Der Brief

Gedanken darüber, das Wort deines Vaters ernst zu nehmen. Von Russell J. Asvitt.

Chris lag auf seinem Bett, den Kopf auf einem Kissen aufgestützt, und las ein Buch. Da kam sein Zimmerkollege Ernst mit einigen Briefen herein. – „Hier, Chris“, sagte er, „das ist für dich.“ – „Danke, Ernie“, sagte Chris, nahm den Brief entgegen, öffnete ihn und las ihn gründlich.

Lieber Christian,

Deine Mutter und ich sind sehr zufrieden, dass Du Dich entschieden hast, an die Universität zu gehen und Dein Studium abzuschliessen. Wir haben vereinbart, Dir volle finanzielle Unterstützung zu geben, damit Du keine Zeit verlierst mit einer Arbeitsstelle, denn das könnte dein Studium hinauszögern. Wir möchten, dass Du so viel Zeit wie möglich in Deinen Fortschritt investierst. Wir haben gehört, dass viele Studenten ihre Zeit und ihr Geld ausserhalb der Universität verschwenden. Bitte tue Dich nicht mit ihnen zusammen. Wenn Du es verschwendest, werden wir Dir kein Taschengeld mehr senden für Deine Freizeit. Ich freue mich schon auf Deinen Abschluss, damit Du Dich mir anschliessen kannst in meinem Geschäft. Eines Tages wirst Du es erben.

Alles Liebe,

Papa.

Verwirrt faltete Chris den Brief zusammen, steckte ihn in den Umschlag und ging zur Tür, den Umschlag in der Hand.
„Wohin gehst du?“ fragte Ernst.
„Ich gehe meine Professoren fragen, was dieser Brief meines Vaters bedeutet.“
„Aber wenn er von deinem Vater ist, wozu …?“ – Aber die Tür hatte sich bereits hinter Chris geschlossen.

„Gut, Christian“, sagte der Geschichtsprofessor, nachdem er den Brief studiert hatte, „es scheint, dein Vater möchte, dass du Fortschritte machst. Aber ich brauche etwas zusätzliche Information über deinen Familienhintergrund, um den Brief zutreffend interpretieren zu können. Wenn er von ‚Fortschritt‘ spricht, meint er deine Ausbildungsmöglichkeiten, oder geht es ihm um deine soziale Stellung, oder um deine finanzielle Sicherheit? Wenn du mir einige zusätzliche Umwelthinweise geben könntest, dann könnte ich dir sicher helfen, den Brief zu entziffern.“
Chris sah ihn an und zuckte mit den Schultern. „Jedenfalls vielen Dank, Professor“, sagte er, und verliess das Büro. Sogleich ging er zum Philosophieprofessor.

„Könnten Sie mir helfen, diesen Brief zu interpretieren?“
„Sehr gerne“, sagte der Philosophieprofessor. „Lass mich sehen. ‚Viele Studenten verschwenden ihre Zeit.‘ Das ist ein interessantes Konzept. Was ist Zeit? Heute war gestern morgen, und morgen wird morgen heute sein. Wie du siehst, ändert sich die Zeit ständig. Und was die Zeitverschwendung betrifft, wie kann man etwas verschwenden, was ständig bei uns ist und sich ständig ändert? Schau, dein Vater drückt einfach eine Meinung aus, die er dir mitteilen möchte. Es ist ein interessantes Schreiben, aber ziehe keine definitiven Schlüsse daraus, bevor du nicht mehrere andere Konzepte gelesen hast. Du brauchst eine breitere Informationsbasis für deine volle Entwicklung.“
„Gut, ja … danke“, sagte Chris, und ging ein wenig enttäuscht nach draussen.

Die nächste Station war die theologische Fakultät. Während der Theologe den Brief überflog, runzelte er die Stirn.
„Mein Gott!“ rief er aus. „Sicherlich wollte dich dein Vater nicht erschrecken, aber da sind wirklich einige ernsthafte Unstimmigkeiten in seinem Brief. Er schliesst seine Epistel mit: ‚Alles Liebe‘, aber zugleich sagt er: ‚Wir werden Dir kein Taschengeld mehr senden.‘ Sicherlich möchte er nicht wirklich das sagen. Er kann nicht dich lieben und dir zugleich etwas vorenthalten.
Er sagt auch, du sollst dich nicht mit anderen Studenten zusammentun. Dennoch will er, dass du alle deine Vorlesungen besuchst. Wie kannst du das tun, wo doch andere Studenten in den Vorlesungen sind?
Denke einmal nach, ich denke, es war nicht dein Vater, der dir diesen Brief geschrieben hat. Die Statistiken zeigen, dass Studenten die allermeisten Briefe von ihren Müttern erhalten. Ich denke, der Schlüssel liegt im ersten Satz: ‚Deine Mutter und ich sind sehr zufrieden…‘ Es scheint, dass deine Mutter den Brief geschrieben hat und in guten Treuen mit dem Namen deines Vaters unterschrieben hat, um ihm grössere Autorität zu verleihen. Natürlich ist nichts Schlechtes dabei, aber ich dachte, ich sollte dich darauf aufmerksam machen. Ich hoffe, das ist dir eine Hilfe.“
„Ja … danke“, antwortete Chris.

„Wie seltsam, es sieht wirklich wie die Schrift meines Vaters aus“, brütete Chris, während er sich auf seinem Bett niederwarf. Ernst betrachtete ihn: „Du siehst verwirrt aus, Chris.“ – „Ja“, antwortete er. „Ich wusste nicht, dass es so viele verschiedene Arten gibt, einen Brief zu interpretieren.“ – „Darf ich ihn lesen?“ fragte Ernst. – „Klar. Hier, nimm ihn.“
Ernst las den Brief gründlich durch. „Hey, das ist grossartig!“ rief er aus. „Deine Eltern werden dir dein ganzes Studium bezahlen, und dir dazu sogar noch Taschengeld geben. Du wirst keine Arbeit suchen müssen. Und dein Vater sagt, wenn er pensioniert wird, wirst du sein Geschäft erben. Begeistert dich das nicht?“
„Ist es das, was es bedeutet?“ – „Das ist es, was dasteht, oder nicht?“ – „Mensch, du bist wirklich schlau, Ernie“, sagte er schliesslich.
Ernst wandte sich wieder seinen Aufgaben zu und lächelte vor sich hin. Er wusste, dass er in Wirklichkeit gar nicht so besonders schlau war.

Quelle: Zeitschrift „Bread for Children“, März 1987

Die Haltung Davids gegenüber Saul: ein Beispiel bedingungsloser Unterordnung?

Die biblische Geschichte von Saul und David wird oft von institutionellen religiösen Leitern dazu benutzt, den Christen zu sagen, sie müssten sich ihrem Leiter unterordnen, selbst wenn dieser im Irrtum ist. Die meistzitierten Stellen in diesem Zusammenhang sind die zwei Begebenheiten, wo David die Möglichkeit gehabt hätte, Saul zu töten, aber sich dazu entschied, ihn zu verschonen (1. Samuel Kapitel 24 und 26). David sagte: „Da sei Gott vor! Nie werde ich meinem Gebieter, dem Gesalbten des Herrn, das antun, dass ich Hand an ihn legte; denn er ist der Gesalbte des Herrn.“ (1.Sam.24,7) Und: „Wer könnte Hand an den Gesalbten des Herrn legen und bliebe ungestraft?“ (1.Sam.26,9).

Von daher sagen diese Leiter: „David ordnete sich Saul unter, obwohl Saul schlecht handelte. So müssen sich auch die Christen ihren Leitern unterordnen, selbst wenn diese im Irrtum sind oder sündigen.“ Und ebenso: „Man darf einen Leiter nie kritisieren, denn das bedeutete, an den Gesalbten des Herrn Hand anzulegen.“

Entspricht diese Auslegung dem Inhalt und der Lehre der erwähnten biblischen Geschichten?

Erinnern wir uns, dass David ein Diener Sauls war. Aber als er verstand, dass Saul ihn töten wollte, floh er zu Samuel (1.Sam.19,11-19). Da er im Dienst Sauls stand, hatte er kein Recht, davonzulaufen! – Nach diesem blieb David vorsätzlich dreimal dem königlichen Bankett fern, an dem er hätte teilnehmen sollen. (1.Sam.20,5-7, 24-30). Das würde bereits als eine höchst „rebellische“ Haltung eingestuft von manchen heutigen „Pastoren“, die von ihren Dienern (Mitarbeitern) verlangen, dass sie an allen Gemeindeveranstaltungen teilnehmen.

Erinnern wir uns auch, dass David in den Augen Sauls eindeutig ein Rebell war. Andernfalls hätte er ihn nicht verfolgt. (Andere Personen sahen den Fall ebenso. Nabal z.B. nannte David „einen Knecht, der seinem Herrn davonlief“, 1.Sam.25,10.) Auch nachdem David sein Leben verschont hatte, betrachtete Saul dies offenbar noch nicht als ein genügendes Zeichen seiner Unterordnung, und verfolgte ihn wiederum. Beim zweiten Mal sagte Saul zu David, er solle mit ihm zurückkehren, und versprach ihm, ihm kein Leid mehr anzutun (1.Sam.26,21). Aber David ging nicht mit Saul zurück. Auch in diesem Fall gehorchte er also Saul nicht.
Dennoch geht aus der ganzen Geschichte klar hervor, dass Gott auf der Seite des rebellischen David stand, entgegen „seinem Gesalbten“ Saul.

Sehen wir jetzt, was die Worte bedeuten, „Hand an den Gesalbten des Herrn zu legen“. Es ging darum, dass die Männer Davids ihm anrieten, Saul zu töten. Aber gewisse heutige „Pastoren“ ertragen es nicht einmal, dass jemand sie mit Worten kritisiert: sofort beklagen sie sich, man versuche, „Hand an den Gesalbten des Herrn zu legen“. Zwischen Kritisieren und Töten besteht ein himmelweiter Unterschied!
David kritisierte Saul sehr wohl, und das in aller Öffentlichkeit: „Warum hörst du auf das Gerede der Leute, die da sagen: ‚Siehe, David sinnt auf dein Verderben‘? … Wen verfolgt doch der König von Israel? wem jagst du nach? Einem toten Hund! einem Floh! So sei der Herr Richter und entscheide zwischen mir und dir; er sehe zu und führe meine Sache und schaffe mir Recht gegen dich!“ (1.Sam.24,9.14-15)
Dem Beispiel Davids folgend, haben wir also alles Recht dazu, einen Leiter zu kritisieren, der schlecht handelt. Und wir haben auch das Recht, einem solchen Leiter ungehorsam zu sein, wenn ihm zu gehorchen bedeuten würde, eine Sünde zu begehen oder Schaden zu erleiden.

Ein letzter Aspekt: Wenn ein Leiter seinen Nachfolgern die „Unterordnung“ Davids als Beispiel vorhält, mit wem vergleicht sich dann dieser Leiter selber? Offensichtlich mit Saul, dem Verfolger, dem König, der selber in Ungehorsam gegen Gott lebte. Dieser selbe Saul verleumdete David und seinen eigenen Sohn, und verdrehte die Tatsachen, als er zu seinen Dienern sagte: „… dass ihr euch alle gegen mich verschworen habt und niemand es mir offenbarte, als mein Sohn sich mit dem Sohne Isais verbündete, und dass niemand unter euch Mitleid mit mir hatte und es mir offenbarte, dass mein Sohn meinen Knecht angestiftet hat, mir nachzustellen, wie es jetzt am Tage ist?“ (1.Sam.22,8)
So stellte Saul sich selber als Opfer dar und David als den Angreifer, während es in Wirklichkeit genau umgekehrt war. So machen es auch viele dieser missbraucherischen Leiter: Wenn jemand sich beklagt, weil er von ihnen schlecht behandelt wurde, oder wenn jemand sie zurechtweist wegen einer Sünde, die sie begangen haben, dann sagen sie, sie seien Opfer einer „Verschwörung“ des „Murrens“, und verlangen, dass der „Rebell“ zensuriert werde, oder sie rufen die Strafe Gottes auf ihn herab und schliessen ihn aus.

Weit davon entfernt, ein Beispiel bedingungsloser Unterordnung darzustellen, lehrt uns die Geschichte von Saul und David vielmehr manches über das Verhalten von Leitern, die geistlichen (und anderen) Missbrauch begehen, und über das Leiden der Opfer solcher Leiter. Das Beispiel Davids zeigt uns dabei, was solchen Leitern gegenüber getan werden soll oder kann:
– Sich von ihnen fernhalten.
– Wenn nötig ihre schlechten Handlungen konfrontieren, aber aus einer sicheren Distanz heraus.
– Die Sache Gott anheimstellen und vertrauen, dass er gerecht richten wird.
– Keine Rache gegen solche Leiter planen noch versuchen ihnen zu schaden; sich ihnen aber auch nicht unterordnen.
– Ihnen keinerlei Vertrauen schenken, auch dann nicht, wenn sie versprechen sich zu ändern und eine „Versöhnung“ anbieten. Ein „Saul“ ist durchaus imstande, Reue zu heucheln, nur um danach wieder seinen alten Wegen gemäss zu handeln. (Siehe auch 1.Sam.15,17-35).

Die Opfer von Leitern im Stil Sauls müssen viel leiden. Aber sie dürfen wissen, dass Gott auf ihrer Seite steht und sie wiederherstellen wird, wenn sie fortfahren, ihm zu vertrauen.

Eine israelische Anekdote

Die folgende Anekdote, die im Internet kursiert, ist wahrscheinlich nicht wahr, aber zumindest gut erfunden:

Der israelische Botschafter vor den Vereinten Nationen begann sein Votum:

„Meine Damen und Herren, bevor ich mit meiner Rede beginne, möchte ich Ihnen eine alte Passah-Geschichte erzählen.

Als Moses die Juden aus Ägypten ins Gelobte Land führte, musste er mit ihnen durch die beinahe endlose Wüste Sinai ziehen. Das Volk wurde durstig und brauchte Wasser. So schlug Moses mit seinem Stab an eine Bergflanke, und Wasser schoss heraus. Es bildete sich ein kristallklarer, kühler See. Das Volk freute sich, und alle tranken nach Herzenslust.

Moses wollte auch seinen ganzen Körper reinigen, deshalb ging er zur anderen Seite des Sees, entledigte sich all seiner Kleider und badete sich im erfrischenden Wasser. Aber als Moses wieder aus dem Wasser stieg, entdeckte er, dass seine Kleider verschwunden waren. Und er sagte: ‚Ich habe Grund anzunehmen, dass die Palästinenser meine Kleider gestohlen haben.'“

Da springt der palästinensische Delegierte auf und ruft erregt: „Das ist eine Unverschämtheit! Es ist doch allgemein bekannt, dass es zu der Zeit noch gar keine Palästinenser gab!“

Der israelische Delegierte fährt ungerührt fort: „Und diese Tatsache wollen wir alle im Sinn behalten, während ich nun zum eigentlichen Thema meiner Rede komme …“

Mathematische Kunstausstellung (Teil 6): Iterative Funktionen, chaotische Funktionen und Fraktale

Es macht nichts, wenn Sie mit diesem Titel nichts anfangen können. Sie können sich trotzdem an den Bildern freuen. Es sind dieses Mal einige recht interessante darunter! – Einige der Bilder in diesem Artikel sind mehrere Megabytes gross; es kann deshalb einige Zeit dauern, bis sie erscheinen. In der Zwischenzeit können Sie die nachstehende Einleitung durchlesen. Sie dient zum besseren Verständnis der Dinge, die weiter unten auf den Leser warten.

Einführung

Was ist denn das für eine seltsame Fieberkurve?

Es handelt sich um die Darstellung der iterativen Funktion y_n+1 = y_n² -1.6. „Iterativ“ bedeutet, dass die Funktionswerte nicht direkt errechnet werden, sondern dass jeder Funktionswert aus dem jeweils vorangehenden abgeleitet werden muss. Der Anfangswert der Funktion ist vorgegeben; im obigen Beispiel beträgt er 1.3. Somit beträgt der nächste Wert (1.3)² – 1.6 = 0.09. Um nun zum nächsten Wert zu gelangen, muss ich 0.09 als neue Ausgangszahl nehmen: (0.09)² – 1.6 = -1.5919. Darauf folgt (-1.5919)² – 1.6 = 0.93414561. (Wir erinnern uns, dass eine negative Zahl im Quadrat wieder eine positive Zahl ergibt.) So geht es weiter, und wir sehen, dass die Funktionswerte ständig in einem Bereich zwischen ca. -1.6 und 1 hin- und herschwanken, aber ohne erkennbare Regelmässigkeit. Diese Funktion verhält sich „chaotisch“, d.h. ihr Verhalten an einem bestimmten Punkt ist nicht voraussagbar, obwohl sie nach einer klaren und einfachen Regel konstruiert ist.

Das ist ziemlich überraschend. Andere ähnliche Funktionen dieser Art verlaufen keineswegs chaotisch. Würden wir z.B. zum Quadrat jeweils 1.6 dazuzählen statt wegzählen, dann würde die Kurve einfach immer steiler nach oben verlaufen. Das ist ziemlich langweilig, und ich habe deshalb davon auch kein Bild gemacht.

Noch überraschender ist, dass selbst geringfügige Änderungen in der Anfangszahl oder im Funktionsparameter (der konstanten Zahl, die zu- bzw. weggezählt wird) den weiteren Kurvenverlauf völlig verändern. Hier sehen wir z.B. dieselbe Funktion, aber mit der Anfangszahl 1.299998 (also nur zwei Millionstel weniger als im obigen Beispiel):

Man stellt fest, dass ca. die ersten 30 Schritte sich ähneln, aber danach wird das Bild völlig anders.

Wie schon erwähnt, ergeben nicht alle Parameter einen chaotischen Funktionsverlauf. Im untenstehenden Bild z.B. beginnen wir wieder mit 1.3, nehmen aber als Parameter -0.7, d.h. die Funktion heisst hier y_n+1 = y_n² – 0.7. Wir sehen, dass sich diese Funktion nach anfänglichem Schwanken auf einen bestimmten Grenzwert einpendelt:

Noch ein anderes Beispiel: y_n+1 = y_n² – 2.1, auch wieder ausgehend von der Zahl 1.3. Hier werden die Schwankungen allmählich immer grösser, bis sie schliesslich den Bereich des Pendelns verlassen und die Kurve nach oben verschwindet:

Es gibt hier eine ganz exakte Grenze zwischen Ausgangswerten, die eine „pendelnde“ oder konvergierende Funktion erzeugen, und Ausgangswerten, die zu einer ständig steigenden Funktion führen. (Wer etwas von Mathematik versteht, kann ausrechnen, wo diese Grenze genau liegt.)

Wir nehmen als Beispiel wieder unsere anfängliche Funktion mit dem Parameter -1.6, und zwei verschiedene, aber nahe beieinanderliegende Ausgangszahlen. Hier ist die Ausgangszahl -1.86014705 …:

… und hier -1.86014706, also gerade ein Hundertmillionstel weniger:

Mit ein wenig Geduld (oder einem Computer) könnte man jetzt ausrechnen, in welchem Bereich jene Ausgangszahlen und Parameter liegen, deren Funktionen nie nach oben „ausreissen“. Man hätte dann eine Menge (im mathematischen Sinn) von Funktionen, die in diesem Bereich liegen, und man könnte diese Menge graphisch darstellen.

Das ist genau der Gedanke, welcher den „Julia-Mengen“ zugrundeliegt, einem der bekanntesten Fraktale. (Benannt nach dem französischen Mathematiker Gaston Julia.) Man führt die obige iterative Funktion für verschiedene Anfangswerte und Parameter durch, und kann dann in einem Koordinatensystem den Bereich einfärben, der den „pendelnden“ Funktionen entspricht. Nur dass man diese Operation mit komplexen Zahlen durchführt, dann wird das Ganze noch etwas interessanter. (Komplexe Zahlen müssen mit zwei Komponenten ausgedrückt werden, wie z.B. (3.7 – 4i). Ihre graphische Darstellung erfordert daher eine Zahlenebene, nicht nur eine Zahlengerade.)

Julia-Mengen

Sehen wir uns also einige Kunstwerke an, die von dieser Operation hervorgebracht werden. – Wie wir in den obigen Beispielen sahen, pendelt diese iterative „Quadrier- und Zuzählfunktion“ in ziemlich kleinen Zahlbereichen. Alle untenstehenden Bilder stellen deshalb einen Bereich ungefähr zwischen -1 und 1 dar. Für Kenner gebe ich in Klammern jeweils den Funktionsparameter an, der dem jeweiligen Bild entspricht.

Es gibt kompakte Julia-Mengen wie diese (0.3 + 0.18i) … :

… und langgezogene ausgefranste wie diese (0.43 – 0.2i) … :

… und ganz zerstückelte wie diese (0.44 – 0.18i):

In den letzten beiden Bildern kann man bereits eine interessante Eigenschaft dieser Strukturen erkennen: Sie sind „selbstähnlich“; d.h. die Form der ganzen Menge kehrt jeweils in verkleinerter Form in ihren Einzelteilen wieder. Nehmen wir das noch etwas genauer unter die Lupe. In der folgenden animierten Computergraphik erscheint eine besonders zerstückelte Julia-Menge (0.424 + 0.198i). Wir zoomen auf den Punkt (-0.3205 – 0.114i), bis die Vergrösserung das 4000fache des anfänglichen Bildes beträgt. Selbst bei dieser Vergrösserung erscheinen noch kleinere Details, alle dem grösseren Gesamtbild ähnlich; und würden wir weiter vergrössern, so ginge es bis in die Unendlichkeit so weiter:

Fraktale sind für die Forscher interessant, nicht nur wegen ihrer abenteuerlichen Formen. Sie erlauben es, mathematische Beschreibungen zu finden für Strukturen, die in der Natur vorkommen und zuvor für gänzlich „unmathematisch“ oder eben „chaotisch“ gehalten wurden, wie z.B. Wolken, Berge, Bäume und andere Pflanzen, oder Blumenkohl. Selbst solche Formen sind also nicht einfach „zufällig“, sondern weisen durch ihre mathematische Struktur auf die ordnende Hand des Schöpfers hin.

Selbstähnlichkeit bei der Quinua-Pflanze: Jeder Seitentrieb ist ein verkleinertes Abbild der ganzen Pflanze. Die Seitentriebe produzieren ihrerseits kleinere Seitentriebe, die wiederum die Struktur der ganzen Pflanze aufweisen. Bei grossen Pflanzen bringen diese kleineren Seitentriebe wiederum Unterstrukturen hervor (unten).

In der vorherigen Folge haben wir bereits ein solches Fraktal kennengelernt, nämlich das durch selbstähnliche Interpolation generierte „Gebirge“. Die meisten fraktalen Figuren, die Bekanntheit erlangt haben (z.B. der Kochsche Schneestern, das Sierpinsky-Dreieck, oder der Menger-Schwamm), beruhen auf einer solchen fortgesetzten Interpolation. Interessant ist nun an den Julia-Mengen, dass diese nicht durch ein solches Interpolationsverfahren errechnet werden, aber dennoch eine selbstähnliche Struktur aufweisen. Es ist mir nicht bekannt, ob eine schlüssige mathematische Erklärung dafür gefunden wurde, warum das so ist. (Wahrscheinlich gibt es eine solche Erklärung, aber ich bin ihr noch nicht begegnet.)

– Interessant ist es auch zu beobachten, wie sich die Julia-Menge verhält, wenn man den Parameter ganz allmählich verändert. Das folgende Bild zeigt das gleich auf zwei Arten: Die unterste (rote) Ebene dieser „Wabbeltorte“ ist eine Julia-Menge, deren Parameter sich in einem Abstand von 0.2 zum Nullpunkt befindet. Steigen wir durch die Ebenen auf, so entfernt sich der Parameter immer mehr vom Nullpunkt, bis er sich in der obersten (violett-roten) Ebene in einem Abstand von 0.6 zum Nullpunkt befindet. Diese ganze „Parameter-Menge“ rotieren wir jetzt in einem Kreis um den Nullpunkt; das ist es, was im Lauf der Animation geschieht:

Die folgende Animation zeigt nochmals ein ähnliches Gebilde. Nur verändern sich hier die Parameter im Lauf der Animation nicht; sie stellen immer – von der untersten zur obersten Ebene vorwärtsschreitend – das Intervall von (0.354 + 0.354i) bis (0.534 + 0.534i) dar. Die resultierende Form ähnelt einem (etwas schiefen) Gebirge, und wir fliegen jetzt mitten durch dieses „Julia-Gebirge“:

Hier nochmals ein ähnliches Bild, zwar nicht bewegt, aber dafür grossformatiger (1024×768) als „Wallpaper“ für den Computer. (Es erscheint hier verkleinert, aber mit Rechts-Klick darauf und „Ziel speichern“ kann es in seiner vollen Grösse heruntergeladen werden.)

Zum Schluss wandeln wir die Idee der Julia-Menge noch ein wenig ab: Warum muss die zugrundeliegende Funktion immer quadratisch sein? Wir könnten doch unseren Funktionswert stattdessen jeweils z.B. in die 7. Potenz erheben. Nicht ganz überraschend für Kenner der komplexen Zahlen, entsteht dabei ein siebenstrahliger Stern. In der untenstehenden Animation wird eine dreidimensionale Darstellung, ähnlich wie die obigen, Schicht um Schicht aufgebaut. Sie entspricht einer „Wanderung“ vom Parameter (0.75 + 0.13i) zum Parameter (0.84 + 0.13i). Interessant ist dabei, wie sich die Menge entlang dieses Weges mehrmals in kleine Teile aufteilt und sich dann wieder zusammenfügt:

 

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