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Die untenstehenden Kryptogramme sind ein kleiner Ausschnitt aus diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken. Weitere Informationen hier. |
Diese Ziffernrätsel oder Kryptogramme sind gute „Denktrainer“: Sie lassen sich nicht einfach nach „Schema F“ lösen, sondern fordern die Kombinationsfähigkeit immer wieder neu heraus. Gleichzeitig fördern sie das Verständnis der Eigenschaften der mathematischen Grundoperationen, weil bei jeder Aufgabe wieder andere Eigenschaften der Zahlen und ihrer Operationen ins Spiel kommen.
In den Schulen hierzulande werden den Schülern verschiedene Arten von „Denkaufgaben“ gegeben, die angeblich ebenfalls die Denkfähigkeit fördern sollen: Zahlenreihen, die logisch weitergeführt werden sollen; geometrische Figuren, in denen man zählen soll, wieviele Rechtecke, Dreiecke usw. darin enthalten sind; willkürlich erfundene neue mathematische Operatoren, mit denen man rechnen soll; und ähnliches. Das Problem dabei ist aber, dass den Schülern mit der Aufgabe gleichzeitig ein Schema mitgegeben wird, nach dem sie gelöst werden kann: Bei Zahlenreihen probiert man zuerst, ob sich mit Addieren eine logische Sequenz ergibt; wenn nicht, dann eben mit Multiplizieren; resp. mit Wegzählen oder Teilen (wenn es sich um eine fallende Folge handelt). Beim Zählen von geometrischen Figuren teilt man die Gesamtfigur in ihre kleinsten Bestandteile auf, die numeriert werden, und dann versucht man die gesuchte Art von Figur (Dreieck, Rechteck) zuerst aus einem, dann aus zwei, dann aus drei (etc.) Bestandteilen zusammenzusetzen. Natürlich, die Methode führt zum Ziel. Aber die Schüler lernen damit nicht das Denken; sie lernen nur, eine weitere Methode stur anzuwenden. (Mein Verdacht ist ausserdem, dass der eigentliche Zweck gar nicht darin liegt, die Denkfähigkeit zu schulen, sondern lediglich die Schüler auf die Aufnahmeprüfungen an die Sekundarschule bzw. an die Universität vorzubereiten, wo nämlich genau solche Aufgaben vorkommen.)
Die Ziffern-Kryptogramme hingegen, obwohl auch eine recht bekannte Art Denkaufgabe, sind an den peruanischen Schulen auffallend abwesend. Ich habe deshalb angefangen, meinen Nachhilfeschülern einige solche Aufgaben zu geben. Einige wenige haben die Serie der „einfachen“ Kryptogramme lösen können; bis jetzt ist aber noch keiner von ihnen zu den „mittelschweren“ vorgestossen. (Meine eigenen Kinder hingegen mögen diese sehr!) Und die „schwierigen“ – ich gebe zu, vor diesen müssen sogar manche Erwachsene kapitulieren. (Für die mittelschweren und schwierigen werde ich Lösungshilfen angeben, falls jemand versucht ist aufzugeben.)
Hier die „Spielregeln“:
1. Innerhalb eines Kryptogrammes – auch wenn es mehrere Rechnungen enthält – bedeuten immer gleiche Buchstaben (bzw. Symbole) gleiche Ziffern; unterschiedliche Buchstaben (bzw. Symbole) bedeuten unterschiedliche Ziffern. Die Aufgabe besteht darin herauszufinden, welcher Buchstabe (bzw. Symbol) welche Ziffer bedeutet, so dass alle Rechnungen stimmen.
2. Keine (ganze) Zahl beginnt mit einer Null.
3. Von Kryptogramm zu Kryptogramm kann die Bedeutung der Buchstaben (bzw. Symbole) ändern. Wenn also z.B. das Kryptogramm Nr.2 den Buchstaben A enthält und das Kryptogramm Nr.4 enthält auch den Buchstaben A, dann bedeutet dieser Buchstabe nicht unbedingt in beiden Kryptogrammen dasselbe. (In anderen Worten: Jedes Kryptogramm ist eine eigene, von den anderen unabhängige Aufgabe. Wenn aber ein einziges Kryptogramm mehrere Rechnungen enthält, dann gehören diese zusammen.)
4. Kryptogramme sind keine Algebra! „AB“ bedeutet also nicht „A multipliziert mit B“, sondern eine zweistellige Zahl mit den Ziffern A und B.
5. Für echte Tüftler ist es Ehrensache, die Rechnungen von Hand auszurechnen. Also keine Taschenrechner, Computer usw.!
Und hier ein erstes, ganz einfaches Beispiel:
Die einzigen Ziffern, die diese Bedingungen erfüllen, sind 2 und 4. Die Lösung ist also: A = 2, B = 4. Oder in die Rechnungen eingesetzt:
2 + 2 = 4
2 x 2 = 4
Einfache Kryptogramme
Die folgenden Denkaufgaben sind so einfach, dass sie ca. ab dem dritten Schuljahr gelöst werden können. Ich gebe deshalb keine weiteren Kommentare dazu.
Mittelschwere Kryptogramme
Diese erfordern schon etwas mehr Nachdenken und mathematisches Verständnis. Die Lösungsmöglichkeiten sind aber begrenzt. Deshalb sollten auch diese Aufgaben durch geduldiges Probieren und geschicktes Ausschliessen unmöglicher Kombinationen relativ leicht lösbar sein.
Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)
Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)
Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn … na, Du weisst schon!)
Lösungshinweis (für jene, die es wirklich nötig haben …)
Schwierige Kryptogramme
Und hier noch ein paar Kostproben von den schwierigen.
Lösungshinweis (bla, bla, bla …)
– Ich weiss, die Worte in den Kryptogrammen machen nicht so viel Sinn; aber so sieht es wenigstens besser aus als ein völliger Unsinn…
Lösungshinweis
Genug für heute! Ein andermal mehr…
Lösungshinweise:
Diese Hinweise sind gedacht als Hilfe für jene, die nicht von selber auf die Idee kommen. Beim Lesen wirst Du sicher denken: Hätte ich eigentlich auch selber merken können! – Die fertigen Lösungen werde ich jedoch nicht verraten, um den Knobelspass nicht zu verderben.
Hinweis zum Kryptogramm B-1:
Wenn die beiden zweistelligen Faktoren mit S anfangen und das dreistellige Produkt ebenfalls mit S anfängt, dann gibt es für S nur eine einzige Möglichkeit. Der Rest kann dann durch Probieren schnell gefunden werden.
Hinweis zum Kryptogramm B-2:
ER im Quadrat hört ebenfalls mit ER auf? Eine so „berühmte“ Zahl solltest Du eigentlich kennen. Wenn nicht, dann erinnere Dich, dass es nur wenige Ziffern R gibt, wo R x R mit R endet.
– Für die „Angefressenen“ noch ein zweiter Lösungsweg: Wenn ER x ER auf ER endet, dann ist ER x (ER-1) offensichtlich ein Vielfaches von 100. Wir müssen also zwei aufeinanderfolgende zweistellige Zahlen finden, deren Produkt ein Vielfaches von 100 ist. (Wie man diese findet, verrate ich jetzt nicht…) Es gibt nur zwei solche Zahlenpaare, und beim grösseren davon wird das Quadrat vierstellig, sodass nur das kleinere als Lösung in Frage kommt.
Auf diese Weise kann man übrigens auch das erweiterte Problem lösen, eine Zahl mit n Ziffern zu finden, die als Endung ihrer Quadratzahl vollständig wiedererscheint. (Gibt es für jedes n eine Lösung? oder sogar mehrere? – Aber diese Fragen gehören eigentlich schon in die Kategorie „schwierig“.)
Hinweis zum Kryptogramm B-3:
Schon wieder eine Quadratzahl mit derselben Endziffer wie ihre Wurzel … das wird allmählich langweilig. Findest Du beide Lösungen? (Damit Du nicht zu weit suchen musst: Welches ist die grösste Zahl, deren Quadrat dreistellig ist? Über diese Zahl hinaus musst Du nicht suchen.)
Hinweis zum Kryptogramm B-4:
Hast Du noch nicht genug von Quadratzahlen? Diese hier haben ja eine ganz interessante Eigenschaft: drehen wir die Wurzel um, dann dreht sich ihr Quadrat ebenfalls um. – Was der Buchstabe H bedeutet, findest Du schnell heraus, besonders wenn Du die zweite Zeile anschaust. Und dann gibt es ja eben eine obere Grenze für dreistellige Quadratzahlen.
Hinweis zum Kryptogramm C-1:
Hier ist es nicht einfach, einen Hinweis zu geben, ohne zugleich schon fast die ganze Lösung zu verraten…
Stelle Dir vor, Du hättest die Zahlen TSCHAU und T bereits. Somit kannst Du die Division ausrechnen. Was gibt T : T ? (Das kannst Du sogar wissen, ohne T zu kennen.) Also kennst Du die erste Ziffer des Ergebnisses, nämlich S. S ist aber zugleich die nächste Ziffer von TSCHAU, also kannst Du weiter teilen… – Ach so, Du weisst nicht, wieviel T ist? Das ist kein grosses Problem, dafür gibt es ja nicht so viele Möglichkeiten auszuprobieren.
Wenn Du dieses Vorgehen verstanden hast, dann wirst Du Dich genau wie ich fragen, warum dieses Kryptogramm überhaupt unter „schwierig“ eingeordnet ist. Das einzig „schwierige“ daran ist, auf die Idee zu kommen, und die habe ich hier ja verraten.
Die Zahl SCHAUT hat es übrigens in sich: Du kannst sie nochmals durch T teilen, dann gibt es HAUTS. Wenn Du dann HAUTS mit HH multiplizierst, gibt es AUTSCH!
Hinweis zum Kryptogramm C-2:
Hier lohnt es sich, zuerst die Eigenschaften einer Zahl von der Form HOHOHO zu studieren. Was für eine mathematische Operation muss man mit HO vornehmen, um HOHOHO zu erhalten? Was sagt uns das über die möglichen Teiler von HOHOHO? (Da HOHOHO das Ergebnis einer Multiplikation ist, wird uns das weiterhelfen.) Stichwort „Primfaktoren“ – und mehr muss ich wohl nicht sagen.
Hinweis zum Kryptogramm C-3:
Sehen wir zuerst einmal genau hin. In der ersten Zeile haben wir drei verschiedene Gruppen von je drei Zeichen. Genau diese selben Gruppen treten auch in der zweiten Zeile auf. Wir haben also eine dreistellige Zahl, deren Quadrat man in zwei dreistellige Zahlen aufteilen kann, die zusammengezählt wieder die Ausgangszahl ergeben. (Nachdem ich diese Aufgabe entworfen hatte, lernte ich aus einem Internetartikel, dass solche Zahlen sogar einen Namen haben. Man nennt sie Kaprekar-Zahlen. Frag mich aber nicht, wer oder was Kaprekar ist.)
Wie kann man solche Zahlen finden? – Etwas Algebra hilft uns hier weiter. Nennen wir die beiden dreistelligen Hälften der Quadratzahl „a“ bzw. „b“. Die Wurzel ist dann die Summe, also a+b. Somit können wir die erste Zeile des Kryptogramms so schreiben:
(a+b)2 = 1000a + b
Nun wenden wir einen schlauen Kniff an, um beide Seiten der Gleichung in Faktoren zerlegen zu können: Wir ziehen auf beiden Seiten (a+b) ab, dann haben wir:
(a+b)2 – (a+b) = 1000a – a
bzw:
(a+b)(a+b-1) = 999a
Würde ich jetzt auch noch verraten, wie diese Gleichung interpretiert und ihre Lösung(en) gefunden werden kann, dann wäre das wohl zuviel des Guten, denn wir sind jetzt nur noch eineinhalb Schritte von der Lösung entfernt.
Schlagwörter: Denkaufgaben, Kryptogramme, Mathematik
Christlicher Aussteiger 