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Mathematikunterricht: eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien? – Teil 3

17. Mai 2011

Vorbemerkung: Dies ist die nur unwesentlich geänderte Wiedergabe eines ursprünglich auf Spanisch veröffentlichten Artikels, vor dem Hintergrund des peruanischen Schulsystems. Einige Abschnitte sind deshalb auf europäische Verhältnisse nur begrenzt anwendbar. Soweit ich die weltweite Entwicklung beobachten kann, sehe ich es jedoch nicht als wahrscheinlich an, dass sich Perú den europäischen Verhältnissen angleichen wird; viel wahrscheinlicher ist, dass sich auch die europäischen Schulsysteme zunehmend in die Richtung der hier beschriebenen bürokratischen Erziehung bewegen werden.


Mathematik auf der Grundlage von Prinzipien

Der grosse Unterschied zwischen einem bürokratischen Unterricht und einem auf Prinzipien aufgebauten Unterricht sollte jetzt klar sein. (Siehe Teil 2.) Dennoch möchte ich noch etwas anfügen über die Prinzipien.

Wir haben gesehen, dass die Prinzipien der Mathematik universal und ewig sind. Ausserdem sind sie nicht willkürlich. Die Gesetze der Mathematik sind untrennbar verbunden mit der Wirklichkeit, wie sie ist (von Gott geschaffen wurde, würde ich als Christ hinzufügen). Die Gesetze der Mathematik sind deshalb nicht nur gedankliche Konstruktionen. Die Gesetze der Mathematik lehren uns etwas über die Struktur des Universums, wie es ist. Das ist ein Grund mehr, eine Anstrengung zu unternehmen, um sie zu verstehen.

Ein universales Prinzip hat viele Anwendungen. Nicht wie ein bürokratisches Vorgehen, das nur in den speziellen Fällen angewandt werden kann, für die es ersonnen wurde. Wenn z.B. ein Schüler das Kommutativgesetz verstanden hat, dann kann er es auf alle Arten von Operationen anwenden. Aber ein bürokratisch unterrichteter Schüler muss das Kommutativgesetz mindestens zehnmal von neuem lernen. Zuerst für die waagrecht notierte Addition, dann für die senkrecht notierte Addition. (Es können mehrere Jahre vergehen, bis er merkt, dass eine waagrecht und eine senkrecht aufgeschriebene Addition genau dasselbe sind.) Wenn er dann das Bruchrechnen lernt, muss er „die kommutative Eigenschaft der Addition von Brüchen“ lernen. Dann muss er es von neuem für die irrationalen Zahlen lernen, und schliesslich (wenn er nicht vor Erreichen dieser Stufe verzweifelt) für die komplexen Zahlen. Und ausserdem alle genannten auch noch für die Multiplikation.

Ein Schüler hingegen, der Prinzipien versteht, kann selber das Kommutativgesetz auf alle Arten von Additionen und Multiplikationen anwenden. Er kann auch das Vertauschen von Gliedern gemischter Additionen und Subtraktionen verstehen (z.B. 13 + 9 – 3 = 13 – 3 + 9), und von gemischten Multiplikationen und Divisionen (z.B. 60 x 13 : 5 = 60 : 5 x 13). Er wird es ohne grössere Schwierigkeiten lernen, weil er diese Fälle als Variationen desselben Prinzips erkennen wird, das er bereits verstanden hat. Wenn er intelligent ist, kann er sogar selber entdecken, warum die Potenzierung nicht kommutativ ist.

Mathematische Prinzipien ermöglichen es auch, die Wechselbeziehungen und Ähnlichkeiten zwischen unterschiedlichen Themen zu verstehen. Nicht wie im bürokratischen Unterricht, wo jedes Thema als isoliertes Fragment stehenbleibt. Wie früher erwähnt, hilft ein auf Prinzipien aufgebauter Unterricht z.B. zu verstehen, dass die Multiplikation und Division von Zahlen mit mehreren Ziffern auf dem Distributivgesetz basiert; dass das Kürzen von Brüchen mit dem ggT zu tun hat; und dass der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche das kgV ist.

Mathematische Prinzipien fördern auch charakterliche Qualitäten wie z.B. die Ordnung. Aber nicht eine Ordnung, die einem durch den autoritären Befehl des Lehrers aufgezwungen wird; sondern eine Ordnung, die es einem ermöglicht, die verschiedensten Stoffe miteinander zu verbinden und zu beherrschen, indem man sie von ihren grundlegenden Prinzipien her versteht.

Mathematische Prinzipien fördern auch den Gehorsam. Aber nicht einen blinden Gehorsam willkürlichen Befehlen gegenüber, sondern einen Gehorsam höheren Prinzipien gegenüber, bei denen man auch versteht, warum es gut ist, ihnen zu gehorchen. Und diese Art Gehorsam führt letztlich zur Freiheit.

Die Freiheit der Mathematik besteht darin, dass sie universell ist. Die Mathematik hängt nicht von wissenschaftlichen Autoritätspersonen ab. Sie muss sich auch nicht den Launen einer Regierung unterwerfen. Die Mathematik ist Gemeingut: jeder hat die Freiheit, sie auszuüben und Neues darin zu entdecken. (So war es z.B. möglich, dass der Engländer Newton und der Deutsche Leibniz beide unabhängig voneinander, und Hunderte von Kilometern voneinander getrennt, die Infinitesimalrechnung entdeckten.)

So ist die Existenz der Mathematik an sich schon ein lautstarker Protest gegen zwei beherrschende Strömungen unserer Zeit: den Relativismus (wonach es keine absoluten Wahrheiten geben soll), und den Totalitarismus (wonach der Staat alle Lebensbereiche beherrschen soll).

Die mathematischen Prinzipien erlauben dem Schüler, sie selber anzuwenden und davon ausgehend seine eigenen Vorgehensweisen zu entwickeln. Auf diese Weise kann die Mathematik sogar die Kreativität fördern. Dazu ein bekanntes historisches Beispiel:

Ein Lehrer sagte seinen etwa neunjährigen Schülern, sie sollten alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzählen. Vielleicht wollte er eine Zeitlang Ruhe haben vor den Schülern. Aber seine Ruhe dauerte nicht lange, denn nach wenigen Augenblicken kam ein Schüler zu ihm mit dem richtigen Ergebnis. „Wie konntest du das so schnell ausrechnen?“, fragte der Lehrer erstaunt. „Einfach“, antwortete der Schüler. „Wenn ich 1+100 zusammenzähle, gibt es 101. 2+99 gibt ebenfalls 101, 3+98 auch, und so weiter. Wenn ich so weiterfahre bis zu 50+51, dann habe ich 50 Zahlenpaare, also ist die Summe 50 x 101 = 5050.“ – Dieser Schüler wurde später ein berühmter Mathematiker. Sein Name war Carl Friedrich Gauss.

Was hätte ein heutiger bürokratischer Lehrer dem kleinen Gauss geantwortet? – „Nein, du kannst das nicht so machen, du musst die Zahlen eine um die andere zusammenzählen.“ – „Nein, du darfst dieses Vorgehen nicht anwenden, das kommt erst später im Lehrplan.“ – Wie viele heutige „Gausse“ hat die Welt wohl schon durch die Schuld des Schulsystems verloren?

Die mathematischen Prinzipien können uns sogar lehren, die Schönheit der Mathematik wertzuschätzen. Sehen wir als kleines Beispiel diese beiden Tabellen an:

Male die Vielfachen von 9 grün an,die Vielfachen von 10 gelb,die Vielfachen von 11 rot.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Male die Zahlen, die auf 0 enden, gelb,die auf 5 enden, orange,die auf 3 enden, blau,

die auf 7 enden, grün.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Wenn ein Schüler eine Aufgabe wie diese richtig ausführt, wird er mit einem harmonischen Bild belohnt, und wird erkennen, dass die Mathematik auch ästhetischen Wert hat. Die Farbmuster, die bei diesen Aufgaben erscheinen, sind nicht willkürlich erfunden: sie sind bereits in der Struktur (z.B.) der Multiplikationstabelle enthalten. Die Farben tragen lediglich dazu bei, sie sichtbar zu machen.

Es gibt viele mathematische Prinzipien, die auf ähnliche Weise sichtbar gemacht werden können. Viele geometrische Figuren sind dazu geeignet, harmonische Ornamente zu schaffen, die zugleich mathematische Wahrheiten ausdrücken. Meine Kinder z.B. haben formell noch nichts über die Eigenschaften von Kegelschnitten gelernt, aber sie beobachteten fasziniert ein Computerprogramm, das Ellipsen und Hyperbeln Schritt für Schritt konstruiert. Solche Beobachtungen laden dazu ein, weiter zu forschen und selber mathematische Eigenschaften zu entdecken. Ich stelle mir vor, wie erstaunt und entzückt Gauss gewesen sein muss, als er entdeckte, dass die Lösungen der Gleichung xn = a in der komplexen Zahlenebene genau auf den Ecken eines regelmässigen n-Ecks liegen. (Und von daher fand er heraus, wie ein regelmässiges 17-Eck nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Er machte diese Entdeckung im Alter von 19 Jahren, als er selber noch Student war.) Dieses Beispiel gehört zwar nicht mehr zum Volksschulstoff. Aber es illustriert, wie die Harmonie der mathematischen Wahrheiten auf allen Stufen sichtbar wird, von der elementarsten bis zur fortgeschrittensten.

Wir finden auch in der Natur solche mathematischen Muster. Wer bewundert nicht die sechseckige Struktur einer Bienenwabe? Sie ist nicht nur ästhetisch, sondern sie drückt auch die mathematische Wahrheit aus, dass das Sechseck eines der wenigen regelmässigen Vielecke ist, die eine Ebene gleichmässig ausfüllen können; und unter diesen Vielecken ist es jenes, das das günstigste Verhältnis zwischen Umfang und Fläche hat. – Man hat herausgefunden, dass Sonnenblumenkerne in der Blüte ein Muster von Spiralen in zwei entgegengesetzten Richtungen bilden; und dass die Zahl der Spiralen in den beiden Richtungen immer ein Paar von Zahlen der Fibonacci-Reihe bildet (z.B. 21:34, 34:55, oder 55:89). – Wir haben schon kurz Keplers Entdeckung über die Planetenbahnen erwähnt. Keplers Gesetze offenbaren eine erstaunliche Harmonie in den mathematischen Gesetzen, die sogar den Bewegungen der Himmelskörper zugrundeliegen.

Es gibt einige wenige mathematische Themen, die diesen allgemeinen Eindruck von Harmonie in Frage stellen. Eines davon sind die Primzahlen, die scheinbar keinerlei Ordnung folgen. Es ist sehr leicht, einen Algorithmus zu finden, der mit Sicherheit eine zusammengesetzte Zahl liefert. (Z.B: Man nimmt irgendwelche zwei natürliche Zahlen mit Ausnahme der 1 und multipliziert sie miteinander.) Aber bis heute ist kein allgemeiner Algorithmus entdeckt worden, der mit Sicherheit eine Primzahl liefert; obwohl einige Mathematiker diesem Problem grosse Anstrengungen gewidmet haben. Einige der faszinierendsten mathematischen Probleme, die bis heute ungelöst geblieben sind, drehen sich um die Primzahlen. Warum bemühen sich die Mathematiker so sehr, in den Primzahlen eine Ordnung zu finden? – Wenn jemand die Prinzipien der Mathematik verstanden hat, dann kann er nicht akzeptieren, dass irgendein Objekt der Mathematik „willkürlich“ oder „unordentlich“ sein sollte. Es muss irgendeine Art von „Ordnung“ geben, wenn auch vielleicht nicht die Art von Ordnung, die die Mathematiker bis heute gesucht haben. Tatsächlich fand man einige überraschend regelmässige Muster in der statistischen Verteilung der Primzahlen; nur hat man bis jetzt keine Ordnung gefunden, die es erlauben würde, einzelne bestimmte Primzahlen zu finden. Wahrscheinlich ist dies eines jener Probleme, in denen die Wissenschaft noch auf ein Genie wartet, welches es wagt, die Grenzen der „Mehrfachantworten“ zu sprengen, die frühere Generationen diesem Problem auferlegt haben.

Gleichzeitig zeigen die Probleme, die mit den Primzahlen verbunden sind, noch etwas anderes auf, was ich oben bereits antönte: dass die Mathematik grösser ist als unser eigener Verstand und unsere sichtbare Welt. Die Mathematik kommt von Gott, der sich nicht von Menschen kontrollieren lässt. Deshalb wird es immer ungelöste mathematische Probleme geben. Wir werden mit unserem begrenzten Verstand die Mathematik nie völlig beherrschen – und erst recht nicht mit unseren bürokratischen Vorgehensweisen. Es wird immer noch etwas Neues und Unbekanntes zu entdecken geben.

Wie überwinden wir den bürokratischen Unterricht?

Ich habe zwei entgegengesetzte Bilder gezeichnet: den bürokratischen Unterricht und den Unterricht auf der Grundlage von Prinzipien. Bleibt die Frage: Wie kommen wir von „hier“ nach „dort“? Der bürokratische Unterricht ist die „Wirklichkeit“, die heute einen grossen Teil der Welt beherrscht. Aber wir haben gesehen, dass diese „Wirklichkeit“ nicht der Wirklichkeit der Mathematik und des Universums entspricht. Wie kommen wir zu einer Art, mit Mathematik umzugehen, die ihrer Wirklichkeit entspricht?

Zuallererst müssen wir verstehen, dass unsere gegenwärtige „Wirklichkeit“ wirklich unvereinbar ist mit der Wirklichkeit der Mathematik. Deutlicher gesagt: Innerhalb des gegenwärtigen dominierenden Schulsystems ist es unmöglich, Mathematik von ihren Prinzipien her zu lehren und zu lernen. Die einzige echte Lösung bestünde darin, das Schulsystem zu verlassen und ein neues Bildungssystem zu schaffen, das auf Prinzipien gründet. Für die Mutigen ist das möglich, wenn auch nur im Rahmen einer kleinen unabhängigen Privatschule oder im eigenen Heim.

Aber auch jene, die neue Bildungsexperimente beginnen, sind selber (mehrheitlich) innerhalb des gegenwärtigen Systems ausgebildet worden und müssen viele Gewohnheiten und Vorurteile abschütteln, die sie da gelernt haben. Und andererseits gibt es Lehrer, Eltern und Schüler, die sich innerhalb des gegenwärtigen Systems befinden, aber die Schwächen dieses Systems sehen und hoffen, wenigstens einige Dinge anders machen zu können, soweit sie die Freiheit dazu haben. Diesen beiden Gruppen, jenen innerhalb und jenen ausserhalb des Systems, stellt sich dieselbe Frage: Was kann ich in der täglichen Arbeit tun, um zu den Prinzipien zurückzukehren?

Ich kann hier nur ansatzweise einige Ideen geben, und jeder Interessierte möge sie selber erweitern.

Der aufmerksame Leser wird bereits bemerkt haben, dass ich eine Vorliebe habe für die Frage „Warum?“. Diese Frage ist ein sehr gutes Werkzeug, um damit die Wände eines bürokratischen Gefängnisses niederzureissen, und um verschlossene Mentalitäten zu öffnen (soweit sie es zulassen). Als Lehrer verlangen Sie von Ihren Schülern Erklärungen, auf Prinzipien begründete Erklärungen. Wenn der Schüler z.B. sagt: „Diese Zahl ist durch 5 teilbar“, dann sagen Sie nicht einfach „Richtig“ oder „Falsch“, sondern fragen Sie: „Warum? Woraus schliesst du das?“ (Solange sich der Schüler im Lernprozess befindet, sollte diese Frage gestellt werden, unabhängig davon, ob die Antwort des Schülers richtig oder falsch ist. Ist die Antwort richtig, dann helfen wir dem Schüler klarer zu sehen, auf welchen Prinzipien sie basiert. Ist sie falsch, dann können wir den Schüler dazu führen, selber seinen Fehler zu erkennen und die Prinzipien richtig anzuwenden.) – Einige Schüler ärgern sich, wenn ich ihnen viele solche Fragen stelle; aber ich sage ihnen: „Wie kannst du wissen, ob du etwas verstanden hast? Nur, wenn du es jemand anderem erklären kannst. Deshalb stelle ich dir solche Fragen, bis du selber mir erklären kannst, was du tust.“ – Da ich ausserhalb des Schulsystems arbeite, habe ich die Freiheit, diesen Prozess bis zu seinem Abschluss zu führen, d.h. bis der Schüler in der Lage ist, mir nicht nur zu erklären, was er tut, sondern auch das Warum. Und in diesem Moment beginnen die unverständlichen und geheimnisvollen Prozesse, die er in der Schule gelernt hat, einen Sinn zu bekommen.

Als Schüler gib Dich nicht mit den Vorträgen und Anweisungen des Lehrers zufrieden. Bitte ihn um Erklärungen. „Diese Zahl wird hierhin geschrieben.“ – „Warum?“ – Oder: „Hier müssen wir multiplizieren.“ – „Warum nicht zusammenzählen? oder teilen?“ Ein guter Lehrer wird sich über solche Fragen freuen und sie zum Anlass nehmen, Prinzipien zu erklären. Wenn der Lehrer sich über solche Fragen ärgert, dann erwarte nicht von ihm, er sei in der Lage, Dich Mathematik zu lehren. Die Bürokraten sind es, die keine Warum-Fragen zulassen: „Weil es so gemacht wird, und Punkt.“ Wenn Du ihm nicht gehorchst, dann wird der Bürokrat Dein Gesuch nicht behandeln. Der Bürokrat ist nur daran interessiert zu demonstrieren, dass er die Autorität ist, und dass er Dich auf jede nur erdenkliche Weise schikanieren kann. Aber ein wirklicher Lehrer, ein Pädagoge, wird Dir helfen, den Dingen auf den Grund zu gehen, damit Du selber die Prinzipien anwenden kannst, die Du entdeckst.

Als interessierter Familienvater oder Mutter stellen Sie die Warum-Frage beiden Seiten: Ihren Kindern, und den Lehrern Ihrer Kinder. Helfen Sie beiden nachzudenken: Dem Kind, damit es über den Zaun der vorgeschriebenen Vorgehensweisen hinausblicken kann. Und dem Lehrer, damit er sich getraut, das Gefängnis zu öffnen, in dem das Schulsystem ihn und seine Schüler eingesperrt hat.

Die Warum-Strategie braucht Zeit. Ein auf Prinzipien aufgebauter Unterricht benötigt viel mehr Zeit, um die grundlegendsten Fundamente der Mathematik aufzubauen. Er wird sich nicht damit zufriedengeben, dass der Schüler einen Vorgang reproduzieren kann; er wird die Dinge vertiefen, bis der Schüler versteht, was getan wird. Einige jener Schüler, die zu früh eingeschult worden sind, werden mehrere Jahre brauchen, bis sie selber erklären können, wie man sich z.B. auf der Zahlengerade bewegt, oder warum man in einer Situation zusammenzählen und in einer anderen Situation wegzählen muss. Aber wenn wir Zeit und Geduld investieren, bis sie diese Dinge verstehen, dann werden sie später bei komplizierteren Operationen und Gleichungen keine Vorzeichenfehler mehr machen. – Jene Schüler andererseits, die in einem zu frühen Alter gezwungen werden, mechanisch dreistellige Zahlen zusammenzuzählen, zu multiplizieren und mit Brüchen zu rechnen, werden nie die nötige Zeit finden, um die grundlegenden Prinzipien zu verstehen, und werden deshalb später grösste Schwierigkeiten haben.

– Eine andere gute Strategie besteht darin, den Schülern die Zusammenhänge zwischen Themen zu zeigen, die scheinbar nichts miteinander zu tun haben, aber auf denselben Prinzipien beruhen. Ich erwähnte bereits einige Beispiele, als wir über das Distributivgesetz sprachen und über das Bruchrechnen. Hier ein weiteres Beispiel:

Einige Schüler hatten Schwierigkeiten, Flächenberechnungen wie diese zu lösen:“Berechne die farbige Fläche (im Bild rechts), wenn die Seitenlänge des Quadrats 6 cm beträgt.“Diese selben Schüler waren aber vertraut mit graphischen Darstellungen von Brüchen, wie in den Bildern unten:

Wenn man ihnen diese Bilder im Zusammenhang des Bruchrechnens zeigte, dann erkannten sie ohne Schwierigkeiten, dass die farbige Fläche im linken Bild 3/8 des Kreises beträgt, und im rechten Bild 5/8 des Quadrats. Nur war es ihnen nie in den Sinn gekommen, solche Bilder im Zusammenhang von „Flächenberechnungen“ zu interpretieren. Nachdem sie einmal die Ähnlichkeit zwischen diesen Darstellungen und dem obigen Flächenproblem erkannten, verstanden sie leicht, dass dort die farbige Fläche 2/8 (bzw. 1/4) des Quadrats beträgt. Die beiden Themen beruhen auf demselben Prinzip: die Aufteilung einer Fläche in flächengleiche Teile.

Beschränken Sie sich also nicht darauf, schulbuchmässige Vorgehensweisen zu reproduzieren. Identifizieren Sie die Prinzipien, auf denen das Vorgehen beruht (mit Warum-Fragen). Und wenn Sie ein mathematisches Prinzip entdecken, dann wenden Sie es auf die unterschiedlichsten Situationen an. Am Anfang wird das den Schülern wie ein unerklärlicher Sprung von einem Thema zum anderen vorkommen. Aber wenn wir ihnen das gemeinsame Prinzip dieser unterschiedlichen Themen verständlich machen können, dann erweitert sich ihr Verständnis, und sie können den Schritt tun von einer auf „Techniken“ aufgebauten Mathematik zu einer auf Prinzipien aufgebauten Mathematik.

Noch ein Beispiel: Die Probleme zur Errechnung der Länge von kombinierten Strecken auf einer Geraden (die gegenwärtig in Schulbüchern für die vierte und fünfte Klasse behandelt werden) beruhen auf denselben Prinzipien wie das Zu- und Wegzählen auf der Zahlengeraden (was von der ersten Klasse an behandelt wird). Diese Prinzipien sind wiederum dieselben wie in den Problemen des Kräftegleichgewichts in der Physik, sowie in der Vektorgeometrie (welche in den obersten Schuljahren behandelt werden); nur dass sie dort auf einen Raum von zwei und drei Dimensionen erweitert werden, statt des eindimensionalen Raums der Zahlengeraden. So sehen wir, dass sehr elementare Themen mit sehr fortgeschrittenen durch gemeinsame Prinzipien verbunden sind. Wenn also ein Erstklässler die Prinzipien der graphischen Darstellung von Additionen und Subtraktionen versteht, dann hat er bereits eine erste Grundlage, um später die Vektorgeometrie und das Kräftegleichgewicht verstehen zu können. Dies im Unterschied zu einem Schüler, der nur ein mechanisches Vorgehen lernt und nie einen Zusammenhang zwischen dem einen und dem anderen sehen wird.

– Eine andere gute Strategie besteht darin, mathematische Prinzipien mit dem Alltagsleben in Verbindung zu bringen. (Siehe dazu auch „Mathematik im Alltag„.) Das ist jetzt etwas, was die Schule nie wirklich leisten können wird. Sie kann höchstens ein verwässertes und künstliches Abbild der wirklichen Welt bieten. Selbst wenn man im Schulzimmer „Kaufen und verkaufen“ spielt, hat das noch nicht denselben Lerneffekt, wie in einem richtigen Laden Kunden zu bedienen. (Obwohl es natürlich schon viel besser ist, als abstrakte „Rechnungen mit Geld“ aus dem Schulbuch zu lösen.) Viele mathematische Prinzipien werden am besten verstanden, wenn man gemeinsam etwas Praktisches tut. Z.B. auf dem Markt einkaufen und die Preise vergleichen. Oder einen Geburtstagskuchen zubereiten und die im Rezept angegebenen Mengen abmessen (und sie gegebenenfalls proportional umrechnen, wenn z.B. das Rezept für 6 Personen ist und wir 15 Gäste erwarten.) Oder alle Zimmer der eigenen Wohnung ausmessen und deren Fläche ausrechnen.

Das gehört in erster Linie zum Bereich der Eltern. Innerhalb des Schulsystems ist nicht viel Platz für das wirkliche Leben. Da kann man höchstens Nachahmungen oder Beispiele aus dem wirklichen Leben benützen, um die Anwendung bestimmter Prinzipien zu zeigen.

Manchmal ist auch das schon eine Hilfe. Z.B. möchte ein Schüler die Zahl 5 in die Menge der „Zahlen, die grösser sind als 5“ einschliessen. Statt einfach zu sagen „Das ist falsch“, oder eine abstrakte Erklärung zu geben, könnte ich den Schüler fragen – nehmen wir an, er heisse Peter -: „Bist du grösser als Peter?“ – Wenn Peter einigermassen intelligent ist, wird er antworten: „Nein, ich selber bin doch Peter.“ – Damit hat er ein weniger abstraktes Beispiel, mit dessen Hilfe er verstehen kann, dass von zwei Dingen, die identisch sind, nicht eines grösser sein kann als das andere. Und das hilft ihm (vielleicht) zu verstehen, dass die Begriffe „grösser“ und „kleiner“ nicht nur Erfindungen des Schulbuchs sind, sondern eine wirkliche Bedeutung im wirklichen Leben haben.

Zu eigenen Entdeckungen und zur Kreativität anregen.

Nichts bleibt so lange im Gedächtnis haften wie das, was man selber entdeckt hat. Damit das geschehen kann, braucht der Schüler Gelegenheit und Zeit, um zu beobachten und schöpferisch tätig zu sein, statt nur zu reproduzieren. Eine Aufgabe wie z.B. die weiter oben erwähnte, die Multiplikationstabelle farbig anzumalen, kann zu einer Reihe von nachfolgenden Beobachtungen und Entdeckungen führen: Warum ist die Fünferreihe von allen anderen verschieden, hinsichtlich ihrer Endziffern? Wo befinden sich in der Multiplikationstabelle gerade Zahlen, wo ungerade? Wie ändern sich die Zahlen, wenn ich mich waagrecht oder senkrecht in der Tabelle fortbewege? Und wie, wenn ich mich diagonal fortbewege? Warum befindet sich in der Mitte der Tabelle nicht die Zahl 50 (die Hälfte von 100), sondern die 25? Usw. – Wenn ein Kind einmal eine gewisse „mathematische Neugier“ entwickelt, dann ist es gar nicht mehr nötig, ihm so viele Leitfragen zu stellen. Es wird seine eigenen Entdeckungen machen (wenn auch nicht immer jene, die der Vater oder der Lehrer erwartet – aber das sollte uns nicht beunruhigen. Erinnern wir uns an den kleinen Gauss.)

Oft entwickelt sich die grösste Kreativität, wenn man etwas tut, was nach Schulbuch (aber nicht nach den Prinzipien der Mathematik) „verboten“ wäre. Es gibt ein altes Rätsel: „Verbinde diese 9 Punkte mit der kleinstmöglichen Zahl von aufeinanderfolgenden geraden Linien, die in einem Zug gezeichnet werden können.“

Schon die „klassische“ Lösung ist für die meisten Kinder (und Erwachsenen) nicht einfach zu finden, denn nur wenige kommen auf die Idee, die Linien könnten über das Quadrat hinausgehen, das von den neun Punkten gebildet wird. Diese Lösung kommt mit 4 Geraden aus:

Aber es gibt kreativere Lösungen, wie man die 9 Punkte mit einer einzigen Gerade verbinden kann. Hat jemand gesagt, das Papier müsse an einem Stück bleiben? Wir können es in drei Streifen schneiden, mit drei Punkten auf jedem, damit einen einzigen langen Streifen bilden, und dann eine einzige Gerade durch alle neun Punkte zeichnen. – Hat jemand etwas über die Dicke der Geraden gesagt? Ich kann einen breiten Pinsel nehmen und damit eine gerade Linie zeichnen (so breit wie das ganze Quadrat), welche alle neun Punkte zudeckt. (Ich weiss, das ist keine Gerade im mathematischen Sinn; aber die Problemstellung spricht von einer Geraden, die gezeichnet werden kann. Keine konkret gezeichnete Gerade ist wirklich eine Gerade im mathematischen Sinn.) – Hat jemand gesagt, das Problem müsse auf eine zweidimensionale Ebene beschränkt bleiben? Ich kann das Papier so falten, dass die neun Punkte übereinander liegen, und es in der Mitte mit einem spitzen Bleistift durchstechen. Das ist eine senkrechte Gerade (in der dritten Dimension), die durch alle neun Punkte geht.

(Ich gebe zu, dass nicht alle diese Ideen von mir selber stammen; aber ich erinnere mich nicht mehr, wo ich sie gelesen habe…)

Eine bürokratische Schule erlaubt solche Lösungen nicht. Aber genau deshalb wird die Kreativität der Schüler abgetötet. Solange ich kein mathematisches Prinzip verletze, kann ich meine eigenen Vorgehensweisen schaffen. Es gibt viele verschiedene Arten, wie ein Prinzip in der Praxis angewandt werden kann. Ein auf Prinzipien aufgebauter Unterricht gibt dem Schüler die Freiheit, verschiedene Vorgehensweisen zu benützen – solange die Prinzipien aufrechterhalten werden. Diese Variation und Kreativität hilft dem Schüler, zu unterscheiden zwischen einem Prinzip (das unveränderlich ist), und einem willkürlichen Vorgehen (das man auch ganz anders machen könnte).

– Seien Sie eine PERSON mit Prinzipien.

Das ist das wichtigste. Die besten Strategien nützen nichts, wenn wir mit unserem eigenen Leben dem widersprechen, was wir lehren. Und damit kehre ich zurück zu dem, was ich am Anfang sagte: Manche Menschen verstehen die mathematischen Prinzipien nicht, weil sie in ihrem eigenen Leben keine Prinzipien haben. So wie die Mathematik auf ewigen Prinzipien beruht, die nicht gebrochen werden können, so hat Gott uns ewige Prinzipien für unser Leben gegeben, und wir fügen uns selbst und unseren Nächsten ernsthaften Schaden zu, wenn wir nicht nach diesen Prinzipien leben.

Deshalb ist Mathematik lehren und lernen eine Frage der Prinzipien und des Glaubens.

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Mathematikunterricht: eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien?

29. April 2011

Vorbemerkung: Dies ist die nur unwesentlich geänderte Wiedergabe eines ursprünglich auf Spanisch veröffentlichten Artikels, vor dem Hintergrund des peruanischen Schulsystems. Einige Abschnitte sind deshalb auf europäische Verhältnisse nur begrenzt anwendbar. Soweit ich die weltweite Entwicklung beobachten kann, sehe ich es jedoch nicht als wahrscheinlich an, dass sich Perú den europäischen Verhältnissen angleichen wird; viel wahrscheinlicher ist, dass sich auch die europäischen Schulsysteme zunehmend in die Richtung der hier beschriebenen bürokratischen Erziehung bewegen werden.


Es scheint, dass die Mathematik einen schlechten Ruf hat: „Mathematik ist schwierig.“ – „Ich kann die Mathematik nicht verstehen.“ – Wenn ein Schüler mit seinen Hausaufgaben nicht klarkommt und Hilfe sucht, geht es meistens um Mathematik. Persönlich sehe ich diese Schwierigkeit nicht, und beim Unterrichten meiner eigenen Kinder auch nicht. Mathematik ist im Grunde nicht schwierig. Zumindest nicht auf Volksschulniveau. Aber nachdem ich eine grössere Anzahl dem Schulsystem unterworfener Kinder beobachten konnte, auf den verschiedensten Stufen, kam ich zu den folgenden herausfordernden Schlussfolgerungen:

– Mathematik zu unterrichten und zu lernen ist eine Frage der Prinzipien und des Glaubens.

– Mathematik ist im Grunde nicht schwierig; aber die bürokratische Funktionsweise des Schulsystems hat sie schwerverständlich gemacht.

Wie kam ich zu diesen Schlussfolgerungen?

Mathematik hat mit Prinzipien zu tun

Wenn ich diesen Punkt erklären möchte, habe ich bereits ein Problem. Manche Menschen wissen nicht, was „Prinzipien“ sind. Ich nehme an, das kommt daher, dass sie keine haben. Ein „Prinzip“ ist eine so tiefe Überzeugung, dass sie sich nicht von den Umständen ändern lässt. Ein Mensch, der Prinzipien hat, lässt sich nicht von jeder Strömung mitreissen. Er lässt sich nicht auf faule Kompromisse ein und lässt sich nicht bestechen. Ein „Prinzip“ ist ein Fundament, das das ganze Leben stützt, so wie ein Gebäude von seinem Fundament getragen wird.

Ein Beispiel: Eine „ehrliche“ Person, „gewöhnlich ehrlich“ sozusagen, ist jemand, der normalerweise die Wahrheit sagt, normalerweise bei seinen Geschäften nicht betrügt, usw. – aber es kann Ausnahmen geben. Vielleicht wird diese Person lügen oder betrügen, wenn sie sich unter starkem Druck befindet. Oder wenn sie denkt, es diene einer „guten und gerechten Sache“. – Es gibt viele solche „gewöhnlich ehrliche“ Menschen. Aber es gibt sehr wenige Menschen, die prinzipiell ehrlich sind. Wer nach dem Prinzip der Ehrlichkeit lebt, wird immer ehrlich sein. Diese Person wird grundsätzlich nicht lügen oder betrügen. Nicht einmal unter Druck. Nicht einmal zugunsten einer „guten und gerechten Sache“. Das Prinzip der Ehrlichkeit ist ein Fundament ihrer Persönlichkeit. Würde diese Person lügen oder betrügen, dann verlöre sie einen Teil ihrer Persönlichkeit.

Die Mathematik ist auf Prinzipien begründet. Die Mathematik ändert sich nicht je nach den Umständen, und auch nicht je nach der politischen Partei, die gerade an der Macht ist. Die Mathematik lässt sich nicht bestechen. Die Mathematik kennt nicht einmal kulturelle Unterschiede: ein asiatischer und ein südamerikanischer Mathematiker, die beide dasselbe Problem behandeln, werden – wenn auch vielleicht auf unterschiedlichen Wegen – notwendigerweise beide zum selben Ergebnis kommen (ausser einer von ihnen macht einen Fehler). Die Prinzipien der Mathematik sind universal und ewig.

Deshalb wird es für einen prinzipienlosen Menschen schwierig sein, die Mathematik zu verstehen. Eine „gewöhnlich ehrliche“ Person kann nicht verstehen, warum sie nicht für einmal ihre Ehrlichkeit beiseite lassen sollte, wenn es darum geht, die Sache ihres besten Freundes zu verteidigen. Und ebensowenig wird diese Person verstehen, warum sie nicht für einmal die Potenzgesetze ausser acht lassen sollte, nur für ein einziges Mal.

Aber die Prinzipien sind das Fundament der Mathematik. Sie sind nicht einfach „Verzierungen“ oder „Wissensfragmente“. Sie sind die Grundlage, welche das Gebäude der Mathematik aufrechterhält. Würde ein einziges mathematisches Prinzip gebrochen, dann wäre die Mathematik keine Mathematik mehr. Deshalb ist es notwendig, Prinzipien zu haben, um die Mathematik verstehen zu können.

Mathematik ist eine Frage des Glaubens

Ich gehe noch einen Schritt weiter. Ich sagte, die Prinzipien der Mathematik seien universal und ewig. D.h. sie gelten für jeden Menschen, an jedem Ort des Universums, und für alle Zeiten. Im Unterschied zu den anderen Wissenschaften kann es in der Mathematik keine einander widersprechenden „Strömungen“ geben. In der Physik kann man darüber diskutieren, ob das Licht aus Wellen, aus Teilchen oder aus beidem besteht. In der Psychologie kann diskutiert werden, ob der Mensch stärker von seiner Veranlagung oder von seiner Umwelt bestimmt wird. Jede Wissenschaft kennt solche Auseinandersetzungen zwischen unterschiedlichen Richtungen, und oft ist es nicht möglich zu beweisen, wer recht hat. Aber in der Mathematik kann mit Sicherheit bewiesen werden, was richtig und was falsch ist. Und wenn eine mathematische Wahrheit einmal bewiesen ist, dann wird sie von allen Mathematikern der Welt akzeptiert, und die Diskussion ist beendet.

(Anm: Im Zuge der „modernen Mathematik“, Gödels Theorem, usw, hat es zwar im Laufe des 20.Jh. prinzipielle Auseinandersetzungen über den „richtigen“ Zugang zur Mathematik gegeben. Ich würde aber auch da nicht von gegensätzlichen Strömungen innerhalb der Mathematik sprechen, sondern von gegensätzlichen Strömungen innerhalb der Philosophie der Mathematik.)

Hier berühren wir eine philosophische Frage, die ich nicht in ihrer ganzen Tiefe behandeln kann: Ist die Mathematik eine Erfindung des menschlichen Geistes, oder existiert sie unabhängig von uns Menschen? Einerseits ist es offensichtlich das eigene Denken des individuellen Mathematikers, welches die Mathematik weiterentwickelt und „erfindet“. Wäre aber die Mathematik eine reine Erfindung unseres Geistes, dann könnten wir sie nach Belieben manipulieren und abändern. Jeder könnte seine eigene Mathematik erfinden; oder eine Regierung könnte ihren Untertanen eine „offizielle“ und „politisch korrekte“ Mathematik verordnen. Aber wenn es so wäre, wie erklärt sich dann die Tatsache, dass alle Mathematiker der Welt dieselben mathematischen Wahrheiten akzeptieren und dieselben Fehler als falsch bezeichnen? Und wie erklärt sich dann die Tatsache, dass die Mathematik genau dem uns umgebenden Universum entspricht, sodass z.B. die Umlaufbahnen der Planeten mathematisch berechnet werden können? (Mit mathematischen Gesetzen, die schon bekannt waren, lange bevor jemand diese Umlaufbahnen zu berechnen versuchte.) – Nein, die Mathematik muss etwas sein, was über uns Menschen hinausgeht. Die Mathematik deutet uns an, dass es ewige und absolute Wahrheiten gibt, die sich weder mit der Zeit noch mit den Umständen ändern. Die Mathematik deutet uns an, dass es einen grossen Verstand jenseits von uns Menschen gibt, der vernünftig denkt und der das Universum ordnet, und der dieses Universum auf ewige Prinzipien gründete.

Als Christ glaube ich, dass dieser grosse Verstand dem Gott gehört, von dem die Bibel spricht. So steht es im Buch der Psalmen (in einer mehr dichterischen als mathematischen Sprache):

„Die Himmel erzählen die Ehre Gottes, und das Firmament verkündigt das Werk seiner Hände.
Ein Tag sagt es dem andern, und eine Nacht tut der andern Weisheit kund.“
(Psalm 19,2-3)

„Durch deine Ordnungen besteht alles bis heute, denn alles muss dir dienen.“
(Psalm 119,91)

Deshalb ist Mathematik eine Glaubensfrage. Um Mathematik treiben zu können, ist es nötig zu glauben, dass es eine Wirklichkeit jenseits von uns selber gibt, und dass es in dieser Wirklichkeit absolute und ewige Prinzipien gibt.

Auch ein Mathematiker, der nicht an Gott glaubt, muss immer noch gewisse Wahrheiten „im Glauben annehmen“, um Mathematik treiben zu können. Diese Wahrheiten werden Axiome genannt. Wenn wir die Mathematik auf ein logisches Fundament stellen wollen und alle ihre Gesetze exakt beweisen wollen, dann stossen wir letztlich auf einige grundlegende Prinzipien, die wir nicht beweisen können. Z.B. dass die Zahlen existieren und geordnet werden können. Oder dass, wenn zwei Dinge einem dritten gleich sind, diese beiden auch unter sich gleich sein müssen. (D.h. wenn A=C und B=C, dann ist auch A=B.) Solche Axiome können nicht bewiesen werden; aber sie sind notwendig, um ein logisch schlüssiges Gebäude der Mathematik aufbauen zu können. Mit anderen Worten: Sie müssen im Glauben angenommen werden.

Deshalb sage ich, Mathematik sei eine Frage des Glaubens. Unter „Glauben“ verstehe ich in diesem Zusammenhang: eine feste Überzeugung, die sich auf Wahrheiten jenseits unseres eigenen Geistes und unserer sichtbaren Welt abstützt.

Ich sage damit nicht etwa, nur ein Jude oder Christ könne Mathematik treiben. Es gab grosse Mathematiker, die nicht an den Gott der Bibel glaubten. Aber zumindest ein „mathematischer Glaube“ im soeben beschriebenen Sinne ist sicherlich nötig. Ein Mathematiklehrer muss in seinen Schülern zumindest diesen Glauben wecken können: dass die Welt von festen Prinzipien regiert wird, die grösser sind als wir selber; und dass er, der Schüler, selber diese Prinzipien anwenden kann und sogar einige von ihnen selber entdecken kann. Und zugleich braucht ein Mathematiklehrer die Demut anzuerkennen, dass er selber sich diesen Prinzipien unterwerfen muss; dass er weder „Eigentümer“ noch „Herr“ des Stoffes ist, den er unterrichtet.

Bürokratischer Mathematikunterricht

Es ist nicht einfach zu erklären, was ich unter einer „auf Prinzipien aufgebauten Mathematik“ verstehe. Vielleicht wird es besser verständlich, wenn wir sie mit ihrem Gegenteil vergleichen, der „bürokratischen Mathematik“. Ich beobachte, dass die meisten Kinder und Jugendlichen heutzutage einem bürokratischen Mathematikunterricht unterworfen werden. Ich werde einige Anzeichen davon beschreiben, und einige der Probleme, die dadurch verursacht werden.

Der bürokratische Unterricht betont „das richtige Vorgehen“, ohne sich um das Verständnis zu kümmern.

„Diese Zahl gehört in dieses Häuschen, diese wird mit jener zusammengezählt, und das Ergebnis wird rot unterstrichen.“ Und wenn der Schüler die Rechnung mit Hilfe eines anderen Vorgehens löst, oder das Ergebnis blau statt rot unterstreicht, dann wird seine Arbeit zurückgewiesen, selbst wenn sie mathematisch korrekt ist. Genau wie im Papierkram der staatlichen Bürokratie, wo der Bürger täglich mit sinnlosen Forderungen schikaniert wird: „Nein, Sie können Ihre Unterlagen nicht in einer solchen Mappe einreichen, sie müssen eine in unserem Büro kaufen.“ Usw. usw. Und niemand darf fragen warum.

Was kommt bei einem solchen Unterricht heraus?

– Der Schüler wird abgelenkt und verwirrt von einer Menge Einzelheiten, die überhaupt nichts mit Mathematik zu tun haben. Wenn er zufällig nur einen schwarzen Kugelschreiber hat statt eines roten, dann kann er seine Rechnung nicht mehr lösen. In seinem Geist gewinnt er den Eindruck, die Form des Unterstreichens (oder irgendein anderes unwichtiges Detail) sei wichtiger als die Rechnung an sich.
– Der Schüler lernt, mechanisch einen Prozess zu wiederholen, ohne dessen Sinn zu verstehen. Er lernt das „Wie“, aber nicht das „Warum“. Und so lernt er in Wirklichkeit überhaupt keine Mathematik. Mechanisch Rechnungen ausführen, das kann auch ein Taschenrechner; das ist noch keine Mathematik. Der bürokratische Unterricht reduziert die Schüler zu Taschenrechnern. Mathematik zu lernen würde bedeuten, die Prinzipien zu lernen, auf denen sie beruht. Aber hierfür ist kein Platz in einem bürokratischen Unterricht.
– Ohne ein Verständnis der Prinzipien haben die Vorgehensweisen keinen Sinn. Aber ein sinnloses Vorgehen ist schwieriger zu erlernen als eines, dessen Sinn man versteht. Deshalb gewinnt der Schüler den Eindruck, Mathematik sei schwierig und unverständlich. So wird er entmutigt.

Hier einige authentische Beispiele:

– Eine Schülerin löst eine Multiplikation mit mehreren Ziffern. Während sie eine Ziffer schreibt, frage ich sie: „Warum schreibst du diese Ziffer hier?“ – Die Schülerin sieht mich gross an, offensichtlich verwirrt. Anscheinend hat ihr niemand je eine solche Frage gestellt. Sie weiss nicht, was sie antworten soll, sieht ihr Heft an, und beginnt schliesslich die soeben geschriebene Ziffer auszuradieren. – „Du musst sie nicht ausradieren, ich habe nicht gesagt, es sei falsch. Ich möchte nur, dass du mir erklärst, warum du es auf diese Weise machst.“ – Aber die Schülerin kann nicht antworten. Sie hat nur gelernt, mechanisch den Befehlen zu gehorchen; aber sie hat nicht gelernt zu denken. Sie kennt nur das „Wie“, aber nicht das „Warum“.

– Einem anderen, etwas jüngeren Schüler schrieb ich eine Addition in sein Heft und bat ihn, sie zu lösen. Seine Antwort: „Ich kann nur senkrecht zusammenzählen, aber nicht waagrecht.“ – Für ihn war das „richtige Vorgehen“ alles. Er verstand nicht, dass das Prinzip einer Addition genau dasselbe ist, unabhängig davon, wie man sie aufschreibt. Hätte er Prinzipien gelernt, dann hätte er dieses Problem nicht.

– Ein Schüler sollte den Bruch 300/500 kürzen: „Zuerst nehme ich die Hälfte, das gibt 150/250. Ich kann nochmals mit zwei kürzen, dann habe ich … (hier brauchte er etwas länger) … 75/125. Und jetzt mit drei…“ – und nachdem er es einige Zeit lang probiert hatte, gab er auf. Ich zeigte auf den ursprünglichen Bruch und sagte: „Beachte, dass beide Zahlen mit zwei Nullen enden. Sagt dir das nicht, dass du es einfacher machen kannst?“ – Nachdem ich ihn an einige zusätzliche Überlegungen herangeführt hatte, war er schliesslich imstande zu erkennen, dass beide Zahlen Vielfache von 100 waren. Aber das löste sein Problem noch nicht. Die grosse Frage, die ihn beunruhigte, war: „Darf man denn direkt mit 100 kürzen? Mein Lehrer hat mir beigebracht, dass man immer zuerst mit zwei kürzen muss, dann mit drei …“ – Kein Kommentar dazu.

Wenn Mathematik ohne Prinzipien unterrichtet wird, dann lernen die Schüler lauter unzusammenhängende Wissensfragmente. Ein Schüler hatte Mühe, das Distributivgesetz zu verstehen. Andererseits konnte er sehr gut Zahlen mit mehreren Ziffern multiplizieren. Aber er machte es rein mechanisch, ohne das Warum zu verstehen (wie die meisten Schüler). Es kam ihm nie in den Sinn, es könnte irgendein Zusammenhang bestehen zwischen den beiden Dingen. Wir machten einige Übungen, um ihm beim Verständnis zu helfen, wie sich die Multiplikation einer Zahl mit mehreren Ziffern zusammensetzt:

3 x 3713 =

3 x (3000
+ 700
+ 10
+ 3)

= 3 x 3000
+ 3 x 700
+ 3 x 10
+ 3 x 3

= 9000
+2100
+30
+9

     

= 11139

So kam schliesslich der Moment, wo dieser Schüler eine grosse Erleuchtung hatte: Er verstand, dass er die ganze Zeit schon unwissentlich das Distributivgesetz angewandt hatte, jedesmal, wenn er eine Zahl mit mehreren Ziffern multiplizierte!
Aber die meisten Schüler verstehen diesen Zusammenhang nie. Irgendwann lernen sie die Multiplikation als mechanisches Vorgehen („diese Ziffer in dieses Häuschen und jene Ziffer in jenes Häuschen…“), und niemand sagt ihnen, warum man es so macht. Und in irgendeiner anderen Schulstunde, zu einer ganz anderen Zeit des Schuljahres, lernen sie das Distributivgesetz, mit einigen dummen Übungsaufgaben ohne jeden praktischen Sinn. Nur weil im Lehrplan steht, jetzt sei das Distributivgesetz dran. Und bald vergessen sie es wieder, denn sie sehen keinen Sinn darin, es zu lernen. Schliesslich wurde dieses Gesetz ja nur dazu erfunden, die Schüler zu langweilen, und niemand braucht es je, nicht wahr?

Der bürokratische Unterricht betont die blinde Unterwerfung unter die Autorität, und die äusserliche Anpassung.

Ich erwähnte eine Schülerin, die nicht erklären konnte, warum sie eine Multiplikation so ausführte, wie sie es tat. Eine ehrliche Antwort wäre wahrscheinlich gewesen: „Ich mache es so, weil der Lehrer mir eine schlechte Note gibt oder mich bestraft, wenn ich es anders mache.“

In einem bürokratischen System ist Anpassung alles. Niemand wagt es, anders zu sein; niemand wagt es zuzugeben, wenn er etwas nicht versteht; niemand wagt es, originell oder kreativ zu sein. Einer meiner Söhne löste eine Zeitlang seine Kopfrechnungen auf ziemlich „kreative“ Art. So konnte er z.B. 6×14 auf folgende Weise multiplizieren: „6×10 gibt 60, die Hälfte von 60 ist 30, 60+30=90, ich ziehe 6 ab und es gibt 84.“ Das Interessante daran war, dass seine „kreativen Lösungen“ immer richtig waren. Aber ein bürokratischer Unterricht würgt solche Kreativität ab. Jene Schüler, die sich nicht dem grossen Haufen anpassen, werden mit schlechten Noten oder mit dem Spott ihrer Mitschüler bestraft.

Dieser Zwang zur Anpassung bringt ausserdem verschiedene Arten von krankhaftem und abwegigem Verhalten hervor. Ich erwähne hier nur ein Beispiel: das „Erraten der richtigen Antwort“. Die Schüler finden bald heraus, dass nur der äussere Anschein zählt. Sie entdecken, dass sie mit einer guten Antwort Punkte sammeln können – unabhängig davon, ob sie selber die Antwort verstehen oder nicht. Und sie entdecken, dass sie die richtige Antwort oft erraten können. Der Lehrer fragt bei einer Textaufgabe: „Wie wird diese Aufgabe gelöst?“ – Normalerweise gibt es nur vier mögliche Antworten: „Man muss zusammenzählen“, „Man muss wegzählen“, „Man muss multiplizieren“, „Man muss teilen.“ (In den höheren Klassen reduzieren sich die Möglichkeiten auf eine einzige: „Man muss eine Gleichung machen.“) Wenn ich also aufs Geratewohl eine dieser Antworten sage, dann gibt es eine ziemlich grosse Wahrscheinlichkeit, dass sie richtig ist. Und falls sie nicht richtig ist, so falle ich wenigstens durch rege Beteiligung auf.
Einmal traf ich einen Erstklässler an, der in seiner Hand ein Leseblatt hielt mit einer Zeichnung von einem Finger mit seinem Fingernagel. Darunter stand in grossen Buchstaben das Wort „Fingernagel“. (Auf Spanisch heisst dieses Wort kurz „uña“ und dient zur Einführung des seltenen Buchstabens „ñ“.) Ich fragte ihn: „Kannst du schon lesen?“ – „Ja, natürlich.“ – „Was steht denn hier?“ – Sofort antwortete der Kleine: „Dedo“ („Finger“). – Aber er sagte es nicht einfach so; er bot eine perfekte Show: Er fuhr mit seinem Finger den Buchstaben entlang und sagte mit Abständen, als ob er buchstabieren würde: „De- do.“ In seinem jungen Alter hatte er bereits die wichtigste Lektion eines Schülers der Bürokratie gelernt: wie man seinen Lehrer mit dem äusseren Anschein beeindruckt.

Leider hilft eine solche Haltung überhaupt nicht zum Erlernen der Mathematik. Im Gegenteil, sie kann das Lernen lebenslang behindern. Vor allem, weil die Schüler damit eine völlig falsche Vorstellung davon bekommen, worum es bei der Mathematik geht. Sie verstehen das Grundlegendste nicht: dass Mathematik bedeutet, Prinzipien anzuwenden. Stattdessen denken sie, Mathematik sei so etwas wie ein Glücksspiel, und das „Erraten“ sei die richtige Methode. So wie einige Schüler hier sich angewöhnt haben, bei ihren Rechnungsprüfungen zu beten: „Heilige Maria, gib mir Glück“ … um dann aufs Geratewohl irgendwelche Antworten anzukreuzen.

Und diese „Ratekünstler“ erzielen bei den Prüfungen erstaunlich gute Ergebnisse. Nicht nur, weil einige von ihnen vom Nachbarn abschreiben; sondern auch, weil heutzutage fast alle Übungen und Prüfungen aus Mehrfachantworten zum Ankreuzen bestehen. Natürlich erleichtert das die Korrekturarbeit für den Lehrer (er kann diese Arbeit sogar einem Computer überlassen); aber es lädt zum „Ratespielen“ geradezu ein. Wie wäre es mit dieser Aufgabe?

356 x 22 = ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 7832

Ich weiss, ich bin ein wenig sarkastisch. Aber im Ernst, man kann den Verdummungseffekt dieser Mehrfachantworten gar nicht überschätzen. Die Schüler haben sich bereits daran gewöhnt, einfach die „richtige Alternative“ zu suchen, statt logisch zu überlegen. Das ist eine sehr schlechte Vorbereitung für das Leben, denn die Probleme des wirklichen Lebens bestehen nicht aus Mehrfachantworten. Insbesondere in der Mathematik: die Menge der möglichen Lösungen eines mathematischen Problems ist normalerweise unendlich! Sogar für ein so einfaches Problem wie dieses: „Peter wohnt über Paul, Friedrich wohnt über Peter, wer wohnt im Keller?“ – Antwort: die Mäuse. – (Ich versuche nur, dieses gewichtige Thema ein wenig aufzuheitern.)

Tatsache ist: Die möglichen Antworten auf vier oder fünf Alternativen zu begrenzen, bedeutet das Denken des Schülers einzuschränken. Die grossen Wissenschafter der Vergangenheit zeichneten sich gerade dadurch aus, dass sie die Grenzen der Möglichkeiten überschritten, die ihnen von ihren Zeitgenossen angeboten wurden. Hier ein historisches Beispiel:

Als die Astronomen von Kopernikus an das heliozentrische System zu übernehmen begannen, versuchten sie die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne zu berechnen. Zuerst nahmen sie allgemein an, diese Bahnen müssten Kreise sein. (Diese Idee kam noch von den alten Griechen her, die sich den Himmel aus mehreren vollkommenen „Sphären“ oder Kugeln zusammengesetzt dachten.) Aber die immer genaueren Beobachtungsdaten der Planeten stimmten nie genau mit den kreisförmigen Umlaufbahnen überein, die von den Astronomen errechnet wurden. Also dachten sie, die Planeten beschrieben vielleicht zusätzlich kleinere Kreise, die sich dem grossen Kreis der Umlaufbahn überlagerten. Während vielen Jahren versuchten sie, eine Kombination von Kreisen zu finden, die den Beobachtungen entsprach; aber es blieb immer ein Fehler. Ihr Problem bestand darin, dass sie die möglichen Antworten auf wenige Möglichkeiten eingeschränkt hatten:

Die Umlaufbahn des Planeten ist:
A) ein Kreis
B) ein Kreis, dem sich ein kleinerer Kreis überlagert
C) ein Kreis, dem sich zwei kleinere Kreise überlagern
D) eine andere Kombination von Kreisen.

Erst viele Jahrzehnte später fand Johannes Kepler die Lösung, die ihn berühmt machte: Die Umlaufbahnen der Planeten sind überhaupt keine Kombinationen von Kreisen, sondern Ellipsen. Um diese Lösung zu finden, musste Kepler die Begrenzungen niederreissen, denen frühere Astronomen die möglichen Antworten unterworfen hatten.

– Alle diese Probleme mit dem „Erraten der richtigen Antwort“ und der äusserlichen Anpassung sind eigentlich charakterliche, ethische und moralische Probleme. Wer bewusst den Anschein erweckt, er verstünde etwas, was er in Wirklichkeit nicht versteht, ist nicht ehrlich. Und das trägt überhaupt nicht dazu bei, Mathematik zu lernen.

In einem bürokratischen System gibt es immer irgendeine Möglichkeit, das System zu überlisten und zu erreichen, was man möchte. Man kann den Polizisten oder Funktionär bestechen; man kann das Gesetz übertreten, wenn es niemand sieht; man kann sogar selber zu einer Autoritätsperson werden und dann die Gesetze nach Belieben ändern. Aber in der Mathematik funktioniert nichts von alledem. Die Mathematik lässt sich nicht bestechen; die mathematischen Gesetze erfüllen sich auch dann exakt, wenn niemand zuschaut; und niemand hat Autorität, die Gesetze der Mathematik zu ändern. Die Techniken, die die Menschen entwickeln, um in einer Bürokratie zu überleben, taugen nichts in der Mathematik. Das ist ein Grund mehr, warum die wenigsten in einem bürokratischen System ausgebildeten Schüler etwas von Mathematik verstehen. Sie können den „Geist der Mathematik“ gar nicht verstehen in einem solchen System.

Jemand könnte nun sagen: „Die Bürokratie ist nun einmal die Wirklichkeit dieser Welt, also müssen wir damit leben.“ Aber das Universum ist nicht bürokratisch. Die Planeten bewegen sich nach mathematischen, nicht nach bürokratischen Gesetzmässigkeiten. Und deshalb ist es die Mathematik, nicht die Bürokratie, welche der „wirklichen Wirklichkeit“ des Universums entspricht.

(Fortsetzung folgt)