Archive for the ‘Denkaufgaben’ Category

Herausforderung zum mathematischen Forschen: Ein mysteriöser geometrischer Ort

19. Mai 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieses Artikels (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Über den Sinn und Nutzen solcher „Forschungsaufgaben“ siehe die Anmerkungen weiter unten.

Weitere Informationen hier.


Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum O, und eine Gerade g ausserhalb des Kreises. Von einem Punkt auf g aus konstruiert man die Tangenten an den Kreis, und verbindet deren Berührungspunkte T1 und T2 mit einer Geraden. Wir bezeichnen mit M den Mittelpunkt zwischen T1 und T2.

Frage 1: Wenn diese Konstruktion von allen Punkten von g aus ausgeführt wird, was ist dann der geometrische Ort aller Punkte M? – Konstruiere einige Beispiele, beobachte, und stelle Vermutungen auf. Dann überprüfe die wahrscheinlichste(n) Vermutung(en), und versuche sie zu beweisen.

Frage 2: Wie ändern sich die Bedingungen, wenn g den Kreis schneidet? Und kannst du für diesen Fall eine entsprechende geometrische Interpretation finden für jene Punkte von g, die sich innerhalb des Kreises befinden?

Frage 3: Bei dieser Konstruktion entspricht jeder Punkt von g genau einem Punkt auf dem mysteriösen geometrischen Ort. Es handelt sich also offenbar um eine Abbildung von g. Kannst du diese Abbildung genauer definieren bzw. beschreiben? Was für Eigenschaften dieser Abbildung gehen direkt aus den Antworten auf die Fragen 1 und 2 hervor? Untersuche weitere Eigenschaften, beschreibe und begründe sie.

In einigen Wochen oder Monaten werde ich, so Gott will, weitere Hinweise zu diesem Problem veröffentlichen. Korrespondenz kann über die Kontaktseite geführt werden.


Pädagogische und persönliche Anmerkungen:

Forschungsaufgaben sind eine von mehreren Methoden, das Mathematiklernen „aktiver“ zu gestalten. Andere solche Methoden beruhen z.B. auf dem Hantieren mit konkreten Materialien wie Cuisenaire-Stäbchen, logischen Blöcken, usw, welche es den Schülern ermöglichen, mathematische Gesetzmässigkeiten mit den eigenen Händen zu „be-greifen“. Auf den höheren Stufen nehmen die Einsatzmöglichkeiten für solche Materialien ab, da die Mathematik zunehmend abstrakter wird. Dafür nimmt die Fähigkeit der Schüler zu, neue Themen anhand von wenigen Leitfragen selbständig zu erarbeiten und zu erforschen.

Sachverhalte, die man selber erforscht und entdeckt hat, vergisst man nicht so schnell wieder! Das eigene Forschen erfordert zwar mehr Zeit und Anstrengung, als wenn ein Lehrer einfach ein paar Formeln an die Tafel schreibt. Dafür ist die Lernerfahrung unvergleichlich viel dauerhafter. Insbesondere dann, wenn die Schüler nicht einfach eine bestimmte Aufgabe als „Pflichtübung“ vorgesetzt bekommen, sondern aus mehreren Aufgaben und Themen eine auswählen dürfen, die ihrem Können und Interesse entspricht.

Eine wichtige Erfahrung dabei ist, dass mathematische Gesetze und Formeln nicht willkürliche „Inhalte“ sind, die womöglich nur von Lehrern erfunden wurden, um Schüler zu schikanieren. Nein, in der Mathematik hat alles seine Begründung. Jede Formel, jedes Gesetz kann logisch erklärt werden. Auf (fast) jedes „Warum?“ gibt es eine Antwort. Und die Antwort ist umso einsichtiger, je mehr man selber dazu beigetragen hat, sie zu finden. Mehrere meiner Nachhilfeschüler haben nach der Beschäftigung mit einer Forschungsaufgabe mathematische Gesetzmässigkeiten verstanden, die sie zuvor trotz aller Erklärungen ihrer Lehrer nicht verstehen konnten. Meine eigenen Kinder haben sich mit solchen und ähnlichen Methoden angewöhnt, sich die Dinge selber zu erklären, was ihnen auch jetzt im Universitätsstudium zugute kommt.

Es geht also darum, mathematische Themen mit einem gewissen „Mysterium“ zu umgeben und die Neugier der Schüler zu wecken, statt ihnen fertige Antworten vorzusetzen auf Fragen, die sie gar nicht gestellt haben.Wenn wir zudem darauf achten, dass die Schüler an Aufgaben arbeiten dürfen, deren Schwierigkeitsgrad sie nicht überfordert, dann wird gleichzeitig ihr Selbstvertrauen gestärkt: „Mathematik ist etwas, was ich selber entdecken kann. Ich bin der Mathematik nicht hilflos ausgeliefert. Ich kann eigene Fragen stellen und Probleme erfinden, und sie lösen.“
Natürlich werden ab und zu weitere Hilfestellungen auf dem Weg erforderlich sein. Auch für die vorliegende Aufgabe werde ich später solche geben.

Frage 3 ist bewusst offen formuliert. In der Mathematik soll es Raum geben für eigene Kreativität, und für eigene Erweiterungen eines Themas, über die Schulbuchaufgaben hinaus.

Bei der Erarbeitung der hier gestellten Aufgabe bin ich tatsächlich selber den Weg eines Schülers gegangen, der zuerst vor einem Mysterium steht und dann schrittweise anfängt, es zu verstehen. Ich war eigentlich daran, viel einfachere Aufgaben aufzustellen für Schüler, die eben erst anfangen, die Eigenschaften von Kreisen, Sehnen und Tangenten zu lernen. Dabei stellte ich mir selber aus Neugier die obige Frage 1. Statt in einem Buch oder im Internet nach der Antwort zu suchen, begann ich selber zu forschen, zu zeichnen, zu konstruieren, zu rechnen. Zuerst geriet ich in verschiedene Sackgassen und musste neue Alternativen ausprobieren. Nach zwei bis drei Stunden kam ich auf einen schlüssigen und nicht allzu komplizierten Beweis, und ging befriedigt schlafen.
Am nächsten Morgen machte ich mich daran, das Ergebnis übersichtlich zusammenzufassen, und über einige zusätzliche Fragestellungen nachzudenken. Dabei kam mir schlagartig die Erkenntnis, dass dieses Problem mit einem anderen, auf den ersten Blick völlig andersartigen Thema zusammenhängt; und damit ergab sich plötzlich eine ganz neue Perspektive (Frage 3). Das war so eine Art mehrfach potenziertes „Aha-Erlebnis“; so ähnlich wie sich Archimedes in der Badewanne gefühlt haben muss, als er plötzlich das Gesetz des Auftriebs verstand. Der Mathematiker Keith Devlin von der Universität Stanford schrieb einmal sinngemäss über dieses Hochgefühl einer mathematischen Entdeckung: „Das ist besser als jedes von Drogen erzeugte ‚High‘, es kostet nichts, und hat keine schädlichen Nebenwirkungen. Eine Motivation für mich, als Mathematiker zu arbeiten, ist der Wunsch, dieses Hochgefühl immer und immer wieder erleben zu dürfen.“

Hätte ich zuerst Literatur zum Thema studiert, so hätte ich wahrscheinlich die Antworten schneller gefunden. Aber mein Verständnis davon wäre oberflächlicher gewesen. Und ich hätte das aufregende Erlebnis verpasst, eine eigene Entdeckung zu machen.

Ich wünsche mir, dass schon Schüler diese Entdeckerfreude erleben dürfen und dadurch zum Mathematiklernen motiviert werden. Die hier vorgestellte Aufgabe erfordert ein hohes Mass an Vorkenntnissen; aber auch zu einfacheren Themen lassen sich interessante Forschungsthemen finden.

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Ziffern-Kryptogramme (4. Folge)

15. August 2011

Link zur 3.Folge

Dies ist die vierte und letzte Folge des Denktrainings mit Ziffern-Kryptogrammen. Der Grund für diese Übungen, sowie die „Spielregeln“, sind im ersten Artikel dieser Serie beschrieben.


Einfache Kryptogramme (Primarschulstufe)

Da wir uns dem Ende der Serie nähern, tendieren diese letzten einfachen Kryptogramme schon ein wenig zu „mittelschwer“. Sie sollten aber dennoch mit ein wenig Probieren ohne Lösungshinweis lösbar sein.


Mittelschwere Kryptogramme

Lösungshinweis (aber noch nicht nachlesen; zuerst selber versuchen, die Lösung zu finden!)

Lösungshinweis (nur für den Notfall…)

(Ja, ich weiss, das ist Unsinn. Es liegt an Dir, diesem Buchstabensalat einen Sinn abzugewinnen…)

Lösungshinweis (bla bla bla …)

Lösungshinweis


Schwierige Kryptogramme

Wie schon einmal gesagt, diese sind für Genies, Hobbymathematiker, Lehrer, und andere seltsame Geschöpfe …

Lösungshinweis (den Du natürlich nachlesen darfst, fallst Du bereit bist zuzugeben, dass Du doch kein Genie bist…)

Lösungshinweis (krpdgwsqxztpcjk …)

Und weil’s so schön war, gerade noch eins von derselben Sorte:

Lösungshinweis (ja, auch für dieses Kryptogramm gibt’s einen)

Und hier sozusagen noch die „Zugabe“. Echte Tüftler und Hobbymathematiker rechnen natürlich auch die Quadratwurzel von Hand auf dem Papier aus (oder kannst Du es im Kopf?), ohne Taschenrechner o.ä. elektronische Hilfsmittel. Lernt man das im deutschsprachigen Raum überhaupt noch? Hier in Perú schon, da müssen die Kinder das bereits in der 5.Klasse lernen – um es daraufhin sogleich wieder zu vergessen. Also viel Glück beim Ausprobieren von 90-oder-so Quadratwurzeln!
– Was eine „Bleikimme“ ist? Das einzige halbwegs sinnvolle Wort, das mir zu diesem Rätsel einfiel…
Übrigens muss ich auch hier wieder darauf hinweisen, dass in einem Kryptogramm zwar keine ganze Zahl mit Null anfängt; ein Dezimalbruch hingegen kann sehr wohl mit Null beginnen.
Und, nur so für den Fall: Quadratwurzeln ergeben natürlich keine periodischen Dezimalbrüche.

Lösungshinweis

Hiermit endet die Kryptogramm-Serie. Ich hoffe, es hat Spass gemacht und die „Denkmuskeln“ gestärkt!


(more…)

Zahlen-Kryptogramme – Teil 3

5. Juli 2011

Link zur 2. Folge

Die untenstehenden Kryptogramme sind ein kleiner Ausschnitt aus diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Weitere Informationen hier.

 

Dies ist die dritte Folge des Denktrainings mit Ziffern-Kryptogrammen. Der Grund für diese Übungen, sowie die „Spielregeln“, sind im ersten Artikel dieser Serie beschrieben. (Siehe dazu auch: „Mathematikunterricht – eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien?“)


Einfache Kryptogramme (Primarschulstufe)


Mittelschwere Kryptogramme

Diese sind für die etwas fortgeschritteneren und intelligenteren Schüler – und für alle, die Spass am Knobeln haben.

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)

Lösungshinweis (falls Du am Verzweifeln bist)

Lösungshinweis

Lösungshinweis


Schwierige Kryptogramme

Diese sind NICHT dazu gedacht, Schüler damit zu quälen! Eher als Sonderpreis für jene, die Mathematik zur Erholung betreiben und/oder die mittelschweren Kryptogramme zu einfach finden.

(Ja, ich weiss, die Worte machen nicht so viel Sinn. Streiche Mus an die Äste, und die Fliegen summen darum herum. – Nein, Du musst die Buchstaben in Ziffern verwandeln, dann erhalten sie erst ihren tieferen Sinn.)

Lösungshinweis (für Nicht-Ganz-Genies…)

Lösungshinweis (für den Fall, dass Du eine schlaflose Nacht hattest wegen dieser Aufgabe)

Ich weise hier nochmals darauf hin, dass in Kryptogrammen zwar die ganzen Zahlen nie mit einer Null beginnen, aber ein Dezimalbruch kann durchaus mit einer Null beginnen.

Lösungshinweis (für die Vergesslichen und jene, die die vorherige Folge dieser Artikelserie nicht gelöst haben)

Fortsetzung folgt…

(more…)

Ziffern-Kryptogramme (2. Folge)

3. November 2010

In einem früheren Artikel habe ich bereits die Ziffern-Kryptogramme als Denktraining beschrieben. Hier folgen nun einige weitere dieser Denksportaufgaben, wiederum von ganz leicht bis ganz schwierig.

Die untenstehenden Kryptogramme sind ein kleiner Ausschnitt aus diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Weitere Informationen hier.

Zuerst als Erinnerung nochmals die „Spielregeln“:

1. Innerhalb eines Kryptogrammes – auch wenn es mehrere Rechnungen enthält – bedeuten immer gleiche Buchstaben (bzw. Symbole) gleiche Ziffern; unterschiedliche Buchstaben (bzw. Symbole) bedeuten unterschiedliche Ziffern. Die Aufgabe besteht darin, herauszufinden, welcher Buchstabe (bzw. Symbol) welche Ziffer bedeutet, so dass alle Rechnungen stimmen.

2. Keine (ganze) Zahl beginnt mit einer Null.

3. Von Kryptogramm zu Kryptogramm kann die Bedeutung der Buchstaben (bzw. Symbole) ändern. Wenn also z.B. das Kryptogramm Nr.2 den Buchstaben A enthält und das Kryptogramm Nr.4 enthält auch den Buchstaben A, dann bedeutet dieser Buchstabe nicht unbedingt in beiden Kryptogrammen dasselbe. (In anderen Worten: Jedes Kryptogramm ist eine eigene, von den anderen unabhängige Aufgabe. Wenn aber ein einziges Kryptogramm mehrere Rechnungen enthält, dann gehören diese zusammen.)

4. Kryptogramme sind keine Algebra! „AB“ bedeutet also nicht „A multipliziert mit B“, sondern eine zweistellige Zahl mit den Ziffern A und B.

5. Für echte Tüftler ist es Ehrensache, die Rechnungen von Hand auszurechnen. Also keine Taschenrechner, Computer usw.!


Einfache Kryptogramme (Primarschulstufe)


Mittelschwere Kryptogramme

Diese sind für die etwas fortgeschritteneren und intelligenteren Schüler – und für alle, die Spass am Knobeln haben.

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn … Ja, ich weiss, ich wiederhole mich)

Lösungshinweis

Lösungshinweis


Schwierige Kryptogramme

… für Genies, Hobbymathematiker, Lehrer, und andere seltsame Geschöpfe …

Lösungshinweis (brauchen Genies etc. einen Lösungshinweis?)

Das kommt Dir spanisch vor? Ist es auch. (Schliesslich sprechen meine Schüler Spanisch.) „Sabes sumar“ bedeutet „Kannst du zusammenzählen?“, und „Numero“ bedeutet „Zahl“. Also: Wenn Du zusammenzählen kannst, kommst Du auf die richtige Zahl. – Es war mir zu aufwendig, eine passende deutsche Entsprechung zu suchen; vielleicht gibt es gar keine.
Dies ist übrigens eine etwas kniffligere Variante des wohl „klassischsten“ Ziffern-Kryptogramms, das in vielen Denksportbüchern zu finden ist:

  S E N D
+ M O R E
M O N E Y

Die Geschichte dazu besagt, dass ein junger Mann in eine andere Stadt zog, um dort zu studieren, während sein Vater für seinen Lebensunterhalt aufkam. Da der Student aber ein verschwenderisches Leben führte, ging im bald das Geld aus. Deshalb sandte er das obige Telegramm an seinen Vater („Send more money“ = „Sende mehr Geld“), um ihm gleichzeitig anzudeuten, welchen Geldbetrag er sich wünschte. Ob der Vater die mathematischen Fähigkeiten des Sohnes auch mit diesem Betrag honorierte, ist nicht überliefert.

Lösungshinweis

Da dies in dieser Serie das erste Kryptogramm mit einem Dezimalbruch ist, zwei klärende Bemerkungen dazu:
1. Der Dezimalbruch ist periodisch, d.h. PERIOD wiederholt sich unendlich.
2. Gemäss Spielregel 2 beginnt keine GANZE Zahl mit Null. Das gilt aber nicht für Dezimalbrüche. D.h. im vorliegenden Beispiel könnte D auch Null sein.

Lösungshinweis

Fortsetzung folgt…

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Ziffern-Kryptogramme – von ganz leicht bis ganz schwierig.

12. Oktober 2010

Die untenstehenden Kryptogramme sind ein kleiner Ausschnitt aus diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.

Weitere Informationen hier.

Diese Ziffernrätsel oder Kryptogramme sind gute „Denktrainer“: Sie lassen sich nicht einfach nach „Schema F“ lösen, sondern fordern die Kombinationsfähigkeit immer wieder neu heraus. Gleichzeitig fördern sie das Verständnis der Eigenschaften der mathematischen Grundoperationen, weil bei jeder Aufgabe wieder andere Eigenschaften der Zahlen und ihrer Operationen ins Spiel kommen.

In den Schulen hierzulande werden den Schülern verschiedene Arten von „Denkaufgaben“ gegeben, die angeblich ebenfalls die Denkfähigkeit fördern sollen: Zahlenreihen, die logisch weitergeführt werden sollen; geometrische Figuren, in denen man zählen soll, wieviele Rechtecke, Dreiecke usw. darin enthalten sind; willkürlich erfundene neue mathematische Operatoren, mit denen man rechnen soll; und ähnliches. Das Problem dabei ist aber, dass den Schülern mit der Aufgabe gleichzeitig ein Schema mitgegeben wird, nach dem sie gelöst werden kann: Bei Zahlenreihen probiert man zuerst, ob sich mit Addieren eine logische Sequenz ergibt; wenn nicht, dann eben mit Multiplizieren; resp. mit Wegzählen oder Teilen (wenn es sich um eine fallende Folge handelt). Beim Zählen von geometrischen Figuren teilt man die Gesamtfigur in ihre kleinsten Bestandteile auf, die numeriert werden, und dann versucht man die gesuchte Art von Figur (Dreieck, Rechteck) zuerst aus einem, dann aus zwei, dann aus drei (etc.) Bestandteilen zusammenzusetzen. Natürlich, die Methode führt zum Ziel. Aber die Schüler lernen damit nicht das Denken; sie lernen nur, eine weitere Methode stur anzuwenden. (Mein Verdacht ist ausserdem, dass der eigentliche Zweck gar nicht darin liegt, die Denkfähigkeit zu schulen, sondern lediglich die Schüler auf die Aufnahmeprüfungen an die Sekundarschule bzw. an die Universität vorzubereiten, wo nämlich genau solche Aufgaben vorkommen.)

Die Ziffern-Kryptogramme hingegen, obwohl auch eine recht bekannte Art Denkaufgabe, sind an den peruanischen Schulen auffallend abwesend. Ich habe deshalb angefangen, meinen Nachhilfeschülern einige solche Aufgaben zu geben. Einige wenige haben die Serie der „einfachen“ Kryptogramme lösen können; bis jetzt ist aber noch keiner von ihnen zu den „mittelschweren“ vorgestossen. (Meine eigenen Kinder hingegen mögen diese sehr!) Und die „schwierigen“ – ich gebe zu, vor diesen müssen sogar manche Erwachsene kapitulieren. (Für die mittelschweren und schwierigen werde ich Lösungshilfen angeben, falls jemand versucht ist aufzugeben.)

Hier die „Spielregeln“:

1. Innerhalb eines Kryptogrammes – auch wenn es mehrere Rechnungen enthält – bedeuten immer gleiche Buchstaben (bzw. Symbole) gleiche Ziffern; unterschiedliche Buchstaben (bzw. Symbole) bedeuten unterschiedliche Ziffern. Die Aufgabe besteht darin herauszufinden, welcher Buchstabe (bzw. Symbol) welche Ziffer bedeutet, so dass alle Rechnungen stimmen.

2. Keine (ganze) Zahl beginnt mit einer Null.

3. Von Kryptogramm zu Kryptogramm kann die Bedeutung der Buchstaben (bzw. Symbole) ändern. Wenn also z.B. das Kryptogramm Nr.2 den Buchstaben A enthält und das Kryptogramm Nr.4 enthält auch den Buchstaben A, dann bedeutet dieser Buchstabe nicht unbedingt in beiden Kryptogrammen dasselbe. (In anderen Worten: Jedes Kryptogramm ist eine eigene, von den anderen unabhängige Aufgabe. Wenn aber ein einziges Kryptogramm mehrere Rechnungen enthält, dann gehören diese zusammen.)

4. Kryptogramme sind keine Algebra! „AB“ bedeutet also nicht „A multipliziert mit B“, sondern eine zweistellige Zahl mit den Ziffern A und B.

5. Für echte Tüftler ist es Ehrensache, die Rechnungen von Hand auszurechnen. Also keine Taschenrechner, Computer usw.!

Und hier ein erstes, ganz einfaches Beispiel:

Die einzigen Ziffern, die diese Bedingungen erfüllen, sind 2 und 4. Die Lösung ist also: A = 2, B = 4. Oder in die Rechnungen eingesetzt:

2 + 2 = 4
2 x 2 = 4


Einfache Kryptogramme

Die folgenden Denkaufgaben sind so einfach, dass sie ca. ab dem dritten Schuljahr gelöst werden können. Ich gebe deshalb keine weiteren Kommentare dazu.


Mittelschwere Kryptogramme

Diese erfordern schon etwas mehr Nachdenken und mathematisches Verständnis. Die Lösungsmöglichkeiten sind aber begrenzt. Deshalb sollten auch diese Aufgaben durch geduldiges Probieren und geschicktes Ausschliessen unmöglicher Kombinationen relativ leicht lösbar sein.

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn Du die Lösung wirklich nicht selber finden kannst!)

Lösungshinweis (nur nachlesen, wenn … na, Du weisst schon!)

Lösungshinweis (für jene, die es wirklich nötig haben …)


Schwierige Kryptogramme

Und hier noch ein paar Kostproben von den schwierigen.

Lösungshinweis (bla, bla, bla …)

– Ich weiss, die Worte in den Kryptogrammen machen nicht so viel Sinn; aber so sieht es wenigstens besser aus als ein völliger Unsinn…
Lösungshinweis

Lösungshinweis

Genug für heute! Ein andermal mehr…

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