Archive for Juni 2019

Die neutestamentliche Gemeinde als "Leib Christi" – Teil 5

24. Juni 2019

Zur vorhergehenden Folge

Geistliche Gaben

Die Gaben des Heiligen Geistes sind Fähigkeiten, die der Heilige Geist den Gliedern des Leibes Christi gibt, um ihre besondere Funktion im Leib auszuüben. Deshalb definieren die geistlichen Gaben weitgehend die besondere Funktion jedes Christen. „Denn so wie wir in einem einzigen Leib viele Glieder haben, aber nicht alle Glieder haben dieselbe Funktion, … da sie unterschiedliche Gaben haben gemäss der Gnade, die uns gegeben wurde …“ (Römer 12,4-6)

Paulus spricht in drei Abschnitten seiner Briefe über geistliche Gaben: Römer 12,4-8, 1.Korinther 12 (ganzes Kapitel), und Epheser 4,7-16. Alle drei Stellen stehen im Zusammenhang mit der Lehre über den „Leib Christi“. Wir können die geistlichen Gaben nicht richtig verstehen, solange wir nicht die Funktionsweise des Leibes Christi verstehen, wie in den vorhergehenden Betrachtungen beschrieben. Die Gaben des Heiligen Geistes sind zur gegenseitigen Auferbauung des Leibes Christi gegeben. Das heisst, die geistlichen Gaben werden hauptsächlich im Rahmen von „Einander“-Beziehungen ausgeübt.
Insbesondere:
– sind sie nicht zur Selbst-Auferbauung gegeben,
– und sind sie nicht gegeben, um die Aufmerksamkeit auf die „Gabenträger“ zu lenken oder diesen eine besondere Stellung in der Gemeinde zu geben aufgrund ihrer Gaben.

Die geistlichen Gaben sind kein Selbstzweck. Sie dienen einem höheren Zweck: den Leib Christi in Liebe aufzuerbauen. Die drei Abschnitte, wo Paulus über den Leib Christi und die geistlichen Gaben spricht, enden alle mit der Erinnerung daran, dass die Liebe das Wichtigste ist (Römer 12,9, 1.Korinther 12,31-13,13, Epheser 4,16).

Ziehen wir zudem in Betracht, dass der Heilige Geist immer Christus verherrlicht (Johannes 16,14), dann sollen auch seine Gaben dazu dienen, den Herrn zu erhöhen und zu verherrlichen, und sollen nicht zu anderen Zwecken missbraucht werden. (Siehe auch 1.Korinther 12,3.)

Ein anderes wichtiges Prinzip finden wir in 1.Korinther 12,4.7.11: „Die Gaben werden auf unterschiedliche Weise ausgeteilt, aber sie kommen vom selben Geist … Und Gott gab jedem den Erweis des Geistes zum Nutzen. … Aber alles wirkt ein und derselbe Geist. Er teilt jedem für sich zu, wie er will.“
Daraus können wir schliessen:
– Es gibt eine grosse Vielfalt an geistlichen Gaben. Nicht alle Glieder des Leibes Christi haben dieselben Gaben.
– Jedes echte Glied des Leibes Christi erhielt mindestens eine geistliche Gabe. („Er teilt jedem zu…“)
– Kein Glied hat alle Gaben. Darum brauchen wir die gegenseitige Ergänzung. (1.Korinther 12,21-25.)
– Der Heilige Geist entscheidet selber, wem er welche Gaben zuteilt. Wir dürfen zwar um bestimmte Gaben bitten oder „eifern“ (1.Korinther 14,1); aber es gibt keine Verheissung und kein Recht darauf, dass wir genau das erhalten, worum wir bitten. Der Heilige Geist teilt zu, „wie er will.“

Infolgedessen respektiert die neutestamentliche Gemeinde die Vielfalt der Gaben in ihren Mitgliedern; gibt jedem Gelegenheit, seine besonderen Gaben auszuüben; und jedes Glied anerkennt sein Bedürfnis, durch die anderen Glieder ergänzt zu werden.
Das ist etwas ganz anderes als das „pfarrherrliche“ System vieler heutiger Kirchen: dort wird erwartet, dass der „Pastor“ alle Gaben ausübt. So wird dem „Pastor“ eine Last auferlegt, die kein Mensch tragen kann. Die „gewöhnlichen Mitglieder“ dagegen erhalten in einem solchen System kaum Gelegenheit, ihre geistlichen Gaben auszuüben, und sie werden auch nicht dazu ermutigt. – Die Vielfalt der Gaben ist einer der Gründe, warum alle Gemeinden im Neuen Testament von einer Mehrzahl von Leitern geleitet wurden: sie benötigten die gegenseitige Ergänzung durch die verschiedenen Gaben, die jeder von ihnen besass.
Es wäre jedoch ebenso falsch zu verlangen, dass z.B. „alle Glieder prophetisch reden“ oder „alle Glieder Kranke heilen“ sollten. Gott gab „dem einen, Wunder zu tun“ (aber nicht allen); „einem anderen, prophetisches Reden“ (aber nicht allen); usw. (1.Korinther 12,8-10). Nicht alle Glieder sind Augen; nicht alle Glieder sind Füsse. Der Leib Christi kann nur dann funktionieren, wenn jedes Glied die Freiheit hat, genau seine spezifische Funktion zu erfüllen.

Die Gaben sind „geistlich“, d.h. übernatürlich. Sie sind nicht zu verwechseln mit den natürlichen Fähigkeiten des Menschen. Das ist offensichtlich bei den „aussergewöhnlichen“ Gaben wie prophetisches Reden oder Wundertaten. Es gibt andere geistliche Gaben, die natürlichen Fähigkeiten ähnlich sehen; z.B. Lehren, Verwalten/Organisieren, Barmherzigkeit. Aber auch in diesen Fällen, wenn es sich um eine echte geistliche Gabe handelt, dann wird diese eine übernatürliche Komponente enthalten, die den Charakter Gottes hervorhebt, wenn sie ausgeübt wird. Wer z.B. die geistliche Gabe des Lehrens hat, der ist nicht einfach jemand, der gut erklären kann. Er wird ausserdem so lehren, dass seine Zuhörer sich mit der Wahrheit Gottes konfrontiert sehen und sich gezwungen sehen, darauf zu antworten, sei es indem sie die Wahrheit, die sie erkannt haben, annehmen oder aber ablehnen. Ebenso ist jemand mit der geistlichen Gabe der Barmherzigkeit nicht einfach jemand, der den Armen hilft. Wenn diese Person ein Werk der Barmherzigkeit tut, dann tut sie es so, dass die Empfänger sich der Barmherzigkeit Gottes gegenübersehen und herausgefordert sind, auf seine Barmherzigkeit zu antworten.

Die neutestamentliche Gemeinde ermutigt jedes Glied, die Gaben auszuüben, die Gott ihm gegeben hat, zur gegenseitigen Auferbauung des Leibes Christi in Liebe, und in gegenseitiger Ergänzung. Sie konzentriert sich nicht auf den Dienst einiger weniger „Leiter“ oder „Gottesmänner“, sondern schafft Raum für die „Aktivität jedes seiner Glieder“ (Epheser 4,16). Sie betrachtet die „aussergewöhnlichen“ Gaben nicht als wichtiger als die übrigen, lehnt sie aber auch nicht ab.
Andererseits ist sich die neutestamentliche Gemeinde bewusst, dass der Teufel alles Gute, was Gott gibt, nachzuahmen versucht. Deshalb übt sie Unterscheidungsvermögen aus, „behält das Gute“ (1.Thessalonicher 5,21) und scheidet die Fälschungen aus.

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Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 4)

17. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Diese letzte Folge ist ein Anhang zu einer kleinen „mathematischen Entdeckungsreise“, die mit dieser Forschungsaufgabe. anfing. Ich empfehle, mit dem Lesen (und Forschen) dort zu beginnen, um besser zu verstehen, wovon wir hier sprechen.


Probleme, die unterschiedliche Gebiete der Mathematik miteinander verbinden, haben einen besonderen Reiz. Das vorliegende ist von dieser Art. Wir haben mit einer Geometrieaufgabe angefangen, mussten zusätzlich die Trigonometrie beiziehen, und landeten dann bei einer besonderen Abbildung, der Inversion, die man auch analytisch untersuchen kann. In diesem Zusammenhang habe ich in der letzten Folge eine Zusatzfrage gestellt (Frage 4), die in der ursprünglichen Problemstellung nicht vorkam: Beweise (analytisch), dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist. Hier nun einige Hinweise dazu, für jene, die es versucht haben und irgendwo auf dem Weg steckengeblieben sind, oder schon den Einstieg nicht fanden.

Stelle die Situation in einem Koordinatensystem dar. Wähle die praktischsten Werte für O und R. Untersuche die Gleichung eines Kreises, und die Gleichung der Inversion dieses Kreises. Kannst du beweisen, dass die Gleichung der Inversion ebenfalls einen Kreis beschreibt?

Du kannst es sogleich auf deine eigene Art versuchen, oder auch dem folgenden „Rezept“ folgen:

Ich habe O(0;0) und R=1 gewählt. Der Kreis, der das „Urbild“ ist, soll das Zentrum (p;0) haben und einen Radius r. Sein Zentrum liegt also auf der x-Achse.
Wir dürfen diese Einschränkungen vornehmen, ohne dass der Beweis an Allgemeingültigkeit verliert, denn die geometrischen Eigenschaften der Inversion bleiben bei Streckung und Drehung erhalten. Somit können alle anderen Situationen auf die hier gewählte zurückgeführt werden.
Wir definieren ausserdem, dass p und r nicht gleich sind. Denn sonst ginge die Kreislinie durch O, und das ist der Fall, den wir bereits mit den Fragen 1 bis 3 untersucht haben. (Man kann natürlich auch diesen Fall analytisch untersuchen.)

Die Gleichung unseres Kreises lautet also:

(xp)2 + y2 = r2

Wenn wir nun einen Punkt A(x; y) haben, der diese Gleichung erfüllt (also auf unserem Kreis liegt), und wir wenden die Inversion an, was sind dann die Koordinaten A'(x‘; y‘) des Abbilds von A?
Erinnere dich, dass A‘ auf der Verbindungsgeraden AO liegt; und ausserdem gilt: AO·A’O = R2.

Du erhältst dann je einen Ausdruck für x‘ und für y‘; aber diese Ausdrücke enthalten noch die „alten“ Koordinaten x und y. Es geht jetzt also darum, aus diesen beiden Gleichungen x und y zu eliminieren, damit wir die Gleichung des ganzen „invertierten Kreises“ erhalten. Diese Gleichung sollte als Variabeln nur noch x‘ und y‘ enthalten (sowie die Parameter p und r).
D.h. zusammen mit der obigen Gleichung des Urbilds haben wir nun ein System von drei Gleichungen. Wir sollten also daraus zwei Variabeln (x und y) eliminieren können und dann eine einzige Gleichung haben.

Die algebraischen Umformungen während dieses Vorgangs können u.U. sehr kompliziert werden – oder je nachdem auch relativ einfach, wenn du es geschickt anpackst. Hier noch ein paar Tips dazu:

– Sei dir im Klaren darüber, worauf wir hinauswollen. Wir wollen beweisen, dass das Abbild ein Kreis ist. Das ist dann der Fall, wenn wir die Gleichung in die folgende Form bringen können:

(x‚ – a)2 + (y‚ – b)2 = s2

… wobei die Ausdrücke von a, b und s Konstanten sein müssen, d.h. sie dürfen nicht x‘ oder y‘ enthalten.
Wir können übrigens bereits voraussagen, dass b=0. Warum?

– Sowohl die Gleichung des Urbilds, als auch die voraussichtliche Gleichung des Abbilds, sind quadratisch. Daher die Empfehlung: Wenn möglich unterwegs kein unnötiges Wurzelziehen (und auch kein unnötiges Ausmultiplizieren)!

– Statt z.B. nach x und/oder nach y aufzulösen und diese Lösungen einzusetzen, wird die Sache evtl. einfacher, wenn wir direkt gewisse zusammengesetzte Ausdrücke ersetzen, z.B. x2 + y2, oder x/x‘. (Auf diese Weise bin ich auf einen Lösungsweg gekommen, in dem tatsächlich keine einzige Quadratwurzel vorkommt!)

Genug der Hinweise. Ich darf noch verraten, dass die Vermutung richtig ist: das Abbild ist tatsächlich ein Kreis. Aber nun bist du dran!

Du könntest dann zusätzlich untersuchen, was es für Kreise gibt, die auf sich selber abgebildet werden. (Abgesehen vom trivialen Fall des Inversionskreises selber, also des Kreises um O mit Radius R.) Was für Bedingungen müssen solche Kreise erfüllen?

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Frage 3)

11. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Achtung: Verdirb dir den Spass nicht! Dies ist die zweite Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Dies ist also so etwas wie das vorletzte Kapitel eines Kriminalromans, wo alle Geheimnisse ihrer Enthüllung entgegengehen. Wenn du dieses zuerst liest, dann ist die ganze Spannung weg. Ich empfehle deshalb sehr – falls du es noch nicht getan hast -, zuerst das ursprüngliche Problem zu lesen und es einige Stunden lang zu erforschen; und dann – falls nötig – den ersten Teil der „Zusätzlichen Hinweise“ zu lesen und die dort aufgezeigten Lösungswege zu erarbeiten.
– Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 3: Beim Erforschen der Frage 1 solltest du die folgenden Beziehungen gefunden haben:

AO = R/cos α

MO = R·cos α

Zusammen mit den entsprechenden Eigenschaften für β kann man dadurch übrigens zeigen, dass die Dreiecke OMM1 und OAB (in der Skizze der vorhergehenden Folge) ähnlich sind. Das ergibt den wahrscheinlich einfachsten Beweis für Frage 1.

Multiplizieren wir die obigen Gleichungen miteinander, so erhalten wir:

AO·MO = R2.

(Wir können auch direkt auf diese Eigenschaft kommen, indem wir im Dreieck AOT Euklids Kathetensatz anwenden.)

Somit auch:

AO = R2/MO,

MO = R2/AO.

Diese Gleichungen beschreiben die Abbildung der (Kreis-)Inversion bezüglich eines Zentrums O und eines Radius R. (Wobei zusätzlich A, M und O kollinear sein müssen.) Das ist das geometrische Äquivalent zur Kehrwertfunktion in der Arithmetik und Algebra: Wenn A1 das Abbild eines Punktes A ist, dann ist die Strecke OA1 der Kehrwert von OA (mit R als Einheit).

Die Ergebnisse der Fragen 1 und 2 beweisen nun direkt die folgenden Eigenschaften:

– Die Inversion jeder Geraden ist ein Kreis, der durch O geht.
(Ausser den Geraden, die durch O gehen; diese werden auf sich selbst abgebildet.)

– Die Inversion jedes Kreises, der durch O geht, ist eine Gerade.

– Die Inversion der Inversion jeder Figur ist die ursprüngliche Figur.
(Vergleiche damit die entsprechende arithmetische Eigenschaft: Der Kehrwert des Kehrwerts einer Zahl ist die ursprüngliche Zahl.)

Ausserdem haben wir damit eine Möglichkeit, geometrisch den Kehrwert einer Strecke zu konstruieren (bezüglich einer Einheit R).

Das war also das vorletzte Kapitel des „Krimis“. Das letzte Kapitel kannst du selber schreiben, anhand der folgenden…

Anregungen zum weiteren Forschen:

– Vervollständige die Argumentation: Wie genau lassen sich die obenerwähnten Eigenschaften aus den Ergebnissen der Fragen 1 und 2 herleiten?

– Beweise, dass die Inversion jedes Kreises, der nicht durch O geht, ein Kreis ist (der ebenfalls nicht durch O geht).
Man könnte das wahrscheinlich mit ähnlichen Methoden wie bisher beweisen. Aber nun, da wir die Eigenschaften dieser Abbildung besser verstehen, kannst du sehen, dass die Methoden der analytischen Geometrie ebenso zum Ziel führen können. Möchtest du vielleicht diesen Weg versuchen? (Das ist die Zusatz-Frage 4, zu der vielleicht später einige separate Hinweise folgen werden…)

– Konstruiere weitere Beispiele, und untersuche andere Eigenschaften der Inversions-Abbildung.

– Vielleicht lässt du dich auch zu einem künstlerischen Projekt inspirieren? Nimm eine einfache Zeichnung, und konstruiere die Inversion davon. Oder wenn du Programmierkenntnisse hast, schreibe ein Programm, das zu einem gegebenen Bild die Inversion davon produziert.
Du kannst auch Bild und Abbild in einem einzigen Werk kombinieren: Zeichne den Kreis mit Zentrum O und Radius R. Zeichne innerhalb des Kreises die ursprüngliche Zeichnung, und ausserhalb die Inversion davon. Oder umgekehrt.
Im letzteren Fall wirst du feststellen, dass das Ergebnis einer Spiegelung in einer Christbaumkugel o.ä. ähnelt. Vielleicht möchtest du diesen Zusammenhang geometrisch untersuchen?

Die folgenden Bilder illustrieren, wie so etwas aussehen könnte. Zuerst die Originalzeichnung, dann einige Inversionen davon.
(Siehe auch: Mathematische Kunstausstellung, Teil 7.)

 

Nähere Hinweise zur Forschungsaufgabe: Ein mysteriöser geometrischer Ort (Fragen 1 und 2)

5. Juni 2019

Niveau: Schwierig (Obere Gymnasialklassen und Studienanfänger)

Dies ist ein Beispiel eines alternativen Zugangs zum Mathematiklernen. Aufgaben in der Art dieser Artikelserie (auch zu einfacheren Themen) finden sich in diesem Buch zum mathematischen Forschen und Selber-Entdecken.Weitere Informationen hier.

Dies ist die erste Folge von näheren Hinweisen und Lösungsansätzen zu dieser Forschungsaufgabe. Es lohnt sich, vor dem Lesen dieser Hinweise zuerst selber ein paar Stunden lang das gestellte Problem zu erforschen! – Der Artikel mit der Problembeschreibung enthält auch einige pädagogische Hinweise zum Sinn und Nutzen solcher Forschungsaufgaben.


Zu Frage 1: Wenn du eine genaue Konstruktion angefertigt hast, dann dürftest du erkannt haben, dass der gesuchte geometrische Ort ein Kreis ist. Bei genauerer Beobachtung liegt die Vermutung nahe, dass die Kreislinie durch O geht. Und aus Symmetriegründen muss das Zentrum dieses Kreises auf der Senkrechten von O auf g liegen.

Diese Senkrechte ist als Symmetrieachse der ganzen Situation eine „privilegierte“ Linie. Bezeichnen wir mit A den Schnittpunkt dieser Senkrechten mit g, und mit M den Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von A aus. Falls der gesuchte g.O. tatsächlich, wie vermutet, ein Kreis ist, dann muss MO sein Durchmesser sein.

Wenn diese Vermutung richtig ist, dann ist eine Konsequenz davon, dass alle anderen Sehnen unserer Konstruktion durch M gehen müssen. Denn bei allen anderen Mittelpunkten Mi bildet OMi mit der betreffenden Sehne einen rechten Winkel. Wenn also Mi zu unserem geometrischen Ort gehört, dann ist dieser rechte Winkel einem Thaleskreis über MO einbeschrieben. Diese Beobachtung weist den Weg zu einem von mehreren möglichen Beweisen:

Führen wir die ganze Konstruktion „rückwärts“ aus:
– Konstruiere eine Sehne, die durch M geht.
– Konstruiere Tangenten in den Endpunkten der neuen Sehne. Bezeichnen wir mit B den Schnittpunkt dieser Tangenten.
– Verbinden wir OB; damit erhalten wir den Mittelpunkt M1 der neuen Sehne.
– Bezeichnen wir mit α den halben Zentrumswinkel über der ersten Sehne, und mit β den halben Zentrumswinkel über der neuen Sehne.

Wenn wir nun beweisen können, dass das Dreieck AOB rechtwinklig ist bei A, dann ist der Beweis vollständig: Dann ist nämlich B ein Punkt von g; und wir haben ja den Punkt M1 so konstruiert, dass er auf einem Kreis mit MO als Durchmesser liegt. Also ist dann dieser Kreis effektiv der g.O. aller Punkte Mi.

Vorderhand der naheliegendste Weg zur Vervollständigung dieses Beweises besteht in der Trigonometrie: Versuche die Längen der verschiedenen vorkommenden Stücke auszudrücken mit Hilfe des Kreisradius R, und trigonometrischer Funktionen der Winkel α bzw. β. Benütze die Dreiecke in der Figur; vorzugsweise die rechtwinkligen. Z.B. können wir mit Hilfe des Dreiecks OTM sehen, dass MT = R·sin α und MO = R·cos α. Noch unbekannte Winkel wirst du, wo möglich, durch α und β ausdrücken müssen. Die Einzelheiten solltest du nun selber vervollständigen können; denn wenn du dich an Probleme dieser Schwierigkeitsstufe wagst, dann ist anzunehmen, dass du diese Themen beherrschst.

Oder wer weiss, vielleicht findest du einen völlig andersartigen Beweis?

Zu Frage 2: Bezeichnen wir mit S1, S2 die Schnittpunkte von g mit dem Kreis. Diese sind die Grenzfälle, wo die beiden Tangenten an den Kreis in einer einzigen zusammenfallen. Die entsprechende Sehne wird dann zu einem Punkt, und diese Punkte S1, S2 sind somit die „Mittelpunkte“ der Sehnen. Also gehören diese Punkte selber zum gesuchten g.O; und wir können vermuten, dass dieser in einem Kreis besteht, der durch O, S1 und S2 geht.

Für die Punkte von g ausserhalb des Kreises gilt dieselbe Beziehung wie bei Frage 1. Wir werden einen Beweis führen können mit ähnlichen Überlegungen wie dort, sobald wir die Bedeutung der Punkte von g innerhalb des Kreises verstanden haben.
Wenn wir einige Beispiele konstruieren, werden wir feststellen, dass hier die umgekehrte Beziehung gilt: Wählen wir einen Punkt B auf g innerhalb des Kreises. Verlängern wir OB bis zum Schnittpunkt M1 auf dem g.O. Nun ist B der Mittelpunkt der Sehne zwischen den Berührungspunkten der Tangenten von M1 aus an den Kreis. Und wenn wir die Senkrechte von O auf g wählen, dann sind diese Berührungspunkte S1 und S2.

Nun solltest du selber den Beweis für diesen Fall vervollständigen können.