Mathematische Kunstausstellung (Teil 3): Modulare Potenzen-Perserteppiche

Modulare Potenzen-Perserteppiche

In der vorhergehenden Folge haben wir die Zahlen der Multiplikationstabelle verschieden eingefärbt, je nach dem Rest (Modulo), den sie beim Teilen durch eine bestimmte Zahl ergeben. Dann machten wir etwas Ähnliches mit den Quadrat- und Kubikzahlen, und bewunderten die dadurch entstehenden Kunstwerke.

Wir können aber modulare Potenzfunktionen auch so darstellen, dass wir nicht den Exponenten, sondern den Teiler als Konstante wählen. Wir zeichnen also die Funktion z = y^x mod n für verschiedene Zahlen n. Wir haben fast dasselbe schon mit der Multiplikationstabelle gemacht: dort zeichneten wir die Funktion z = xy mod n. Wir sahen dabei, dass sich jeweils ein Muster von n x n Feldern wiederholte. Wie sehen diese Wiederholungen bei der Potenzfunktion aus?

In „y-Richtung“ (wenn y die Basis der Potenz ist) gibt es logischerweise eine Wiederholung, sobald y = n ist, denn dann potenziert sich der Rest von y, der hier wieder Null ist (und dann wieder 1, 2, 3, usw). Ich habe deshalb die Bilder jeweils auf der Höhe von n abgeschnitten. In „x-Richtung“ gibt es offensichtlich auch eine Wiederholung; aber es ist nicht so einfach vorauszusagen, wo genau diese eintritt!

Dies sind die Bilder für alle n von 8 bis 18:

Wir sehen, dass hier jede Zahl ihre besondere Eigenart hat.
– Wenn n eine Potenz von 2 ist (z.B. 8 oder 16), wird das Bild vorwiegend rot (= Rest Null). Logisch: Jede gerade Zahl, wenn man sie genügend oft potenziert, ergibt ein Vielfaches von 8 bzw. 16, und von da an ist der Rest immer Null.
– Wenn n eine Primzahl ist, dann erscheint jeweils an einer bestimmten Stelle ein charakteristischer senkrechter roter Strich, nach welchem sich das Muster wiederholt. (In den Bildern mit einem Pfeil bezeichnet.) Dies widerspiegelt den „Kleinen Satz von Fermat“, wonach a^n-1 – 1 für alle a von 1 bis n-1 durch n teilbar ist, wenn (und nur wenn) n eine Primzahl ist. Der rote Strich befindet sich also genau an der Stelle n-1, und es handelt sich hier um den Rot-Ton, der einem Rest von 1 entspricht.
– Für andere n ergeben sich immer wieder andere charakteristische, teppichähnliche Muster, die sich nach einer bestimmten (meist kürzeren) Periode wiederholen.

Hier einige weitere Beispiele mit zusammengesetzten Zahlen:

Auf dem nächsten Bild sehen wir links zwei Zahlen (62 und 66), die beim Teilen durch 4 den Rest 2 ergeben. Die Bilder aller dieser Zahlen enthalten in der Mitte einen breiten waagerechten grünen Streifen. (Siehe auch oben die Zahlen 10, 14 und 18.) Der Leser möge selber errechnen, woher das kommt.
– Die Zahl 81 ist die vierte Potenz von 3, weshalb jedes durch 3 teilbare y spätestens von der vierten Potenz an einen waagerechten roten Strich ergibt.
– 97 ist nochmals ein Beispiel für eine Primzahl.

Und hier noch einige Beispiele von etwas grösseren Zahlen:

(216: Eine Zahl mit vielen Teilern.)

(247 ist keine Primzahl! 13 x 19 = 247. Deshalb liegen die senkrechten roten Striche nicht bei 247-1=246, und bei genauer Betrachtung stellt man auch fest, dass sie nicht durchgehend sind.)

(256 = 2⁸)

(257 ist hingegen wieder eine Primzahl.)

In der nächsten Folge, so Gott will, werden wir einen anderen Bereich der Mathematik auf die darin verborgenen Kunstwerke untersuchen.

Fanden Sie diesen Artikel interessant? Dann interessiert Sie sicher auch dieses Buch zum Mathematiklernen durch eigenes Forschen und Entdecken. Weitere Informationen hier.