problem an, das ich aus einer etwas anderen Perspektive auch schon angesprochen habe in „Mathematikunterricht – eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien?“: Der Schulunterricht zielt darauf ab, die Schüler in mechanischen Fertigkeiten zu trainieren, die genausogut von einem Taschenrechner ausgeführt werden könnten; aber wirkliche mathematische Prinzipien werden ihnen kaum vermittelt. Der Schüler erhält dadurch den Eindruck, es gehe bei der Mathematik darum, stur den (meistens uneinsichtigen) Anordnungen eines Lehrers zu folgen. Er wird nur das „Wie“ gelehrt, aber nicht das „Warum“. Die Einsicht wird ihm vorenthalten, dass mathematische Gesetze ein „Allgemeingut“ sind, das er auch von sich aus entdecken kann.
– Ob diese Beobachtungen auf die Schulsysteme aller Länder zutreffen, kann ich nicht beurteilen. Auf Perú, wo ich zur Zeit lebe, treffen sie mit Sicherheit zu. In der Schweiz, wo ich meine Schulzeit verbrachte, erlebte ich seinerzeit am Gymnasium noch einen Unterricht, der grossen Wert legte auf die „Kunst des Erklärens“, die Herleitung und Begründung der mathematischen Formeln und Tatsachen; und ab und zu gab es auch Aufgaben zum eigenen Forschen (wenn auch mit sehr eng umrissenen Themen und Fragestellungen). Aber eben erst am Gymnasium; und in der Schweiz kommt die Mehrheit der Schüler nicht dazu, ein Gymnasium zu besuchen – in der Regel nur jene, die zum vornherein vorhaben, nachher ein Universitätsstudium aufzunehmen. Auf den unteren Schuljahren wurden die mathematischen „Techniken“ zwar mit verschiedenen Materialien veranschaulicht; aber es ging eben doch vorwiegend um die „richtige, aber sinnlose Manipulation von Symbolen“. Während die Einsicht nicht vermittelt wurde, dass Mathematik auf (im Grunde wenigen und einfachen) Prinzipien und Gesetzen beruht, die man auch selber entdecken kann und mit denen man „spielen“ kann. – Die nächste Folge wird das Thema „Mathematik an der Schule“ vertiefen.

Fortsetzung folgt

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Mathematische Kunstausstellung – Anhang (Links)

7. Oktober 2012

Mehr mathematische Kunst im Internet

Für Interessierte füge ich hier eine kleine Link-Sammlung an zu Seiten, die sich ebenfalls mit mathematischer Kunst (oder einem Teilaspekt davon) beschäftigen.


„Dimensions“
Eine sehr anschauliche, rund zweistündige Film-Serie über Themen wie projektive Geometrie, vierdimensionale Geometrie, komplexe Zahlen und Fraktale. (Man sieht sich z.B. durch verschiedene vierdimensionale Körper hindurchfliegen – natürlich in unseren dreidimensionalen Raum hineinprojiziert.) Kann gratis in verschiedenen Sprachen (inkl. Deutsch) heruntergeladen werden. Die grossen Dateien werden zwar Ihre Internetverbindung ziemlich strapazieren, aber es lohnt sich. Nur schon um die immense Arbeit zu bewundern, die in diese Serie gesteckt worden ist. Mit ganz wenigen Ausnahmen (eine Weltkarte und einige Porträts berühmter Mathematiker) sind sämtliche Bilder und Animationen mittels mathematischer Algorithmen programmiert und vom Computer generiert worden.
Zum Verständnis ist z.T. etwas fortgeschritteneres mathematisches Wissen erforderlich; das meiste wird aber auf allgemeinverständliche Art und Weise erklärt.
„Die Primzahleninsel“
Dieser Autor hat die statistische Verteilung der Primzahlen nach einem bestimmten Algorithmus in eine gebirgige Oberfläche umgerechnet und diese mit künstlerischer Ausschmückung als eine geheimnisvolle Insel dargestellt. Auch einige andere Arten, Primzahlen graphisch darzustellen, können auf derselben Website angesehen werden. (Beschreibungen auf Englisch)
Primzahlenspiralen
Noch eine andere Art, Primzahlen graphisch darzustellen: mittels verschiedenartiger Spiralen, die unerwartete Regelmässigkeiten und Muster hervorbringen. (Beschreibungen auf Englisch)

Website von Jean-François Colonna
Colonna verbindet Mathematik, Computergraphik und Kunst in einzigartiger Weise. Die Erklärungen sind auf Französisch und (z.T.) Englisch, aber seine Kunstwerke können auch ohne Sprachkenntnisse bewundert werden.
Die Arbeit von Colonna ist um einiges anspruchsvoller als die Beispiele in meiner Artikelserie – sowohl vom Künstlerischen her, als auch inbezug auf die damit verbundenen mathematischen Konzepte. Aber das meiste ist sehr ausführlich erklärt, sodass jemand mit etwas fortgeschrittenen Mathematik- und Programmierkenntnissen selber ähnliche Werke schaffen könnte.
„MArTH Madness“
Ein Bericht über ein interessantes Schulprojekt in den USA zum Thema „mathematische Kunst“. Alles mögliche kommt darin vor, von einfachsten Handzeichnungen über geometrisches Origami bis zu Computergraphiken und spektakulären dreidimensionalen Baukasten-Konstruktionen.
Blog von Vi Hart
Blog einer originellen Mathematikerin, die alle möglichen Gegenstände in mathematische Kunst verwandelt: Ballons, Wäschekörbe, Esswaren, Schirme, und und und … Mit vielen Fotos und Videoclips. Sehenswert ist z.B. die „Möbius-Story“, eine auf ein transparentes Möbius-Band gezeichnete Kindergeschichte, was überraschende Effekte ergibt.
POV-Ray (Persistence Of Vision Raytracker)
Nicht eigentlich ein Kunstwerk, aber ein Hilfsmittel, um Kunstwerke herzustellen. – POV-Ray ist ein Computerprogramm, oder besser gesagt, eine Programmiersprache, mit der man erstaunliche 3D-Graphiken und Animationen schaffen kann. Im Gegensatz zu anderen Graphikprogrammen werden bei einem „Raytracker“ die Objekte nicht mit Hilfe eines Zeichnungsprogramms entworfen, sondern durch mathematische Formeln definiert. (Es sind aber auch Zeichnungsprogramme erhältlich, mit denen man Objekte entwerfen kann, die dann in POV-Ray importiert werden können.)
Die 3D-Teilerdiagramme im Teil 4, die Gebirgsmodelle im Teil 5, die dreidimensionalen komplexen Funktionen im Teil 8 und die dreidimensionalen Wellen-Animationen im Teil 10 dieser Artikelserie wurden mit Hilfe von POV-Ray hergestellt. Auch der obenerwähnte Film „Dimensions“ wurde mit POV-Ray programmiert.
Die POV-Ray-Website enthält ausserdem Links zu weiteren Seiten, wo mit diesem Programm hergestellte Kunstwerke ausgestellt sind.

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Mathematische Kunstausstellung, Teil 10: Beschwingt, gewellt und auf hoher See

28. September 2012

Schwingungen

Eine Schwingung ist zunächst einfach eine Hin- und Her- (oder Auf- und Ab-) Bewegung. So wie dieser rote Punkt links, der ohne müde zu werden auf und ab pendelt.
Mathematik- bzw. Physik-Bewanderte wissen, dass eine „gewöhnliche“ Schwingung (fachmännischer gesagt, eine harmonische Schwingung) als Sinuskurve dargestellt wird. Das scheint die normale Art zu sein, wie Violin- oder Gitarrensaiten, Pendel, und andere Gegenstände zu schwingen pflegen. Stellen wir also die zeitliche Auf- und Ab-Bewegung unseres Punktes graphisch dar, indem wir sie mit einer gleichmässigen waagerechten Fortbewegung auf der „Zeitachse“ kombinieren. So erhalten wir eine Sinuskurve:

Wir können diese Schwingung aber auch anders darstellen. Statt sie mit einer linearen Fortbewegung zu kombinieren, können wir die senkrechte Schwingung mit einer ebensolchen waagerechten Schwingung kombinieren. Bei einer Phasenverschiebung von 1/4 der Periode ergibt das folgendes Bild:

Ein Kreis! – Tatsächlich kann die Sinusfunktion auch so definiert werden, dass sie die Höhe einer Kreislinie über der Waagerechten bedeutet, im Verhältnis zum Winkel am Kreismittelpunkt. Wasserwellen haben auch ein ungefähr „sinusförmiges“ Aussehen, aber die Wasserteilchen bewegen sich in Wirklichkeit ungefähr kreisförmig auf und ab.

Wir könnten jetzt aber auch Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen miteinander kombinieren. Hier z.B. schwingen die beiden roten Punkte mit Frequenzen im Verhältnis 2:3 :

Solche Figuren, die durch die Kombination verschiedener Schwingungen entstehen, werden Lissajous-Figuren genannt. Hier einige Beispiele, wie diese dekorativen Figuren aussehen können:


Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 7:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in gleicher Richtung, im Verhältnis 1:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in Gegenrichtung, im Verhältnis 7:10.

Kombination von vier geradlinigen Schwingungen (zwei waagrechte und zwei senkrechte) im Verhältnis 18:5:6:12.

Kombination von drei kreisförmigen Schwingungen im Verhältnis 32:36:45.


Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 10:13:26.)

Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 5:7:18.)

Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 3:7. Der Animationseffekt kommt hier (wie auch im unteren Bild) dadurch zustande, dass im Laufe der Zeit die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen geändert wird.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 7:20. Im Verlauf der Animation ändert sich die Amplitude der einen Schwingung (ebenso im unteren Bild).

Kombination einer kreisförmigen mit einer vertikalen Schwingung; Änderung der Phasenverschiebung.


Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 5:18; Änderung der Amplitude.

Die Figuren werden eher „harmonisch“, wenn sich die Verhältnisse zwischen den Frequenzen durch kleine ganze Zahlen ausdrücken lassen (bzw. Zahlen mit einem kleinen gemeinsamen Vielfachen). Bei grösseren oder „ungeraden“ Zahlenverhältnissen machen die entstehenden Figuren einen etwas unregelmässigeren oder „chaotischeren“ Eindruck.
Dasselbe kann man in der Musik beobachten. Töne bestehen ja auch aus Schwingungen. Dabei empfinden wir in der Regel jene Akkorde als wohlklingend, bei welchen die Frequenzen der einzelnen Töne solche ganzen Zahlenverhältnisse bilden. Z.B. besteht ein Dur-Akkord aus Tönen mit dem Frequenzverhältnis 3:4:5, 4:5:6 oder 5:6:8. Bei einem Moll-Akkord ist das Verhältnis 10:12:15, 12:15:20 oder 15:20:24.

Wir machen Wellen

Eine Welle ist sozusagen eine Schwingung, die sich in Raum und Zeit fortbewegt. Der momentane Zustand der Welle ist also sowohl von dem Ort abhängig, an dem man sie beobachtet, wie auch vom Zeitpunkt. Überlagerungen mehrerer Wellen unterliegen ähnlichen Gesetzmässigkeiten wie die oben betrachteten Lissajous-Figuren.
Meistens geht eine Welle von einem bestimmten Punkt aus und breitet sich von da her kreisförmig (bzw. im Raum kugelförmig) nach allen Seiten gleichmässig aus – z.B. wenn man einen Stein ins Wasser wirft. Im folgenden Bild wurde eine Überlagerung dreier solcher Wellen mathematisch nachkonstruiert. (Der Ursprung einer der drei Wellen liegt so weit ausserhalb des Bildes, dass sie als fast geradlinige senkrechte Streifen erscheint.)

Hier noch eine andere Überlagerung dreier Wellen, in grösserem Massstab:

Zum Schluss sehen wir uns das Ganze noch „echt“, also als dreidimensionale Animation an. Auch die untenstehenden Computergraphiken bestehen aus Überlagerungen von lediglich drei Wellen. Auf diese Weise kann man mathematisch Wasserwellen „nachmodellieren“. (Profis werden die Farben und Texturen sicher noch „echter“ herausarbeiten können als ich.) Auch die echten Wellen sind also mathematisch geordnete Gebilde.

Nur nicht seekrank werden …

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