Archive for Mai 2011

Eine argentinische Zumutung

24. Mai 2011

Vor einiger Zeit fand ich im Internet einen Artikel eines (anscheinend) bekannten argentinischen Leiters, unter dem Titel: „Wie du mittels deiner Pastoren Gott ehren kannst!“ Zuerst dachte ich, es handelte sich um eine Satire – aber nein, es war alles todernst gemeint. Der Artikel begann so:

„Die Art, Gott zu ehren:

Den anderen vorzuziehen bedeutet: Wenn wir gleich sind, dass wir den anderen zuerst nach vorne lassen; und wenn zwei sich setzen sollen, aber es gibt nur einen Stuhl, dass wir den anderen sich setzen lassen.

Der Pastor, der Apostel, muss das beste Auto fahren, muss sich auf den besten Platz setzen. Das System hat uns gelehrt, diese Dinge als schlecht zu betrachten und uns selber vorzuziehen.

Aber jetzt kommt Gott mit der Ehre.

Gott möchte uns beibringen, Ehre zu erweisen, und es ist nötig, das zu lehren. Wenn Sie Leute haben, die Gott ehren, dann werden Sie Leute haben, die von Gott geehrt sind.

Es muss ein Unterschied gemacht werden mit jenen, die Träger der Salbung Gottes sind. (…) Dann wird die Salbung Gottes (auch) über Sie fallen.“

Etwas weiter unten heisst es:

„Du bist eine wichtige Person, du bist das Wichtigste, was es auf der Erde und in deiner Stadt gibt; und dein Pastor ist das wichtigste, was es in deinem Leben gibt. Denn wenn du lernst, ihn zu ehren, dann ehrst du Gott.“

(…)

„Möchtest du mehr Ehre erhalten? Dann werde nicht müde, deinem Pastor (Geld) zu geben, mache eine Gewohnheit daraus, gewöhne dich an den Wohlstand, und werde zu einem von Gott geehrten Menschen. – Wiederholen Sie: ‚Ich werde von Gott geehrt sein.'“

Der Leser möge mir verzeihen, dass ich die Quelle nicht angebe: ich tue das normalerweise nur bei positiven Beispielen. (Anmerkung zur Übersetzung: Die stilistischen Unebenheiten, wie z.B. die sprunghaften Wechsel von „Wir“ zu „Du“ zu „Sie“, habe ich möglichst originalgetreu übernommen. Nur da, wo die Übersetzung ganz unverständlich geworden wäre, habe ich Satzstrukturen etwas geglättet.)

Bei dem Autor dieser Zeilen handelt es sich offenbar nicht um den Anführer einer in irgendeinem Winkel versteckten Sekte, sondern um einen international bekannten evangelikalen Leiter. Das ist die Lehre, die heutzutage in der Mehrheit der evangelikalen Kirchen verbreitet wird: Der Pastor ist der spezielle „Gesalbte Gottes“, und der Weg zu Gott führt über ihn und nur über ihn. Man hat ausserdem noch einen persönlichen Vorteil davon, denn wer dem Pastor Geld gibt, bekommt von Gott noch mehr Geld zurück.

Im deutschen Sprachraum habe ich noch keine derart „starken“ Worte gehört. Der Sache nach habe ich aber diese falsche Lehre schon in vielen Gemeinden und Organisationen angetroffen: „Dich Gott unterzuordnen, bedeutet in erster Linie, dich deinem Leiter unterzuordnen.“ – „Gott spricht zu dir in erster Linie durch deine Leiter.“ – Oder auch: „Wer sich der Leiterschaft nicht unterordnet, verliert seine geistliche Abdeckung (bzw. den Schutz Gottes).“
Wenn deutschsprachige Pastoren sich noch nicht so extrem ausdrücken wie der zitierte Argentinier, dann liegt das m.E. nur daran, dass im deutschsprachigen Kulturkreis die Schmerzgrenze niedriger liegt für alles, was nach Diktatur riecht. Ein Pastor wird sich deshalb hüten, diese Schmerzgrenze zu überschreiten. Hier in Lateinamerika ist man sich eher an Diktaturen gewöhnt, und deshalb haben die hiesigen Pastoren auch weniger Hemmungen, in dieser Hinsicht offen zu sprechen.

Der Sinn dieser Veröffentlichung ist deshalb folgender: Die karikaturistische Überzeichnung einer Sache bringt oft Merkmale ans Licht, die in der Sache selbst bereits vorhanden sind, aber ohne die Überzeichnung nicht ohne weiteres erkannt würden. Der oben zitierte Artikel wirkt für deutschsprachige Leser sicherlich wie eine solche Überzeichnung. Er stellt aber dar, was viele deutschsprachige Gemeindeleiter im Kern auch lehren. Ich wünsche mir, dass viele Gemeindeglieder (und wer weiss, vielleicht sogar einige Leiter?) an diesem Beispiel erkennen mögen, auf was für Zustände ihre Gemeinde zusteuert, wenn sie solchen autoritären Lehren des geistlichen Missbrauchs weiterhin Raum gibt.

Pfarrherrliche Statussymbole habe ich sowohl in Europa wie in Lateinamerika zur Genüge gesehen. In einer Gemeinde waren die Büros der untergeordneten Pastoren klein und hatten einen gewöhnlichen Betonfussboden; das Vorzimmer des Hauptpastors hatte einen Spannteppich; und sein eigenes Büro war das grösste von allen und hatte einen dicken, flauschigen Teppich. In einer anderen Gemeinde wurde die Hierarchie durch die unterschiedliche Qualität der Bürostühle ausgedrückt: für den Stuhl des Hauptpastors war mehr Geld ausgegeben worden, als ich im Monat verdiene. Nur für einen Stuhl! – Wieder in einer anderen Gemeinde achtete der Hauptpastor streng darauf, dass er immer „standesgemäss“ angezogen war; d.h. dass ihn nie ein Gemeindeglied anders als in Anzug und Krawatte überraschen konnte; und dass er nie anders als mit „Herr Pfarrer“ angesprochen wurde.

Falls es jetzt tatsächlich jemanden geben sollte, der dies (oder andere Aspekte des zitierten Artikels) gut finden sollte, dann möchte ich nur kurz zitieren, was Jesus dazu sagt:

„Sie (die Pharisäer) lieben den obersten Platz bei den Mahlzeiten und den Vorsitz in den Synagogen und die Begrüssungen auf den Märkten und dass sie von den Leuten ‚Meister‘ genannt werden. Ihr dagegen sollt euch nicht ‚Meister‘ nennen lassen; denn einer ist euer Meister, ihr alle aber seid Brüder. Nennt auch niemanden auf Erden euren Vater; denn einer ist euer Vater, der himmlische. Auch sollt ihr euch nicht Lehrer nennen lassen;denn einer ist euer Lehrer, Christus. Wer aber unter euch grösser ist, soll euer Diener sein.“
(Matthäus 23:6-11)

„Sie, die die Häuser der Witwen aufzehren und dabei zum Schein lange Gebete sprechen, sie werden ein umso strengeres Gericht empfangen.“
(Markus 12,40)

Wenn das so empfangene Geld wenigstens zur Unterstützung bedürftiger Menschen oder zur Verkündigung des Evangeliums eingesetzt würde! Gegen eine legitime finanzielle Unterstützung echter Diener Gottes will ich gar nichts sagen. Aber nein, dieses Geld muss dazu dienen – wie im eingangs zitierten Artikel ganz offen und schamlos gesagt wird -, dass die „Pastoren/Apostel“ die besten Sitzplätze einnehmen und das beste Auto fahren können.

– Als die Apostel Petrus und Johannes vor den religiösen Leitern standen, sagten sie:

„Man muss Gott mehr gehorchen als den Menschen.“
(Apostelgeschichte 5,29)

Und der Apostel Paulus schreibt:

„Denn ich halte dafür, Gott habe uns, die Apostel, als die Geringsten hingestellt, wie zum Tode Verurteilte; denn ein Schauspiel sind wir der Welt geworden, sowohl Engeln als Menschen. Wir sind töricht um Christi willen, ihr aber seid klug in Christus; wir sind schwach, ihr aber stark; ihr seid geehrt, wir aber verachtet. Bis zur jetzigen Stunde leiden wir Hunger und Durst und Blösse und werden geschlagen und haben keinen festen Wohnsitz und mühen uns ab in der Arbeit mit unseren eigenen Händen. Werden wir geschmäht, so segnen wir; werden wir verfolgt, so dulden wir es; werden wir gelästert, so begütigen wir; wie Kehricht der Welt sind wir geworden, ein Abschaum aller bis jetzt.“
(1.Korinther 4,9-13)

Paulus tadelt sogar die Korinther dafür, dass sie missbraucherische Leiter (solche wie den Autor des eingangs zitierten Artikels) überhaupt aufgenommen hatten:

„Ihr ertragt ja gern die Toren, ihr, die ihr klug seid. Ihr ertragt es ja, wenn jemand euch knechtet, wenn jemand euch aufzehrt, wenn jemand euch einfängt, wenn jemand sich überhebt, wenn jemand euch ins Gesicht schlägt. Zur Schande sage ich es: dafür sind wir zu schwach gewesen.“
(2. Korinther 11,19-21)

Noch bedenklicher ist, dass diese falschen Leiter sich als Mittler zwischen Gott und den Menschen aufspielen. In der Reformationszeit wurde einst die grosse Wahrheit auf den Leuchter gestellt, dass jeder Christ seinen eigenen freien Zugang zum Thron Gottes hat, ohne auf das Dazwischentreten eines Priestertums angewiesen zu sein:

„Da wir nun einen grossen Hohenpriester haben, der durch die Himmel hindurchgeschritten ist, Jesus, den Sohn Gottes, (…) so lasst uns nun mit Zuversicht zum Thron der Gnade hinzutreten, damit wir Barmherzigkeit erlangen und Gnade finden zu rechtzeitiger Hilfe!“
(Hebräer 4,14.16)
„Denn einer ist Gott, und einer ist Mittler zwischen Gott und den Menschen, der Mensch Christus Jesus …“
(1.Timotheus 2,5)

Aber die heutigen Evangelikalen, die sich als Erben der Reformation ausgeben, kehren in dieser Hinsicht zu einem mittelalterlichen Katholizismus zurück, indem sie wieder ihre Priesterkaste auf den Thron erheben. Ja, noch schlimmer: diese neuen Priester nennen sich sogar „der Gesalbte Gottes“. „Gesalbter“ ist nichts anderes als die wörtliche Übersetzung des griechischen Wortes „Christus“. Da stehen also heute sterbliche Menschen auf der Kanzel und verkünden: „Ich bin der Christus Gottes; wenn du Gott ehren willst, musst du zuerst mich ehren!“ Tatsächlich erfüllt sich hier die Vorhersage Jesu:

„Denn es werden falsche Christusse und falsche Propheten auftreten und werden grosse Zeichen und Wunder vollbringen, sodass sie, wenn möglich, auch die Auserwählten irreführen. Siehe, ich habe es euch vorhergesagt.“
(Matthäus 24,24-25)

Wer Ohren hat zu hören, der höre!

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Mathematikunterricht: eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien? – Teil 3

17. Mai 2011

Vorbemerkung: Dies ist die nur unwesentlich geänderte Wiedergabe eines ursprünglich auf Spanisch veröffentlichten Artikels, vor dem Hintergrund des peruanischen Schulsystems. Einige Abschnitte sind deshalb auf europäische Verhältnisse nur begrenzt anwendbar. Soweit ich die weltweite Entwicklung beobachten kann, sehe ich es jedoch nicht als wahrscheinlich an, dass sich Perú den europäischen Verhältnissen angleichen wird; viel wahrscheinlicher ist, dass sich auch die europäischen Schulsysteme zunehmend in die Richtung der hier beschriebenen bürokratischen Erziehung bewegen werden.


Mathematik auf der Grundlage von Prinzipien

Der grosse Unterschied zwischen einem bürokratischen Unterricht und einem auf Prinzipien aufgebauten Unterricht sollte jetzt klar sein. (Siehe Teil 2.) Dennoch möchte ich noch etwas anfügen über die Prinzipien.

Wir haben gesehen, dass die Prinzipien der Mathematik universal und ewig sind. Ausserdem sind sie nicht willkürlich. Die Gesetze der Mathematik sind untrennbar verbunden mit der Wirklichkeit, wie sie ist (von Gott geschaffen wurde, würde ich als Christ hinzufügen). Die Gesetze der Mathematik sind deshalb nicht nur gedankliche Konstruktionen. Die Gesetze der Mathematik lehren uns etwas über die Struktur des Universums, wie es ist. Das ist ein Grund mehr, eine Anstrengung zu unternehmen, um sie zu verstehen.

Ein universales Prinzip hat viele Anwendungen. Nicht wie ein bürokratisches Vorgehen, das nur in den speziellen Fällen angewandt werden kann, für die es ersonnen wurde. Wenn z.B. ein Schüler das Kommutativgesetz verstanden hat, dann kann er es auf alle Arten von Operationen anwenden. Aber ein bürokratisch unterrichteter Schüler muss das Kommutativgesetz mindestens zehnmal von neuem lernen. Zuerst für die waagrecht notierte Addition, dann für die senkrecht notierte Addition. (Es können mehrere Jahre vergehen, bis er merkt, dass eine waagrecht und eine senkrecht aufgeschriebene Addition genau dasselbe sind.) Wenn er dann das Bruchrechnen lernt, muss er „die kommutative Eigenschaft der Addition von Brüchen“ lernen. Dann muss er es von neuem für die irrationalen Zahlen lernen, und schliesslich (wenn er nicht vor Erreichen dieser Stufe verzweifelt) für die komplexen Zahlen. Und ausserdem alle genannten auch noch für die Multiplikation.

Ein Schüler hingegen, der Prinzipien versteht, kann selber das Kommutativgesetz auf alle Arten von Additionen und Multiplikationen anwenden. Er kann auch das Vertauschen von Gliedern gemischter Additionen und Subtraktionen verstehen (z.B. 13 + 9 – 3 = 13 – 3 + 9), und von gemischten Multiplikationen und Divisionen (z.B. 60 x 13 : 5 = 60 : 5 x 13). Er wird es ohne grössere Schwierigkeiten lernen, weil er diese Fälle als Variationen desselben Prinzips erkennen wird, das er bereits verstanden hat. Wenn er intelligent ist, kann er sogar selber entdecken, warum die Potenzierung nicht kommutativ ist.

Mathematische Prinzipien ermöglichen es auch, die Wechselbeziehungen und Ähnlichkeiten zwischen unterschiedlichen Themen zu verstehen. Nicht wie im bürokratischen Unterricht, wo jedes Thema als isoliertes Fragment stehenbleibt. Wie früher erwähnt, hilft ein auf Prinzipien aufgebauter Unterricht z.B. zu verstehen, dass die Multiplikation und Division von Zahlen mit mehreren Ziffern auf dem Distributivgesetz basiert; dass das Kürzen von Brüchen mit dem ggT zu tun hat; und dass der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche das kgV ist.

Mathematische Prinzipien fördern auch charakterliche Qualitäten wie z.B. die Ordnung. Aber nicht eine Ordnung, die einem durch den autoritären Befehl des Lehrers aufgezwungen wird; sondern eine Ordnung, die es einem ermöglicht, die verschiedensten Stoffe miteinander zu verbinden und zu beherrschen, indem man sie von ihren grundlegenden Prinzipien her versteht.

Mathematische Prinzipien fördern auch den Gehorsam. Aber nicht einen blinden Gehorsam willkürlichen Befehlen gegenüber, sondern einen Gehorsam höheren Prinzipien gegenüber, bei denen man auch versteht, warum es gut ist, ihnen zu gehorchen. Und diese Art Gehorsam führt letztlich zur Freiheit.

Die Freiheit der Mathematik besteht darin, dass sie universell ist. Die Mathematik hängt nicht von wissenschaftlichen Autoritätspersonen ab. Sie muss sich auch nicht den Launen einer Regierung unterwerfen. Die Mathematik ist Gemeingut: jeder hat die Freiheit, sie auszuüben und Neues darin zu entdecken. (So war es z.B. möglich, dass der Engländer Newton und der Deutsche Leibniz beide unabhängig voneinander, und Hunderte von Kilometern voneinander getrennt, die Infinitesimalrechnung entdeckten.)

So ist die Existenz der Mathematik an sich schon ein lautstarker Protest gegen zwei beherrschende Strömungen unserer Zeit: den Relativismus (wonach es keine absoluten Wahrheiten geben soll), und den Totalitarismus (wonach der Staat alle Lebensbereiche beherrschen soll).

Die mathematischen Prinzipien erlauben dem Schüler, sie selber anzuwenden und davon ausgehend seine eigenen Vorgehensweisen zu entwickeln. Auf diese Weise kann die Mathematik sogar die Kreativität fördern. Dazu ein bekanntes historisches Beispiel:

Ein Lehrer sagte seinen etwa neunjährigen Schülern, sie sollten alle Zahlen von 1 bis 100 zusammenzählen. Vielleicht wollte er eine Zeitlang Ruhe haben vor den Schülern. Aber seine Ruhe dauerte nicht lange, denn nach wenigen Augenblicken kam ein Schüler zu ihm mit dem richtigen Ergebnis. „Wie konntest du das so schnell ausrechnen?“, fragte der Lehrer erstaunt. „Einfach“, antwortete der Schüler. „Wenn ich 1+100 zusammenzähle, gibt es 101. 2+99 gibt ebenfalls 101, 3+98 auch, und so weiter. Wenn ich so weiterfahre bis zu 50+51, dann habe ich 50 Zahlenpaare, also ist die Summe 50 x 101 = 5050.“ – Dieser Schüler wurde später ein berühmter Mathematiker. Sein Name war Carl Friedrich Gauss.

Was hätte ein heutiger bürokratischer Lehrer dem kleinen Gauss geantwortet? – „Nein, du kannst das nicht so machen, du musst die Zahlen eine um die andere zusammenzählen.“ – „Nein, du darfst dieses Vorgehen nicht anwenden, das kommt erst später im Lehrplan.“ – Wie viele heutige „Gausse“ hat die Welt wohl schon durch die Schuld des Schulsystems verloren?

Die mathematischen Prinzipien können uns sogar lehren, die Schönheit der Mathematik wertzuschätzen. Sehen wir als kleines Beispiel diese beiden Tabellen an:

Male die Vielfachen von 9 grün an,die Vielfachen von 10 gelb,die Vielfachen von 11 rot.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Male die Zahlen, die auf 0 enden, gelb,die auf 5 enden, orange,die auf 3 enden, blau,

die auf 7 enden, grün.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Wenn ein Schüler eine Aufgabe wie diese richtig ausführt, wird er mit einem harmonischen Bild belohnt, und wird erkennen, dass die Mathematik auch ästhetischen Wert hat. Die Farbmuster, die bei diesen Aufgaben erscheinen, sind nicht willkürlich erfunden: sie sind bereits in der Struktur (z.B.) der Multiplikationstabelle enthalten. Die Farben tragen lediglich dazu bei, sie sichtbar zu machen.

Es gibt viele mathematische Prinzipien, die auf ähnliche Weise sichtbar gemacht werden können. Viele geometrische Figuren sind dazu geeignet, harmonische Ornamente zu schaffen, die zugleich mathematische Wahrheiten ausdrücken. Meine Kinder z.B. haben formell noch nichts über die Eigenschaften von Kegelschnitten gelernt, aber sie beobachteten fasziniert ein Computerprogramm, das Ellipsen und Hyperbeln Schritt für Schritt konstruiert. Solche Beobachtungen laden dazu ein, weiter zu forschen und selber mathematische Eigenschaften zu entdecken. Ich stelle mir vor, wie erstaunt und entzückt Gauss gewesen sein muss, als er entdeckte, dass die Lösungen der Gleichung xn = a in der komplexen Zahlenebene genau auf den Ecken eines regelmässigen n-Ecks liegen. (Und von daher fand er heraus, wie ein regelmässiges 17-Eck nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Er machte diese Entdeckung im Alter von 19 Jahren, als er selber noch Student war.) Dieses Beispiel gehört zwar nicht mehr zum Volksschulstoff. Aber es illustriert, wie die Harmonie der mathematischen Wahrheiten auf allen Stufen sichtbar wird, von der elementarsten bis zur fortgeschrittensten.

Wir finden auch in der Natur solche mathematischen Muster. Wer bewundert nicht die sechseckige Struktur einer Bienenwabe? Sie ist nicht nur ästhetisch, sondern sie drückt auch die mathematische Wahrheit aus, dass das Sechseck eines der wenigen regelmässigen Vielecke ist, die eine Ebene gleichmässig ausfüllen können; und unter diesen Vielecken ist es jenes, das das günstigste Verhältnis zwischen Umfang und Fläche hat. – Man hat herausgefunden, dass Sonnenblumenkerne in der Blüte ein Muster von Spiralen in zwei entgegengesetzten Richtungen bilden; und dass die Zahl der Spiralen in den beiden Richtungen immer ein Paar von Zahlen der Fibonacci-Reihe bildet (z.B. 21:34, 34:55, oder 55:89). – Wir haben schon kurz Keplers Entdeckung über die Planetenbahnen erwähnt. Keplers Gesetze offenbaren eine erstaunliche Harmonie in den mathematischen Gesetzen, die sogar den Bewegungen der Himmelskörper zugrundeliegen.

Es gibt einige wenige mathematische Themen, die diesen allgemeinen Eindruck von Harmonie in Frage stellen. Eines davon sind die Primzahlen, die scheinbar keinerlei Ordnung folgen. Es ist sehr leicht, einen Algorithmus zu finden, der mit Sicherheit eine zusammengesetzte Zahl liefert. (Z.B: Man nimmt irgendwelche zwei natürliche Zahlen mit Ausnahme der 1 und multipliziert sie miteinander.) Aber bis heute ist kein allgemeiner Algorithmus entdeckt worden, der mit Sicherheit eine Primzahl liefert; obwohl einige Mathematiker diesem Problem grosse Anstrengungen gewidmet haben. Einige der faszinierendsten mathematischen Probleme, die bis heute ungelöst geblieben sind, drehen sich um die Primzahlen. Warum bemühen sich die Mathematiker so sehr, in den Primzahlen eine Ordnung zu finden? – Wenn jemand die Prinzipien der Mathematik verstanden hat, dann kann er nicht akzeptieren, dass irgendein Objekt der Mathematik „willkürlich“ oder „unordentlich“ sein sollte. Es muss irgendeine Art von „Ordnung“ geben, wenn auch vielleicht nicht die Art von Ordnung, die die Mathematiker bis heute gesucht haben. Tatsächlich fand man einige überraschend regelmässige Muster in der statistischen Verteilung der Primzahlen; nur hat man bis jetzt keine Ordnung gefunden, die es erlauben würde, einzelne bestimmte Primzahlen zu finden. Wahrscheinlich ist dies eines jener Probleme, in denen die Wissenschaft noch auf ein Genie wartet, welches es wagt, die Grenzen der „Mehrfachantworten“ zu sprengen, die frühere Generationen diesem Problem auferlegt haben.

Gleichzeitig zeigen die Probleme, die mit den Primzahlen verbunden sind, noch etwas anderes auf, was ich oben bereits antönte: dass die Mathematik grösser ist als unser eigener Verstand und unsere sichtbare Welt. Die Mathematik kommt von Gott, der sich nicht von Menschen kontrollieren lässt. Deshalb wird es immer ungelöste mathematische Probleme geben. Wir werden mit unserem begrenzten Verstand die Mathematik nie völlig beherrschen – und erst recht nicht mit unseren bürokratischen Vorgehensweisen. Es wird immer noch etwas Neues und Unbekanntes zu entdecken geben.

Wie überwinden wir den bürokratischen Unterricht?

Ich habe zwei entgegengesetzte Bilder gezeichnet: den bürokratischen Unterricht und den Unterricht auf der Grundlage von Prinzipien. Bleibt die Frage: Wie kommen wir von „hier“ nach „dort“? Der bürokratische Unterricht ist die „Wirklichkeit“, die heute einen grossen Teil der Welt beherrscht. Aber wir haben gesehen, dass diese „Wirklichkeit“ nicht der Wirklichkeit der Mathematik und des Universums entspricht. Wie kommen wir zu einer Art, mit Mathematik umzugehen, die ihrer Wirklichkeit entspricht?

Zuallererst müssen wir verstehen, dass unsere gegenwärtige „Wirklichkeit“ wirklich unvereinbar ist mit der Wirklichkeit der Mathematik. Deutlicher gesagt: Innerhalb des gegenwärtigen dominierenden Schulsystems ist es unmöglich, Mathematik von ihren Prinzipien her zu lehren und zu lernen. Die einzige echte Lösung bestünde darin, das Schulsystem zu verlassen und ein neues Bildungssystem zu schaffen, das auf Prinzipien gründet. Für die Mutigen ist das möglich, wenn auch nur im Rahmen einer kleinen unabhängigen Privatschule oder im eigenen Heim.

Aber auch jene, die neue Bildungsexperimente beginnen, sind selber (mehrheitlich) innerhalb des gegenwärtigen Systems ausgebildet worden und müssen viele Gewohnheiten und Vorurteile abschütteln, die sie da gelernt haben. Und andererseits gibt es Lehrer, Eltern und Schüler, die sich innerhalb des gegenwärtigen Systems befinden, aber die Schwächen dieses Systems sehen und hoffen, wenigstens einige Dinge anders machen zu können, soweit sie die Freiheit dazu haben. Diesen beiden Gruppen, jenen innerhalb und jenen ausserhalb des Systems, stellt sich dieselbe Frage: Was kann ich in der täglichen Arbeit tun, um zu den Prinzipien zurückzukehren?

Ich kann hier nur ansatzweise einige Ideen geben, und jeder Interessierte möge sie selber erweitern.

Der aufmerksame Leser wird bereits bemerkt haben, dass ich eine Vorliebe habe für die Frage „Warum?“. Diese Frage ist ein sehr gutes Werkzeug, um damit die Wände eines bürokratischen Gefängnisses niederzureissen, und um verschlossene Mentalitäten zu öffnen (soweit sie es zulassen). Als Lehrer verlangen Sie von Ihren Schülern Erklärungen, auf Prinzipien begründete Erklärungen. Wenn der Schüler z.B. sagt: „Diese Zahl ist durch 5 teilbar“, dann sagen Sie nicht einfach „Richtig“ oder „Falsch“, sondern fragen Sie: „Warum? Woraus schliesst du das?“ (Solange sich der Schüler im Lernprozess befindet, sollte diese Frage gestellt werden, unabhängig davon, ob die Antwort des Schülers richtig oder falsch ist. Ist die Antwort richtig, dann helfen wir dem Schüler klarer zu sehen, auf welchen Prinzipien sie basiert. Ist sie falsch, dann können wir den Schüler dazu führen, selber seinen Fehler zu erkennen und die Prinzipien richtig anzuwenden.) – Einige Schüler ärgern sich, wenn ich ihnen viele solche Fragen stelle; aber ich sage ihnen: „Wie kannst du wissen, ob du etwas verstanden hast? Nur, wenn du es jemand anderem erklären kannst. Deshalb stelle ich dir solche Fragen, bis du selber mir erklären kannst, was du tust.“ – Da ich ausserhalb des Schulsystems arbeite, habe ich die Freiheit, diesen Prozess bis zu seinem Abschluss zu führen, d.h. bis der Schüler in der Lage ist, mir nicht nur zu erklären, was er tut, sondern auch das Warum. Und in diesem Moment beginnen die unverständlichen und geheimnisvollen Prozesse, die er in der Schule gelernt hat, einen Sinn zu bekommen.

Als Schüler gib Dich nicht mit den Vorträgen und Anweisungen des Lehrers zufrieden. Bitte ihn um Erklärungen. „Diese Zahl wird hierhin geschrieben.“ – „Warum?“ – Oder: „Hier müssen wir multiplizieren.“ – „Warum nicht zusammenzählen? oder teilen?“ Ein guter Lehrer wird sich über solche Fragen freuen und sie zum Anlass nehmen, Prinzipien zu erklären. Wenn der Lehrer sich über solche Fragen ärgert, dann erwarte nicht von ihm, er sei in der Lage, Dich Mathematik zu lehren. Die Bürokraten sind es, die keine Warum-Fragen zulassen: „Weil es so gemacht wird, und Punkt.“ Wenn Du ihm nicht gehorchst, dann wird der Bürokrat Dein Gesuch nicht behandeln. Der Bürokrat ist nur daran interessiert zu demonstrieren, dass er die Autorität ist, und dass er Dich auf jede nur erdenkliche Weise schikanieren kann. Aber ein wirklicher Lehrer, ein Pädagoge, wird Dir helfen, den Dingen auf den Grund zu gehen, damit Du selber die Prinzipien anwenden kannst, die Du entdeckst.

Als interessierter Familienvater oder Mutter stellen Sie die Warum-Frage beiden Seiten: Ihren Kindern, und den Lehrern Ihrer Kinder. Helfen Sie beiden nachzudenken: Dem Kind, damit es über den Zaun der vorgeschriebenen Vorgehensweisen hinausblicken kann. Und dem Lehrer, damit er sich getraut, das Gefängnis zu öffnen, in dem das Schulsystem ihn und seine Schüler eingesperrt hat.

Die Warum-Strategie braucht Zeit. Ein auf Prinzipien aufgebauter Unterricht benötigt viel mehr Zeit, um die grundlegendsten Fundamente der Mathematik aufzubauen. Er wird sich nicht damit zufriedengeben, dass der Schüler einen Vorgang reproduzieren kann; er wird die Dinge vertiefen, bis der Schüler versteht, was getan wird. Einige jener Schüler, die zu früh eingeschult worden sind, werden mehrere Jahre brauchen, bis sie selber erklären können, wie man sich z.B. auf der Zahlengerade bewegt, oder warum man in einer Situation zusammenzählen und in einer anderen Situation wegzählen muss. Aber wenn wir Zeit und Geduld investieren, bis sie diese Dinge verstehen, dann werden sie später bei komplizierteren Operationen und Gleichungen keine Vorzeichenfehler mehr machen. – Jene Schüler andererseits, die in einem zu frühen Alter gezwungen werden, mechanisch dreistellige Zahlen zusammenzuzählen, zu multiplizieren und mit Brüchen zu rechnen, werden nie die nötige Zeit finden, um die grundlegenden Prinzipien zu verstehen, und werden deshalb später grösste Schwierigkeiten haben.

– Eine andere gute Strategie besteht darin, den Schülern die Zusammenhänge zwischen Themen zu zeigen, die scheinbar nichts miteinander zu tun haben, aber auf denselben Prinzipien beruhen. Ich erwähnte bereits einige Beispiele, als wir über das Distributivgesetz sprachen und über das Bruchrechnen. Hier ein weiteres Beispiel:

Einige Schüler hatten Schwierigkeiten, Flächenberechnungen wie diese zu lösen:“Berechne die farbige Fläche (im Bild rechts), wenn die Seitenlänge des Quadrats 6 cm beträgt.“Diese selben Schüler waren aber vertraut mit graphischen Darstellungen von Brüchen, wie in den Bildern unten:

Wenn man ihnen diese Bilder im Zusammenhang des Bruchrechnens zeigte, dann erkannten sie ohne Schwierigkeiten, dass die farbige Fläche im linken Bild 3/8 des Kreises beträgt, und im rechten Bild 5/8 des Quadrats. Nur war es ihnen nie in den Sinn gekommen, solche Bilder im Zusammenhang von „Flächenberechnungen“ zu interpretieren. Nachdem sie einmal die Ähnlichkeit zwischen diesen Darstellungen und dem obigen Flächenproblem erkannten, verstanden sie leicht, dass dort die farbige Fläche 2/8 (bzw. 1/4) des Quadrats beträgt. Die beiden Themen beruhen auf demselben Prinzip: die Aufteilung einer Fläche in flächengleiche Teile.

Beschränken Sie sich also nicht darauf, schulbuchmässige Vorgehensweisen zu reproduzieren. Identifizieren Sie die Prinzipien, auf denen das Vorgehen beruht (mit Warum-Fragen). Und wenn Sie ein mathematisches Prinzip entdecken, dann wenden Sie es auf die unterschiedlichsten Situationen an. Am Anfang wird das den Schülern wie ein unerklärlicher Sprung von einem Thema zum anderen vorkommen. Aber wenn wir ihnen das gemeinsame Prinzip dieser unterschiedlichen Themen verständlich machen können, dann erweitert sich ihr Verständnis, und sie können den Schritt tun von einer auf „Techniken“ aufgebauten Mathematik zu einer auf Prinzipien aufgebauten Mathematik.

Noch ein Beispiel: Die Probleme zur Errechnung der Länge von kombinierten Strecken auf einer Geraden (die gegenwärtig in Schulbüchern für die vierte und fünfte Klasse behandelt werden) beruhen auf denselben Prinzipien wie das Zu- und Wegzählen auf der Zahlengeraden (was von der ersten Klasse an behandelt wird). Diese Prinzipien sind wiederum dieselben wie in den Problemen des Kräftegleichgewichts in der Physik, sowie in der Vektorgeometrie (welche in den obersten Schuljahren behandelt werden); nur dass sie dort auf einen Raum von zwei und drei Dimensionen erweitert werden, statt des eindimensionalen Raums der Zahlengeraden. So sehen wir, dass sehr elementare Themen mit sehr fortgeschrittenen durch gemeinsame Prinzipien verbunden sind. Wenn also ein Erstklässler die Prinzipien der graphischen Darstellung von Additionen und Subtraktionen versteht, dann hat er bereits eine erste Grundlage, um später die Vektorgeometrie und das Kräftegleichgewicht verstehen zu können. Dies im Unterschied zu einem Schüler, der nur ein mechanisches Vorgehen lernt und nie einen Zusammenhang zwischen dem einen und dem anderen sehen wird.

– Eine andere gute Strategie besteht darin, mathematische Prinzipien mit dem Alltagsleben in Verbindung zu bringen. (Siehe dazu auch „Mathematik im Alltag„.) Das ist jetzt etwas, was die Schule nie wirklich leisten können wird. Sie kann höchstens ein verwässertes und künstliches Abbild der wirklichen Welt bieten. Selbst wenn man im Schulzimmer „Kaufen und verkaufen“ spielt, hat das noch nicht denselben Lerneffekt, wie in einem richtigen Laden Kunden zu bedienen. (Obwohl es natürlich schon viel besser ist, als abstrakte „Rechnungen mit Geld“ aus dem Schulbuch zu lösen.) Viele mathematische Prinzipien werden am besten verstanden, wenn man gemeinsam etwas Praktisches tut. Z.B. auf dem Markt einkaufen und die Preise vergleichen. Oder einen Geburtstagskuchen zubereiten und die im Rezept angegebenen Mengen abmessen (und sie gegebenenfalls proportional umrechnen, wenn z.B. das Rezept für 6 Personen ist und wir 15 Gäste erwarten.) Oder alle Zimmer der eigenen Wohnung ausmessen und deren Fläche ausrechnen.

Das gehört in erster Linie zum Bereich der Eltern. Innerhalb des Schulsystems ist nicht viel Platz für das wirkliche Leben. Da kann man höchstens Nachahmungen oder Beispiele aus dem wirklichen Leben benützen, um die Anwendung bestimmter Prinzipien zu zeigen.

Manchmal ist auch das schon eine Hilfe. Z.B. möchte ein Schüler die Zahl 5 in die Menge der „Zahlen, die grösser sind als 5“ einschliessen. Statt einfach zu sagen „Das ist falsch“, oder eine abstrakte Erklärung zu geben, könnte ich den Schüler fragen – nehmen wir an, er heisse Peter -: „Bist du grösser als Peter?“ – Wenn Peter einigermassen intelligent ist, wird er antworten: „Nein, ich selber bin doch Peter.“ – Damit hat er ein weniger abstraktes Beispiel, mit dessen Hilfe er verstehen kann, dass von zwei Dingen, die identisch sind, nicht eines grösser sein kann als das andere. Und das hilft ihm (vielleicht) zu verstehen, dass die Begriffe „grösser“ und „kleiner“ nicht nur Erfindungen des Schulbuchs sind, sondern eine wirkliche Bedeutung im wirklichen Leben haben.

Zu eigenen Entdeckungen und zur Kreativität anregen.

Nichts bleibt so lange im Gedächtnis haften wie das, was man selber entdeckt hat. Damit das geschehen kann, braucht der Schüler Gelegenheit und Zeit, um zu beobachten und schöpferisch tätig zu sein, statt nur zu reproduzieren. Eine Aufgabe wie z.B. die weiter oben erwähnte, die Multiplikationstabelle farbig anzumalen, kann zu einer Reihe von nachfolgenden Beobachtungen und Entdeckungen führen: Warum ist die Fünferreihe von allen anderen verschieden, hinsichtlich ihrer Endziffern? Wo befinden sich in der Multiplikationstabelle gerade Zahlen, wo ungerade? Wie ändern sich die Zahlen, wenn ich mich waagrecht oder senkrecht in der Tabelle fortbewege? Und wie, wenn ich mich diagonal fortbewege? Warum befindet sich in der Mitte der Tabelle nicht die Zahl 50 (die Hälfte von 100), sondern die 25? Usw. – Wenn ein Kind einmal eine gewisse „mathematische Neugier“ entwickelt, dann ist es gar nicht mehr nötig, ihm so viele Leitfragen zu stellen. Es wird seine eigenen Entdeckungen machen (wenn auch nicht immer jene, die der Vater oder der Lehrer erwartet – aber das sollte uns nicht beunruhigen. Erinnern wir uns an den kleinen Gauss.)

Oft entwickelt sich die grösste Kreativität, wenn man etwas tut, was nach Schulbuch (aber nicht nach den Prinzipien der Mathematik) „verboten“ wäre. Es gibt ein altes Rätsel: „Verbinde diese 9 Punkte mit der kleinstmöglichen Zahl von aufeinanderfolgenden geraden Linien, die in einem Zug gezeichnet werden können.“

Schon die „klassische“ Lösung ist für die meisten Kinder (und Erwachsenen) nicht einfach zu finden, denn nur wenige kommen auf die Idee, die Linien könnten über das Quadrat hinausgehen, das von den neun Punkten gebildet wird. Diese Lösung kommt mit 4 Geraden aus:

Aber es gibt kreativere Lösungen, wie man die 9 Punkte mit einer einzigen Gerade verbinden kann. Hat jemand gesagt, das Papier müsse an einem Stück bleiben? Wir können es in drei Streifen schneiden, mit drei Punkten auf jedem, damit einen einzigen langen Streifen bilden, und dann eine einzige Gerade durch alle neun Punkte zeichnen. – Hat jemand etwas über die Dicke der Geraden gesagt? Ich kann einen breiten Pinsel nehmen und damit eine gerade Linie zeichnen (so breit wie das ganze Quadrat), welche alle neun Punkte zudeckt. (Ich weiss, das ist keine Gerade im mathematischen Sinn; aber die Problemstellung spricht von einer Geraden, die gezeichnet werden kann. Keine konkret gezeichnete Gerade ist wirklich eine Gerade im mathematischen Sinn.) – Hat jemand gesagt, das Problem müsse auf eine zweidimensionale Ebene beschränkt bleiben? Ich kann das Papier so falten, dass die neun Punkte übereinander liegen, und es in der Mitte mit einem spitzen Bleistift durchstechen. Das ist eine senkrechte Gerade (in der dritten Dimension), die durch alle neun Punkte geht.

(Ich gebe zu, dass nicht alle diese Ideen von mir selber stammen; aber ich erinnere mich nicht mehr, wo ich sie gelesen habe…)

Eine bürokratische Schule erlaubt solche Lösungen nicht. Aber genau deshalb wird die Kreativität der Schüler abgetötet. Solange ich kein mathematisches Prinzip verletze, kann ich meine eigenen Vorgehensweisen schaffen. Es gibt viele verschiedene Arten, wie ein Prinzip in der Praxis angewandt werden kann. Ein auf Prinzipien aufgebauter Unterricht gibt dem Schüler die Freiheit, verschiedene Vorgehensweisen zu benützen – solange die Prinzipien aufrechterhalten werden. Diese Variation und Kreativität hilft dem Schüler, zu unterscheiden zwischen einem Prinzip (das unveränderlich ist), und einem willkürlichen Vorgehen (das man auch ganz anders machen könnte).

– Seien Sie eine PERSON mit Prinzipien.

Das ist das wichtigste. Die besten Strategien nützen nichts, wenn wir mit unserem eigenen Leben dem widersprechen, was wir lehren. Und damit kehre ich zurück zu dem, was ich am Anfang sagte: Manche Menschen verstehen die mathematischen Prinzipien nicht, weil sie in ihrem eigenen Leben keine Prinzipien haben. So wie die Mathematik auf ewigen Prinzipien beruht, die nicht gebrochen werden können, so hat Gott uns ewige Prinzipien für unser Leben gegeben, und wir fügen uns selbst und unseren Nächsten ernsthaften Schaden zu, wenn wir nicht nach diesen Prinzipien leben.

Deshalb ist Mathematik lehren und lernen eine Frage der Prinzipien und des Glaubens.

Mathematikunterricht: eine Frage der Bürokratie oder der Prinzipien? (Teil 2)

11. Mai 2011

Siehe Teil 1

Vorbemerkung: Dies ist die nur unwesentlich geänderte Wiedergabe eines ursprünglich auf Spanisch veröffentlichten Artikels, vor dem Hintergrund des peruanischen Schulsystems. Einige Abschnitte sind deshalb auf europäische Verhältnisse nur begrenzt anwendbar. Soweit ich die weltweite Entwicklung beobachten kann, sehe ich es jedoch nicht als wahrscheinlich an, dass sich Perú den europäischen Verhältnissen angleichen wird; viel wahrscheinlicher ist, dass sich auch die europäischen Schulsysteme zunehmend in die Richtung der hier beschriebenen bürokratischen Erziehung bewegen werden.


Der bürokratische Unterricht unterwirft sich den Forderungen des Staates, aber nicht den Prinzipien einer guten Pädagogik.

Die heutigen Lehrer sind gar keine Pädagogen mehr. Sie sind Regierungsfunktionäre, welche im Schulzimmer die Politik der Regierung verwirklichen müssen. Und sogar wenn sie selber verstanden haben, was gute Pädagogik ist, so können sie sie doch nicht anwenden, weil die Forderungen des staatlichen Lehrplans zuerst erfüllt werden müssen.

Zumindest hier in Perú berücksichtigt dieser Lehrplan weder die Erkenntnisse über die Entwicklung des Kindes, noch die grundlegendsten didaktischen Prinzipien – insbesondere in der Mathematik. Ich möchte die folgenden Punkte hervorheben:

– Entsprechend der Entwicklung des Gehirns ist für ein durchschnittliches Kind der formelle Schulunterricht vor dem Alter von 8 bis 10 Jahren überhaupt nicht vorteilhaft. Diese Kinder treten erst gerade in die Etappe der konkreten Operationen ein, und deshalb erscheinen ihnen die mathematischen Operationen noch nicht logisch, und sie können sich davon in ihrem Denken keine Vorstellung machen. (Mehr Details darüber in „Besser spät als früh“. Vor diesem Alter sollte sich deshalb der Mathematikunterricht auf die grundlegenden Prinzipien beschränken, und auf die Grundoperationen mit kleinen Zahlen, die vom Schüler anhand konkreter Gegenstände ausgeführt werden können. Was darüber hinausgeht, schädigt die meisten Kinder dieses Alters mehr als dass es ihnen nützt.

Jedes Kind hat seinen eigenen Entwicklungsrhythmus und sollte entsprechend seinem eigenen Entwicklungsstand unterrichtet werden, nicht nach seinem chronologischen Alter. Wenn wir versuchen, ein drei Monate altes Baby zum Gehen zu zwingen, dann schädigen wir es. Ebenso schädigen wir ein Kind, wenn wir es dazu zwingen, Aufgaben zu lösen, die es von seinem Entwicklungsstand her noch gar nicht verstehen kann.
Man wird immer hier oder da ein frühreifes Kind finden, das schon in einem frühen Alter abstrakte Operationen versteht. Aber das sind Ausnahmen, die nicht als Norm für ein allgemeines Schulsystem genommen werden dürfen. Solchen frühreifen Kindern sollte erlaubt werden, Schuljahre zu überspringen oder ihren Interessen entsprechende Spezialkurse zu besuchen; aber ohne dass die anderen Kinder dazu gezwungen werden, demselben Rhythmus zu folgen. Noch besser wäre es, die Kinder überhaupt nicht nach Schuljahren einzuteilen, sondern jedes Kind seinem individuellen Entwicklungsstand gemäss zu fördern. (Siehe dazu auch über die Pädagogik der „aktiven Schule“.)

Jedes neue Wissen sollte auf bereits bekanntem Wissen aufbauen. Das ist in der Mathematik besonders wichtig, weil jedes fortgeschrittene Prinzip auf einer Vielzahl einfacherer Prinzipien beruht. Deshalb ist es notwendig, dass ein Kind zuerst die einfacheren Prinzipien versteht, bevor man ihm kompliziertere Prinzipien beibringt. (Z.B. kann man einem Kind nicht die Potenzierung beibringen, solange es nicht zuerst die Addition und dann die Multiplikation verstanden hat.)

Quantität ist nicht Qualität. Je mehr Stoff ein Kind in einer bestimmten Zeit aufnehmen muss, desto mehr frühere Kenntnisse vergisst es. Mehr Schulstunden und ein schnelleres Fortschreiten trägt deshalb nicht dazu bei, dass die Kinder mehr lernen. Im Gegenteil, sobald eine gewisse Grenze überschritten wird, vergessen die Kinder mehr, als sie dazulernen. Eine gute Pädagogik lässt dem Kind Zeit, neue Kenntnisse zu assimilieren, und vertieft diese Kenntnisse, bis das Kind darin sicher ist. Und eine gute Pädagogik achtet auf ein gesundes Gleichgewicht zwischen intellektuellem Lernen, körperlicher Aktivität, Handarbeit, Spiel und Ausruhen.

In völligem Gegensatz gegen alle diese Prinzipien heisst es im offiziellen Nationalen Bildungsprojekt (Proyecto Educativo Nacional) von Perú:

„Die Schulflucht und das Wiederholen von Schuljahren in der Primarschule sind zu vermeiden.
Das Wiederholen eines Schuljahres verschlimmert das „Überalter“ (Anm: das ist im Original eine neue Wortschöpfung, die ich hier einfach so wörtlich wie möglich wiederzugeben versuche) – das Überschreiten des normierten Alters für das Schuljahr -, entmutigt die Kinder und verstärkt das Risiko des Scheiterns oder Aufgebens. Aber das Versetzen in die nächste Klasse bei niedriger Leistung häuft ein Defizit an und gewöhnt sie an die Mittelmässigkeit. Die Schulen haben keine Mechanismen, die diesen Situationen vorbeugen oder sie schnell korrigieren könnten, sodass jedes Kind seinem Schicksal überlassen ist. Die vorliegende Politik möchte die Zahl der Schüler verringern und eliminieren, die das Schuljahr wiederholen oder aufgeben, (…) mittels Systemen der schulischen Unterstützung und Begleitung.

WICHTIGSTE MASSNAHMEN
a) Systeme zur rechtzeitigen Entdeckung von Kindern, die Gefahr laufen, das Schuljahr zu wiederholen oder aufzugeben, unter der Verantwortung der Lehrer jeder Klasse.
b) Institutionalisierung von pädagogischen Strategien des Aufholunterrichts, der schulischen Behandlung und Nachhilfe für Schüler, die Gefahr laufen, das Schuljahr zu wiederholen oder aufzugeben, was zusätzliche Schulstunden einschliesst.
(…)“

(Proyecto Educativo Nacional al 2021, Peruanisches Erziehungsministerium, 2007)

Das bedeutet im Klartext: Alle Kinder werden dazu gezwungen, mit sechs (nein, inzwischen ist es mit fünf) Jahren in die Primarschule einzutreten und sie mit elf Jahren abzuschliessen, ohne auf ihre individuelle Entwicklung Rücksicht zu nehmen. (Anm: Die peruanische Volksschule besteht aus drei Jahren Vorschule, sechs Jahren Primarschule und fünf Jahren Sekundarschule.) Ein Kind, das die Lehrziele nicht erreicht, wird gezwungen, zusätzliche Schulstunden zu besuchen bis zum Umfallen, weil es obligatorischerweise im von der Bürokratie vorgeschriebenen Alter in die nächste Klasse versetzt werden muss. (Bereits haben dank dieser Politik viele Kinder keine freien Wochenenden und keine Ferien mehr.) Das Erziehungsministerium kümmert es nicht, dass einige Kinder sich später entwickeln als andere, und auch nicht, dass das Übermass an Schulstunden ihnen ernsthaft schadet. Statt die Kinder Kinder sein zu lassen, werden sie gezwungen, zu „funktionierenden Taschenrechnern“ zu werden. Und das in einem Alter, in dem sie zuallererst in einer Familie zuhause sein und unbekümmert spielen können sollten. Die meisten Kinder können diese bürokratischen Forderungen gar nicht erfüllen, die da ohne jeden pädagogischen Rückhalt erhoben werden. Das ist wirklich eine tragische Situation: Diese selben Kinder könnten sehr gute Leistungen erbringen, und das mit viel weniger Schulstunden und viel weniger Leiden, wenn es ihnen nur erlaubt würde, zwei oder drei Jahre länger Kind zu sein. Es gibt Hunderte von Beweisen dafür, aus weltweit angestellten Untersuchungen. Dr.Raymond Moore hat viele davon zusammengestellt in seinem Buch „Besser spät als früh“. Aber die Schulplaner interessieren sich nicht dafür, was für die Kinder das Beste ist.

Selbst die besten Lehrer müssen mit einer solchen Politik scheitern, weil ihnen nicht erlaubt wird, die Kinder gemäss ihrem eigenen Entwicklungsstand zu unterrichten. Fünf-, Sechs- und Siebenjährige werden unter einer solchen Flut von Schulstoff und Aufgaben ertränkt, dass sie nie alles aufnehmen können. Es bleibt ihnen gar kein anderer Ausweg, als einen „Anschein zu erwecken“ und die Antworten zu „erraten“. In der vierten und fünften Klasse haben die meisten überhaupt keinen Bezug mehr zu den mathematischen Kenntnissen, die von ihnen verlangt werden. Ihre „Mathematik“ hängt völlig in der Luft. Sie sollten Brüche, Potenzen und Wurzeln verstehen, obwohl sie noch nicht einmal die grundlegenden Prinzipien der Addition, Subtraktion und Multiplikation assimiliert haben. Z.B. können nur sehr, sehr wenige Primarschüler eine Aufgabe wie die folgende richtig lösen:

„Ein Krokodil misst 3.50 m. Sein Körper ist einen Meter länger als sein Schwanz. Wie lang ist der Schwanz des Krokodils?“

Diese Aufgabe erfordert lediglich die Grundoperationen und ein wenig logisches Denken. Aber dieselben Kinder, die diese Aufgabe noch nicht verstehen können, müssen lernen, mit Dezimalbrüchen zu rechnen und Quadratwurzeln zu ziehen. Da sie keine Grundlage haben, macht das alles keinen Sinn für sie, und sobald sie es gelernt haben, vergessen sie es wieder. Sie kommen in die Sekundarschule, ohne überhaupt Zeit gehabt zu haben, das Einmaleins richtig zu lernen; und dann müssen sie alles nochmals lernen, was man ihnen in der Primarschule beigebracht hat. (Das ist kein Witz. Eines Tages hatte ich morgens eine Nachhilfeschülerin, die die dritte Primarklasse besuchte, und nachmittags eine andere aus der dritten Sekundarklasse. Ihre Hausaufgaben waren beinahe identisch.)

Ich möchte nur zwei mathematische Themen erwähnen, die die Schüler lernen müssen, lange bevor sie sie wirklich verstehen können:

– Dreistellige Zahlen schriftlich zu- und wegzählen. Das wird jetzt in der ersten Klasse gelehrt, zu einem Zeitpunkt, wo die meisten noch nicht einmal Zahlen bis 10 richtig zusammenzählen können. Als mechanischen Vorgang kann ein Kind dieses Alters natürlich schon schriftlich zusammenzählen; aber es versteht nicht, was es tut. Um es verstehen zu können, müsste es zuerst verstehen, wie das Dezimalsystem funktioniert – und das wiederum setzt ein Verständnis der Multiplikation voraus. Ausserdem müsste es in der Lage sein, mit einer dreistelligen Zahl eine konkrete Vorstellung zu verbinden; aber die Vorstellungskraft der meisten Erstklässler sieht noch keinen Unterschied zwischen „fünfzig“ und „fünfhundert“.

– Bruchrechnen. Sich etwas vorzustellen, was kleiner ist als eine Einheit, ist sehr schwierig für ein achtjähriges Kind. (In diesem Alter wird jetzt das Bruchrechnen eingeführt.) Man kann ihm natürlich einen Kreis zeigen, der in Teile aufgeteilt ist, und das Kind kann die Teile zählen. Aber wenn es viele Teile sind, wie können dann alle diese Teile zusammen „1“ sein? Das ist ein unlösbares Paradox für die meisten Kinder dieses Alters. – Natürlich kann man auch Brüche nicht wirklich verstehen, wenn man nicht zuerst die Multiplikation und Division verstanden hat. Nicht nur das: Das Kürzen, Zusammenzählen und Wegzählen von Brüchen beruht auf den Konzepten des grössten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV). Dies wiederum erfordert die Kenntnis von Vielfachen, Teilern, zusammengesetzten Zahlen und Primzahlen, und Primfaktoren. Alles dies müsste zuerst eingeführt werden – und man müsste sich versichern, dass die Kinder es verstanden haben. Und diese Konzepte müssten auf der Ebene der Prinzipien miteinander verbunden werden. Aber der bürokratische Unterricht verlangt, dass die Kinder mit Brüchen rechnen, ohne diese Grundlage zu haben. Kein Wunder, dass die Schüler nichts verstehen.

Der bürokratische Unterricht versagt vor den Herausforderungen des wirklichen Lebens und des gesunden Menschenverstandes.

Bleiben wir noch etwas länger beim Bruchrechnen. Die Schüler lernen ein Vorgehen, das sie „CC“ oder „Doppel-C“ nennen, um Doppelbrüche aufzulösen:

Dieses Vorgehen liefert zwar das richtige Ergebnis, aber es lehrt nichts über die Prinzipien des Bruchrechnens. Die Schüler können es mechanisch anwenden, aber sie stehen ratlos vor Ausdrücken wie die folgenden:

Im Fall a) kommt es noch einigen in den Sinn, dass 3 gleich drei Ganzen ist; somit schreiben sie den Ausdruck um wie unten gezeigt, und wenden ihr gewohntes „CC“ an. (Obwohl ihnen das unnötige Mehrarbeit verursacht.)

Aber der Fall b) lässt das nicht mehr zu. Der bürokratische Unterricht kann den Schüler nicht auf eine solche Situation vorbereiten, denn da müsste man für jeden möglichen Spezialfall ein neues spezielles Vorgehen vorschreiben.

Aber ein Schüler, der die Prinzipien der Mathematik gelernt hat, wird hier nicht allzu grosse Schwierigkeiten haben. Er kann dieselben Prinzipien, die einem Doppelbruch zugrunde liegen, auch auf einen dreifachen, vierfachen oder noch komplizierteren Bruch anwenden. Es ist ihm z.B. sonnenklar, dass ein Bruch nur eine andere Form ist, eine Division zu schreiben. Der Ausdruck b) entspricht somit 4 : 3 : (5 : ((7 : 8 ) : 11)). Und er versteht auch, was das Divisionszeichen : vor einer Klammer bewirkt. (Er versteht sogar, dass diese Prinzipien den Vorzeichenregeln beim Zu- und Wegzählen analog sind.) In Anwendung dieser Prinzipien, und ein wenig gesunden Menschenverstandes, wird er das Problem ebenso lösen, wie er einen Doppelbruch löst – und weiss, was er tut.

Aber „gesunder Menschenverstand“ ist unvereinbar mit „Bürokratie“. Das obenerwähnte einfache Problem mit dem Krokodil kann mit ein wenig gesundem Menschenverstand und mit sehr wenig Mathematik gelöst werden (sogar ohne eine Gleichung aufzustellen). Die Mehrheit der heutigen Schüler können es nicht lösen, weil die Bürokratie den gesunden Menschenverstand nicht fördert. Jene Probleme, die gesunden Menschenverstand erfordern, sind die grösste Herausforderung an die Bürokratie: Es gibt kein reglementiertes Vorgehen, wie sie zu lösen sind.

Hier ein anderes Beispiel aus dem täglichen Leben:

„Mama kaufte Kartoffeln für € 1.80, einen Käse für sechs Euro, und einen Blumenkohl. Sie bezahlte mit einer Zehn-Euro-Note und erhielt 60 Cents zurück. Wieviel kostete der Blumenkohl?“

Angesichts einer solchen Aufgabe wissen die meisten Kinder (selbst in der sechsten Klasse) nicht, ob sie zusammenzählen, wegzählen, multiplizieren oder teilen sollen. Das bedeutet, dass sie noch nicht einmal die Prinzipien der Addition und Subtraktion verstanden haben! – Sie können zwar mechanisch Zahlen mit sieben und mehr Ziffern zu- und wegzählen. Aber das bedeutet noch nicht, dass sie das Zu- und Wegzählen verstanden hätten. Verstanden haben sie es erst, wenn sie diese Konzepte mit Alltagsereignissen in Verbindung bringen können. Aber das kann ihnen die Schule nicht beibringen, denn die Schule ist bürokratisch, und deshalb ist sie vom Alltagsleben und vom gesunden Menschenverstand abgeschnitten.

Eine Schülerin, die sehr gut war in Mathematik, verbrachte viele Stunden damit, im Ladengeschäft ihrer Eltern auszuhelfen. Das war das beste Mathematiktraining, das sie haben konnte. Sie gewöhnte sich daran, die Preise auszurechnen und richtig Rückgeld zu geben, und Rechnungen der Lieferanten richtig zu bezahlen. Das ist Anwendung der Prinzipien im täglichen Leben, und das half ihr mehr als jeder Schulunterricht.

Der bürokratische Unterricht muss vor solchen Problemen kapitulieren. Einige Lehrer machen sich noch die Mühe, solche Aufgaben zu systematisieren und zu mechanisieren, und ihren Schülern irgendeine „Eselsleiter“ zu geben: „Wenn es mehrere Käufe zusammen sind, muss man zusammenzählen. Wenn es Rückgeld geben ist, muss man wegzählen. Wenn es drei gleiche Dinge sind, muss man mit drei multiplizieren …“ – Das sind vergebliche Bemühungen. Das wirkliche Leben kann nicht auf diese Weise mechanisiert werden; es wird immer einen Spezialfall geben, der in keine der vom Lehrer vorformulierten Kategorien passt. Aber das wirkliche Leben kann aufgrund von Prinzipien verstanden werden. Wer die Prinzipien verstanden hat, braucht keine Eselsleiter mehr.

Rebeca Wild erklärt vor dem Hintergrund der Forschungen von Jean Piaget, wie das echte Verständnis zerstört wird durch dieses Auswendiglernen von „Regeln“. Sie sagt über die „Etappe der konkreten Operationen“ (die bei den meisten Kindern ca. vom 7.-8. bis zum 13.-15.Altersjahr dauert):

„Das Verständnis ist nur dann gesichert, wenn das Kind die Gegenstände in der Hand hat, oder sie von früheren Erfahrungen her gut kennt. … Wenn in dieser Etappe … versucht wird, Symbole zu verwenden, wie sehr sie auch vereinfacht sein mögen, dann sieht sich das Kind gezwungen, auf eine Art Verteidigungsmassnahme zurückzugreifen: es muss sein Gedächtnis einsetzen, um auf Verlangen das gewünschte Wissen wiederholen zu können. (…) Claparède stellte folgendes Gesetz auf: Alles, was seinerzeit auswendig gelernt wurde, ist später viel schwieriger zu verstehen. Es überrascht nicht, dass wir so oft beobachten, wie sehr diese Praxis des Auswendiglernens von Regeln eine intelligente Anwendung erschwert.“
(Rebeca Wild, „Educar para ser“, Barcelona 1999)

(Für die Wissbegierigen: Die richtige Anwendung der Addition und Subtraktion ist prägnant zusammengefasst in dem von Euklid so formulierten Axiom: „Das Ganze ist grösser als sein Teil.“ Wer dies verstanden hat (ich sage nicht „auswendiggelernt“!), wird das Problem nicht mehr haben, ob er zu- oder wegzählen muss. Aber ich fand, dass es erstaunlich schwierig ist für bürokratisch erzogene Schüler, ein so einfaches Axiom wie dieses zu verstehen.)

Unter den „schulischeren“ Problemen sind die Ziffern-Kryptogramme ebenfalls eine Herausforderung an den bürokratischen Unterricht. Es ist unmöglich, ein mechanisches Vorgehen zur Lösung solcher Kryptogramme vorzuschreiben. Jedes Kryptogramm basiert wieder auf einer anderen Eigenschaft der Zahlen, die herausgefunden werden muss – aufgrund von Prinzipien. Deshalb gehören die Ziffern-Kryptogramme zu den hervorragendsten Übungen, um die Denkfähigkeit zu trainieren. Aber ich fand, dass gerade diese Art Übungen in den (fälschlich) „Mathematisches Denken“ genannten Schulbüchern so gut wie gar nicht vorkommen. Diese Bücher beschränken sich normalerweise auf Aufgaben, die leichter mechanisiert werden können, wie z.B. das Zählen von geometrischen Figuren oder das Weiterführen von Zahlenreihen.

(Anm: Ein Computer kann natürlich aufgrund seiner immensen Rechengeschwindigkeit solche Kryptogramme mechanisch lösen, indem er einfach alle möglichen Zuordnungen von Symbolen zu Ziffern ausprobiert. Ein menschliches Gehirn jedoch ist gezwungen, einen intelligenteren und von Fall zu Fall wieder anderen Lösungsweg zu finden – was ein Computer nicht kann. Das ist es genau, was das menschliche Denken vom Computer unterscheidet.)

Einige Vorgehensweisen des bürokratischen Unterrichts widersprechen sogar direkt den mathematischen Prinzipien.

Die Bürokratie ist nicht daran interessiert, die Prinzipien zu respektieren. Ihre Vorgehensweisen müssen exakt erfüllt werden, sogar wo sie den Schüler auf einen falschen Weg führen. Ich möchte hier zwei Prozesse erwähnen, denen ich fast täglich begegne, und die effektiv bewirken, dass die Schüler falsche Prinzipien lernen. Der Prozess an sich liefert zwar das richtige Ergebnis – aber auf einem Weg, der falsche Prinzipien suggeriert:

1. Das Vorzeichen auf die falsche Seite setzen.
In den meisten Rechnungsbüchern für die Primarschule finde ich so geschriebene Subtraktionen:

Das erweckt den Eindruck, als ob das Minuszeichen zur Zahl 345 gehörte. Aber die Zahl, die weggezählt wird, ist 238 und nicht 345. In vektoriellem Sinn gesprochen ist 345 die Zahl, welche positive Richtung hat, und 238 hat negative Richtung. Deshalb sollte das Minuszeichen vor 238 stehen und nicht hinter 345.

Man könnte meinen, das sei ein unbedeutendes Detail, aber das ist es nicht. Dieser „unbedeutende“ Fehler verursacht im Denken der Schüler ein Problem, das einige von ihnen bis zum Ende ihrer schulischen Laufbahn verfolgen wird. Später werden sie nämlich algebraische Ausdrücke wie diesen vereinfachen müssen:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Viele Schüler, die sich während Jahren (fälschlicherweise) angewöhnt haben, das Minuszeichen rechts von der Zahl zu schreiben, werden instinktiv in ihrem Denken die Ausdrücke so sehen:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Somit werden sie den Ausdruck auf eine der folgenden Weisen gruppieren, die beide falsch sind:

3a + 6a +? (-?) 5b – 4b – 7
oder: 3a + 6a – 5b – 4b + 7

Im Unterschied zu den vorher angeführten Beispielen ist es hier nicht eine sinnlose bürokratische Forderung, das Vorzeichen auf die richtige Seite zu setzen. Es ist eine Frage der Prinzipien und beeinflusst den mathematischen Lernprozess. Aber die Bürokratie ist nicht daran interessiert, ob richtige oder falsche oder überhaupt keine Prinzipien erlernt werden. Deshalb scheint dieser Fehler niemanden zu beunruhigen.

Ob das Vorzeichen rechts oder links von der Zahl gesetzt wird, ist an sich noch kein Prinzip. Es ist eine Konvention; d.h. eine gegenseitige Vereinbarung der Mathematiker. Wir könnten die Konvention ändern und vereinbaren, dass wir von jetzt an das Vorzeichen rechts von der Zahl schreiben. Aber dann müssten wir die obige Subtraktion wie folgt schreiben:

Kein mathematisches Prinzip erlaubt uns in diesem Beispiel, das negative Vorzeichen mit der Zahl 345 zu verbinden – weder rechts noch links. Das ist schlicht und einfach ein Fehler; und ein folgenschwerer dazu, wie wir oben sahen. Nicht aus bürokratischen Gründen, sondern aus prinzipiellen.

2. In einer Gleichung „etwas auf die andere Seite verschieben“.
Hier haben wir eine einfache Gleichung. Manchmal bitte ich einen Schüler, mir zu erklären, wie er sie löst:

x + 5 = 18

Meistens erhalte ich folgende Antwort: „Ich verschiebe die 5 auf die andere Seite und ändere das Vorzeichen.“ – Diese Erklärung ist zwar technisch richtig, widerspricht aber völlig den mathematischen Prinzipien.

Das allgemeine Prinzip, das allen Gleichungen zugrunde liegt, ist die Gleichheit. Die beste Illustration dafür ist eine Balkenwaage im Gleichgewicht:

Um eine Gleichung richtig zu lösen, muss dieses Gleichgewicht während des ganzen Vorgangs bewahrt bleiben. Nur so kann ich sicherstellen, dass am Ende, wenn die Unbekannte „x“ auf einer Seite allein übrigbleibt, das Gleichheitszeichen immer noch zutrifft.
Wenn ich aber etwas „auf die andere Seite verschiebe“, dann ist die Waage offensichtlich nicht mehr im Gleichgewicht:

Somit kann dies nicht der richtige Weg sein, eine Gleichung zu lösen. – Auch wenn ich bei einem der Ausdrücke „das Vorzeichen ändere“, verliert die Waage ihr Gleichgewicht, weil -5 nicht gleich 5 ist. Wer also „etwas auf die andere Seite verschiebt und das Vorzeichen ändert“, begeht gleich zwei schwere Fehler (deren Folgen sich glücklicherweise in diesem Fall aufheben).

Das richtige Prinzip zum Umformen und Lösen einer Gleichung ist dieses:
Jede Operation, die mit der linken Seite der Gleichung ausgeführt wird, muss in gleicher Weise auch mit der rechten Seite ausgeführt werden.

Wenn ich links 5 dazuzähle, muss ich auch rechts 5 dazuzählen. Wenn ich die linke Seite durch 3 teile, muss ich auch die rechte Seite durch 3 teilen. – Das ist das richtige Prinzip, welches zu richtigen Ergebnissen führt, ohne Verwirrung zu stiften.

(Dieses Prinzip sollte dann noch mit dem anderen Prinzip ergänzt werden, dass jede mathematische Operation durch ihre Umkehroperation aufgehoben wird: eine Addition wird durch eine Subtraktion aufgehoben und umgekehrt; eine Multiplikation durch eine Division, und eine Potenz durch eine Wurzel.)

In unserem anfänglichen Beispiel wäre also die richtige Anwendung dieses Prinzips: Wir ziehen auf beiden Seiten der Gleichung 5 ab.

Das Endergebnis ist natürlich dasselbe wie beim „schulischen Vorgehen“. Was ist dann so schlimm daran, „etwas auf die andere Seite zu verschieben“?

Der Schaden geschieht einmal mehr auf der Ebene der Prinzipien. Das „schulische Vorgehen“ ist ein sinnloser mechanischer Prozess, der „so gemacht wird, weil es so gemacht wird“, und Punkt. Wenn jemand fragt warum, wird er keine Erklärung erhalten, denn es gibt keine stimmige mathematische Erklärung für dieses Vorgehen. Wie wir gesehen haben, widerspricht dieses Vorgehen den mathematischen Prinzipien. Einmal mehr lernt der Schüler nur eine Technik, aber er lernt keine Mathematik. Noch schlimmer: er lernt falsche Prinzipien: dass man in einer Gleichung eine Zahl „auf die andere Seite verschieben“ könne, und dass man „das Vorzeichen ändern“ könne, ohne dass dies die Richtigkeit der Gleichung beeinträchtige.

Ausserdem stiftet das „schulische Vorgehen“ Verwirrung. Schon wenn wir zu Gleichungen mit Multiplikationen und Divisionen kommen wie die folgenden:

a) 5x = 45

b) x / 5 = 13

Der Schüler wird auch in diesem Fall sagen, man müsse „die 5 auf die andere Seite verschieben“, aber muss man jetzt auch das Vorzeichen ändern oder nicht? Nicht? Warum nicht? – Wiederum kann dies nicht auf logische Weise erklärt werden, weil das Vorgehen an sich unlogisch ist. Mit einem solchen Unterricht muss der Schüler für jede neue Operation einen neuen separaten Prozess lernen. Wenn er zu Potenzen und Wurzeln kommt, muss er wieder ein neues Vorgehen lernen (während er in einem Winkel seines Gehirns immer noch darüber nachsinnt, warum man bei einer Summe „das Vorzeichen ändern“ muss und bei einer Multiplikation nicht.)

Eine zusätzliche Verwirrung ergibt sich bei einem Fall wie diesem:

x / 5 = 13 + a

Der Schüler „weiss“ (d.h. nimmt irrtümlich an), dass er „die 5 auf die andere Seite verschieben“ muss, aber wie genau? Muss man die 13 mit 5 multiplizieren, oder das a, oder beide? – Der Lehrer kann ihm natürlich sagen, dass man beide multiplizieren muss, aber warum? Auch hier gibt es keine logische Erklärung, wenn von einem falschen Vorgehen ausgegangen wird.

Hätte unser Schüler von Anfang an das richtige Prinzip gelernt, dann bliebe ihm diese Verwirrung erspart. (Das Wort „Prinzip“ hat übrigens etymologisch mit „Anfang“ zu tun: Die Prinzipien sind das, was am Anfang vorausgesetzt werden sollte – nicht was man dem Unterricht zum Schluss als Verzierung aufsetzen soll.) Das Prinzip der Waage sagt dem Schüler klar, dass er eine Multiplikation mit einer Division aufheben kann; und es ist offensichtlich, dass man bei einer Division nicht einfach so das Vorzeichen des Divisors ändert. Im Licht dieses Prinzips ist es auch offensichtlich, dass man beim Multiplizieren der Gleichung (beider Seiten der Gleichung) den vollständigen Inhalt der Waagschalen multiplizieren muss und nicht nur einen Teil. – Ausserdem gilt das Prinzip generell, d.h. es lässt sich auf jede mathematische Operation in gleicher Weise anwenden. (Spitzfindige „Klippen“ wie z.B. das Teilen durch die Unbekannte können dann immer noch separat besprochen werden; aber dieses Problem habe ich in den hiesigen Schulbüchern noch nicht einmal behandelt gesehen.) Der Schüler muss nicht für jede mathematische Operation ein neues Vorgehen lernen. So kann viel Verwirrung vermieden werden, wenn Mathematik auf der Grundlage von Prinzipien gelehrt wird, statt auf bürokratische Weise.

(Fortsetzung folgt)