Posts Tagged ‘Mathematik’

Mathematische Kunstausstellung – Anhang (Links)

7. Oktober 2012

Mehr mathematische Kunst im Internet

Für Interessierte füge ich hier eine kleine Link-Sammlung an zu Seiten, die sich ebenfalls mit mathematischer Kunst (oder einem Teilaspekt davon) beschäftigen.


„Dimensions“
Eine sehr anschauliche, rund zweistündige Film-Serie über Themen wie projektive Geometrie, vierdimensionale Geometrie, komplexe Zahlen und Fraktale. (Man sieht sich z.B. durch verschiedene vierdimensionale Körper hindurchfliegen – natürlich in unseren dreidimensionalen Raum hineinprojiziert.) Kann gratis in verschiedenen Sprachen (inkl. Deutsch) heruntergeladen werden. Die grossen Dateien werden zwar Ihre Internetverbindung ziemlich strapazieren, aber es lohnt sich. Nur schon um die immense Arbeit zu bewundern, die in diese Serie gesteckt worden ist. Mit ganz wenigen Ausnahmen (eine Weltkarte und einige Porträts berühmter Mathematiker) sind sämtliche Bilder und Animationen mittels mathematischer Algorithmen programmiert und vom Computer generiert worden.
Zum Verständnis ist z.T. etwas fortgeschritteneres mathematisches Wissen erforderlich; das meiste wird aber auf allgemeinverständliche Art und Weise erklärt.
„Die Primzahleninsel“
Dieser Autor hat die statistische Verteilung der Primzahlen nach einem bestimmten Algorithmus in eine gebirgige Oberfläche umgerechnet und diese mit künstlerischer Ausschmückung als eine geheimnisvolle Insel dargestellt. Auch einige andere Arten, Primzahlen graphisch darzustellen, können auf derselben Website angesehen werden. (Beschreibungen auf Englisch)
Primzahlenspiralen
Noch eine andere Art, Primzahlen graphisch darzustellen: mittels verschiedenartiger Spiralen, die unerwartete Regelmässigkeiten und Muster hervorbringen. (Beschreibungen auf Englisch)

Website von Jean-François Colonna
Colonna verbindet Mathematik, Computergraphik und Kunst in einzigartiger Weise. Die Erklärungen sind auf Französisch und (z.T.) Englisch, aber seine Kunstwerke können auch ohne Sprachkenntnisse bewundert werden.
Die Arbeit von Colonna ist um einiges anspruchsvoller als die Beispiele in meiner Artikelserie – sowohl vom Künstlerischen her, als auch inbezug auf die damit verbundenen mathematischen Konzepte. Aber das meiste ist sehr ausführlich erklärt, sodass jemand mit etwas fortgeschrittenen Mathematik- und Programmierkenntnissen selber ähnliche Werke schaffen könnte.
„MArTH Madness“
Ein Bericht über ein interessantes Schulprojekt in den USA zum Thema „mathematische Kunst“. Alles mögliche kommt darin vor, von einfachsten Handzeichnungen über geometrisches Origami bis zu Computergraphiken und spektakulären dreidimensionalen Baukasten-Konstruktionen.
Blog von Vi Hart
Blog einer originellen Mathematikerin, die alle möglichen Gegenstände in mathematische Kunst verwandelt: Ballons, Wäschekörbe, Esswaren, Schirme, und und und … Mit vielen Fotos und Videoclips. Sehenswert ist z.B. die „Möbius-Story“, eine auf ein transparentes Möbius-Band gezeichnete Kindergeschichte, was überraschende Effekte ergibt.
POV-Ray (Persistence Of Vision Raytracker)
Nicht eigentlich ein Kunstwerk, aber ein Hilfsmittel, um Kunstwerke herzustellen. – POV-Ray ist ein Computerprogramm, oder besser gesagt, eine Programmiersprache, mit der man erstaunliche 3D-Graphiken und Animationen schaffen kann. Im Gegensatz zu anderen Graphikprogrammen werden bei einem „Raytracker“ die Objekte nicht mit Hilfe eines Zeichnungsprogramms entworfen, sondern durch mathematische Formeln definiert. (Es sind aber auch Zeichnungsprogramme erhältlich, mit denen man Objekte entwerfen kann, die dann in POV-Ray importiert werden können.)
Die 3D-Teilerdiagramme im Teil 4, die Gebirgsmodelle im Teil 5, die dreidimensionalen komplexen Funktionen im Teil 8 und die dreidimensionalen Wellen-Animationen im Teil 10 dieser Artikelserie wurden mit Hilfe von POV-Ray hergestellt. Auch der obenerwähnte Film „Dimensions“ wurde mit POV-Ray programmiert.
Die POV-Ray-Website enthält ausserdem Links zu weiteren Seiten, wo mit diesem Programm hergestellte Kunstwerke ausgestellt sind.
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Mathematische Kunstausstellung, Teil 10: Beschwingt, gewellt und auf hoher See

28. September 2012

Schwingungen

Eine Schwingung ist zunächst einfach eine Hin- und Her- (oder Auf- und Ab-) Bewegung. So wie dieser rote Punkt links, der ohne müde zu werden auf und ab pendelt.
Mathematik- bzw. Physik-Bewanderte wissen, dass eine „gewöhnliche“ Schwingung (fachmännischer gesagt, eine harmonische Schwingung) als Sinuskurve dargestellt wird. Das scheint die normale Art zu sein, wie Violin- oder Gitarrensaiten, Pendel, und andere Gegenstände zu schwingen pflegen. Stellen wir also die zeitliche Auf- und Ab-Bewegung unseres Punktes graphisch dar, indem wir sie mit einer gleichmässigen waagerechten Fortbewegung auf der „Zeitachse“ kombinieren. So erhalten wir eine Sinuskurve:

Wir können diese Schwingung aber auch anders darstellen. Statt sie mit einer linearen Fortbewegung zu kombinieren, können wir die senkrechte Schwingung mit einer ebensolchen waagerechten Schwingung kombinieren. Bei einer Phasenverschiebung von 1/4 der Periode ergibt das folgendes Bild:

Ein Kreis! – Tatsächlich kann die Sinusfunktion auch so definiert werden, dass sie die Höhe einer Kreislinie über der Waagerechten bedeutet, im Verhältnis zum Winkel am Kreismittelpunkt. Wasserwellen haben auch ein ungefähr „sinusförmiges“ Aussehen, aber die Wasserteilchen bewegen sich in Wirklichkeit ungefähr kreisförmig auf und ab.

Wir könnten jetzt aber auch Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen miteinander kombinieren. Hier z.B. schwingen die beiden roten Punkte mit Frequenzen im Verhältnis 2:3 :

Solche Figuren, die durch die Kombination verschiedener Schwingungen entstehen, werden Lissajous-Figuren genannt. Hier einige Beispiele, wie diese dekorativen Figuren aussehen können:


Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 7:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in gleicher Richtung, im Verhältnis 1:9.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen in Gegenrichtung, im Verhältnis 7:10.

Kombination von vier geradlinigen Schwingungen (zwei waagrechte und zwei senkrechte) im Verhältnis 18:5:6:12.

Kombination von drei kreisförmigen Schwingungen im Verhältnis 32:36:45.


Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 10:13:26.)

Kombination von zwei kreisförmigen Schwingungen mit einer geradlinigen vertikalen Schwingung (Verhältnis 5:7:18.)

Kombination zweier geradliniger Schwingungen im Verhältnis 3:7. Der Animationseffekt kommt hier (wie auch im unteren Bild) dadurch zustande, dass im Laufe der Zeit die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen geändert wird.

Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 7:20. Im Verlauf der Animation ändert sich die Amplitude der einen Schwingung (ebenso im unteren Bild).

Kombination einer kreisförmigen mit einer vertikalen Schwingung; Änderung der Phasenverschiebung.


Kombination zweier kreisförmiger Schwingungen im Verhältnis 5:18; Änderung der Amplitude.

Die Figuren werden eher „harmonisch“, wenn sich die Verhältnisse zwischen den Frequenzen durch kleine ganze Zahlen ausdrücken lassen (bzw. Zahlen mit einem kleinen gemeinsamen Vielfachen). Bei grösseren oder „ungeraden“ Zahlenverhältnissen machen die entstehenden Figuren einen etwas unregelmässigeren oder „chaotischeren“ Eindruck.
Dasselbe kann man in der Musik beobachten. Töne bestehen ja auch aus Schwingungen. Dabei empfinden wir in der Regel jene Akkorde als wohlklingend, bei welchen die Frequenzen der einzelnen Töne solche ganzen Zahlenverhältnisse bilden. Z.B. besteht ein Dur-Akkord aus Tönen mit dem Frequenzverhältnis 3:4:5, 4:5:6 oder 5:6:8. Bei einem Moll-Akkord ist das Verhältnis 10:12:15, 12:15:20 oder 15:20:24.

Wir machen Wellen

Eine Welle ist sozusagen eine Schwingung, die sich in Raum und Zeit fortbewegt. Der momentane Zustand der Welle ist also sowohl von dem Ort abhängig, an dem man sie beobachtet, wie auch vom Zeitpunkt. Überlagerungen mehrerer Wellen unterliegen ähnlichen Gesetzmässigkeiten wie die oben betrachteten Lissajous-Figuren.
Meistens geht eine Welle von einem bestimmten Punkt aus und breitet sich von da her kreisförmig (bzw. im Raum kugelförmig) nach allen Seiten gleichmässig aus – z.B. wenn man einen Stein ins Wasser wirft. Im folgenden Bild wurde eine Überlagerung dreier solcher Wellen mathematisch nachkonstruiert. (Der Ursprung einer der drei Wellen liegt so weit ausserhalb des Bildes, dass sie als fast geradlinige senkrechte Streifen erscheint.)

Hier noch eine andere Überlagerung dreier Wellen, in grösserem Massstab:

Zum Schluss sehen wir uns das Ganze noch „echt“, also als dreidimensionale Animation an. Auch die untenstehenden Computergraphiken bestehen aus Überlagerungen von lediglich drei Wellen. Auf diese Weise kann man mathematisch Wasserwellen „nachmodellieren“. (Profis werden die Farben und Texturen sicher noch „echter“ herausarbeiten können als ich.) Auch die echten Wellen sind also mathematisch geordnete Gebilde.

Nur nicht seekrank werden …

Mathematische Kunstausstellung, Teil 9 – Funktionen als Abbildungen

24. August 2012

In der Mathematik werden Funktionen auch „Abbildungen“ genannt: Jeder Ausgangswert entspricht einem Punkt, der auf einen anderen Punkt (den Funktionswert) abgebildet wird. Alle Ausgangswerte zusammen bilden das Urbild, alle Funktionswerte zusammen das Abbild.
Was liegt also näher, als die Funktionen komplexer Zahlen als ebensolche „Abbildungen“ eines wirklichen Bildes darzustellen?

Nehmen wir als „Versuchskaninchen“ dieses Meerschweinchen, und passen wir es in ein Koordinatensystem ein, damit wir nicht nur die „Abbildung“ dieses Bildes, sondern der ganzen Zahlenebene mitverfolgen können:

Die einfachsten Abbildungen sind die Translation (Verschiebung), die Drehung, und die Streckung (Vergrösserung). Eine Verschiebung kommt mathematisch so zustande, dass zu jedem Punkt des Urbildes derselbe Wert addiert wird. Dann verschiebt sich das ganze Bild um diese Distanz. Eine Streckung entspricht einer Multiplikation: Werden z.B. die Koordinaten jedes Punktes mit 3 multipliziert, dann wird das Bild dreifach vergrössert. Bei einer Drehung wird der Winkel jedes Punktes (bezüglich des Nullpunktes) verändert. Ich glaube, es ist nicht nötig, diese einfachen Abbildungen bildlich darzustellen.

Was geschieht aber, wenn wir jeden Punkt des Urbildes mit einer komplexen Zahl multiplizieren? Unten z.B. die Funktion y = x · (1 + 0.4i). Wir sehen, dass das Ergebnis eine „Drehstreckung“ ist: Das Bild wird gedreht und gleichzeitig leicht vergrössert.

Ein weiteres Beispiel dieser Art: y = x · (1 + 1.4i) :

Versuchen wir jetzt etwas anderes und erheben wir unser Meerschweinchen ins Quadrat (y = x2). Das gibt bereits eine nicht mehr so ganz einfache Abbildung:

Und wenn wir einen gebrochenen Exponenten gebrauchen, sagen wir y = x1.6 ? – Das gibt eine ähnliche Abbildung, nur scheint es hier, sie sei auf halbem Wege stehengeblieben:

Nehmen wir schliesslich noch den Kehrwert (y = 1/x). Das gibt eine ganz interessante Abbildung, bei welcher der Nullpunkt in unendliche Ferne rückt und der „unendlich ferne Punkt“ auf den Nullpunkt abgebildet wird. Die Koordinatenlinien werden dabei zu Kreisen, die alle durch den Nullpunkt gehen; und unser armes Meerschweinchen strebt mit seinem Hinterteil gegen die Unendlichkeit!

Geordnetes Punktemischen

Nun noch eine Abbildung, die nichts mit den komplexen Zahlen zu tun hat. (Oder vielleicht doch? In der Mathematik gibt es so viele überraschende Zusammenhänge, dass man sich nicht wundern sollte, wenn letztendlich fast alles mit allem irgendwie zusammenhängt …)

Nehmen wir wieder unser Meerschweinchen, das uns bereits so gute Dienste geleistet hat. Das digitalisierte Bild besteht aus lauter quadratischen Bildpunkten. Der Computer speichert diese nicht als zweidimensionales Bild, sondern als eine lange Kette von Daten hintereinander. Nach dem letzten Punkt der obersten Reihe kommt einfach der erste Punkt der nächsten Reihe, und so weiter. Der Computer braucht dann nur noch die zusätzliche Information, wie lang eine Reihe ist, um das Bild richtig darstellen zu können.

Lassen wir nun den Computer diese „Datenkette“ mischen, und zwar auf folgende Weise: Die Position jedes Punktes wird mit einer konstanten Zahl multipliziert, sagen wir 97. Wir verschieben also Punkt 1 auf Platz 97, Punkt 2 auf Platz 194, Punkt 3 auf Platz 291, und so weiter. Natürlich werden wir damit irgendwann einmal über das Ende des ursprünglichen Bildes hinausschiessen. Wenn das passieren sollte, dann springen wir einfach wieder zum Anfang des Bildes und zählen von da weiter. Mathematisch gesprochen, kommt jeder Punkt a auf den Platz „97a modulo die Gesamtzahl aller Bildpunkte“. (Offenbar hat diese Abbildung also mit der modularen Arithmetik zu tun, die wir in Teil 2 und Teil 3 behandelten.)
Mathematiker werden schnell herausfinden, dass die Sache einen kleinen Haken hat: Wenn mein konstanter Multiplikator zufällig einen gemeinsamen Teiler hat mit der Gesamtzahl der Bildpunkte, dann werden in der Abbildung einige Punkte doppelt belegt, während andere gar nicht vorkommen. Deshalb wählen wir als Multiplikator am besten eine Primzahl (und eine, die nicht gerade ein Faktor der Bildweite oder -höhe ist).

Auf das Ergebnis dieser Abbildung wenden wir nun wiederum dieselbe Abbildung an, und so weiter. Hier sehen wir die ersten sechs Schritte dieser Transformation:

Man könnte annehmen, dass das Bild bei fortgesetzter Transformation immer chaotischer wird. Dem ist aber nicht so (weshalb ich diese Transformation „geordnetes Mischen“ nenne). Im Gegenteil, an gewissen Stellen erscheinen immer wieder verkleinerte, etwas verzerrte Abbilder des ursprünglichen Bildes. Nach einer ganz bestimmten Anzahl von Schritten ginge sogar wieder unser ursprüngliches Meerschweinchen heil und unversehrt aus dieser Prozedur hervor! (Man kann mathematisch beweisen, dass genau dann, wenn Punkt 1 wieder auf Punkt 1 abgebildet wird, auch alle übrigen Punkte wieder an ihrem ursprünglichen Platz sind. Es sind dazu also maximal so viele Schritte nötig, wie das Bild Punkte enthält. Das sind bei unserem Bild genau 19398.)

Manchmal braucht man aber viel weniger Schritte, um wieder das ursprüngliche Bild zu erhalten. Hier z.B. eine solche „Mischung“, die bereits im siebten Schritt zur Ausgangsstellung zurückkehrt. (Der Multiplikator ist hier 6, und die Gesamtzahl der Bildpunkte ist 66-1):

Hier noch einige weitere Bilder, die beim „Mischen“ des Meerschweinchens entstanden sind:


(Schritt 8)

(Schritt 13)

(Schritt 30)

(Schritt 52)

(Schritt 65)

(Schritt 79)

(Schritt 91)

(Schritt 98)

Mathematische Kunstausstellung, Teil 8 – Kreativität und komplexe Zahlen

9. August 2012

Kann Mathematik kreativ und originell sein?

In der letzten Folge sind wir bei einer etwas philosophischen Frage stehengeblieben. Wir haben inzwischen viele „mathematische Kunstwerke“ vorgestellt und bewundert. Aber in der Mathematik funktioniert alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen, während Kunst viel zu tun hat mit Kreativität und Originalität. Gibt es in der Mathematik keinen Raum für Originalität?

Nun haben aber die Mathematiker aller Zeiten immer wieder neue mathematische Objekte erfunden. Persönlich finde ich z.B. die imaginären und komplexen Zahlen eine sehr originelle Erfindung: Nach den „normalen“ Rechenregeln ist es einfach unmöglich, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Bis irgendwann im 16.Jahrhundert ein Mathematiker (wahrscheinlich Girolamo Cardano) auf die Idee kam, die Wurzel aus -1 einfach zu „erfinden“ (heute wird sie „i“ genannt), und dann durch logische Schlüsse die Rechenregeln herauszufinden, die auf diese „erfundene Zahl“ anzuwenden wären. Man kann sich jetzt darüber streiten, ob diese Zahlen wirklich existieren, oder ob sie nur „ausgedacht“ (eben „imaginär“) sind. Jedenfalls kann man auf gesetzmässige Weise mit ihnen rechnen, und in gewissen Bereichen der Mathematik und der Physik sind sie sogar unentbehrlich.

Damit ist ein tiefgründigeres Thema angeschnitten: Wie kommt es, dass die „originelle“ (und damals von manchen für abwegig gehaltene) Erfindung eines Mathematikers des 16.Jahrhunderts plötzlich in der Quantenmechanik des 20.Jahrhunderts eine praktische Anwendung und Bestätigung findet? Wenn die innere Struktur von Atomen nur mit Hilfe von „imaginären“ Zahlen mathematisch beschrieben werden kann, dann sind diese Zahlen doch nicht so „imaginär“, sondern existieren in der wirklichen Welt? Aber wie konnte dann Cardano sie „erfinden“, wo er doch von Atomen und Elementarteilchen keine Ahnung hatte? Warum stimmt seine rein gedankliche Erfindung exakt überein mit den Eigenschaften physikalischer Phänomene, die erst vierhundert Jahre später entdeckt wurden?

Eugene Wigner (Physik-Nobelpreisträger 1963 und Mitbegründer der Quantenmechanik) schreibt über dieses Phänomen in einem Artikel mit dem Titel: „Die unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“ (1960):

„Man kann sich kaum des Eindrucks erwehren, dass wir hier einem Wunder gegenüberstehen, von ebenso auffallender Natur wie das Wunder, dass der menschliche Geist tausend Argumente miteinander verknüpfen kann, ohne sich in Widersprüche zu verwickeln; oder wie die beiden Wunder der Existenz von Naturgesetzen, und der Fähigkeit des menschlichen Geistes, sie herauszufinden. Was von den mir bekannten Zitaten einer Erklärung für das Auftauchen mathematischer Konzepte in der Physik am nächsten kommt, ist Einsteins Ausspruch, dass wir nur jene physikalischen Theorien zu akzeptieren bereit sind, die schön sind.“
– Und im Schlussabschnitt:
„Das Wunder, dass die Sprache der Mathematik zur Formulierung physikalischer Gesetze angemessen ist, ist eine wunderbare Gabe, die wir weder verstehen noch verdienen.“

Offenbar war Wigner mit den christlichen Erklärungen dieses Wunders nicht vertraut. So schreibt z.B. Francis Schaeffer (in „Wie können wir denn leben?“):

„Der Beginn der modernen Naturwissenschaft stand nicht in Konflikt mit der Lehre der Bibel; ganz im Gegenteil, an einem kritischen Punkt beruhte die wissenschaftliche Revolution auf der Lehre der Bibel. Sowohl Alfred North Whitehead (1861-1947) als auch J.Robert Oppenheimer (1904-1967) haben darauf hingewiesen, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild heraus entstanden ist. (…) Soweit ich weiss, waren beide keine Christen und hätten sich selbst nicht als Christen bezeichnet; jedoch erkannten beide ohne Einschränkung, dass die moderne Naturwissenschaft aus dem christlichen Weltbild geboren wurde.
(…) In den Harvard University Lowell Lectures mit dem Titel Science and the Modern World (1925) („Wissenschaft und die moderne Welt“) erklärte Whitehead, das Christentum sei die Mutter der Wissenschaft wegen „der mittelalterlichen Lehre von der Rationalität Gottes“. Whitehead sprach auch von Vertrauen auf die „verständliche Rationalität eines persönlichen Wesens“. Er erklärte in diesen Vorlesungen, dass die frühen Naturwissenschaftler wegen der Rationalität Gottes einen „unumstösslichen Glauben daran besassen, dass jedes einzelne Ereignis zu den vorausgegangenen Ereignissen in einer Weise in Beziehung gesetzt werden kann, in der allgemeine Prinzipien zum Ausdruck kommen. Ohne diesen Glauben wären die unglaublichen Anstrengungen der Wissenschaftler ohne Hoffnung gewesen.“ Mit anderen Worten: Weil die frühen Naturwissenschaftler glaubten, die Welt sei von einem vernünftigen Gott geschaffen worden, überraschte es sie nicht, dass es menschenmöglich war, auf der Grundlage der Vernunft wahre Dinge über die Natur und das Universum herauszufinden.“

Und James Nickel schreibt in „Fundamente der Mathematik“:

„Es ist zu erwarten, dass die humanistischen Mathematiker die Rolle der Mathematik in Gottes Plänen nicht verstehen werden. Da sie ihr Leben nicht unter die Herrschaft ihres Schöpfers stellen wollen, ist es ihre Schuld, dass sie blind sind für die Herrlichkeit Gottes, die sich in dem einzigartigen Spiegel der Mathematik widerspiegelt. (…) Damit ihre tägliche praktische Arbeit einen Nutzen hat, müssen die Wissenschafter und angewandten Mathematiker dennoch biblische Voraussetzungen über die physische Welt annehmen, die gegen ihre erklärten Denkvoraussetzungen gehen. (…) Die Wissenschafter müssen mit der objektiven Kohärenz eines Universums – nicht eines Multiversums – rechnen, wenn es so etwas wie echte Wissenschaft geben soll. (…) Der menschliche Geist mit seinen mathematischen Fähigkeiten und die physikalische Welt mit ihrer beobachtbaren mathematischen Ordnung stimmen zusammen, weil sie vom selben Schöpfer geschaffen wurden.“

Nun ist aber Gott die kreativste Person, die es überhaupt gibt. Wenn er uns also (unter anderem) mit der Fähigkeit geschaffen hat, Mathematik zu treiben, dann sollte es uns nicht verwundern, dass es in der Mathematik tatsächlich viel Raum zu Kreativität und Originalität gibt. Und wahrscheinlich wäre ein geringerer Verstand als der göttliche nicht dazu in der Lage gewesen, Exaktheit und strenge Regelmässigkeit auf diese Weise mit Kreativität und Originalität zu verbinden, wie es in der Mathematik geschieht.


Sehen wir uns nun eine andere Art an, komplexe Funktionen darzustellen. Wir „halten“ z.B. die reelle Komponente der Ausgangszahl „fest“ bei einem bestimmten Wert, sagen wir 3. Es gibt unendlich viele komplexe Zahlen mit einer reellen Komponente von 3: 3 + i, 3 + 2i, 3 + 3i, usw. Jede dieser Zahlen hat einen Funktionswert, und wenn wir alle diese Funktionswerte als Punkte zeichnen, erhalten wir eine Kurve in der komplexen Zahlenebene. Dasselbe können wir nun natürlich für andere Werte der reellen Komponente tun. So erhalten wir eine Kurvenschar. Diese können wir z.B. als dreidimensionales Gebilde darstellen, wobei die senkrechte Achse die jeweilige Realkomponente der Ausgangswerte darstellt. Also: Auf der „Höhe Null“ zeichnen wir die Kurve, die der Realkomponente 0 entspricht; auf „Höhe 1“ die zum Wert 1 gehörige Kurve, usw.

Im folgenden einige Beispiele solcher Graphiken. Die sichtbaren Netzlinien entsprechen dabei dem Koordinatensystem der ursprünglichen komplexen Zahlenebene (d.h. der Ausgangswerte).

Hier die Cosinusfunktion der komplexen Zahlen (y = cos(x)):

… und hier nochmals dieselbe Cosinusfunktion, aber diesmal entspricht die senkrechte Achse einem Fortschreiten entlang der Imaginärkomponenten der Ausgangswerte:

Hier die Funktion y = (2+i) x :

… und nochmals dieselbe Funktion, aber aus der „Perspektive der Imaginärkomponente“ gesehen:

Mathematische Kunstausstellung, Teil 7 – Noch mehr Funktionen und Abbildungen

4. August 2012

Komplexe Funktionen

In der 5.Folge haben wir uns bereits ein wenig mit Funktionsgraphiken befasst. Ich möchte nochmals auf dieses Thema zurückkommen.

Interessantere Funktionsgraphiken entstehen, wenn wir die Funktionen von komplexen Zahlen bildlich darstellen. Nur ist es hier nicht so selbstverständlich, wie eine solche Graphik aussehen soll. Der „wirkliche“ Graph einer komplexen Funktion ist nämlich vierdimensional!
(Man kann das schnell verstehen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass die reellen Zahlen auf einer Geraden dargestellt werden können. Der Graph einer reellen Funktion ist deshalb zweidimensional, wobei normalerweise die Anfangszahl auf der waagerechten x-Achse und der Funktionswert auf der senkrechten y-Achse dargestellt wird. Die Darstellung einer komplexen Zahl benötigt jedoch zwei Dimensionen. Somit bräuchten wir für die Darstellung sowohl der Anfangszahl wie auch des Funktionswertes je zwei Achsen, insgesamt also vier.)

Nun können wir leider keine vierdimensionalen Graphiken zeichnen. Es gibt aber andere Arten, wie komplexe Funktionen dargestellt werden können. Eine gebräuchliche Art besteht darin, die jeweiligen Funktionswerte auf der komplexen Zahlenebene durch Farben darzustellen: Die Helligkeit der Farbe entspricht dem Absolutwert der Zahl (Null = weiss, unendlich = schwarz), und der Farbton entspricht dem „Winkel“ relativ zum Nullpunkt (d.h. dem Argument in Polarkoordinaten). Die unveränderte komplexe Zahlenebene (also die triviale Funktion y = x) würde nach diesem Vorgehen wie folgt eingefärbt:

Ein Vorteil dieser Methode (für den Mathematiker) besteht darin, dass die Nullstellen einer Funktion in einer solchen Graphik sofort als weisse Punkte erkennbar sind.
Sehen wir uns also einige solche Graphiken an.

Hier die quadratische Funktion y = 3x2 + 2x + 2i, mit zwei Nullstellen:

Eine Funktion dritten Grades hat drei Nullstellen, wie z.B. die folgende (y = 2x3 + 2x2 + x + 1):

Und eine Funktion vierten Grades hat vier Nullstellen, wie in den folgenden drei Beispielen:

y = x4 + 2x3 + 3x2 – 1 – i :

y = 3x4 + 5x3 + 3x2 + 4x + 1 + 3i :

y = x4 + 2x3 + 1 :

Sehen wir uns nun einige Potenzfunktionen an. Im folgenden die gewöhnliche quadratische Funktion y = x2 :

Fügen wir zum Exponenten noch einen kleinen Imaginärteil hinzu, dann ergibt sich eine kleine „Störung“ im Bild:

y = x2 + 0.1i:

Auch diese „Störung“ hat aber System und Schönheit. Das folgende Bild zeigt, dass die Graphik in diesem Fall die Form einer logarithmischen Spirale annimmt (wie sie in der Natur z.B. in Schneckenhäuschen vorkommt):

y = x3.3 + i:

Noch zwei weitere Potenzfunktionen:

y = x -1.5 – 0.3i:

y = x -0.3i:

Auch die Exponentialfunktion ergibt interessante Graphiken:

y = (1 + i) x:

y = (3 – 3i) x:

Zu guter Letzt noch die Sinusfunktion für komplexe Zahlen (y = sin(x)):

Offenbar sind alle diese „Kunstwerke“ durch die mathematischen Gesetze bereits vorgegeben; man muss nur eine Art und Weise finden, sie sichtbar zu machen. Man könnte sich hier fragen, ob es in der Mathematik auch Raum gibt für Originalität. Wenn alles nach vorgegebenen Regeln und Ordnungen funktioniert, wo bleibt da die Kreativität? – Diese Frage möchte ich mir aber für die nächste Folge aufsparen.

Mathematische Kunstausstellung (Teil 6): Iterative Funktionen, chaotische Funktionen und Fraktale

6. Juli 2012

Es macht nichts, wenn Sie mit diesem Titel nichts anfangen können. Sie können sich trotzdem an den Bildern freuen. Es sind dieses Mal einige recht interessante darunter! – Einige der Bilder in diesem Artikel sind mehrere Megabytes gross; es kann deshalb einige Zeit dauern, bis sie erscheinen. In der Zwischenzeit können Sie die nachstehende Einleitung durchlesen. Sie dient zum besseren Verständnis der Dinge, die weiter unten auf den Leser warten.

Einführung

Was ist denn das für eine seltsame Fieberkurve?

Es handelt sich um die Darstellung der iterativen Funktion yn+1 = yn2 -1.6. „Iterativ“ bedeutet, dass die Funktionswerte nicht direkt errechnet werden, sondern dass jeder Funktionswert aus dem jeweils vorangehenden abgeleitet werden muss. Der Anfangswert der Funktion ist vorgegeben; im obigen Beispiel beträgt er 1.3. Somit beträgt der nächste Wert (1.3)2 – 1.6 = 0.09. Um nun zum nächsten Wert zu gelangen, muss ich 0.09 als neue Ausgangszahl nehmen: (0.09)2 – 1.6 = -1.5919. Darauf folgt (-1.5919)2 – 1.6 = 0.93414561. (Wir erinnern uns, dass eine negative Zahl im Quadrat wieder eine positive Zahl ergibt.) So geht es weiter, und wir sehen, dass die Funktionswerte ständig in einem Bereich zwischen ca. -1.6 und 1 hin- und herschwanken, aber ohne erkennbare Regelmässigkeit. Diese Funktion verhält sich „chaotisch“, d.h. ihr Verhalten an einem bestimmten Punkt ist nicht voraussagbar, obwohl sie nach einer klaren und einfachen Regel konstruiert ist.

Das ist ziemlich überraschend. Andere ähnliche Funktionen dieser Art verlaufen keineswegs chaotisch. Würden wir z.B. zum Quadrat jeweils 1.6 dazuzählen statt wegzählen, dann würde die Kurve einfach immer steiler nach oben verlaufen. Das ist ziemlich langweilig, und ich habe deshalb davon auch kein Bild gemacht.

Noch überraschender ist, dass selbst geringfügige Änderungen in der Anfangszahl oder im Funktionsparameter (der konstanten Zahl, die zu- bzw. weggezählt wird) den weiteren Kurvenverlauf völlig verändern. Hier sehen wir z.B. dieselbe Funktion, aber mit der Anfangszahl 1.299998 (also nur zwei Millionstel weniger als im obigen Beispiel):

Man stellt fest, dass ca. die ersten 30 Schritte sich ähneln, aber danach wird das Bild völlig anders.

Wie schon erwähnt, ergeben nicht alle Parameter einen chaotischen Funktionsverlauf. Im untenstehenden Bild z.B. beginnen wir wieder mit 1.3, nehmen aber als Parameter -0.7, d.h. die Funktion heisst hier yn+1 = yn2 – 0.7. Wir sehen, dass sich diese Funktion nach anfänglichem Schwanken auf einen bestimmten Grenzwert einpendelt:

Noch ein anderes Beispiel: yn+1 = yn2 – 2.1, auch wieder ausgehend von der Zahl 1.3. Hier werden die Schwankungen allmählich immer grösser, bis sie schliesslich den Bereich des Pendelns verlassen und die Kurve nach oben verschwindet:

Es gibt hier eine ganz exakte Grenze zwischen Ausgangswerten, die eine „pendelnde“ oder konvergierende Funktion erzeugen, und Ausgangswerten, die zu einer ständig steigenden Funktion führen. (Wer etwas von Mathematik versteht, kann ausrechnen, wo diese Grenze genau liegt.)

Wir nehmen als Beispiel wieder unsere anfängliche Funktion mit dem Parameter -1.6, und zwei verschiedene, aber nahe beieinanderliegende Ausgangszahlen. Hier ist die Ausgangszahl -1.86014705 …:

… und hier -1.86014706, also gerade ein Hundertmillionstel weniger:

Mit ein wenig Geduld (oder einem Computer) könnte man jetzt ausrechnen, in welchem Bereich jene Ausgangszahlen und Parameter liegen, deren Funktionen nie nach oben „ausreissen“. Man hätte dann eine Menge (im mathematischen Sinn) von Funktionen, die in diesem Bereich liegen, und man könnte diese Menge graphisch darstellen.

Das ist genau der Gedanke, welcher den „Julia-Mengen“ zugrundeliegt, einem der bekanntesten Fraktale. (Benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia.) Man führt die obige iterative Funktion für verschiedene Anfangswerte und Parameter durch, und kann dann in einem Koordinatensystem den Bereich einfärben, der den „pendelnden“ Funktionen entspricht. Nur dass man diese Operation mit komplexen Zahlen durchführt, dann wird das Ganze noch etwas interessanter. (Komplexe Zahlen müssen mit zwei Komponenten ausgedrückt werden, wie z.B. (3.7 – 4i). Ihre graphische Darstellung erfordert daher eine Zahlenebene, nicht nur eine Zahlengerade.)

Julia-Mengen

Sehen wir uns also einige Kunstwerke an, die von dieser Operation hervorgebracht werden. – Wie wir in den obigen Beispielen sahen, pendelt diese iterative „Quadrier- und Zuzählfunktion“ in ziemlich kleinen Zahlbereichen. Alle untenstehenden Bilder stellen deshalb einen Bereich ungefähr zwischen -1 und 1 dar. Für Kenner gebe ich in Klammern jeweils den Funktionsparameter an, der dem jeweiligen Bild entspricht.

Es gibt kompakte Julia-Mengen wie diese (0.3 + 0.18i) … :

… und langgezogene ausgefranste wie diese (0.43 – 0.2i) … :

… und ganz zerstückelte wie diese (0.44 – 0.18i):

In den letzten beiden Bildern kann man bereits eine interessante Eigenschaft dieser Strukturen erkennen: Sie sind „selbstähnlich“; d.h. die Form der ganzen Menge kehrt jeweils in verkleinerter Form in ihren Einzelteilen wieder. Nehmen wir das noch etwas genauer unter die Lupe. In der folgenden animierten Computergraphik erscheint eine besonders zerstückelte Julia-Menge (0.424 + 0.198i). Wir zoomen auf den Punkt (-0.3205 – 0.114i), bis die Vergrösserung das 4000fache des anfänglichen Bildes beträgt. Selbst bei dieser Vergrösserung erscheinen noch kleinere Details, alle dem grösseren Gesamtbild ähnlich; und würden wir weiter vergrössern, so ginge es bis in die Unendlichkeit so weiter:

Fraktale sind für die Forscher interessant, nicht nur wegen ihrer abenteuerlichen Formen. Sie erlauben es, mathematische Beschreibungen zu finden für Strukturen, die in der Natur vorkommen und zuvor für gänzlich „unmathematisch“ oder eben „chaotisch“ gehalten wurden, wie z.B. Wolken, Berge, Bäume und andere Pflanzen, oder Blumenkohl. Selbst solche Formen sind also nicht einfach „zufällig“, sondern weisen durch ihre mathematische Struktur auf die ordnende Hand des Schöpfers hin.

Selbstähnlichkeit bei der Quinua-Pflanze: Jeder Seitentrieb ist ein verkleinertes Abbild der ganzen Pflanze. Die Seitentriebe produzieren ihrerseits kleinere Seitentriebe, die wiederum die Struktur der ganzen Pflanze aufweisen. Bei grossen Pflanzen bringen diese kleineren Seitentriebe wiederum Unterstrukturen hervor (unten).

In der vorherigen Folge haben wir bereits ein solches Fraktal kennengelernt, nämlich das durch selbstähnliche Interpolation generierte „Gebirge“. Die meisten fraktalen Figuren, die Bekanntheit erlangt haben (z.B. der Kochsche Schneestern, das Sierpinsky-Dreieck, oder der Menger-Schwamm), beruhen auf einer solchen fortgesetzten Interpolation. Interessant ist nun an den Julia-Mengen, dass diese nicht durch ein solches Interpolationsverfahren errechnet werden, aber dennoch eine selbstähnliche Struktur aufweisen. Es ist mir nicht bekannt, ob eine schlüssige mathematische Erklärung dafür gefunden wurde, warum das so ist. (Wahrscheinlich gibt es eine solche Erklärung, aber ich bin ihr noch nicht begegnet.)

– Interessant ist es auch zu beobachten, wie sich die Julia-Menge verhält, wenn man den Parameter ganz allmählich verändert. Das folgende Bild zeigt das gleich auf zwei Arten: Die unterste (rote) Ebene dieser „Wabbeltorte“ ist eine Julia-Menge, deren Parameter sich in einem Abstand von 0.2 zum Nullpunkt befindet. Steigen wir durch die Ebenen auf, so entfernt sich der Parameter immer mehr vom Nullpunkt, bis er sich in der obersten (violett-roten) Ebene in einem Abstand von 0.6 zum Nullpunkt befindet. Diese ganze „Parameter-Menge“ rotieren wir jetzt in einem Kreis um den Nullpunkt; das ist es, was im Lauf der Animation geschieht:

Die folgende Animation zeigt nochmals ein ähnliches Gebilde. Nur verändern sich hier die Parameter im Lauf der Animation nicht; sie stellen immer – von der untersten zur obersten Ebene vorwärtsschreitend – das Intervall von (0.354 + 0.354i) bis (0.534 + 0.534i) dar. Die resultierende Form ähnelt einem (etwas schiefen) Gebirge, und wir fliegen jetzt mitten durch dieses „Julia-Gebirge“:

Hier nochmals ein ähnliches Bild, zwar nicht bewegt, aber dafür grossformatiger (1024×768) als „Wallpaper“ für den Computer. (Es erscheint hier verkleinert, aber mit Rechts-Klick darauf und „Ziel speichern“ kann es in seiner vollen Grösse heruntergeladen werden.)

Zum Schluss wandeln wir die Idee der Julia-Menge noch ein wenig ab: Warum muss die zugrundeliegende Funktion immer quadratisch sein? Wir könnten doch unseren Funktionswert stattdessen jeweils z.B. in die 7. Potenz erheben. Nicht ganz überraschend für Kenner der komplexen Zahlen, entsteht dabei ein siebenstrahliger Stern. In der untenstehenden Animation wird eine dreidimensionale Darstellung, ähnlich wie die obigen, Schicht um Schicht aufgebaut. Sie entspricht einer „Wanderung“ vom Parameter (0.75 + 0.13i) zum Parameter (0.84 + 0.13i). Interessant ist dabei, wie sich die Menge entlang dieses Weges mehrmals in kleine Teile aufteilt und sich dann wieder zusammenfügt:

 

Mathematische Kunstausstellung (Teil 5): Kubische Funktionen, mathematische Landschaften und digitale Bildbearbeitung

29. Juni 2012

Kurvenscharen zweiten und dritten Grades

Es ist wohlbekannt, dass man mathematische Funktionen in einem Koordinatensystem graphisch als Kurven darstellen kann. So ergibt z.B. die Funktion y = x eine im Winkel von 45º ansteigende Gerade; die Funktion y = x2 ergibt eine nach oben geöffnete Parabel.

Nun kann man eine solche Funktion um einen veränderlichen Parameter erweitern, dann erhält man eine ganze „Familie“ von Funktionen oder Kurven. Statt y = x2 kann ich z.B. schreiben y = ax2, und der Parameter a kann z.B. die Werte von -1 bis 1 durchlaufen. Wenn wir die entstehenden Kurven alle zusammen in einem einzigen Koordinatensystem zeichnen, erhalten wir folgende Kurvenschar:

(Die Seitenlänge jedes weissen Quadrats entspricht einer Einheit. Logischerweise gehen alle diese Kurven durch den Nullpunkt, denn wenn x=0 ist, wird der Funktionswert immer Null, unabhängig vom Parameter.)

Hier noch eine weitere Kurvenschar. Sie stellt die Funktion y = x3 + x2 + bx dar, wobei der Parameter b die Werte von -3 (rote Kurve) bis 4,5 (violette Kurve) durchläuft.

Nun können wir natürlich weitere veränderliche Parameter einführen. Z.B. können wir den quadratischen Ausdruck x2 mit einem Parameter a multiplizieren und diesen im Lauf der Zeit ändern: y = x3 + ax2 + bx Damit erhalten wir ein bewegtes Bild. Im folgenden Bild durchläuft der Parameter b innerhalb jeder Kurvenschar die Werte von 0,9 (rot) bis 3,45 (violett). Im Lauf der Animation durchläuft zudem der Parameter a die Werte von 3,5 bis -3,5. Das sieht dann so aus:

Solche Kurven dritten Grades (bzw. kubische Funktionen) werden oft in Computergraphiken verwendet (z.B. die sogenannten Bezier-Kurven in Zeichnungsprogrammen). In solchen Graphiken ist es oft nötig, zwei gegebene Punkte mit einer möglichst „sanften“ Kurve zu verbinden. Wenn dann auch noch die Richtung bzw. Neigung vorgeschrieben ist, mit welcher die Kurve durch jeden der beiden Punkte verlaufen muss, dann ist eine Kurve dritten Grades die am einfachsten zu berechnende mathematische Kurve, welche diese Bedingungen erfüllt.
Computerprogramme zur Darstellung dreidimensionaler Landschaften z.B. können einige wenige gegebene Höhenpunkte in nahtlos ineinander übergehende Geländeformen verwandeln, indem sie die jeweiligen Höhen der dazwischenliegenden Flächen mittels einer kubischen Funktion interpolieren. So kommt die Mathematik der (digitalen) Kunst zu Hilfe.

Die folgende Animation zeigt diesen Vorgang vereinfacht, d.h. am Beispiel einer zweidimensionalen Kurve:


Wir interpolieren ein Gebirge

Bei einem dreidimensionalen Gelände sieht das so aus: Hier haben wir ein „Gebirge“, dessen Höhe durch 16 (4×4) Punkte definiert ist. Wenn wir keinerlei Interpolation anwenden, ergibt jeder Punkt einfach ein ebenes, quadratisches Plateau. Das sieht natürlich nicht wie ein richtiges Gebirge aus:

Das folgende Bild wurde aus denselben 16 Punkten konstruiert, aber diesmal werden die dazwischenliegenden Höhen linear interpoliert. (Genauer wird das bilineare Interpolation genannt, weil nach zwei Richtungen hin – Breite und Länge – interpoliert wird.) Das ergibt geradlinige Abhänge und pyramidenförmige Bergspitzen:

Im folgenden Bild nun wurden die Zwischenhöhen mit Hilfe einer kubischen Funktion errechnet (bikubische Interpolation); also wie im vorherigen zweidimensionalen Beispiel. Das ergibt gerundete Bergkuppen, die auf „natürlichere“ Weise ineinander übergehen. Um diese ganze Landschaft zu definieren, werden immer noch lediglich die ursprünglichen 16 Punkte gebraucht:


Anwendung in der digitalen Bildbearbeitung

Genau dieselben Algorithmen kommen auch z.B. bei der digitalen Vergrösserung von Fotografien zur Anwendung. Anstelle von Höhenstufen werden einfach die Farbwerte interpoliert. Der Computer „weiss“ ja gar nicht, ob die errechneten Zahlen nun Höhenangaben oder Farbabstufungen bedeuten; er rechnet einfach mit den „nackten“ Zahlen.

Dieses Bild von 28×28 Pixeln wird im folgenden 16-fach vergrössert.

So kommt es heraus, wenn man überhaupt keine Interpolation vornimmt: Das kleine Bild besteht tatsächlich aus genau denselben Farbquadraten wie das folgende grosse Bild. Es wird vom Auge nur nicht auf dieselbe Weise wahrgenommen, weil unser Auge im kleinen Bild die einzelnen Quadrate nicht mehr unterscheiden kann, im vergrösserten Bild aber sehr wohl. (Betrachten Sie das untenstehende Bild aus etwa fünf Metern Entfernung, und Sie werden sehen, wie Ihr Auge von selbst die Interpolation vornimmt.)

Im nächsten Bild wurde eine bilineare Interpolation vorgenommen. Das sieht schon viel besser aus, aber es erscheinen immer noch störende rechtwinklige Striche:

Und nun dieselbe Vergrösserung mit der bikubischen Interpolation. Die Farbübergänge sehen hier am besten aus:


Eine Fraktal-Landschaft

Zu guter Letzt verlassen wir die kubischen Funktionen und springen schnell zu einem anderen Thema. Wir wenden auf unsere künstliche Gebirgslandschaft eine ganz andere Art der Interpolation an, die noch viel eher den in der Natur vorkommenden Formen entspricht:

So sieht das Gebirge schon fast „echt“ aus. Es handelt sich hier um eine fraktale oder selbstähnliche Interpolation. Diese baut auf der bilinearen Interpolation auf, fügt aber in zunehmend kleineren Schritten jeweils einen Korrekturwert hinzu, welcher einer verkleinerten Version des gesamten Gebirges entspricht. Das geht so: Die ursprünglich gegebenen 16 Punkte teilen den Grundriss der gesamten Landschaft in 16 Quadrate auf. In jedem dieser Quadrate werden zunächst je 16 „Unterpunkte“ durch bilineare Interpolation bestimmt. Zusätzlich wird aber zur Höhe jedes dieser Punkte ein Wert addiert, der der Höhe des entsprechenden „Haupt-Punktes“ im Gesamtgrundriss entspricht – nur geteilt durch 4, weil ja die Unterquadrate eine viermal kleinere Seitenlänge haben. Also wird z.B. zu allen „Unterpunkten“, die in ihrem Unterquadrat die Position Nr.12 einnehmen, ein Viertel der Höhe von „Hauptpunkt Nr.12“ im grossen Quadrat dazugezählt. – Diese Unterquadrate werden dann auf dieselbe Weise wiederum in Unterquadrate aufgeteilt, wobei der Korrekturwert dieses Mal durch 16 geteilt wird, weil wir jetzt Quadrate mit einer 16mal kleineren Seitenlänge haben. Und so weiter, so oft man will.
Das Ergebnis ist eine „selbstähnliche“ Landschaft, in welcher die Gesamtstruktur des Gebirges in jedem seiner Teile verkleinert wieder erscheint. Diese Erscheinung kann tatsächlich in echten Gebirgszügen beobachtet werden, sowie in anderen Gebilden der Schöpfung Gottes wie z.B. Wolken oder Bäumen. Auch solche anscheinend ganz unregelmässigen Formen können also mit geordneten mathematischen Strukturen beschrieben werden. Wir werden solchen Strukturen in der nächsten Folge wieder begegnen.
Das Erstaunliche daran ist, dass auch dieses „unregelmässige“ Gebirge durch die ursprünglichen 16 Punkte (und den Interpolations-Algorithmus) eindeutig bestimmt ist. 16 Zahlen und eine mathematische Formel beschreiben die Form dieses Gebildes vollständig.

Noch ein weiteres Beispiel dieser Art. Der Standort des Betrachters wurde hier im Inneren der Landschaft gewählt, und die Höhe des Wasserspiegels (sowie auch die Farbgebung) wurde willkürlich festgelegt. Im übrigen wurde aber auch diese Landschaft durch selbstähnliche Interpolation aus nur 16 Punkten errechnet. (Die Originalgrösse dieses Bildes ist 1024×768 Pixel, sodass es als Desktop-Hintergrundbild verwendet werden kann.)

Mathematische Kunstausstellung (Teil 4) – Teilerdiagramme und Hyperwürfel

22. Juni 2012

Zur vorherigen Folge

Wir fangen wieder mit etwas ganz Einfachem an. Hier haben wir ein Zahlengitter in der Form eines Rechtecks. Die Zahlen folgen bestimmten Gesetzen: Wenn man sich von irgendeinem Kreis der Linie entlang nach rechts oben bewegt, multipliziert sich die Zahl mit 2. Folgt man einer Linie nach links oben, so multipliziert sich die Zahl mit 5:

Hier kann man bereits anfangen zu forschen: Was geschieht, wenn man von einer Zahl aus senkrecht nach oben geht, also zum diagonal gegenüberliegenden Kreis? Offenbar multipliziert sich dann die Zahl mit 10. Warum? Ist das bei jeder Zahl im Gitter so? Bei den eingezeichneten roten Pfeilen scheint es jedenfalls zu stimmen.
Eine etwas anspruchsvollere Aufgabe wäre herauszufinden, ob in diesem Gitter irgendeine Zahl doppelt vorkommen kann, wenn man es unendlich weit verlängert. Oder kann man beweisen, dass jede Zahl nur einmal vorkommen kann?

Man kann ausserdem feststellen, dass unser Rechteck sämtliche Teiler der Zahl 200 enthält. Wir können also auf diese Weise die Teiler einer Zahl systematisch anordnen. Nicht nur das: auch jedes „Unterdiagramm“, also jedes Teil-Rechteck, das bei 1 beginnt, ist seinerseits ein Teilerdiagramm. So enthält z.B. das im unteren Bild rot umrandete Rechteck alle Teiler von 20:

Offenbar bilden nicht alle Teilerdiagramme ein Rechteck. Links haben wir z.B. das Teilerdiagramm von 81. Hier können wir uns nur in einer geraden Linie fortbewegen. Das liegt daran, dass 81 keine anderen Primfaktoren hat ausser der 3. Alle Potenzen von Primzahlen bilden also ein „einliniges“ Teilerdiagramm. Die Zahl 200 dagegen hat zwei verschiedene Primfaktoren (2 und 5). Deshalb bildet sie ein Teilerdiagramm mit zwei „Richtungen“, die zusammen ein rechteckiges Gitter bilden.Was geschieht dann, wenn eine Zahl drei verschiedene Primfaktoren hat? – Um ein solches Teilerdiagramm zeichnen zu können, müssen wir eine dritte „Richtung“ einführen. Unten sehen wir das am Beispiel der Zahl 140: Nach rechts oben bedeutet mit 2 multiplizieren, nach links oben mit 5, und senkrecht nach oben mit 7:

Das gibt schon eine etwas kompliziertere Struktur. Wir können diese Zeichnung aber als perspektivische Darstellung eines Quaders auffassen, wobei das von den Operationen „x2“ und „x5“ gebildete Rechteck die Grundfläche bildet und die Richtung „x7“ die Höhe.

Wir können also aus solchen Diagrammen dreidimensionale Darstellungen machen. So haben wir hier z.B. das Teilerdiagramm von 900:

Auch hier trifft zu, dass jedes „Unterdiagramm“ in sich ein vollständiges Teilerdiagramm ist. So enthält z.B. der Würfel aus den Zahlen 30, 15, 6, 3 (obere Seite) und 10, 5, 2, 1 (untere Seite) alle Teiler der Zahl 30.

Und wenn wir jetzt noch weitergehen und eine Zahl mit vier verschiedenen Primfaktoren nehmen? Wir müssten dann eine vierte „Richtung“ einführen, was schon nicht mehr so einfach zu zeichnen ist. Und das entstehende Diagramm könnte dann als Darstellung eines vierdimensionalen „Hyperwürfels“ aufgefasst werden. Das ist ein geometrischer Körper mit vier Dimensionen, dessen „Seitenflächen“ (besser gesagt „Seitenkörper“) aus den uns bekannten dreidimensionalen Würfeln bestehen, acht im ganzen. Mit unseren Kindern haben wir einmal aus Trinkhalmen einen solchen Hyperwürfel gebastelt – d.h. natürlich dessen Projektion in unseren dreidimensionalen Raum hinein, denn wir können ja nicht wirklich vierdimensionale Kunstwerke schaffen:

Damit man in diesem Modell die „Seitenwürfel“ besser erkennen kann, haben wir sie farblich gekennzeichnet: Die roten Trinkhalme bilden zusammen zwei einander gegenüberliegende Würfel, ebenso die blauen, die gelben und die grünen. Da an jeder Kante drei „Seitenwürfel“ zusammenstossen, besteht jede Kante aus drei verschiedenfarbigen Halmen.

Wagen wir uns auch an ein fünfdimensionales Modell? Das wäre schon eine rechte Herausforderung an unsere zeichnerischen oder bastlerischen Fähigkeiten. Aber für den Computer ist es ein Kinderspiel, ein solches Modell zu generieren. Das Teilerdiagramm von 2310 (2x3x5x7x11) entspricht einem „Hyperwürfel“ mit fünf Dimensionen, der insgesamt 32 Teiler enthält (inbegriffen die 1 und 2310 selber).

Damit stellt sich die Frage, ob es einen Weg gibt, schnell und einfach zu errechnen, wieviele Teiler eine gegebene Zahl hat. Kennt man deren Zerlegung in Primfaktoren, dann gibt uns das Teilerdiagramm auf anschauliche Weise die Antwort: Falls das Diagramm ein Rechteck bildet, multipliziert man einfach dessen Breite und dessen Länge, und schon hat man die Anzahl der Zahlen, die es enthält. Im Falle eines dreidimensionalen Quaders multipliziert man Länge, Breite und Höhe. Und bei mehr Dimensionen multipliziert man einfach auch die höheren Dimensionen.

Sehen wir uns ein dreidimensionales Beispiel an:

In 55’125 ( = 32 x 53 x 72) kommt die Zahl 3 zweimal als Primfaktor vor. In der Kante in Richtung „x3“ haben wir also drei Zahlen: die 1, sowie 1×3=3 und 1x3x3=9. Die Zahl 5 kommt dreimal vor als Primfaktor, deshalb haben wir in dieser Richtung vier Zahlen. 7 kommt wieder zweimal vor, also haben wir in dieser Richtung drei Zahlen. Somit ist die gesamte Anzahl der Teiler: 3x4x3 = 36.

Als mathematische Formel kann das so geschrieben werden: Nehmen wir an, die Primfaktorenzerlegung einer Zahl sei n = az · by · cx · … , dann ist die Anzahl ihrer Teiler (inbegriffen 1 und die Zahl selber) (z+1) · (y+1) · (x+1) · … .

Eine verwandte Aufgabe besteht darin, die Summe aller Teiler einer Zahl zu errechnen. Auch hier kann die Lösung anschaulich aus dem Teilerdiagramm abgeleitet werden. Nehmen wir als Beispiel nochmals die Zahl 900:

Der Würfel besteht aus drei Ebenen, von denen hier die unterste in einen roten Block eingepackt ist. Da ein Schritt senkrecht nach oben „x3“ bedeutet, ist die Summe aller Zahlen der mittleren Ebene offenbar das Dreifache der Summe der unteren Ebene. Und die Summe der obersten Ebene ist das Neunfache derselben Summe. Als Zwischenresultat können wir also schreiben: (Summe aller Teiler) = (Summe der untersten Ebene) · (1 + 3 + 9).
Um die Summe der untersten Ebene zu erhalten, können wir jetzt wieder dasselbe Verfahren anwenden, indem wir z.B. die linke Kante „abschneiden“. Ein Schritt nach rechts bedeutet „x2“, also ist die Summe der mittleren Linie (2-10-50) das Doppelte der linken Kante; und die Summe der rechten Kante ist das Vierfache davon. Also haben wir: (Summe der untersten Ebene) = (Summe der linken Kante) · (1 + 2 + 4). Die Summe der linken Kante ist aber 1 + 5 + 25. Also können wir zusammenfassen:
Die Summe aller Teiler von 900 (einschliesslich die Zahl selber) beträgt (1 + 5 + 25) · (1 + 2 + 4) · (1 + 3 + 9) = 31 · 7 · 13 = 2821.
Oder als Potenzen geschrieben: (50 + 51 + 52) · (20 + 21 + 22) · (30 + 31 + 32) = 2821.

Schreiben wir dies als allgemeine Formel:
Ist die Primfaktorenzerlegung einer Zahl n = az · by · cx · … ,
so beträgt die Summe aller Teiler von n (einschliesslich n selber):
(1 + a + a2 + … + az) · (1 + b + b2 + … + by) · (1 + c + c2 + … + cx) · … .

(Es gibt dann noch eine vereinfachte Formel für die Summen der Potenzen, aber das würde uns über das Thema der Teilerdiagramme hinausführen.)

Wir haben also gesehen, wie die graphische Darstellung mathematischer Gesetzmässigkeiten einen ästhetischen Wert haben kann; und wie aus einer solchen künstlerischen Darstellung wiederum auf anschauliche Weise weitere Gesetzmässigkeiten abgeleitet werden können. Das scheint mir ein besserer und interessanterer Weg zum Verständnis und zur Wertschätzung mathematischer Ordnungen zu sein, als stur abstrakte Formeln abzuschreiben und anzuwenden, ohne deren Bezug zu konkreten und tatsächlich existierenden Strukturen zu sehen.
(Peruanische Schüler z.B. bekommen die oben hergeleiteten Formeln einfach von ihren Lehrern fertig vorgesetzt und müssen sie auswendiglernen, ohne dass ihnen je einmal jemand erklärt, wie man darauf kommen kann.)

Mathematische Kunstausstellung (Teil 3): Modulare Potenzen-Perserteppiche

10. Mai 2012

Modulare Potenzen-Perserteppiche

In der vorhergehenden Folge haben wir die Zahlen der Multiplikationstabelle verschieden eingefärbt, je nach dem Rest (Modulo), den sie beim Teilen durch eine bestimmte Zahl ergeben. Dann machten wir etwas Ähnliches mit den Quadrat- und Kubikzahlen, und bewunderten die dadurch entstehenden Kunstwerke.

Wir können aber modulare Potenzfunktionen auch so darstellen, dass wir nicht den Exponenten, sondern den Teiler als Konstante wählen. Wir zeichnen also die Funktion z = yx mod n für verschiedene Zahlen n. Wir haben fast dasselbe schon mit der Multiplikationstabelle gemacht: dort zeichneten wir die Funktion z = xy mod n. Wir sahen dabei, dass sich jeweils ein Muster von n x n Feldern wiederholte. Wie sehen diese Wiederholungen bei der Potenzfunktion aus?

In „y-Richtung“ (wenn y die Basis der Potenz ist) gibt es logischerweise eine Wiederholung, sobald y = n ist, denn dann potenziert sich der Rest von y, der hier wieder Null ist (und dann wieder 1, 2, 3, usw). Ich habe deshalb die Bilder jeweils auf der Höhe von n abgeschnitten. In „x-Richtung“ gibt es offensichtlich auch eine Wiederholung; aber es ist nicht so einfach vorauszusagen, wo genau diese eintritt!

Dies sind die Bilder für alle n von 8 bis 18:

Wir sehen, dass hier jede Zahl ihre besondere Eigenart hat.
– Wenn n eine Potenz von 2 ist (z.B. 8 oder 16), wird das Bild vorwiegend rot (= Rest Null). Logisch: Jede gerade Zahl, wenn man sie genügend oft potenziert, ergibt ein Vielfaches von 8 bzw. 16, und von da an ist der Rest immer Null.
– Wenn n eine Primzahl ist, dann erscheint jeweils an einer bestimmten Stelle ein charakteristischer senkrechter roter Strich, nach welchem sich das Muster wiederholt. (In den Bildern mit einem Pfeil bezeichnet.) Dies widerspiegelt den „Kleinen Satz von Fermat“, wonach an-1 – 1 für alle a von 1 bis n-1 durch n teilbar ist, wenn (und nur wenn) n eine Primzahl ist. Der rote Strich befindet sich also genau an der Stelle n-1, und es handelt sich hier um den Rot-Ton, der einem Rest von 1 entspricht.
– Für andere n ergeben sich immer wieder andere charakteristische, teppichähnliche Muster, die sich nach einer bestimmten (meist kürzeren) Periode wiederholen.

Hier einige weitere Beispiele mit zusammengesetzten Zahlen:

Auf dem nächsten Bild sehen wir links zwei Zahlen (62 und 66), die beim Teilen durch 4 den Rest 2 ergeben. Die Bilder aller dieser Zahlen enthalten in der Mitte einen breiten waagerechten grünen Streifen. (Siehe auch oben die Zahlen 10, 14 und 18.) Der Leser möge selber errechnen, woher das kommt.
– Die Zahl 81 ist die vierte Potenz von 3, weshalb jedes durch 3 teilbare y spätestens von der vierten Potenz an einen waagerechten roten Strich ergibt.
– 97 ist nochmals ein Beispiel für eine Primzahl.

Und hier noch einige Beispiele von etwas grösseren Zahlen:

(216: Eine Zahl mit vielen Teilern.)

(247 ist keine Primzahl! 13 x 19 = 247. Deshalb liegen die senkrechten roten Striche nicht bei 247-1=246, und bei genauer Betrachtung stellt man auch fest, dass sie nicht durchgehend sind.)

(256 = 28)

(257 ist hingegen wieder eine Primzahl.)

In der nächsten Folge, so Gott will, werden wir einen anderen Bereich der Mathematik auf die darin verborgenen Kunstwerke untersuchen.

Mathematische Kunstausstellung (Teil 2): Modulare Arithmetik

3. Mai 2012

In der ersten Folge dieser Serie haben wir uns vorwiegend mit der Multiplikationstabelle beschäftigt – ein Thema, das schon Kindern in den ersten Schuljahren zugänglich ist und ihnen zeigt, dass man mit Mathematik „Kunstwerke“ produzieren kann. Ich habe auch kurz meine Beweggründe dafür ausgeführt, eine solche „mathematische Kunstausstellung“ zu veranstalten.

Modulare Arithmetik im Einmaleins

In der ersten Folge haben wir die Zahlen der Multiplikationstabelle auf verschiedene Arten eingefärbt: nach ihren Endziffern, und nach ihrer Grösse (Zahlwert). Wir können sie auch nach anderen Kriterien einfärben, z.B. gerade/ungerade. Dann erhalten wir folgendes Muster:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Auf den ersten Blick sehen wir, dass es in dieser Tabelle viel mehr gerade als ungerade Zahlen gibt. Das liegt natürlich daran, dass eine gerade Zahl, multipliziert mit irgendeiner Zahl, immer eine gerade Zahl ergibt. (Hier liegt auch die Antwort auf die Frage in der ersten Folge, warum es so wenige Einmaleinszahlen gibt, die auf 1, 3, 7 oder 9 enden.)

Abgesehen vom Spiel mit den Farben, können solche Tabellen auch helfen, Fehler zu vermeiden. Wenn der Schüler die Tabelle selber schreibt und das Farbmuster irgendwo „gestört“ ist, dann ist die Zahl dort wahrscheinlich falsch. Wenn das Gesetz von Gerade und Ungerade einmal erkannt ist, dann wird der Schüler auch nicht mehr behaupten, 7 x 8 sei 65. Er erkennt dann nämlich sofort, dass das Ergebnis nicht ungerade sein kann, wenn die Multiplikation eine gerade Zahl (8) enthält.

– Das Kriterium „gerade/ungerade“ kann auch so umschrieben werden: Welcher Rest ergibt sich, wenn wir die Zahl durch 2 teilen? – Dann können wir natürlich statt 2 irgendeine andere Zahl wählen. In der untenstehenden Tabelle erhält jede Zahl ihre Farbe je nachdem, ob sie beim Teilen durch 3 den Rest 0, 1 oder 2 ergibt:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Und hier teilen wir jetzt durch 4:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Offensichtlich wiederholt sich hier immer dasselbe Muster von 4 x 4 Feldern. Ausserdem hat dieses Muster jeweils in der Mitte ein Feld mit derselben Farbe wie der „Rand“, nämlich Rest 0 (warum wohl?).

In der nächsten Tabelle malen wir die Zahlen gemäss ihrem Fünferrest an. Ist es eine Überraschung, dass sich hier ein Muster von 5 x 5 Feldern wiederholt?

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Noch ein (fast) letztes Beispiel dieser Art: der Rest beim Teilen durch 6. Man kann hier auch darüber nachdenken, in welcher Weise sich die Muster unterscheiden, wenn die Teilungszahl einerseits eine Primzahl, bzw. andererseits eine zusammengesetzte Zahl ist.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Würden wir statt des Sechserrests den Zehnerrest wählen, dann erhielten wir eine Kombination aller „Endziffern-Bilder“ aus der ersten Folge.

Hier bewegen wir uns im Gebiet der modularen Arithmetik, ein interessanter Bereich der Zahlentheorie. Kurz gesagt geht es darum, dass man statt mit den kompletten Zahlen zu rechnen, lediglich mit dem Rest (=Modulo) rechnet, den die Zahlen beim Teilen durch eine bestimmte konstante Zahl ergeben. Dieser Rest macht nämlich die Rechenoperationen genau gleich mit wie die kompletten Zahlen. Eine bekannte Anwendung davon ist die „Neunerprobe“: Man kann eine Rechnung auf ihre Richtigkeit überprüfen, indem vergleicht, ob die Operation auch stimmt, wenn man die Neunerreste der einzelnen Glieder und des Ergebnisses nimmt.

Diese Modulo-Funktion bringt aber auch interessante Kunstwerke hervor. Hier z.B. die Multiplikationstabelle modulo 256, mit dem Nullpunkt in der Bildmitte. Es erscheinen bemerkenswerte sich überlagernde Muster:

Etwas mehr modulare Arithmetik

Das folgende Bild stellt die einfache Funktion z = x mod y dar, wobei z der Farbton ist. (D.h. die Farbe stellt den Rest dar, den x geteilt durch y ergibt.) Die „Regenbogenskala“ wird jeweils gleichmässig über den ganzen Bereich der möglichen Reste verteilt:

Was passiert, wenn wir statt einfach den Rest der Zahl x zu nehmen, die Zahl zuerst quadrieren? – Hier die Funktion z = x2 mod y:

Wir treiben das Spiel noch ein wenig weiter und stellen z = x3 mod y graphisch dar:

Man könnte annehmen, dass bei höheren Potenzen weitere interessante Muster erscheinen. Das aber nicht unbedingt so. Hier ein aufs Geratewohl ausgewähltes Beispiel, das auf den ersten Blick sehr ungeordnet aussieht, obwohl es zweifellos seine Gesetzmässigkeiten hat: z = x105 mod y:

In einer kommenden Folge werden wir dieses Thema noch ein wenig ausweiten.