Posts Tagged ‘komplexe Zahlen’

Mathematische Kunstausstellung, Teil 9 – Funktionen als Abbildungen

24. August 2012

In der Mathematik werden Funktionen auch „Abbildungen“ genannt: Jeder Ausgangswert entspricht einem Punkt, der auf einen anderen Punkt (den Funktionswert) abgebildet wird. Alle Ausgangswerte zusammen bilden das Urbild, alle Funktionswerte zusammen das Abbild.
Was liegt also näher, als die Funktionen komplexer Zahlen als ebensolche „Abbildungen“ eines wirklichen Bildes darzustellen?

Nehmen wir als „Versuchskaninchen“ dieses Meerschweinchen, und passen wir es in ein Koordinatensystem ein, damit wir nicht nur die „Abbildung“ dieses Bildes, sondern der ganzen Zahlenebene mitverfolgen können:

Die einfachsten Abbildungen sind die Translation (Verschiebung), die Drehung, und die Streckung (Vergrösserung). Eine Verschiebung kommt mathematisch so zustande, dass zu jedem Punkt des Urbildes derselbe Wert addiert wird. Dann verschiebt sich das ganze Bild um diese Distanz. Eine Streckung entspricht einer Multiplikation: Werden z.B. die Koordinaten jedes Punktes mit 3 multipliziert, dann wird das Bild dreifach vergrössert. Bei einer Drehung wird der Winkel jedes Punktes (bezüglich des Nullpunktes) verändert. Ich glaube, es ist nicht nötig, diese einfachen Abbildungen bildlich darzustellen.

Was geschieht aber, wenn wir jeden Punkt des Urbildes mit einer komplexen Zahl multiplizieren? Unten z.B. die Funktion y = x · (1 + 0.4i). Wir sehen, dass das Ergebnis eine „Drehstreckung“ ist: Das Bild wird gedreht und gleichzeitig leicht vergrössert.

Ein weiteres Beispiel dieser Art: y = x · (1 + 1.4i) :

Versuchen wir jetzt etwas anderes und erheben wir unser Meerschweinchen ins Quadrat (y = x2). Das gibt bereits eine nicht mehr so ganz einfache Abbildung:

Und wenn wir einen gebrochenen Exponenten gebrauchen, sagen wir y = x1.6 ? – Das gibt eine ähnliche Abbildung, nur scheint es hier, sie sei auf halbem Wege stehengeblieben:

Nehmen wir schliesslich noch den Kehrwert (y = 1/x). Das gibt eine ganz interessante Abbildung, bei welcher der Nullpunkt in unendliche Ferne rückt und der „unendlich ferne Punkt“ auf den Nullpunkt abgebildet wird. Die Koordinatenlinien werden dabei zu Kreisen, die alle durch den Nullpunkt gehen; und unser armes Meerschweinchen strebt mit seinem Hinterteil gegen die Unendlichkeit!

Geordnetes Punktemischen

Nun noch eine Abbildung, die nichts mit den komplexen Zahlen zu tun hat. (Oder vielleicht doch? In der Mathematik gibt es so viele überraschende Zusammenhänge, dass man sich nicht wundern sollte, wenn letztendlich fast alles mit allem irgendwie zusammenhängt …)

Nehmen wir wieder unser Meerschweinchen, das uns bereits so gute Dienste geleistet hat. Das digitalisierte Bild besteht aus lauter quadratischen Bildpunkten. Der Computer speichert diese nicht als zweidimensionales Bild, sondern als eine lange Kette von Daten hintereinander. Nach dem letzten Punkt der obersten Reihe kommt einfach der erste Punkt der nächsten Reihe, und so weiter. Der Computer braucht dann nur noch die zusätzliche Information, wie lang eine Reihe ist, um das Bild richtig darstellen zu können.

Lassen wir nun den Computer diese „Datenkette“ mischen, und zwar auf folgende Weise: Die Position jedes Punktes wird mit einer konstanten Zahl multipliziert, sagen wir 97. Wir verschieben also Punkt 1 auf Platz 97, Punkt 2 auf Platz 194, Punkt 3 auf Platz 291, und so weiter. Natürlich werden wir damit irgendwann einmal über das Ende des ursprünglichen Bildes hinausschiessen. Wenn das passieren sollte, dann springen wir einfach wieder zum Anfang des Bildes und zählen von da weiter. Mathematisch gesprochen, kommt jeder Punkt a auf den Platz „97a modulo die Gesamtzahl aller Bildpunkte“. (Offenbar hat diese Abbildung also mit der modularen Arithmetik zu tun, die wir in Teil 2 und Teil 3 behandelten.)
Mathematiker werden schnell herausfinden, dass die Sache einen kleinen Haken hat: Wenn mein konstanter Multiplikator zufällig einen gemeinsamen Teiler hat mit der Gesamtzahl der Bildpunkte, dann werden in der Abbildung einige Punkte doppelt belegt, während andere gar nicht vorkommen. Deshalb wählen wir als Multiplikator am besten eine Primzahl (und eine, die nicht gerade ein Faktor der Bildweite oder -höhe ist).

Auf das Ergebnis dieser Abbildung wenden wir nun wiederum dieselbe Abbildung an, und so weiter. Hier sehen wir die ersten sechs Schritte dieser Transformation:

Man könnte annehmen, dass das Bild bei fortgesetzter Transformation immer chaotischer wird. Dem ist aber nicht so (weshalb ich diese Transformation „geordnetes Mischen“ nenne). Im Gegenteil, an gewissen Stellen erscheinen immer wieder verkleinerte, etwas verzerrte Abbilder des ursprünglichen Bildes. Nach einer ganz bestimmten Anzahl von Schritten ginge sogar wieder unser ursprüngliches Meerschweinchen heil und unversehrt aus dieser Prozedur hervor! (Man kann mathematisch beweisen, dass genau dann, wenn Punkt 1 wieder auf Punkt 1 abgebildet wird, auch alle übrigen Punkte wieder an ihrem ursprünglichen Platz sind. Es sind dazu also maximal so viele Schritte nötig, wie das Bild Punkte enthält. Das sind bei unserem Bild genau 19398.)

Manchmal braucht man aber viel weniger Schritte, um wieder das ursprüngliche Bild zu erhalten. Hier z.B. eine solche „Mischung“, die bereits im siebten Schritt zur Ausgangsstellung zurückkehrt. (Der Multiplikator ist hier 6, und die Gesamtzahl der Bildpunkte ist 66-1):

Hier noch einige weitere Bilder, die beim „Mischen“ des Meerschweinchens entstanden sind:


(Schritt 8)

(Schritt 13)

(Schritt 30)

(Schritt 52)

(Schritt 65)

(Schritt 79)

(Schritt 91)

(Schritt 98)

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Mathematische Kunstausstellung, Teil 8 – Kreativität und komplexe Zahlen

9. August 2012

Kann Mathematik kreativ und originell sein?

In der letzten Folge sind wir bei einer etwas philosophischen Frage stehengeblieben. Wir haben inzwischen viele „mathematische Kunstwerke“ vorgestellt und bewundert. Aber in der Mathematik funktioniert alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen, während Kunst viel zu tun hat mit Kreativität und Originalität. Gibt es in der Mathematik keinen Raum für Originalität?

Nun haben aber die Mathematiker aller Zeiten immer wieder neue mathematische Objekte erfunden. Persönlich finde ich z.B. die imaginären und komplexen Zahlen eine sehr originelle Erfindung: Nach den „normalen“ Rechenregeln ist es einfach unmöglich, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Bis irgendwann im 16.Jahrhundert ein Mathematiker (wahrscheinlich Girolamo Cardano) auf die Idee kam, die Wurzel aus -1 einfach zu „erfinden“ (heute wird sie „i“ genannt), und dann durch logische Schlüsse die Rechenregeln herauszufinden, die auf diese „erfundene Zahl“ anzuwenden wären. Man kann sich jetzt darüber streiten, ob diese Zahlen wirklich existieren, oder ob sie nur „ausgedacht“ (eben „imaginär“) sind. Jedenfalls kann man auf gesetzmässige Weise mit ihnen rechnen, und in gewissen Bereichen der Mathematik und der Physik sind sie sogar unentbehrlich.

Damit ist ein tiefgründigeres Thema angeschnitten: Wie kommt es, dass die „originelle“ (und damals von manchen für abwegig gehaltene) Erfindung eines Mathematikers des 16.Jahrhunderts plötzlich in der Quantenmechanik des 20.Jahrhunderts eine praktische Anwendung und Bestätigung findet? Wenn die innere Struktur von Atomen nur mit Hilfe von „imaginären“ Zahlen mathematisch beschrieben werden kann, dann sind diese Zahlen doch nicht so „imaginär“, sondern existieren in der wirklichen Welt? Aber wie konnte dann Cardano sie „erfinden“, wo er doch von Atomen und Elementarteilchen keine Ahnung hatte? Warum stimmt seine rein gedankliche Erfindung exakt überein mit den Eigenschaften physikalischer Phänomene, die erst vierhundert Jahre später entdeckt wurden?

Eugene Wigner (Physik-Nobelpreisträger 1963 und Mitbegründer der Quantenmechanik) schreibt über dieses Phänomen in einem Artikel mit dem Titel: „Die unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“ (1960):

„Man kann sich kaum des Eindrucks erwehren, dass wir hier einem Wunder gegenüberstehen, von ebenso auffallender Natur wie das Wunder, dass der menschliche Geist tausend Argumente miteinander verknüpfen kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln; oder wie die beiden Wunder der Existenz von Naturgesetzen, und der Fähigkeit des menschlichen Geistes, sie herauszufinden. Was von den mir bekannten Zitaten einer Erklärung für das Auftauchen mathematischer Konzepte in der Physik am nächsten kommt, ist Einsteins Ausspruch, dass wir nur jene physikalischen Theorien zu akzeptieren bereit sind, die schön sind.“
– Und im Schlussabschnitt:
„Das Wunder, dass die Sprache der Mathematik zur Formulierung physikalischer Gesetze angemessen ist, ist eine wunderbare Gabe, die wir weder verstehen noch verdienen.“

Offenbar war Wigner mit den christlichen Erklärungen dieses Wunders nicht vertraut. So schreibt z.B. Francis Schaeffer (in „Wie können wir denn leben?“):

„Der Beginn der modernen Naturwissenschaft stand nicht in Konflikt mit der Lehre der Bibel; ganz im Gegenteil, an einem kritischen Punkt beruhte die wissenschaftliche Revolution auf der Lehre der Bibel. Sowohl Alfred North Whitehead (1861-1947) als auch J.Robert Oppenheimer (1904-1967) haben darauf hingewiesen, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild heraus entstanden ist. (…) Soweit ich weiss, waren beide keine Christen und hätten sich selbst nicht als Christen bezeichnet; jedoch erkannten beide ohne Einschränkung, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild geboren wurde.
(…) In den Harvard University Lowell Lectures mit dem Titel Science and the Modern World (1925) („Wissenschaft und die moderne Welt“) erklärte Whitehead, das Christentum sei die Mutter der Wissenschaft wegen „der mittelalterlichen Lehre von der Rationalität Gottes“. Whitehead sprach auch von Vertrauen auf die „verständliche Rationalität eines persönlichen Wesens“. Er erklärte in diesen Vorlesungen, dass die frühen Naturwissenschaftler wegen der Rationalität Gottes einen „unumstösslichen Glauben daran besassen, dass jedes einzelne Ereignis zu den vorausgegangenen Ereignissen in einer Weise in Beziehung gesetzt werden kann, in der allgemeine Prinzipien zum Ausdruck kommen. Ohne diesen Glauben wären die unglaublichen Anstrengungen der Wissenschaftler ohne Hoffnung gewesen.“ Mit anderen Worten: Weil die frühen Naturwissenschaftler glaubten, die Welt sei von einem vernünftigen Gott geschaffen worden, überraschte es sie nicht, dass es menschenmöglich war, auf der Grundlage der Vernunft wahre Dinge über die Natur und das Universum herauszufinden.“

Und James Nickel schreibt in „Fundamente der Mathematik“:

„Es ist zu erwarten, dass die humanistischen Mathematiker die Rolle der Mathematik in Gottes Plänen nicht verstehen werden. Da sie ihr Leben nicht unter die Herrschaft ihres Schöpfers stellen wollen, ist es ihre Schuld, dass sie blind sind für die Herrlichkeit Gottes, die sich in dem einzigartigen Spiegel der Mathematik widerspiegelt. (…) Damit ihre tägliche praktische Arbeit einen Nutzen hat, müssen die Wissenschafter und angewandten Mathematiker dennoch biblische Voraussetzungen über die physische Welt annehmen, die gegen ihre erklärten Denkvoraussetzungen gehen. (…) Die Wissenschafter müssen mit der objektiven Kohärenz eines Universums – nicht eines Multiversums – rechnen, wenn es so etwas wie echte Wissenschaft geben soll. (…) Der menschliche Geist mit seinen mathematischen Fähigkeiten und die physikalische Welt mit ihrer beobachtbaren mathematischen Ordnung stimmen zusammen, weil sie vom selben Schöpfer geschaffen wurden.“

Nun ist aber Gott die kreativste Person, die es überhaupt gibt. Wenn er uns also (unter anderem) mit der Fähigkeit geschaffen hat, Mathematik zu treiben, dann sollte es uns nicht verwundern, dass es in der Mathematik tatsächlich viel Raum zu Kreativität und Originalität gibt. Und wahrscheinlich wäre ein geringerer Verstand als der göttliche nicht dazu in der Lage gewesen, Exaktheit und strenge Regelmässigkeit auf diese Weise mit Kreativität und Originalität zu verbinden, wie es in der Mathematik geschieht.


Sehen wir uns nun eine andere Art an, komplexe Funktionen darzustellen. Wir „halten“ z.B. die reelle Komponente der Ausgangszahl „fest“ bei einem bestimmten Wert, sagen wir 3. Es gibt unendlich viele komplexe Zahlen mit einer reellen Komponente von 3: 3 + i, 3 + 2i, 3 + 3i, usw. Jede dieser Zahlen hat einen Funktionswert, und wenn wir alle diese Funktionswerte als Punkte zeichnen, erhalten wir eine Kurve in der komplexen Zahlenebene. Dasselbe können wir nun natürlich für andere Werte der reellen Komponente tun. So erhalten wir eine Kurvenschar. Diese können wir z.B. als dreidimensionales Gebilde darstellen, wobei die senkrechte Achse die jeweilige Realkomponente der Ausgangswerte darstellt. Also: Auf der „Höhe Null“ zeichnen wir die Kurve, die der Realkomponente 0 entspricht; auf „Höhe 1“ die zum Wert 1 gehörige Kurve, usw.

Im folgenden einige Beispiele solcher Graphiken. Die sichtbaren Netzlinien entsprechen dabei dem Koordinatensystem der ursprünglichen komplexen Zahlenebene (d.h. der Ausgangswerte).

Hier die Cosinusfunktion der komplexen Zahlen (y = cos(x)):

… und hier nochmals dieselbe Cosinusfunktion, aber diesmal entspricht die senkrechte Achse einem Fortschreiten entlang der Imaginärkomponenten der Ausgangswerte:

Hier die Funktion y = (2+i) x :

… und nochmals dieselbe Funktion, aber aus der „Perspektive der Imaginärkomponente“ gesehen:

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Mathematische Kunstausstellung, Teil 7 – Noch mehr Funktionen und Abbildungen

4. August 2012

Komplexe Funktionen

In der 5.Folge haben wir uns bereits ein wenig mit Funktionsgraphiken befasst. Ich möchte nochmals auf dieses Thema zurückkommen.

Interessantere Funktionsgraphiken entstehen, wenn wir die Funktionen von komplexen Zahlen bildlich darstellen. Nur ist es hier nicht so selbstverständlich, wie eine solche Graphik aussehen soll. Der „wirkliche“ Graph einer komplexen Funktion ist nämlich vierdimensional!
(Man kann das schnell verstehen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die reellen Zahlen auf einer Geraden dargestellt werden können. Der Graph einer reellen Funktion ist deshalb zweidimensional, wobei normalerweise die Anfangszahl auf der waagerechten x-Achse und der Funktionswert auf der senkrechten y-Achse dargestellt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl benötigt jedoch zwei Dimensionen. Somit bräuchten wir für die Darstellung sowohl der Anfangszahl wie auch des Funktionswertes je zwei Achsen, insgesamt also vier.)

Nun können wir leider keine vierdimensionalen Graphiken zeichnen. Es gibt aber andere Arten, wie komplexe Funktionen dargestellt werden können. Eine gebräuchliche Art besteht darin, die jeweiligen Funktionswerte auf der komplexen Zahlenebene durch Farben darzustellen: Die Helligkeit der Farbe entspricht dem Absolutwert der Zahl (Null = weiss, unendlich = schwarz), und der Farbton entspricht dem „Winkel“ relativ zum Nullpunkt (d.h. dem Argument in Polarkoordinaten). Die unveränderte komplexe Zahlenebene (also die triviale Funktion y = x) würde nach diesem Vorgehen wie folgt eingefärbt:

Ein Vorteil dieser Methode (für den Mathematiker) besteht darin, dass die Nullstellen einer Funktion in einer solchen Graphik sofort als weisse Punkte erkennbar sind.
Sehen wir uns also einige solche Graphiken an.

Hier die quadratische Funktion y = 3x2 + 2x + 2i, mit zwei Nullstellen:

Eine Funktion dritten Grades hat drei Nullstellen, wie z.B. die folgende (y = 2x3 + 2x2 + x + 1):

Und eine Funktion vierten Grades hat vier Nullstellen, wie in den folgenden drei Beispielen:

y = x4 + 2x3 + 3x2 – 1 – i :

y = 3x4 + 5x3 + 3x2 + 4x + 1 + 3i :

y = x4 + 2x3 + 1 :

Sehen wir uns nun einige Potenzfunktionen an. Im folgenden die gewöhnliche quadratische Funktion y = x2 :

Fügen wir zum Exponenten noch einen kleinen Imaginärteil hinzu, dann ergibt sich eine kleine „Störung“ im Bild:

y = x2 + 0.1i:

Auch diese „Störung“ hat aber System und Schönheit. Das folgende Bild zeigt, dass die Graphik in diesem Fall die Form einer logarithmischen Spirale annimmt (wie sie in der Natur z.B. in Schneckenhäuschen vorkommt):

y = x3.3 + i:

Noch zwei weitere Potenzfunktionen:

y = x -1.5 – 0.3i:

y = x -0.3i:

Auch die Exponentialfunktion ergibt interessante Graphiken:

y = (1 + i) x:

y = (3 – 3i) x:

Zu guter Letzt noch die Sinusfunktion für komplexe Zahlen (y = sin(x)):

Offenbar sind alle diese „Kunstwerke“ durch die mathematischen Gesetze bereits vorgegeben; man muss nur eine Art und Weise finden, sie sichtbar zu machen. Man könnte sich hier fragen, ob es in der Mathematik auch Raum gibt für Originalität. Wenn alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen funktioniert, wo bleibt da die Kreativität? – Diese Frage möchte ich mir aber für die nächste Folge aufsparen.

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Mathematische Kunstausstellung (Teil 6): Iterative Funktionen, chaotische Funktionen und Fraktale

6. Juli 2012

Es macht nichts, wenn Sie mit diesem Titel nichts anfangen können. Sie können sich trotzdem an den Bildern freuen. Es sind dieses Mal einige recht interessante darunter! – Einige der Bilder in diesem Artikel sind mehrere Megabytes gross; es kann deshalb einige Zeit dauern, bis sie erscheinen. In der Zwischenzeit können Sie die nachstehende Einleitung durchlesen. Sie dient zum besseren Verständnis der Dinge, die weiter unten auf den Leser warten.

Einführung

Was ist denn das für eine seltsame Fieberkurve?

Es handelt sich um die Darstellung der iterativen Funktion yn+1 = yn2 -1.6. „Iterativ“ bedeutet, dass die Funktionswerte nicht direkt errechnet werden, sondern dass jeder Funktionswert aus dem jeweils vorangehenden abgeleitet werden muss. Der Anfangswert der Funktion ist vorgegeben; im obigen Beispiel beträgt er 1.3. Somit beträgt der nächste Wert (1.3)2 – 1.6 = 0.09. Um nun zum nächsten Wert zu gelangen, muss ich 0.09 als neue Ausgangszahl nehmen: (0.09)2 – 1.6 = -1.5919. Darauf folgt (-1.5919)2 – 1.6 = 0.93414561. (Wir erinnern uns, dass eine negative Zahl im Quadrat wieder eine positive Zahl ergibt.) So geht es weiter, und wir sehen, dass die Funktionswerte ständig in einem Bereich zwischen ca. -1.6 und 1 hin- und herschwanken, aber ohne erkennbare Regelmässigkeit. Diese Funktion verhält sich „chaotisch“, d.h. ihr Verhalten an einem bestimmten Punkt ist nicht voraussagbar, obwohl sie nach einer klaren und einfachen Regel konstruiert ist.

Das ist ziemlich überraschend. Andere ähnliche Funktionen dieser Art verlaufen keineswegs chaotisch. Würden wir z.B. zum Quadrat jeweils 1.6 dazuzählen statt wegzählen, dann würde die Kurve einfach immer steiler nach oben verlaufen. Das ist ziemlich langweilig, und ich habe deshalb davon auch kein Bild gemacht.

Noch überraschender ist, dass selbst geringfügige Änderungen in der Anfangszahl oder im Funktionsparameter (der konstanten Zahl, die zu- bzw. weggezählt wird) den weiteren Kurvenverlauf völlig verändern. Hier sehen wir z.B. dieselbe Funktion, aber mit der Anfangszahl 1.299998 (also nur zwei Millionstel weniger als im obigen Beispiel):

Man stellt fest, dass ca. die ersten 30 Schritte sich ähneln, aber danach wird das Bild völlig anders.

Wie schon erwähnt, ergeben nicht alle Parameter einen chaotischen Funktionsverlauf. Im untenstehenden Bild z.B. beginnen wir wieder mit 1.3, nehmen aber als Parameter -0.7, d.h. die Funktion heisst hier yn+1 = yn2 – 0.7. Wir sehen, dass sich diese Funktion nach anfänglichem Schwanken auf einen bestimmten Grenzwert einpendelt:

Noch ein anderes Beispiel: yn+1 = yn2 – 2.1, auch wieder ausgehend von der Zahl 1.3. Hier werden die Schwankungen allmählich immer grösser, bis sie schliesslich den Bereich des Pendelns verlassen und die Kurve nach oben verschwindet:

Es gibt hier eine ganz exakte Grenze zwischen Ausgangswerten, die eine „pendelnde“ oder konvergierende Funktion erzeugen, und Ausgangswerten, die zu einer ständig steigenden Funktion führen. (Wer etwas von Mathematik versteht, kann ausrechnen, wo diese Grenze genau liegt.)

Wir nehmen als Beispiel wieder unsere anfängliche Funktion mit dem Parameter -1.6, und zwei verschiedene, aber nahe beieinanderliegende Ausgangszahlen. Hier ist die Ausgangszahl -1.86014705 …:

… und hier -1.86014706, also gerade ein Hundertmillionstel weniger:

Mit ein wenig Geduld (oder einem Computer) könnte man jetzt ausrechnen, in welchem Bereich jene Ausgangszahlen und Parameter liegen, deren Funktionen nie nach oben „ausreissen“. Man hätte dann eine Menge (im mathematischen Sinn) von Funktionen, die in diesem Bereich liegen, und man könnte diese Menge graphisch darstellen.

Das ist genau der Gedanke, welcher den „Julia-Mengen“ zugrundeliegt, einem der bekanntesten Fraktale. (Benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia.) Man führt die obige iterative Funktion für verschiedene Anfangswerte und Parameter durch, und kann dann in einem Koordinatensystem den Bereich einfärben, der den „pendelnden“ Funktionen entspricht. Nur dass man diese Operation mit komplexen Zahlen durchführt, dann wird das Ganze noch etwas interessanter. (Komplexe Zahlen müssen mit zwei Komponenten ausgedrückt werden, wie z.B. (3.7 – 4i). Ihre graphische Darstellung erfordert daher eine Zahlenebene, nicht nur eine Zahlengerade.)

Julia-Mengen

Sehen wir uns also einige Kunstwerke an, die von dieser Operation hervorgebracht werden. – Wie wir in den obigen Beispielen sahen, pendelt diese iterative „Quadrier- und Zuzählfunktion“ in ziemlich kleinen Zahlbereichen. Alle untenstehenden Bilder stellen deshalb einen Bereich ungefähr zwischen -1 und 1 dar. Für Kenner gebe ich in Klammern jeweils den Funktionsparameter an, der dem jeweiligen Bild entspricht.

Es gibt kompakte Julia-Mengen wie diese (0.3 + 0.18i) … :

… und langgezogene ausgefranste wie diese (0.43 – 0.2i) … :

… und ganz zerstückelte wie diese (0.44 – 0.18i):

In den letzten beiden Bildern kann man bereits eine interessante Eigenschaft dieser Strukturen erkennen: Sie sind „selbstähnlich“; d.h. die Form der ganzen Menge kehrt jeweils in verkleinerter Form in ihren Einzelteilen wieder. Nehmen wir das noch etwas genauer unter die Lupe. In der folgenden animierten Computergraphik erscheint eine besonders zerstückelte Julia-Menge (0.424 + 0.198i). Wir zoomen auf den Punkt (-0.3205 – 0.114i), bis die Vergrösserung das 4000fache des anfänglichen Bildes beträgt. Selbst bei dieser Vergrösserung erscheinen noch kleinere Details, alle dem grösseren Gesamtbild ähnlich; und würden wir weiter vergrössern, so ginge es bis in die Unendlichkeit so weiter:

Fraktale sind für die Forscher interessant, nicht nur wegen ihrer abenteuerlichen Formen. Sie erlauben es, mathematische Beschreibungen zu finden für Strukturen, die in der Natur vorkommen und zuvor für gänzlich „unmathematisch“ oder eben „chaotisch“ gehalten wurden, wie z.B. Wolken, Berge, Bäume und andere Pflanzen, oder Blumenkohl. Selbst solche Formen sind also nicht einfach „zufällig“, sondern weisen durch ihre mathematische Struktur auf die ordnende Hand des Schöpfers hin.

Selbstähnlichkeit bei der Quinua-Pflanze: Jeder Seitentrieb ist ein verkleinertes Abbild der ganzen Pflanze. Die Seitentriebe produzieren ihrerseits kleinere Seitentriebe, die wiederum die Struktur der ganzen Pflanze aufweisen. Bei grossen Pflanzen bringen diese kleineren Seitentriebe wiederum Unterstrukturen hervor (unten).

In der vorherigen Folge haben wir bereits ein solches Fraktal kennengelernt, nämlich das durch selbstähnliche Interpolation generierte „Gebirge“. Die meisten fraktalen Figuren, die Bekanntheit erlangt haben (z.B. der Kochsche Schneestern, das Sierpinsky-Dreieck, oder der Menger-Schwamm), beruhen auf einer solchen fortgesetzten Interpolation. Interessant ist nun an den Julia-Mengen, dass diese nicht durch ein solches Interpolationsverfahren errechnet werden, aber dennoch eine selbstähnliche Struktur aufweisen. Es ist mir nicht bekannt, ob eine schlüssige mathematische Erklärung dafür gefunden wurde, warum das so ist. (Wahrscheinlich gibt es eine solche Erklärung, aber ich bin ihr noch nicht begegnet.)

– Interessant ist es auch zu beobachten, wie sich die Julia-Menge verhält, wenn man den Parameter ganz allmählich verändert. Das folgende Bild zeigt das gleich auf zwei Arten: Die unterste (rote) Ebene dieser „Wabbeltorte“ ist eine Julia-Menge, deren Parameter sich in einem Abstand von 0.2 zum Nullpunkt befindet. Steigen wir durch die Ebenen auf, so entfernt sich der Parameter immer mehr vom Nullpunkt, bis er sich in der obersten (violett-roten) Ebene in einem Abstand von 0.6 zum Nullpunkt befindet. Diese ganze „Parameter-Menge“ rotieren wir jetzt in einem Kreis um den Nullpunkt; das ist es, was im Lauf der Animation geschieht:

Die folgende Animation zeigt nochmals ein ähnliches Gebilde. Nur verändern sich hier die Parameter im Lauf der Animation nicht; sie stellen immer – von der untersten zur obersten Ebene vorwärtsschreitend – das Intervall von (0.354 + 0.354i) bis (0.534 + 0.534i) dar. Die resultierende Form ähnelt einem (etwas schiefen) Gebirge, und wir fliegen jetzt mitten durch dieses „Julia-Gebirge“:

Hier nochmals ein ähnliches Bild, zwar nicht bewegt, aber dafür grossformatiger (1024×768) als „Wallpaper“ für den Computer. (Es erscheint hier verkleinert, aber mit Rechts-Klick darauf und „Ziel speichern“ kann es in seiner vollen Grösse heruntergeladen werden.)

Zum Schluss wandeln wir die Idee der Julia-Menge noch ein wenig ab: Warum muss die zugrundeliegende Funktion immer quadratisch sein? Wir könnten doch unseren Funktionswert stattdessen jeweils z.B. in die 7. Potenz erheben. Nicht ganz überraschend für Kenner der komplexen Zahlen, entsteht dabei ein siebenstrahliger Stern. In der untenstehenden Animation wird eine dreidimensionale Darstellung, ähnlich wie die obigen, Schicht um Schicht aufgebaut. Sie entspricht einer „Wanderung“ vom Parameter (0.75 + 0.13i) zum Parameter (0.84 + 0.13i). Interessant ist dabei, wie sich die Menge entlang dieses Weges mehrmals in kleine Teile aufteilt und sich dann wieder zusammenfügt:

 

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